Ley de Hooke Movimiento que exactamente se repite a si mismo en

Ley de Hooke
Movimiento que exactamente se repite a si mismo en intervalos de tiempo regulares
llamados movimiento periódico; el tipo más simple de movimiento periódico es el
movimiento armónico, o sinusoidal. El movimiento armónico es importante no sólo porque
se observa normalmente y es simple de describir y analizar pero también porque cualquier
movimiento periódico, sin importar que tan complicado sea, se puede expresar como una
suma de movimientos armónicos.
La fuerza electromagnética básica a nivel molecular se pone de manifiesto en el momento
de establecerse contacto entre dos cuerpos. Aparecen fuerzas moleculares que las moléculas
de un cuerpo hacen sobre las moléculas del otro, y viceversa. Llamamos normalmente
fuerzas de contacto a estas fuerzas, y la vida diaria está llena de ellas: cuerdas, muelles,
objetos apoyados en superficies, estructuras, etc.
Cuando a un cuerpo (p. ej., una cuerda) se le aplica una fuerza, normalmente reacciona
contra esa fuerza deformadora, dado que tiende a tener una forma estable debido a su
estructura molecular. Estas fuerzas de reacción suelen llamarse elásticas, y podemos
clasificar los cuerpos según el comportamiento frente a la deformación. Muchos cuerpos
pueden recuperar su forma al desaparecer la acción deformadora, y los denominamos
cuerpos elásticos. Otros cuerpos no pueden recuperar su forma después de una
deformación, y los llamamos inelásticos o plásticos. Evidentemente, un material elástico lo
es hasta cierto punto: más allá de un cierto valor de la fuerza deformadora, la estructura
interna del material queda tan deteriorada que le es imposible recuperarse. Hablaremos por
tanto, de un límite elástico, más allá del cual el cuerpo no recupera la forma, y aún más, de
un límite de ruptura, más allá del cual se deteriora completamente la estructura del material,
rompiéndose.
Robert Hooke (1635-1703) estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza aplicada y
la deformación producida. Para deformaciones que no sean muy grandes, es decir, que no
superen el límite elástico, se cumple que:
(1)
en donde F es la fuerza deformadora aplicada y x la deformación relativa.
Es muy frecuente escribir la ley de Hooke teniendo en cuenta que la fuerza elástica Fe es
igual a la aplicada F pero cambiada de signo:
(2)
Las dos cantidades generales físicas que deben estar presentes para que ocurra el
movimiento armónico son la inercia, que es la tendencia de un sistema a continuar haciendo
lo que hace generalmente, y una fuerza restauradora que trata de devolver al sistema a su
equilibrio o posición de descanso natural. La fuerza de la fuerza restauradora es
directamente proporcional al desplazamiento del equilibrio; ésto es, entre más grande el
desplazamiento, más grande la fuerza restauradora. Este tipo de fuerza restauradora,
llamada una fuerza elástica, fue primero descrita por Robert Hooke en el siglo 17. La
proporcionalidad de la fuerza restauradora elástica al desplazamiento es llamada la Ley de
Hooke.
Un ejemplo simple de movimiento armónico es el de un cuerpo atado a una cuerda.
Cuando la cuerda se estira o comprime por el movimiento del cuerpo, ejerce una fuerza
restauradora elástica que causa que el cuerpo oscile. El cuerpo mismo exhibe la propiedad
de inercia; quedaría en movimiento uniforme en la ausencia de fuerzas. El movimiento del
cuerpo resultante, por consiguiente, es armónico simple.
Otro ejemplo de movimiento periódico es el de un PÉNDULO simple--un balanceo del
peso en el final de un cordón inextensible y con poca masa. La gravedad proporciona la
fuerza restauradora, pero porque el camino del peso es un arco, la fuerza no es directamente
proporcional al desplazamiento, y por consiguiente el movimiento no es exactamente
armónico. Por desplazamientos pequeños, hasta un ángulo de aproximadamente 10 deg, el
movimiento es considerado como armónico porque su salida de idealidad es menos que 1%.
El movimiento armónico es llamado movimiento sinusoidal porque la relación matemática
entre el desplazamiento x del objeto oscilante y tiempo t es una función SENO (o coseno) .
Ésto es, si un cronómetro se empieza (t= 0) cuando el objeto pasa por su posición de
equilibrio , su desplazamiento se puede encontrar a cualquier tiempo subsecuente por x= A
sin 2 (pi) ft, donde A es el más grande desplazamiento y f es la frecuencia (el número de
oscilaciones por segundo). Si el cronómetro se comenzó con el objeto en A, el movimiento
sería descrito por x= A cos 2 (pi) ft. Además, la velocidad y la aceleración del objeto se
describen también por los términos seno o coseno.
Existe una relación estrecha entre movimiento armónico simple y movimiento redondo . Si
se ve una mudanza del objeto a rapidez constante en un camino redondo de dentro del plano
de su movimiento (de manera que se vea el círculo en borde), el objeto parecería moverse
de un lado a otro en una línea recta, obedeciendo las reglas de movimiento armónico
simple. Se considera por consiguiente a un camino redondo como el camino de un objeto
sujeto a dos fuerzas restauradoras actuando en ángulos correctos el uno al otro. Cada fuerza
tendría la misma frecuencia y producirían el mismo desplazamiento máximo, pero estarían
180 deg afuera de la fase el uno con el otro (uno alcanza un mínimo cuando el otro está en
un máximo).
Esta ley establece que en una fuerza elástica sobre una partícula es directamente
proporcional a la deformación, y se introduce un término k, llamado constante de
elasticidad:


f e  k  r
Esta ley cumple las siguientes propiedades:





  f e   k  r   k    r  0

r2
W12  

r1




r1

r1
r2
  r2
 
 
f e  dr    kr   dr  k  r  dr   k2 r 2
La fuerza es
conservativa

r2

r1

k
2
r
2
1

 r22  EC1  EC 2 El trabajo
de la fuerza

EC r   12 kr 2
Energía
cinética
Módulo de Young
En el tramo OH de la gráfica se cumple la ley de Hooke, las deformaciones son
proporcionales al esfuerzo, y el cuerpo recupera su forma al cesar la fuerza aplicada.
En el tramo HE ya no se cumple la ley de Hooke, pero el cuerpo aún recupera su forma, si
bien de manera parcial. Los esfuerzos entre H y E producen una deformación residual, que
ya no desaparece.
Más allá del punto E, que suele llamarse límite elástico, se entra en una zona en la cual el
objeto pierde sus características de cohesión molecular, y empieza a transformarse en un
material con un comportamiento plástico, fluidificándose parcialmente con alta viscosidad.
A medida que se aumenta el esfuerzo se intensifica este efecto, hasta que se llega al punto
llamado de ruptura R, a partir del cual la sección del material deja de ser constante,
disminuyendo hasta romperse, y por último se llega al punto Z, último esfuerzo soportado
por la cuerda.
En la zona que más nos interesa, OH, donde se cumple la ley de Hooke, puede producirse
un fenómeno de histéresis, que consiste en un retraso entre la aplicación de la fuerza y el
hecho de la deformación. En realidad, este fenómeno de histéresis elástica se pone más de
manifiesto al cesar la fuerza deformadora, y se observa que la deformación tarda un cierto
tiempo en desaparecer totalmente.
También debemos tener en cuenta el proceso de la fatiga del material. A la larga, la
estructura del cuerpo, sometida a repetidos esfuerzos, ninguno de ellos suficiente para
romperlo, ha sufrido tal cantidad de solicitaciones que acaba por desmoronarse.
Siguiendo con el ejemplo de la cuerda a la cual le producimos un estiramiento mediante la
aplicación de una fuerza, es inmediato suponer que dicho estiramiento D L será
proporcional a la longitud total de la cuerda L, a la fuerza aplicada F, e inversamente
proporcional a la sección S. Podemos escribir por tanto:
, que como se ve cumple la ley de Hooke.
El valor de la constante E se deduce del caso particular en el que D L=L y S=1, resultando
Es decir, E es la fuerza necesaria, por unidad de superficie, para producir un estiramiento de
la cuerda igual a su longitud inicial. Esta constante, inversa de la que aparece en la ley de
Hooke, recibe el nombre de módulo de Young (Thomas Young, 1733-1829) y nos da una
idea bastante clara de la elasticidad del material.
En el tramo OH de la curva anterior, el módulo de Young es constante, y podemos
escribirlo así:
(5)
Puede observarse ya que la fuerza elástica de recuperación que puede proporcionarnos la
cuerda no depende del alargamiento absoluto ni de la longitud total, sino de su cociente:
(6)
(Dado que la fuerza aplicada y la elástica de recuperación son iguales en valor absoluto, no
las distinguiremos a partir de ahora salvo que pueda dar lugar a confusión.)
A fin de tener una cierta idea del valor del módulo de Young para algunos materiales, los
damos en la tabla adjunta, juntamente con la resistencia máxima a la tracción (carga de
ruptura).
Aunque no lo necesitaremos más tarde (las cuerdas no pueden trabajar a compresión),
haremos una breve referencia al ensayo de compresión. Aparentemente, todo debería ser
muy similar que en la tracción, y así sucede en la mayoría de los materiales. Pero hay
algunas excepciones curiosas, que podemos comentar.
El acero es un ejemplo de normalidad: su módulo de Young es el mismo en tracción que en
compresión, y las resistencias a la tracción y a la compresión también son iguales.
El hormigón, sin embargo, aunque tiene el mismo módulo de Young en ambos casos,
presenta una resistencia a la tracción de 2 MN/m2, pero tiene una resistencia a la
compresión de 17 MN/m2.
Y el hueso humano tiene un módulo de Young de 16 GN/m2 en tracción, que baja a 9
GN/m2 en compresión, con una resistencia en tracción de 200 MN/m2 y de 270 MN/m2 en
compresión.
Anexo: Módulos de Young y cargas de ruptura de algunos materiales.
Material
Módulo de Young
Carga de ruptura en
(en GN/m2)
tracción (en GN/m2)
Níquel
205
Acero
200
0.520
Hierro forjado
190
0.390
Cobre
110
0.230
Hierro fundido
100
Bronce
90
Oro
81
Plata
80
0.370
Vidrio
70
Aluminio
70
0.090
Hormigón
23
0.002
Plomo
16
0.012
Hueso
16
0.200
Goma
15
Poliestireno
3
Caucho
0.001