Problemas ecuaciones 2º

PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
1. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida
del lado del cuadrado.
Llamamos x al lado del cuadrado. Si se duplica el lado del cuadrado nuevo será 2x. El
perímetro del cuadrado aumentado será por un lado 4x + 40 (perímetro del pequeño
aumentado en 40 m) y por otro 4(2x) (calculando el perímetro después de aumnetar.
La ecuación que planteamos y resolvemos será
4(2x) = 4x + 40 ⇒ 8x − 4x = 40 ⇒ 4x = 40 ⇒ x = 10.
Solución: el lado del cuadrado mide 10 metros.
2. Hallar dos números pares consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea 268.
Los dos números serán 2x y 2x+2. La ecuación que planteamos es (2x+2)2 −(2x)2 = 268
y así
4x2 + 8x + 4 − 4x2 = 268 ⇒ 8x + 4 = 268 ⇒ 8x = 268 − 4 ⇒ 8x = 264 ⇒ x = 33.
Solución: los números son 66 y 68.
3. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su
consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas
contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el
primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para
el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto
se vació. ¿Puedes calcularlo tú?
El número de ciruelas será x. El primer pretendiente obtiene x2 + 1. Después de sacar
esta cantidad, queda en el saco x − ( x2 + 1) = x2 − 1, así que el segundo pretendiente
obtiene
x
−1
x 1
x 1
2
+1= − +1= +
2
4 2
4 2
En el saco queda ahora (lo que quedaba menos lo que obtiene el segundo pretendiente)
x
− 1 − ( x4 + 12 ) = x4 − 23 y lo que obtiene el tercero será
2
x
4
−
2
3
2
+3=
x 3
x 9
− +3= +
8 4
8 4
La ecuación es
x=
x
x 1 x 9
7x 15
7x
15
x
15
+1+ + + + ⇒x=
+
⇒x−
=
⇒ =
2
4 2 8 4
8
4
8
4
8
4
Y la solución es x = 30, es decir, había 30 ciruelas
4. ¿Qué número multiplicado por 30 es 1.000 unidades menor que su cuadrado?
El número lo llamamos x y 30x tiene que ser 1000 unidades menor que x2 . Ten en cuenta
que tenemos que restar al cuadrado las 1000 unidades ya que es el número mayor y no
al revés. Planteamos x2 − 1000 = 30x ⇒ x2 − 30x − 1000 = 0. Resolviendo la ecuación
las soluciones son 50 y -20. La negativa no vale y el número buscado es 50.
5. En una cartulina rectangular de 0, 1 m2 de superficie recortamos dos cuadrados de forma
que uno tiene 2 cm de lado más que el otro. Si sobran 116 cm2 de cartulina, calcula la
longitud de los lados de los cuadrados recortados.
Llamamos x al lado del cuadrado pequeño. El lado del cuadrado mayor será x + 2.
La superficie de dichos cuadrados será de x2 y de (x + 2)2 . Si la superficie total es
0, 1 m2 = 1000 cm2 la ecuación que planteamos es
x2 + (x + 2)2 + 116 = 1000
x2 + x2 + 4x + 4 + 116 = 1000 ⇒ 2x2 + 4x − 880 = 0 ⇒ x2 + 2x − 440 = 0
Resolviendo la ecuación las soluciones son 20 cm y -22 cm. La segunda no tiene sentido
así que la respuesta es que los lados de los cuadrados son 20 y 22 cm respectivamente.
6. Un padre tiene 50 años y sus hijos 12 y 7. ¿Cuántos años han de transcurrir para que
la edad del padre sea igual a la suma de las de los hijos?
Llamamos x a los años que tiene que pasar. El padre tendrá 50 + x y los hijos 12 + x y
7 + x.
Así 12 + x + 7 + x = 50 + x ⇒ x = 50 − 12 − 7 ⇒ x = 31. Tendrán que pasar 31 años.
7. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 10 años menos y el
hijo 18 años más, los dos tendrían la misma edad. Calcula la edad actual de cada uno.
Llamamos x a la edad actual del hijo y así el padre tendrá 3x. Sumamos 18 a uno y
restamos 10 al otro para obtener
3x − 10 = x + 18 ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14.
El hijo tiene 14 años y padre 42.
8. Para vallar una parcela rectangular de 600 m2 se han utilizado 100 m de cerca. Calcula
las dimensiones de la finca.
Llamamos x a un lado de la finca y 50 − x será el otro (esto se debe a que el perímetro
es 100 metros). Planteamos la ecuación con el área: x(50 − x) = 600 ⇒ 50x − x2 =
600 ⇒ x2 − 50x + 600 = 0. Las soluciones son 30 y 20. Así, tenemos dos posibilidades
que se corresponden a las dos formas que puede tener la finca. En una de ellas la base
será de 30 metros y la altura de 20 y en la otra las dimensiones se intercambian.
9. Reparte 3900 euros entre tres personas de forma que a cada uno le correspondan 500
euros más que al anterior.
Damos x euros a una de las personas y al los otros x − 500 y x + 500. Así x − 500 + x +
x + 500 = 3900 ⇒ 3x = 3900 ⇒ x = 1300
Al primero le corresponden 800 euros, al segundo 1300 y al tercero 1800.
10. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide el triple que el lado desigual.
Si su perímetro mide 56 cm, calcula la longitud de los lados del triángulo.
El lado desigual mide x cm y los lados desiguales miden 3x. Como el perímetro es la
suma de los lados (no te olvides que hay dos iguales) la ecuación x + 3x + 3x = 56 ⇒
7x = 56 ⇒ x = 8. El lado desigual mide 8 cm y los lados iguales miden 24 cm cada uno.
11. Las medidas en centímetros de los lados de un triángulo rectángulo son tres números
consecutivos. Calcula el perímetro del triángulo.
Llamamos a los lados x − 1, x y x + 1. El último es la hipotenusa y por el Teorema de
Pitágoras
(x + 1)2 = x2 + (x − 1)2 ⇒ x2 + 2x + 1 = x2 + x2 − 2x + 1 ⇒ 4x − x2 = 0
cuyas soluciones son x = 0 y x = 4. La primera no tiene sentido (uno de los catetos
sería -1) y la segunda nos da la solución, los lados son 3, 4 y 5 y el perímetro 12 cm.
12. Las edades de una madre y un hijo suman 40 años y dentro de 14 años la edad de la
madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno.
La edad del hijo será x años y la de la madre 40 − x. Dentro de 14 años el hijo tendrá
x + 14 y la madre 40 − x + 14 la edad de la madre será el triple así que
3(x + 14) = 40 − x + 14 ⇒ 3x + 42 = 40 − x + 14 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3.
El hijo tiene 3 años y la madre 37.
13. En un rectángulo la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de sus lados si su
perímetro mide 72 cm.
La altura mide x y la base mide 2x. El perímetro es la suma de los lados (sumo base y
altura y lo multiplico por dos) así la ecuación es 2(x+2x) = 72. En vez de multiplicar por
2 para deshacer el paréntesis, simplifico la ecuación dividiendo entre dos y así 3x = 36 ⇒
x = 12. Las longitudes de la altura y la base son 12 y 24 centímetros respectivamente.
14. De una pieza de tela se vende la mitad y después la tercera parte de la longitud inicial.
Si quedan 4 m de tela ¿cuál era la longitud inicial?
Llamo x a la longitud inicial. La mitad es x2 y la tercer parte es x3 , a estas cantidades
les sumamos 4 metros y obtenemos el total. La ecuación será
x=
x x
x
x x
+ + 4 ⇒ x − − = 4 ⇒ = 4 ⇒ x = 24.
2 3
2 3
6
La tela medía inicialmente 24 metros.