Matemáticas Financieras Avanzadas MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Sesión No. 6 Nombre: Anualidades Anticipadas Objetivo Al término de la sesión el estudiante aplicará los cálculos básicos de anualidades con anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas. Contextualización En esta sesión definiremos y aplicaremos el concepto de anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas (ASCAI), se identificarán situaciones de este tipo y resolveremos problemas que impliquen el cálculo del monto, valor actual, renta, plazo e interés. Fuente: http://4.bp.blogspot.com/-OoFcqQYNr5I/T8L5hyhI4lI/AAAAAAAAAAc/LZc2BQeg2k4/s1600/anulidades.png 1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Introducción al Tema • ¿Cuál es la diferencia entre una anualidad vencida y una anticipada? • ¿Los montos y valores actuales son calculados de la misma manera en todos los tipos de anualidades? Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_5cGAg1C2i5s/TDKhb_mEojI/AAAAAAAAAAk/Gun8gw75ZTw/S760/anualidades-especiales_15898_8_1%5B1%5D.gif 2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Explicación Las anualidades restantes se dividirán en cuatro grupos principales: • Anualidades anticipadas • Anualidades diferidas • Caso general de las anualidades • Anualidades contingentes Anualidades simples, ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI) Representación gráfica: Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_F4myRdg4viI/SuRpIvLTyII/AAAAAAAABYY/FpViUtnFZ1g/s400/3anualidadanticipada.JPG 3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Monto y Valor actual Fórmulas: Concepto Formula Monto 𝑀 = 𝑅� (1 + 𝑖)𝑛 − 1 � (1 + 𝑖) 𝑖 1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1 𝐶 = 𝑅 �1 + � 𝑖 Valor actual o Capital Ejemplo 1: Encuentre el monto de 6 pagos semestrales anticipados de $14 500 si el interés es de 19% convertible semestralmente. Solución: n = 6, 𝑖 = 0.19 2 = 0.095, R = 14500 (1 + 0.095)6 − 1 𝑀 = 14500 � � (1 + 0.095) = 120 968.40 0.095 Ejemplo 2: Calcule el valor actual de 9 pagos semestrales de $50 000 con interés de 5.28% semestral: a) Si se hace por anticipado b) Si se hacen vencidos c) Determine y explique la diferencia entre a) y b) Solución: n = 9, R = 50000, i = 0.0528 𝐶=𝑅 a) 𝐶 = 50000 �1 + b) 𝐶 = 𝑅 (1+𝑖)−𝑛 𝑖 1−(1+0.0528)−9+1 0.0528 = 50000 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑖 � = 369, 534.20 1−(1.0528)−9 0.0528 = 351, 001.35 c) 369 534.20 – 351 0001.35 = $18, 532.85 4 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Es mayor el valor actual de los pagos anticipados dado que éstos se hacen antes y comienzan a generar intereses más pronto. Renta, plazo e interés. Cuando se desea conocer cualquiera de estos tres conceptos, se utilizan las fórmulas anteriores con sus respectivos despejes. Ejemplo 3: En una tienda se vende una bicicleta por $1800 al contado o mediante 5 abonos mensuales anticipados. Si el interés que aplica la tienda es de 32.4% convertible mensualmente, calcule el valor del pago Solución: n = 5, C = 1800, 𝑖 = Por lo tanto: 𝑅 = 𝐶 0.324 12 = 0.027 1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1 𝐶 = 𝑅 �1 + � 𝑖 1−(1+𝑖)−𝑛+1 1+ 𝑖 = 1800 1−(1+0027)−5+1 1+ 0.027 = 1800 4.743920 R = $379.43 Ejemplo 4: ¿A qué tasa de interés anual 6 depósitos anuales anticipados de $25,000 equivalen a un valor actual de $75,000? Solución: C = 75000, R = 25000, n =6 𝐶 = 𝑅 �1 + 1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1 � 𝑖 1 − (1 + 𝑖)−6+1 75000 = 25000 �1 + � 𝑖 75000 1 − (1 + 𝑖)−5 −1= 25000 𝑖 1 − (1 + 𝑖)−5 2= 𝑖 5 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Para determinar se realiza un proceso de interpolación cuyo primer paso consiste en aproximarla mediante ensayos: Si i = 0.50 i = 0.40 1 − (1 + 𝑖)−5 = 1.73662551 𝑖 i =0.41 = 2.00138079 i =0.411 = 1.99805612 i =0.4105 = 1.00071725 = 2.03516392 Al interpolar: 𝑖 − 0.4100 2 − 2.00138079 = 0.4105 − 0.4100 1.99971725 − 2.00138079 𝑖−0.4100 0.0005 = −0.00138079 −0.00166354 𝑖 = 0.41041502 6 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Conclusión En esta sesión se vio que este tipo de anualidades se pueden manejar con las ya conocidas fórmulas de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas, y que se requieren pequeñas modificaciones para tomar en cuenta que los pagos o depósitos se hacen por anticipado. En la siguiente sesión trabajaremos con las anualidades diferidas. Fuente: http://html.rincondelvago.com/0005536717.png 7 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. • Morales, C. (2012). Matemáticas financieras. Anualidades y gradientes. Consultado el 5 de junio de 2013: http://brd.unid.edu.mx/matematicas-financieras-anualidades-y-gradientes/ • Ruiz, M. (s.f.). Unidad IV. Anualidades. Consultado el 5 de junio de 2013: http://brd.unid.edu.mx/unidad-iv-anualidades/ Videos sobre anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas: • Ramírez, M. (30 de octubre de 2012. Ejemplo 6. Anualidades anticipadas. Cálculo del número de pagos (n). Recuperado de: http://www.youtube.com/watch?v=eoJJP-RDjjw • Ramirez, M. (2010). Anualidades anticipadas. Consultado el 5 de junio de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=Y0Sv1FH1LDc Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito. 8 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las anualidades anticipadas, aplica estos conceptos para solucionar los siguientes ejercicios: 1. Un arquitecto desea ahorrar $4000 mensuales durante 5 años. Si sus ahorros ganan 5.4% convertible mensualmente, ¿Cuánto habrá acumulado al mes siguiente del ultimo deposito? 2. Para adquirir un automóvil a crédito se deben pagar 48 abonos mensuales de $4900 comenzando en el momento de la entrega del vehículo. Si los intereses que se cobran son a razón de 15% convertible cada mes, ¿Cuál es el valor de contado de los pagos? 3. Obtenga el monto que se acumula en 2 años, si se depositan $1500 al inicio de cada mes en un banco que abona una tasa del 14% anual capitalizable por meses. Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma. 9 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Bibliografía 1. Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw Hill. 2. Villalobos, José L. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson Educación. 10