Tema 1.- Los Números Naturales

Tema 1
1º E.S.O.
LOS NÚMEROS NATURALES
OBJETIVOS
1.- Comprensión del concepto de conjunto.
2.- Comprensión del concepto de cardinal de un conjunto.
3.- Comprender el concepto de conjuntos coordinables.
4.- Comprender el concepto de número natural como lo que tienen de común los conjuntos
coordinables
5.- Conocer curiosidades sobre la evolución histórica del número.
6.- Distinguir sistemas de numeración posicionales de los no posicionales, mentalizándose de las
ventajas de los primeros sobre los segundos.
7.- Que llegue a conocer los símbolos y reglas de la numeración romana.
8.- Que aprenda a escribir números en la numeración romana.
9.- Comprensión del número natural como ente con el que se puede contar, ordenar, expresar
códigos, expresar medidas y calcular.
10.- Que llegue a la comprensión intuitiva de los conceptos de igualdad e identidad.
11.- Que llegue a dominar la lectura y escritura de cantidades, al menos hasta el billón.
12.- Conocer las técnicas y operar correctamente con todas las operaciones elementales: suma,
resta, multiplicación, división, potenciación y radicación; incluidas las operaciones con
decimales.
13.- Conocimiento y aplicación de las propiedades de las operaciones elementales: suma, resta
multiplicación y división.
17.- Saber aplicar el orden preferencial correcto en operaciones combinadas.
18.- Saber diferenciar los distintos tipos de divisiones.
19.- Saber aplicar la propiedad fundamental de la división a la realización de la prueba de ésta.
20.- Comprensión del concepto de potenciación como producto de factores iguales.
21.- Conocer los datos de una potencia.
22.- Saber leer una potencia distinguiendo los cuadrados y los cubos perfectos < 100.
23.- Comprender el concepto de radicación como inversa de la potenciación.
24.- Conocer los datos de la radicación.
25.- Saber leer una raíz correctamente.
1
CONTENIDOS
I. El número natural
1. Origen de los números naturales
a. Necesidad de contar.
b. Necesidad de inventar símbolos.
2. Sistemas de numeración.
a. Sistemas aditivos.
- Numeración egipcia
- Numeración romana.
 Lectura y escritura de cantidades en numeración romana.
 Reglas de la numeración romana.
b. Sistemas posicionales.
- Numeración decimal
 Lectura y escritura de cantidades (hasta el billón)
 Redondeo y trucamiento.
c. Ejercicios. Pág. 24 y 25. Pág. 28 y 29.
Hacer ejercicios de lectura y escritura de cantidades hasta el billón.
3. Para qué sirven los números
a. Para contar.
b. Para aproximar.
c. Para ordenar: números ordinales.
d. Para expresar códigos.
e. Ejercicios pág. 26 y 27.
4. Representación gráfica de los números naturales.
II. Operaciones con úmeros naturales.
1. La suma
 Concepto
 Datos
 Disposición táctica
 Propiedades de la suma
 Interna
 Asociativa
 Neutro
 Opuesto
 Conmutativa.
2. Operación opuesta de la suma: la resta
 Concepto
 Datos
 Disposición táctica
o
o
o
Uso del paréntesis
Ejercicios pág. 30 y 31
Ejercicios del tipo: 8 – (2 + 6 – 4) = ;
2
6 – 5 + (3 – 5 + 4) =
Etc.
3. Multiplicación de números naturales
 Concepto
 Datos
 Disposición táctica. Los ceros
 Propiedades de la multiplicación de números naturales.
 Interna
 Asociativa
 Neutro
 Opuesto
 Conmutativa.
4. Operación inversa de la multiplicación: la división.
 Concepto
 Datos
 Disposición táctica.
 División exacta
 División entera
 Propiedad fundamental de la división: D = d * c + r
 Cociente por defecto y cociente por exceso
5. OPERACIONES COMBINADAS
 Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
Ejercicios pág. 33
 Jerarquía de operaciones.
Ejercicios pág. 35.
III. Sistema monetario.
 Monedas del sistema euro.
 Billetes del sistema euro.
3
DESARROLLO
1. Historia del número natural.Cuento del “EL HOMBRE PRIMIOTIVO PASTOR”
2. Concepto de número natural.- El conjunto N
a. Intuitivo, a través de su utilidad.

Sirven para contar.

Sirven para estimar y aproximar.

Sirven para expresar códigos.

Sirven para ordenar.
b. Cardinal de los conjuntos coordinables.
 Son conjuntos coordinables aquellos que tienen el mismo número de elementos.
 Cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene.
 NÚMERO NATURAL es el cardinal de los conjuntos coordinables. Lo que tienen de
común los conjuntos que son coordinables.
3. Sistemas de numeración.
a. Concepto.- Un sistema de numeración es la forma de organizar los números
naturales para leerlos, escribirlos y operar con ellos.
b. Sistemas de numeración aditivos.- Están basados en el valor único de cada símbolo
y, al colocar un símbolo al lado de otro, sus valores se añaden (se suman).
b.1.- Numeración egipcia.
Ejercicios pág. 24; números 1 y 2
b.2.- Numeración romana.
Reglas para la escritura de cantidades en la numeración romana.
I= 1
X = 10
C = 100
M = 1000
Se repiten hasta
tres veces consecutivas
V=5
L = 50
D = 500
No se pueden
repetir.
Ejercicios pág. 24; números 3.
c. Sistemas posicionales.- El valor de los símbolos no es único, depende del lugar que
ocupen.
Ejemplo: 2 3 5 3 3 7 2 3
3
( tres unidades )
3.000
( tres mil; tres unidades de mil o millar )
30.000
( treinta mil; tres decenas de mil )
31000.000 ( tres millones; tres unidades de millón )
Ejercicios. Se escribe en la pizarra un número de muchas cifra (9, 10 u 11)
 Se separa en grupos de a tres ( unidades, decenas y centenas)
 El primer grupo de a 6 se le pone de subíndice un UNO, el millón.
 El segundo grupo de a 6 se le pone de subíndice un DOS, el Billón.
 Etc. Etc.
 Se lee cada grupo de a tres con u., d. y c.; pero al segundo grupo se le añade “de mil”, al
tercero: “de millón”, al cuarto: “de mil de millón”, etc. etc.
 SE LES DA EL CUADRO DE LECTURA Y ESCRITURA DE CANTIDADES
( en principio no se ponen ceros, luego sí )
4
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES
3. 5 7 42 6 8 2. 5 9 21 6 4 5. 7 6 8
Unidades
Decenas
Centenas
Unidades de mil ( o de millar )
Decenas de mil ( o de millar )
Centenas de mil ( o de millar )
Unidades de millón
Decenas de millón
Centenas de millón
Unidades de mil de millón
Decenas de mil de millón
Centenas de mil de millón
Unidades de billón
Decenas de billón
Centenas de billón
Unidades de mil de billón
Decenas de mil de billón
Etc.
5
4. ¿Para qué se utilizan los números naturales?.a. Para contar
b. Para estimar y aproximar
c. Para expresar códigos
d. Para ordenar.
Ejercicios.- (Se hacen y analizan en clase)
 Pág. 28 núm. 1, 2, 3 y 4
 Pág. 29 núm. 5, 6 y 7
e. Concepto de truncar.- Consiste en sustituir por ceros determinadas unidades
f. Concepto de redondear.- Consiste en aproximar a la unidad más cercana.
Ejemplos:
Número
53
96
387
Por truncamiento
50
90
300
Por redondeo
Número
67
376
45968
27683
306
5704
Por truncamiento
Por redondeo
50
100
390
Ejercicios.-
5. Concepto de:
a. Igualdad.- Es la conformidad de una cosa con otra. En Matemáticas, para que
haya igualdad, el resultado del primer miembro ha de ser el mismo que el
resultado del segundo miembro.
Ejemplo:
3*2+8 = 2*7
14 = 14
b. Identidad.- Es una igualdad que se cumple siempre, independientemente de los
valores que tomen las incógnitas.
Ejemplo."El orden de los factores no altera el producto" 3*6 = 6*3
6
6. Concepto de ordenar.- Es colocar un elemento inmediatamente después que su anterior,
o inmediatamente antes que su siguiente.
Ejemplo.- El 6 va inmediatamente después que el 5 e inmediatamente antes que el 7.
a. Orden estricto.- Es aquel en el que entre dos elementos consecutivos no cabe, no se
puede colocar otro.
Ejemplo.- El 6 y el 7 no se puede poner ningún otro número natural.
Los números ordinales se leen:
1º -- primero
2º -- segundo
3º -- tercero ...
( hasta el centésimo, pag. 25 ).
b. Orden amplio.- Entre cada dos elementos siempre se pueden colocar otros.
Ejemplo.- Entre
1 2 1
1 1 1
y va ; entre y va , etc.
1 1 2
1 2 4
7. Lectura y escritura de números naturales.- Recodar lo explicado en la pregunta núm.
tres, sistema árabe de numeración.
Ejercicios.- Leer y escribir cantidades del tipo: 306, 4.058, 67.039, 43.103, 60.005,
20.308, 500.003, 63.7601875.903, 4.5901760.845. 2.0032 104.5061328.204, etc. etc.
8. Operaciones con números naturales.a) Suma. Concepto. Reunir dos o más cantidades homogéneas en una sola
 Añadir las unidades que indica un número a las que tiene otro.
 Se llama suma al cardinal de la unión de dos conjuntos disjuntos.
 Datos de la suma.Los números que se suman se llaman sumandos y el resultado se llama suma o
total.
 Disposición táctica.- Para sumar se colocan la unidades debajo de las unidades,
las decenas debajo de las decenas, las centenas de bajo de las centenas, etc. etc.
 Propiedades de la suma de números naturales. Interna.- El resultado de sumar dos números naturales es otro número
natural. Ejemplo: 3  N , 5  N ; 3 + 5 = 8 y 8  N
 Asociativa.- Si consideramos tres números naturales: 3, 4 y 5. El resultado
de sumar los dos primeros y lo que nos dé con el tercero, es lo mismo que si
sumamos los dos últimos y lo que nos dé con el primero.
(3+4)+5 = 3+(4+5)
7
+5 = 3+ 9
12 = 12
7

Conmutativa.- El orden de los sumandos no altera la suma.
3+4 = 4+3
7 = 7
 Elemento neutro.- Es aquel que sumado con otro no lo modifica. Se suma
pero es como si no se sumase, no añade ni quita unidades.
3 + e.n. = 3  e.n. = 3-3  e.n. = 0

Elemento opuesto.- Un número natural sumado con su opuesto da como
resultado el elemento neutro.
3 + (-3) = 0
b) Resta. Concepto.- Consiste en disminuir o rebajar las unidades que tiene un
número, llamado sustraendo, de las que tiene otro, llamado minuendo.
 Datos.- Los datos de la resta se llaman: Minuendo y sustraendo y el
resultado se llama resto o diferencia.
 Disposición táctica.- Se coloca el minuendo arriba y el sustraendo debajo,
teniendo en cuenta que han de coincidir unidades con unidades, decenas con
decenas, centenas con centenas, etc. etc.
 Propiedades de la resta. La resta no es interna en N, pues para poder restar números naturales ha
de ser mayor el minuendo que el sustraendo.
 Prueba de la resta.- Si sumamos el sustraendo con la diferencia no da el
minuendo.
M-S=D;
S+D=M
c) Producto. Concepto. El producto es una suma de sumandos iguales
2+2+2+2+2 = 2*5 = 10
 Datos de la multiplicación.Los números que se multiplican se llaman factores; el factor que se repite se
llama multiplicando y el número de veces que se repite el multiplicando se llama
multiplicador.
El resultado se llama producto.
Ejemplo: 2 (multiplicando) * 5 (multiplicador) = 10 (producto)
 Disposición táctica.- Para multiplicar se coloca, generalmente, arriba el
multiplicando y abajo el multiplicador. Se multiplica la cifra que representa a las
unidades (del multiplicador), luego la cifra que representa a las decenas,
centenas, etc., teniendo en cuanta que se ha de desplazar un lugar hacia la
izquierda cada orden de unidades….
8
25789
x342
51578
103156
77367
.
8819838
Observa cómo se van desplazando
las filas según los distintos órdenes
de unidades.
 Propiedades de la multiplicación de números naturales. Interna.- El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número
natural. Ejemplo: 3  N , 5  N ; 3 * 5 = 15 y 15  N
 Asociativa.- Si consideramos tres números naturales: 3, 4 y 5. El resultado
de multiplicar los dos primeros y lo que nos dé con el tercero, es lo mismo
que si multiplicamos los dos últimos y lo que nos dé con el primero.
(3*4)*5 = 3*(4*5)
12 * 5 = 3 * 20
60 = 60


Conmutativa.- El orden de los factores no altera la multiplicación.
3*4 = 4*3
12 = 12
Elemento neutro.- Es aquel que multiplicado por otro no lo modifica. Se
multiplica pero es como si no se multiplicase.
3 * e.n. = 3  e.n. =

3
 e.n. = 1 ;
3
3*1=3
Elemento inverso.- Un número natural multiplicado por su inverso da como
resultado el elemento neutro.
1
3 * inv( 3) = 1  inv( 3) =
;
3
d) Operación inversa de la multiplicación: la división.
 Concepto.Repartir en partes iguales.
Se ha repartido el segmento en
tres partes iguales.
Buscar un número que multiplicado por el divisor me dé el dividendo
3 * 8 = 24
24 : ___ = 8 ; ¿Qué número multiplicado por 8 da 24?
9
 Datos.24 : 3 = 8
El número que se va a repartir se llama dividendo: 24
Las partes que se quieren hacer se llama divisor: 3
Las partes que se resultan se llama cociente: 8
 Disposición táctica.
 División exacta.- Cuando el número de partes que resultan es un número natural
Ejemplo 24 : 3 = 8; salen 8 partes exactas, no sobra nada. El resto es cero
 División entera
Ejemplo 26 : 3 = no sale 8 ni 9; spbran 2 partes o falta 1, El resto no es cero
 Propiedad fundamental de la división: D = d * c + r
 Cociente por defecto y cociente por exceso
Por defecto: son las partes que faltan, en el ejemplo 2;
26 : 3 cabe a 8 pero sobran 2
Por exceso: son las partes que rebasan al dividendo, en el ejemplo 1
26 : 3 si ponemos que cabe a 9 hace falta 1
Ejercicios pág. 34 números: 14, 15, 16 y 17.
e) OPERACIONES COMBINADAS
 Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
Aprender el recuadro amarillo de la pág. 33
Ejercicios pág. 33; números 11, 12 y 13.
 Multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros.
Ejrcicios del tiplo: 45 * 1000 = ;
45 : 1000 =
 Jerarquía de operaciones.
Aprender el recuadro amarillo de la pág. 35
Ejercicios pág. 35.
III. Sistema monetario.
 Monedas del sistema euro.
 Billetes del sistema euro.
10