La Civilización Babilónica Por Angel Castillo 8-03-10 Civilización que abarca un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia en un período que inicia en el 5000 A.C. y finaliza en los primeros tiempos del cristianismo. Algunos de estos pueblos fueron: sumerios, acadios, caldeos, asirios, babilónicos entre otros. En Mesopotamia, las primeras formas de escritura aparecen en el tercer milenio A. C. y se caracteriza por la utilización de símbolos estilizados para representar cosas. En las matemáticas ocurrió lo mismo, para representar cantidades se utilizaron símbolos. Los viejos textos (tabillas) babilónicos no revelan la presencia de un símbolo específico para el cero, no obstante empleaban un espacio blanco más o menos destacado. La civilización Babilónica inventaron un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo. De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60. A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan. La multiplicación se efectúa por referencia a tablas de multiplicación, construidas probablemente en un principio por adiciones sucesivas. Se basaban en la siguiente identidad algebraica: a b 2 ab 2 a b 2 2 En otras palabras, el producto de dos números cualesquiera puede calcularse por medio de sumas, restas, división por dos y obtención de cuadrados. El cálculo por inducción de estas tablas resulta muy sencillo, puesto que si se conoce el cuadrado de un número n, el cuadrado de (n+1) será n2+2n+1. Sustituyendo n por 1, 2, 3, 4, ... se irían obteniendo los cuadrados 1, 4, 9, 16, ... Por lo tanto, para obtener el resultado de multiplicar 35 por 43, los babilonios llevaban a cabo el siguiente cálculo: 35 . 43 = (78/2)2 - (8/2)2 = 392 - 42 = 1521 - 16 = 1505 Cuando querían efectuar divisiones los babilonios utilizaban aproximaciones obtenidas al parecer por interpolación. Parece como si los babilonios no se hubieran preocupado por distinguir entre desarrollo infinito periódico y desarrollo infinito no periódico. En ciertos textos se observa la presencia de relaciones exponenciales en términos de potencia sucesiva de un número dado. Algunas tablas contienen, para las bases 9, 16, 100 y 225 las diez primeras potencias. Estas tablas permitían encontrar solución a problemas como por ejemplo: ¿A qué potencia hay que elevar un cierto número para obtener otro dado? Los babilónicos aplicaron sus conocimientos aritméticos a esferas de actividad como el comercio (ventas, compras, facturaciones, recibos, anticipos), los contratos, el cálculo de interese simples y compuestos, los sistemas de pesos y medidas, el calendario, etc. El algebra babilónica es retórica, es decir, los problemas algebraicos se enuncian y solucionan sin utilizar de manera sistemática notaciones algebraicas o símbolos como hoy ocurre. Los babilonios podían resolver ecuaciones cuadráticas, algunas ecuaciones cubicas y bicuadráticas. Además podía resolver sistemas de ecuaciones de varios tipos, con dos incógnitas, que incluían generalmente una ecuación lineal y una ecuación de segundo grado. Los babilonios emplearon un procedimiento muy eficaz para evaluar la raíz cuadrada. Sea x= b , la raíz buscada y sea b1 una aproximación de esta raíz, supongamos que a1 es otra aproximación tal que a1= b . Si b1 es demasiado b1 pequeño, entonces evidentemente a1 es demasiado grande. Elijamos entonces la media aritmética de b2 = demasiado pequeña. b3= a2 b2 2 a1b1 2 . Si b2 es demasiado grande, entonces a2= b b2 será Luego será suficiente tomar la media aritmética de . Este procedimiento se continúa indefinidamente. Ejemplo: 2 1 24 51 10 1.414213 60 602 603 Teniendo en cuenta la colección de tablillas conocidas actualmente, hay que admitir que el algebra babilónica se desarrolló enormemente debido a la importancia que en los problemas, los babilonios daban a la solución aritmética. El estudio de los textos que tienen relación con la geometría revela que la geometría babilónica está íntimamente ligada a las mediciones prácticas. Tratan sobre todo de la medición de figuras planas salvo algunos indicios de problemas referentes a los sólidos. Los babilonios determinan, generalmente, la circunferencia un círculo multiplicando su diámetro por 3, esto equivale a decir que π = 3. Los babilonios podían además calcular el área de un triángulo y de un trapecio. Los volúmenes de prismas rectos y cilindros se calculaban multiplicando el área de la base por la altura. Los geómetras babilónicos están familiarizados con el teorema de Pitágoras y comprenden su principio general; conocen también el teorema de Tales de Mileto según el cual el ángulo inscrito de un semicírculo es recto. También saben que “Los lados correspondientes de 2 triángulos rectos semejantes son proporcionales” y que “La perpendicularidad trazada desde el vértice de un triángulo isósceles divide a la base de un triángulo en dos partes” La característica principal de la geometría babilónica es ser algebraica, los problemas que implican una terminología geométrica son con frecuencia difíciles. Bibliografia Jean Paule Collette, Historia de la matematica http://www.profesorenlinea.cl/matematica/MatematicaBabilonia.html