Repaso Ley de Coulomb Unidades. Fuerza sobre una carga situada

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INDICE
Repaso
1
Ley de Coulomb
1
Unidades.
2
Fuerza sobre una carga situada en un campo eléctrico. Concepto de intensidad de campo.
3
Principio de superposición. Energía potencial electrostática
4
Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo
5
Flujo de un vector a través de una superficie.
6
Teorema de gauss para un campo electrico.
7
Aplicación del teorema de Gauss el cálculo de campos.
8
9
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REPASO
Los átomos están constituidos por partículas que en algunos casos poseen carga eléctrica. La
materia suele ser eléctricamente neutra y solo cuando los protones o los electrones están en
exceso son las responsables de la carga en la materia.
El signo positivo o negativo asignado a cada tipo de carga fue algo totalmente arbitrario aunque
aceptado universalmente. Las cargas que tienen signo contrario se atraen mientras que las
cargas que tienen el mismo signo se repelen.
Por otra parte la carga total se conserva, cuando un cuerpo se electriza por cualquier método
(por ejemplo por frotamiento) otro también se carga con cargas de signo contrario.
Por otra parte la carga libre menor que se conoce es la carga del electrón (-) o la del protón (+)
-19
y su valor es en ambos casos de 1,6·10 C. Se dice que es la unidad natural de carga.
LEY DE COULOMB.
Charles Augustin Coulomb fue quien, entre 1784-85 realizó la primera investigación cuantitativa
de la ley que rige las fuerzas entre cuerpos cargados, utilizando una balanza de torsión del
mismo tipo que la empleada posteriormente por Cavendish para medir las fuerzas gravitatorias.
Coulomb demostró entonces que las fuerzas existentes entre dos cuerpos cargados (atractivas
o repulsivas) eran inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que había entre
ellos.
(1) Antes de cargar la esfera pequeña
(2) Después de cargar la esfera pequeña la fuerza entre
cargas provoca la torsión del hilo (M = f·r = k· α) siendo k
coeficiente de torsión y α el ángulo girado.
La balanza de torsión consiste en dos bolas muy ligeras unidas a los extremos de una barra
que a su vez está suspendida por un cable. Una de estas bolas tiene una carga (q'). Para medir
la interacción electrostática se usa otra bola más, cargada (q) a una distancia de la primera (r).
Las dos bolas cargadas se repelen o se atraen, según sean los signos de las cargas,
provocando una torsión en el hilo que se puede medir.
r
Se ve que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: F
α r
− 2
Aunque el concepto de cantidad de electricidad (carga) no era conocido con mucha precisión,
Coulomb ideó una forma de, a partir de una esfera cargada y por contacto con otras iguales,
obtener cargas mitad, tercio...... de la primera. De esta forma se vio que la fuerza atractiva o
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repulsiva de la que se habló antes era directamente proporcional a las cargas de los
cuerpos:
F∝
q·q '
r2
Esta proporción puede convertirse en una igualdad si se multiplica por una constante:
F = K·
q·q '
r2
El valor de esta constante depende del sistema de unidades en el que se expresen la fuerza, la
carga y la distancia. En el sistema internacional de unidades y cuando las cargas se
9
2
-2
encuentran en el vacío el valor de K es 9·10 N·m ·C .
También K aparece en función de otra constante ε0
K=
1
4πε 0
-12
2
-1
-2
Se conoce como permitividad dieléctrica del medio, en el vacío es 8,842·10 C ·N ·m . En
otras ocasiones aparece la permitividad relativa cuyo valor viene dado por ε / ε0 , siendo ε la
permitividad del medio considerado. Lógicamente en el vacío la permitividad relativa es 1 al
igual que en el aire.
Este es pues el enunciado de la ley de Coulomb:
"la atracción o repulsión ejercida sobre un cuerpo cargado por otro, es directamente
proporcional a las cargas e inversamente al cuadrado de la distancia que los separa."
Esta ley queda restringida a cuerpos cuyo tamaño sea pequeño comparado con la distancia
que los separa (cargas puntuales). Si el signo es el mismo son fuerzas repulsivas, si es distinto
son fuerzas atractivas.
Unidades.
La unidad natural de carga es el electrón, sin embargo dado que es una carga muy pequeña se
elige como unidad en el sistema internacional el culombio (C). La definición de coulombio se
hará más adelante a partir de la unidad de intensidad de corriente eléctrica. La carga de un
-19
electrón equivale a 1.6×10 C.
La unidad de carga en el S.I. recibe el nombre de culombio (C) y se puede definir como la
cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección del conductor en un tiempo de 1 segundo
cuando este está recorrido por una corriente de intensidad 1 amperio (A)
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La carga de 1 C es muy grande dado que según la ley de Coulomb, la fuerza con que se
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atraerían dos cargas de 1 C distanciadas 1 m en el vacío sería de 9·10 N. Por esta razón se
-3
-6
tienden a usar submúltiplos de esta unidad. Normalmente se usa 1mC = 10 C; 1µC = 10 C,
-6
-9
1nC = 10 C, 1pC = 10 C.
Otro sistema de unidades al que nos podemos referir es el sistema C.G.S. En este sistema K =
9
1 en el vacío y la unidad de carga es la unidad electroestática de carga. 1 C = 3×10 uee(q).
FUERZA SOBRE UNA CARGA SITUADA EN UN CAMPO ELECTRICO. CONCEPTO DE
INTENSIDAD DE CAMPO.
En primer lugar vamos con el concepto de campo eléctrico:
1. Se definirá, al igual que se hizo con el campo gravitatorio, como una zona del espacio
donde una partícula cargada (con una carga q') experimenta una fuerza, atractiva o
repulsiva. El campo está creado por otra u otras cargas.
El módulo de la fuerza que ejerce la carga que crea el campo (Q), sobre cualquier otra
(q') que se sitúa en él a una distancia (r), viene dado por:
F = K·
q·q '
r2
Siendo Q la carga que crea el campo. La magnitud activa en el caso de un campo
eléctrico es la carga.
Su dirección es la recta que une las dos cargas y su sentido depende del signo de la
carga que crea el campo y de la otra carga que se situa en uno de sus puntos.
2. Si en un punto del espacio existe una carga Q se define en todos los puntos que la
rodean un vector que tiene la dirección de la recta que une el punto con la carga Q y el
sentido hacia Q si es negativa y el contrario si es positiva y cuyo módulo será:
E=
F
q
= K· 2
q'
r
Este vector se llama intensidad del campo eléctrico. Sus unidades serán N/C
3. Si en un punto del espacio en que está definido un campo eléctrico de intensidad E se
coloca una carga q', esta experimentará una fuerza cuyo módulo será: F = q' · E
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4. Se ve aquí que la intensidad de campo se puede definir numéricamente como la fuerza
que ejerce el campo en cualquier punto sobre la unidad de carga positiva. Sin embargo
no se trata de una fuerza puesto que sus unidades serían N/C
5. Las líneas de fuerza se definen como las trayectorias que seguiría la unidad de carga
positiva situada en un determinado punto del campo. Serán
líneas convergentes hacia la carga que crea el campo (q) si
ésta es negativa y divergentes si ésta fuese positiva. Por
esta razón se dice que una carga positiva es un manantial
de líneas de fuerza y una carga negativa es un sumidero de
líneas de fuerza. Además estas líneas serán tangentes en
cualquier punto al vector intensidad de campo.
Éstas líneas tomarán diferentes formas según que el
campo creado lo sea por una o varias cargas y que éstas
sean positivas o negativas como se ilustra en el ejemplo.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION PARA FUERZAS ELECTROSTATICAS.
Supongamos la carga q positiva sobre la que ejercen fuerzas (de atracción) las cargas q'
(negativas) que se encuentran en sus proximidades. También en este caso se aplica el
principio de superposición para las fuerzas en campos vectoriales. En este caso se puede
expresar en la forma siguiente: "Las fuerzas electrostáticas entre dos partículas cargadas
son independientes de la presencia de otras partículas cargadas".
Es decir que la fuerza total que actúa sobre la carga q' es la suma vectorial de las fuerzas que
ejercen cada una de las otras partículas sobre ella.
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De ahí se deduce que el vector intensidad de campo eléctrico (E) en el punto ocupado por q'
será igual a la suma vectorial de cada una de las intensidades de campo debidas a cada una
de las partículas que en conjunto crean el campo eléctrico.
ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA
(II)
(III)
(I)
Supongamos una carga q' que se mueve debido a la acción de la fuerza que realiza sobre ella
el campo eléctrico creado por una partícula de masa m y carga Q que se supone fija en el
origen de coordenadas. La partícula de masa m' describe la trayectoria indicada en la figura
entre los puntos 1 y 2. Esta trayectoria es plana debido a que la fuerza que actúa sobre la
partícula es central.
Podemos calcular el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar a la carga q' desde
el punto 1 hasta el punto 2 en la forma que se indica a continuación en la pizarra.
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Que es la expresión del teorema de conservación de la energía mecánica en un campo
electrostático.
Como vemos en este caso W1→
→2 coincide con el valor de la circulación de a lo largo de la
trayectoria indicada y su valor solo depende de la posición inicial y final con lo que nos
encontramos en un campo conservativo igual que lo era el campo gravitatorio. Como se
puede deducir de la fórmula la energía potencial es positiva en el caso de que las cargas
tengan el mismo signo y negativa en caso contrario.
DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DE UN CAMPO
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B se define como el trabajo realizado por el
campo sobre la unidad de carga positiva para desplazarla desde A hasta B. Sin embargo no se
debe olvidar que la diferencia de potencial no es un trabajo y que sus unidades vienen en
voltios. Un voltio sería la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico cuando
ese campo realiza un trabajo de 1 J para llevar la unidad de carga positiva desde el primer
punto hasta el segundo.
Se definía como potencial en un punto de un campo, la energía potencial que posee en ese
punto la unidad de carga positiva, por lo tanto:
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V=
Ep
1 Q
=
·
q' 4πε 0 r
Siendo Q la carga que crea el campo y r la distancia desde ella al punto considerado.
Dado que el campo electrostático es conservativo:
r
r
F = − gradE p y E = − gradV
puesto que Ep = q'·V se deduce que el trabajo realizado por la fuerza del campo sobre una
carga q' para llevarla desde la posición 1 a la 2 viene dado por:
W 1->2 = Ep1 - Ep2 = q'·(V1 - V2)
Donde se puede igualar la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico con
el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la unidad de carga positiva de 1 a 2.
Si lo que queremos es definir el potencial en un punto lo haremos diciendo que es igual al
trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la unidad positiva de carga desde ese
punto hasta el infinito (fuera del campo):
W 1->fuera del campo = Ep1 = q'·V1
Ahora podemos definir las unidades de potencial en un campo eléctrico. En el sistema
internacional la unidad de potencial es el voltio (volt). De la propia definición de potencial se
deduce que:1J = 1volt·1C
De igual forma y teniendo en cuenta las equivalencias de uee(q) y erg. con C y J se deduce
que la unidad electrostática de potencial (unidad en el sistema electrostático) tiene la siguiente
equivalencia: 1 uee(V) = 300 volt
FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE.
En primer lugar se debe recordar que una superficie se puede
representar por un vector de dirección perpendicular a ella y cuyo
sentido depende del sentido de recorrido que se asigne al perímetro
de la misma.
Supongamos ahora la superficie de la
figura situada en el interior de un
campo, se define como flujo del
campo a través de la superficie:
r r
Φ = ∫ a·dS pero dado que: a · dS =
S
a·dS·cos(α) y dado que dS·cosα sería el
módulo de la superficie elemental
perpendicular al vector a (se nombrará
como dS') resulta:
Φ = ∫ a·dS '
S
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Se considera como positivo el flujo cuando las líneas de campo salen hacia afuera de la
superficie (ver signo del producto escalar). Esto ocurre si la carga que hay en el interior de la
superficie es positiva (una carga positiva ejercerá una fuerza de repulsión sobre otra carga del
mismo signo) será un manantial de líneas de fuerza.
TEOREMA DE GAUSS PARA UN CAMPO ELECTRICO.
Sea una carga puntual q positiva y centrada en ella trazamos una superficie esférica S.
Puesto que el flujo se hace coincidir con el número de líneas de fuerza que atraviesan la
superficie, se puede ver que éste es independiente de la forma de la superficie.
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Si hubiese dos o más cargas en el interior de la superficie dado que E = E1 + E2 por el principio
de superposición se ve que:
Φ = Φ1 + Φ2 = (q1 / ε0) + (q2 / ε0)
Si en el interior de la superficie no hubiese ninguna carga el flujo sería nulo:
Φ = 0 = Φentrante + Φsaliente
Por tanto el teorema de Gauss establece que el flujo de un campo eléctrico a través de una
superficie cerrada viene dado por: Φ = q / ε0
APLICACION DEL TEOREMA DE GAUSS EL CALCULO DE CAMPOS.
1. Cálculo del campo creado por una esfera cargada uniformemente.
a. En el exterior de la esfera
Supondremos que la densidad de carga en la esfera es constante y uniforme en todos sus
puntos:
Luego la intensidad de campo creado por una esfera cargada en un punto que dista r > R de su
centro es la misma que el que crearía una carga puntual (Q) situada en el centro de dicha
esfera.
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Campo eléctrico 10 de 12
2. Campo creado en un punto próximo a un plano cargado.
Supondremos que la densidad superficial de carga es σ = q/S. Consideremos un cilindro
imaginario de base dS (área). El plano está cargado positivamente. El flujo a través de toda la
superficie cilíndrica es: Φ= E·dS + E·dS (se ha de tener en cuenta que el vector intensidad de
campo es perpendicular al vector superficie correspondiente a la superficie lateral del cilindro y
de la misma dirección que los vectores superficie de las bases).
3. Campo creado por un hilo indefinido cargado.
Llamaremos λ =q/l la densidad lineal de carga en el hilo. Si queremos calcular Ф a una
distancia r del hilo lo haremos calculando el flujo a través de la superficie cilíndrica.
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3. Campo creado por un hilo indefinido cargado.
Llamaremos λ =q/l la densidad lineal de carga en el hilo. Si queremos calcular Ф a una
distancia r del hilo lo haremos calculando el flujo a través de la superficie cilíndrica.
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