UNIDAD 8

UNIDAD 8
Actividades de final de unidad
Ejercicios básicos
1. Realiza las siguientes actividades:
a) Indica gráficamente y justifica el sentido de la corriente inducida en una
S
N
espira rectangular, si se aleja el polo sur de un imán recto.
b) Representa y justifica el sentido de la corriente inducida en dicha espira
Fig. 8.32
cuando se acerca el polo norte del mencionado imán.
a) Al alejar el polo S de la espira, el flujo que la atraviesa disminuye. Teniendo en cuenta la ley de FaradayLenz, la corriente inducida en la espira es tal que el flujo que la atraviesa aumenta en el mismo sentido.
Por tanto, la corriente debe circular en sentido antihorario para atraer al polo sur.
b) Al acercar el polo norte, aumenta el flujo que penetra en la espira; la corriente que produce tal variación
crea un campo magnético opuesto al del imán, y para ello se debe mover en sentido antihorario, creando
una cara norte para oponerse al polo.
I
I
S
N
N
I
S
I
175
2. Supóngase que se acerca, de derecha a izquierda, el polo sur de un imán recto a una espira circular plana y se
pasa al otro lado. Indica qué es cierto de lo que se afirma:
a) Aparece una fuerza radial.
b) Aparece una corriente en sentido horario en la espira.
c) No hay f.e.m. inducida.
d) La corriente desaparece al alejarse el imán.
b. Al acercarse el polo S, el número de líneas de fuerza que atraviesan la espira de izquierda a derecha crece;
la corriente inducida se opone a ese aumento moviéndose en sentido horario, pues así el campo propio la
atraviesa de derecha a izquierda (aparece en la espira una cara sur).
3. Determina el sentido de la corriente que se induce en la espira circular de la figura 8.33 cuando se cierra el interruptor P.
P
– +
Fig. 8.33
Al cerrar el interruptor el sentido de la corriente es el indicado en la figura. En la misma figura se representan
dos líneas del campo magnético debido a dicha corriente. En el proceso de cierre del interruptor, la espira
experimenta una variación del flujo magnético que la atraviesa y, por tanto, mientras tenga lugar esa variación
se inducirá corriente (ley de Faraday).
– +
III LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
El sentido será aquel que tienda a contrarrestar los efectos de dicha corriente (ley de Lenz): en nuestro caso
será el sentido horario, como se muestra en la figura.
4. Indica si es cierto o falso que la corriente inducida en una espira crea siempre un campo magnético de intensi→del mismo sentido que el que la origina y justifícalo.
dad B
Falso; tiene el sentido del campo que la origina si el flujo disminuye, y se opone si el flujo que induce la
corriente aumenta (por la ley de Lenz).
5. Comenta las siguientes afirmaciones:
a) Toda carga eléctrica crea un campo magnético.
b) Toda corriente eléctrica crea un campo magnético.
c) Todo campo magnético origina una corriente eléctrica.
a) Los campos magnéticos se originan cuando las cargas eléctricas se desplazan; por tanto, las cargas eléctricas estáticas solo crean campos eléctricos, no magnéticos.
b) La corriente eléctrica supone un desplazamiento de electrones y, por lo dicho en a), crea un campo magnético en su entorno.
c) No; las corrientes se originan por la variación en el tiempo de los campos magnéticos. Un campo magnético constante en el tiempo no induce corriente.
176
6. Teniendo en cuenta que corriente alterna significa que la polaridad de los bornes del generador cambia alternativamente de positiva a negativa, y recíprocamente, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Todas las corrientes alternas son sinusoidales.
b) Solo son sinusoidales cuando el rotor gira con frecuencia angular constante.
c) Las corrientes alternas industriales son sinusoidales.
d) La corriente alterna en España tiene una frecuencia de 50 Hz.
a) Falso: las hay sinusoidales, en dientes de sierra, etc.
b) Verdadero.
c) Verdadero: se originan en alternadores que giran con velocidad angular constante, y las corrientes inducidas poseen la misma frecuencia angular, , que el generador.
d) Verdadero.
7. La figura 8.34 muestra dos bobinados de hilo conductor alrededor de un cilindro de plástico. Si la corriente en
la bobina de la izquierda aumenta, explica cuál es el sentido de la corriente inducida en la bobina de la derecha e indícalo en el dibujo.
Fig. 8.34
Líneas de campo del primario
L1
L2
Líneas de campo del secundario
8 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Dado que las bobinas están arrolladas de la misma manera, si circulan por ambas corrientes en el mismo
sentido, crearán campos en el mismo sentido y viceversa. Por tanto, si la corriente en la bobina de la izquierda aumenta, también lo hace el campo magnético debido a dicha corriente, que va de derecha a izquierda.
Como consecuencia, crece el flujo de este campo a través de la bobina de la derecha.
Así pues, según la ley de Lenz, la corriente inducida en la segunda debe ser de sentido contrario a la que ya
existe en la primera. De este modo, al crear un campo magnético en sentido contrario, disminuirá el número de líneas de campo (flujo) que atraviesa dicha bobina.
8. Una espira de alambre de 0,5 m2 de área está dentro de un campo magnético uniforme de intensidad B = 2 · 10 –2 T.
Calcula el flujo que atraviesa la espira en las siguientes situaciones:
a) Cuando está colocada perpendicularmente al campo.
b) Cuando el plano de la espira forma un ángulo de 60° con el campo.
a) El flujo que atraviesa una superficie no cerrada vale:
=
冮→B · d →S = 冮B dS cos →
siendo d S un vector superficie perpendicular a la superficie dada, y el ángulo , el formado por los vec→ →
tores B y dS.
→
→
Como B || dS,
=
冮B dS cos 0° = 冮B dS = B S
[1]
→ →
b) En el segundo supuesto, los vectores B y S forman un ángulo de 30°,
→
ya que este es complementario del que forma B con el plano de la
espira: por tanto, ’ = B S cos 30° [2].
→
B
60°
Aplicación numérica:
a) [1]: = 2 · 10–2 T · 0,5 m2 = 0,010 Wb
冑苴
3
= 0,009 Wb = 9 mWb
b) [2]: ’ = 2 · 10–2 T · 0,5 m2 ·
2
→
S
9. Un solenoide de 500 espiras tiene como núcleo una barra de hierro dulce de 30 cm de longitud y de 0,050 m2
de sección transversal. Por el hilo circula una corriente de intensidad 20 mA; calcula:
a) El campo magnético en el interior del solenoide.
b) El flujo magnético que atraviesa la barra de hierro.
Dato: permeabilidad magnética relativa del hierro: µr = 350.
a) El campo magnético dentro del solenoide se puede considerar uniforme. Su valor es:
N
B=µ
I=µnI
l
siendo n el número de espiras por metro de longitud y µ la permeabilidad del hierro, que, expresada con
relación a la del vacío, vale: µ = µr µ0. Por tanto: B = µr µ0 n I [1].
→ →
→ →
b) Si el flujo que pasa a través de una espira es 1 = B · S = B S por ser B || S, [2], y este flujo pasa a través
de la barra de hierro.
Aplicación numérica:
Wb
500
·
· 2,0 · 10–2 m2 = 0,015 T
Am 0,30 m
b) [2]: = 0,015 T · 5 · 10–2 m2 = 7,5 · 10–4 Wb
a) [1]: B = 350 · 4π · 10–7
10. Una bobina plana de 40 espiras de 0,04 m2 de superficie está dentro de un campo magnético uniforme de 0,10 T
de intensidad, perpendicular al eje de la bobina; si esta gira de modo que en 0,2 s se coloca con su eje paralelo a la dirección del campo, calcula la f.e.m. inducida.
La f.e.m. inducida media, por la ley de Faraday, vale:
= –N
∆
∆t
[1]
177
III LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
En este ejemplo, ∆ = 2 – 1
→ →
→ →
2 = B · S = B S cos 0° = B S, pues B || S
→ →
1 = B S cos 90° = 0, pues B ⬜S
Por tanto, ∆ = 2 – 1 = B S; y la f. e. m. en [1] vale
= –N
BS
0,10 T · 0,04 m2
= – 40
= – 0,8 V
0,2 s
∆t
11. Una bobina gira dentro de un campo magnético uniforme de 0,20 T de intensidad a una velocidad de 20 rad · s –1.
Calcula la f.e.m. inducida.
Datos: radio de la bobina R = 6,0 cm; número de espiras N = 100.
Por inducción, se crea en la bobina una f.e.m. debido a la variación del flujo.
El flujo que pasa a través de una espira es:
→ →
1 = B · S = B S cos = B S cos t
siendo = t el ángulo girado en un tiempo t.
= –N
d
= –N B S (–sin t ) · = N B S sin t
dt
La f.e.m. inducida es, a su vez, función del tiempo, y sustituyendo se obtiene: = 4,5 sin 20° t (V), siendo
4,5 V = N B S, la f.e.m. máxima.
12. Una espira de 5,0 cm de radio está situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme. Durante un
intervalo de tiempo de 0,10 s el módulo de la intensidad del campo magnético varía linealmente de 0,30 T a
0,35 T.
a) Calcula el flujo del campo magnético que atraviesa la espira al comienzo y al fin del intervalo.
178
b) Determina la f.e.m. inducida en la espira.
a) El flujo inicial es:
1 = B1 S · cos 0° = B1 π r 2 = 0,30 T · π · 0,052 m2 = 2,4 · 10–3 Wb = 2,4 mWb
Y el final:
2 = B2 S · cos 0° = B2 π r 2 = 0,35 T · π · 0,052 m2 = 2,7 · 10–3 Wb = 2,7 mWb
b) La fuerza electromotriz inducida es:
=–
2,7 Wb – 2,4 Wb
2 – 1
=–
= –3,0 mV
0,1 s
∆t
13. Una bobina plana de N = 200 espiras y radio r = 8,0 cm se coloca perpendicularmente a las líneas de fuerza de
un campo magnético uniforme de intensidad B = 0,80 T. Calcula la f.e.m. inducida en la bobina si, en 0,20 s:
a) Se anula el campo magnético.
b) La bobina gira un ángulo de 90°.
c) La bobina gira 180°.
Indica en un esquema el sentido de la corriente inducida en los casos a) y c).
→ →
a) El flujo que pasa inicialmente por la bobina es máximo, porque B y S son paralelos:
1 = B S cos 0° = B S
Al anularse el campo magnético, el flujo que atraviesa la bobina es cero, 2 = 0.
Luego la f.e.m. media inducida vale:
1 = – N
Aplicación numérica: 1 =
∆
0 – 1
= –N
=N 1
∆t
∆t
∆t
NBS
200 · 0,80 T · π · (8,0 · 10–2 m)2
=
= 16 V.
0,20 s
∆t
→
S
→
B
cara 2
8 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
→ →
b) Al girar 90° la bobina plana, los vectores B y S son perpendiculares. El flujo que pasa a través de la bobina es nulo: 2 = B S cos 90° = 0. Y la variación del flujo en 0,20 s es igual que en a), ∆ = 0 – 1. Por
tanto, 2 = 16 V.
→ →
c) En este caso, los vectores B y S son antiparalelos, pues forman un ángulo de 180°. El flujo que atraviesa
la espira es máximo, pero con sentido opuesto respecto de la cara inicial.
2 = B S cos 180° = –B S
La f.e.m. inducida media vale:
BS–BS
BS
∆
– 1
= –N 2
= –N
=2N
= 32 V
∆t
∆t
∆t
∆t
La corriente inducida en el caso a) tiende a conservar el flujo en la bobina, ya
que desaparece el campo magnético; para ello debe girar como el sacacor→
chos cuando este avanza en el sentido del campo B. Vista por la cara 2, en el
sentido antihorario.
→
3 = – N
En el caso tercero, durante el primer cuarto de vuelta gira, como en el caso
anterior, en sentido contrario a las agujas del reloj; en el segundo cuarto de
vuelta, el flujo se hace negativo, por lo que la corriente inducida se opone
creando un flujo positivo moviéndose en sentido horario, para contrarrestar
con el campo magnético propio el que se aplica de fuera.
S
→
B
cara 1
14. Un solenoide largo de 15 espiras por centímetro (primario) está arrollado en un núcleo de hierro de 3,0 cm de
diámetro. La permeabilidad magnética relativa del hierro es µr = 500. Otro solenoide (secundario) de 1 000 espiras se arrolla en la parte central del primario. Calcula la f.e.m. inducida en el secundario cuando se reduce
a cero en 0,10 s la corriente de 2,0 A que circula por el primario.
La corriente que pasa por el primario crea en su interior un campo magnético uniforme, cuyo valor viene
dado por
NI
[1]
B=µ
= µ n I = µr µ0 n I
l
donde µr es la permeabilidad relativa del hierro, respecto del vacío; µ0 es la permeabilidad del vacío y n el
número de espiras por unidad de longitud (el metro). De [1] se deduce:
B = 500 · 4π · 10–7
Wb
15
·
· 2,0 A = 1,9 T
Am 0,010 m
campo magnético en el interior del primario.
El flujo que pasa a través del primario vale:
3,0
2
→ →
1 = B · S = B S cos 0° = B S = 1,9 T · π
· 10–2 m = 1,3 · 10–3 Wb
2
(
)
Por el secundario pasa el mismo flujo que por el primario: 2 = 1. Y la f.e.m. inducida en el secundario
proviene de la disminución del flujo producido al anular la corriente en un tiempo ∆t. Por tanto:
= –N
(0 – 1,3 · 10–3 Wb)
∆
= –1 000
= 13 V
0,1 s
∆t
15. Se dispone de un generador de corriente alterna que suministra 125 V eficaces. Si se necesitan 220 V para el
funcionamiento de un determinado circuito, calcula:
a) La razón de transformación.
b) El número de espiras que debe tener la bobina del primario si se dispone de una bobina de 1000 espiras para
el secundario.
c) La intensidad en el secundario si la intensidad del primario es de 1,0 A.
NP
VP
125
a) La razón de transformación es m =
=
=
= 0,568.
NS
VS
220
b) De la expresión anterior se deduce que NP = 0,568 · 1 000 espiras = 568 espiras.
c) Teniendo en cuenta que la potencia se mantiene prácticamente constante, VP IP = VS IS, de donde
VP
IS = IP
= 1,0 A · 0,568 = 0,57 A
VS
179
III LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
16. Un carrete plano, de espesor despreciable, tiene 50 espiras y 100 cm2 de área por espira; está situado inicialmente de forma que su plano es perpendicular a un campo magnético uniforme y estático de 0,10 T de intensidad. Se le hace girar a una velocidad de 10 vueltas por segundo alrededor de un eje contenido en su plano
y perpendicular al campo magnético. Halla la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo.
→
La espira puede girar alrededor del eje e, perpendicular al campo magnético B.
e
→
En la posición inicial (no es la de la figura), B es perpendicular al plano de la bobina o
→ →
carrete; por tanto, B || S y = 0. Al cabo de un tiempo t, la bobina plana ha girado un
→
B
ángulo = t, siendo = 2π ƒ rad s–1 la velocidad constante del giro.
→ →
El flujo que atraviesa una espira en un tiempo dado, t, vale = B · S = B S cos =
→
S
= B S cos t.
→
Siendo S el vector superficie, de módulo el área S, perpendicular a la espira en todo instante.
Por la ley de Faraday:
d t
= N B S sin t
[1]
dt
En la posición inicial, el flujo que atraviesa el carrete es máximo: = B S; pero la f.e.m. inducida es función
de la variación del flujo en el tiempo, no del valor en un instante dado.
= –N
Aplicación numérica:
= 50 · 0,10 T · 100 · 10–4 m2 · 2π · 10 rad s–1 · sin 20π t = π sin 20π t (V)
Ejercicios de consolidación
1. La bobina de la figura 8.35 está dentro de un campo magnético uniforme paralelo a su eje. Si se desplaza el cursor de la bobina: ¿Varía el flujo que atraviesa el circuito? ¿Qué indica el miliamperímetro?
180
→
B
Fig. 8.35
A
→ →
→ →
El flujo = B · S no varía, pues B y S son constantes, por lo que el miliamperímetro señala cero al no variar
el flujo.
2. Por una bobina o solenoide pasa una corriente continua I. Mientras se introduce en su interior una barra de hierro,
¿qué le ocurre a la corriente?
a) Aumenta.
b) Disminuye.
c) No varía.
d) Cambia de sentido
Disminuye b). Mientras se introduce la barra de hierro en el interior de la bobina se origina una variación del
campo magnético creado por la corriente, que aumenta el flujo que pasa por el interior de la bobina. Este
aumento de flujo en el tiempo induce una f.e.m. que se opone al de la bobina y la corriente disminuye.
3. Indica si es verdadero o falso:
Cuando una corriente eléctrica recorre una espira:
→ es siempre perpendicular al hilo de la espira.
a) La intensidad del campo magnético, B,
→ es siempre perpendicular al plano de la espira.
b) La intensidad del campo magnético, B,
c) Las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas.
d) Las líneas de fuerza del campo magnético son paralelas a la espira.
a) Falso. b) Falso, solo es perpendicular al plano de la espira en los puntos del mismo. c) Verdadero, salen del
polo norte y regresan a él después de pasar por el polo sur; no se conocen (por hoy) polos magnéticos aislados. d) Falso, por lo dicho en b).
8 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
4. Deduce las unidades del coeficiente de autoinducción L en el SI de las dos definiciones:
di
a) = Li
b) = –L
dt
¿Coinciden las unidades?
Wb
T m2
N C–1 m s
De la primera, L =
, que en el SI, L =
=
=
= N C–2 m s2 = kg m2 A–2 s–2 = H
A
A
C · s–1
i
V
J C–1
Nm A–1 s–1
De la segunda, L =
=
=
=
= kg m2 A–2 s–2 = H
A s–1
A s–1 A s–1
di
dt
El coeficiente de autoinducción tiene por unidad SI el henrio (símbolo: H) y se puede definir por las dos ecuaciones dadas porque coinciden sus dimensiones.
5. Por un hilo vertical indefinido circula una corriente eléctrica de intensidad I. Si dos espiras se mueven con las
velocidades indicadas en la figura, ¿se inducirá corriente eléctrica en alguna de ellas? Razona la respuesta.
→
V
I
→
V
Fig. 8.36
Se inducirá corriente eléctrica en la de la derecha.
Para que se induzca corriente por alguna de las espiras es preciso que varíe el flujo magnético que la atraviesa, es decir, el número de líneas de campo magnético.
En la espira de la izquierda el flujo magnético no varía, mientras que en el de la derecha sí, puesto que a
medida que se aleja disminuye el flujo magnético.
→
V
I
→
V
6. En una bobina de N = 400 espiras se produce un flujo total de 25,0 Wb cuando pasa por ella una corriente de
12,0 A. Calcula la energía magnética que almacena.
1
Siendo la energía magnética almacenada en la bobina: WB =
L I 2, precisamos conocer el coeficiente de
2
autoinducción L.
t
; y sustituyendo resulta:
I
Sabemos que el flujo total, t = L I, de donde L =
WB =
1 t
1
1
· I2 =
t · I =
· 25,0 Wb · 12,0 A = 150 J
2 I
2
2
7. En un campo magnético uniforme cuya intensidad varía sinusoidalmente Bx = 0,20 sin t, hay una bobina plana
de N = 100 espiras y radio R = 4,0 cm. El eje de la bobina forma un ángulo de 60° con la dirección del vector
→
intensidad de campo B. Calcula la f.e.m. inducida.
Dato: frecuencia angular = 25 π rad · s –1.
1
→ →
El flujo que pasa a través de la bobina vale = B · S = B S cos 60° =
B S, y la f.e.m. inducida:
2
1
d
· S · 0,20 sin t
2
1
d
= –N
=–N
= – N S · 0,20 cos t = – 0,10 N S cos t
dt
2
dt
Al sustituir valores, resulta:
(
)
= – 0,10 · 100 · π (4,0 · 10–2 m)2 · 25π rad s–1 · cos 25π t = –3,9 cos 25π t (V)
La f.e.m. inducida es función del tiempo; su valor máximo corresponde al del cos 25π t = ±1, y esto sucede
en los instantes en que 25π t = n π; (n = 0, 1, 2, 3...).
El primer instante (para n = 0), t = 0; y máx = –3,9 V.
181
III LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
8. Una bobina plana cuadrada de 10 espiras, de l = 12 cm de lado gira con velocidad angular constante en un
campo magnético uniforme de intensidad B = 3,0 T.
a) Dibuja la dirección del plano de la bobina relativa al campo magnético para que la f.e.m. inducida sea máxima.
b) En este caso el valor máximo de la f.e.m. es 2,4 V; ¿cuánto vale la velocidad de rotación?
a) El flujo que pasa a través de las N espiras de la bobina vale:
→ →
= B · S = B S cos = B S cos t
siendo el ángulo que forma el campo magnético con el vector superficie, al girar con velocidad angular , = t.
Al variar el flujo se induce una f.e.m. por la ley de Faraday-Lenz:
d
= –N
= –N B S (–sin t ) = N B S sin t
dt
π
La f.e.m. inducida, , será máxima cuando sin t = ±1; es decir, para t = (2n + 1) , siendo n = 0, 1,
2
2, 3, ... máx = ±N B S .
→ →
Esto ocurre cuando el plano de la bobina es paralelo al campo magnético (B y S son perpendiculares).
→
B
→
B
→
S
→
S
182
b) La amplitud de la f.e.m. es su valor máximo; por tanto,
2,4 V
2,4 V
=
= 5,6 rad s–1
N B S = 2,4 V; de donde =
NBS
10 · 3,0 T (12,0 · 10–2 m)2
9. Una varilla metálica de 2,0 m de longitud se desplaza a una velocidad →
v constante y perpendicular a su eje sobre
un plano horizontal. La componente vertical del campo magnético terrestre tiene la intensidad B = 4,0 · 10 –5 T.
Si aparece entre los extremos de la varilla una diferencia de potencial de 2,0 mV, calcula la velocidad v.
En un tiempo dt, la varilla, en su movimiento, barre una superficie de dS = l v dt,
A’
D’
a través de la cual atraviesa un flujo d = B l v dt. La fuerza electromotriz inducida es, entonces:
d
=–
= –B l v
dt
v→
El signo menos solamente indica que la f.e.m. inducida se opone a la causa
que la produce, por lo que no ha de tenerse en cuenta a efectos de obtener la
velocidad, que resulta:
v=
2,0 · 10–3 V
=
= 25 m s–1
2,0 m · 4,0 · 10–5 T
lB
A
D
10. Una varilla de masa m = 140 g y longitud l = 30 cm, por la que circula una corriente de l = 12 A, se mueve
con movimiento rectilíneo y uniforme, sobre una superficie horizontal, debido a la acción de un campo magnético vertical de intensidad 1,3 · 10–2 T. Determina:
a) El coeficiente de rozamiento entre la varilla y la superficie.
b) El trabajo que realizan las fuerzas del campo magnético para desplazar la varilla una distancia d = 1,0 m.
c) El aumento de energía cinética en ese desplazamiento si el campo magnético se hace tres veces más intenso.
8 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
a) Supongamos que el campo magnético aplicado es el valor mínimo para el cual
la varilla, al recibir un pequeño impulso, empieza a moverse con velocidad
constante. En este caso, la fuerza debida al campo magnético equilibra exactamente a la fuerza de rozamiento, por lo que
FR = FB; es decir: µ m g = I l B
ya que la reacción normal N es igual a m g.
Si se despeja:
12 A · 30 · 10–2 m · 1,3 · 10–2 T
IlB
µ=
=
= 3,4 · 10–2
140 · 10–3 kg · 9,8 m s–2
mg
→
B
→
I
I
→
F
b) El trabajo realizado por la fuerza debida al campo magnético es:
W = FBd = I l B d = 12 A · 0,30 m · 1,3 · 10–2 T · 1,0 m = 4,7 · 10–2 J
c) Si el campo magnético se hace tres veces más intenso, la fuerza magnética aumentará en la misma proporción, por lo que, aplicando el teorema del trabajo-energía cinética (teorema de las fuerzas vivas):
∆Ec = W – WR = 3 I l B d – I l B d = 2 I l B d = 9,4 · 10–2 J
11. La densidad de energía magnética (energía magnética por unidad de volumen) se expresa por la ecuación
WB =
1 B2
2 µ0
Si por un solenoide de 2 000 espiras circula una corriente de I = 10 A y, como consecuencia, el flujo magnético a través del mismo es de 10 Wb, calcula la energía magnética total que encierra el solenoide.
Teniendo en cuenta que el campo magnético en el interior de un solenoide viene dado por
N
I
B = µ0
l
la energía almacenada en el solenoide es:
µ 20
1
EB = WBV =
2
N2
l2
I2
µ0
1
N2 2
Sl=
µ0
I S
2
l
donde se desconocen los valores de S y l.
Ahora bien, el flujo del campo a través del conjunto de espiras del solenoide es:
= B S = µ0
NI
l
S
de donde
S
l
=
µ0 N I
que, sustituido en la expresión de la energía, da:
EB =
1
1
1
µ0 N 2 I 2
=
NI=
2 000 · 10 Wb · 10 A = 105 J.
2
2
2
µ0 N I
12. El flujo magnético que atraviesa el circuito de la figura 8.37 varía con el tiempo según = 0,03 t2 + 0,02 t (unidades SI). Las líneas de campo son perpendiculares al plano de la figura y dirigidas hacia dentro. Para t = 2 s,
calcula el valor de la f.e.m. inducida y discute el sentido.
Fig. 8.37
183
III LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Aplicando la ley de Lenz-Faraday, la fuerza electromotriz inducida en la espira viene dada por:
d
=–
= – (0,06 t + 0,02)
dt
que, en el tiempo t = 2 s, vale = – (0,06 · 2 + 0,02) = – 0,14 V.
Para discutir el sentido, se debe ver la variación del flujo con el tiempo. La función = 0,03 t 2 + 0,02 t corresponde a una parábola, como muestra la figura: el flujo aumenta a medida que avanza el tiempo. El sentido
de la corriente inducida será aquel que tienda a contrarrestar los efectos de dicha corriente (ley de Lenz): en
nuestro caso será el sentido antihorario.
Flujo magnético-tiempo
0,35
Flujo (Wb)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
tiempo (s)
2
3
13. Un transformador recibe corriente de 5 000 V y 2,08 A en el primario, mientras que la del secundario es de 206 V
y 50 A. Calcula el rendimiento del transformador y el coste de la energía «perdida» al cabo de 8 horas de funcionamiento ininterrumpido si el precio de la energía eléctrica es de 0,10 € por cada kWh.
La potencia eléctrica viene dada por el producto I · V. Por tanto,
• Potencia en el primario: 5 000 V · 2,08 A = 1,04 · 104 W.
• Potencia en el secundario: 206 V · 50 A = 1,03 · 104 W.
184
Como era de esperar, la potencia en el secundario es menor que la del primario. El rendimiento es:
=
1,03 · 104 W
· 100 = 99,0 %
1,04 · 104 W
Si W (vatio) = J/s, cada segundo la energía que no se puede aprovechar en el secundario es: 1,04 · 104 –
– 1,03 · 104 = 100 J. Por tanto, en las 8 h.
8h·
100 J 3 600 s
1 kW · h
·
·
·
1s
1h
3,6 · 106 J
0,10 €
kW · h
= 0,08 €
14. En una región del espacio existe un campo magnético cuya intensidad varía con el tiempo según
t
B = B0 1 –
t0
(
)
donde B0 = 1,5 T y t0 = 1,1 s. En dicha región hay una espira circular de cobre de 0,15 m de radio. El campo
es perpendicular a la espira y dirigido hacia dentro del papel como se indica en la figura 8.38.
a) Determina el flujo del campo magnético a través de la espira en función del tiempo.
b) Obtén la f.e.m. inducida en la espira.
c) Si la resistencia de la espira es de 0,05 Ω, obtén la intensidad de corriente y, mediante la ley de Lenz, determina el sentido en el que circula.
Fig. 8.38
8 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
a) El flujo del campo magnético dado a través de la espira es:
t
t
t
= 1,5 1 –
· π r 2 = 1,5 · π · 0,152 1 –
= 0,11 1 –
Wb
1,1
1,1
1,1
b) La f.e.m. inducida es:
– 0,11
d
=–
=–
V = 0,10 V
1,1
dt
c) La intensidad de la corriente es:
0,10 V
I=
=
= 2,0 A
0,05 Ω
R
(
)
(
)
Si se representa gráficamente el flujo en función del tiempo, se obtiene,
como se muestra en la figura, una recta cuya ordenada en el origen es
0,11 Wb y cuya pendiente es – 0,1. Por tanto, teniendo en cuenta que el
flujo desciende continuamente, deberá inducirse una corriente que tienda
a oponerse a esa disminución; su sentido será, pues, el de las agujas del
reloj, ya que esta corriente creará un campo perpendicular al plano del
papel y dirigido hacia dentro, es decir, en el mismo sentido del original,
que va disminuyendo.
(
)
Q
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,5 1,0 1,5 2,0
t
Test de autoevaluación
1. Di si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: si la intensidad del campo magnético que atraviesa una espira varía de 10 T a 4 T en 2 s, la f.e.m. inducida es la misma que si varía de 4 T a 1 T en 1 s.
V.
2. Di si es verdadero o falso que si una espira situada en un plano horizontal es sometida, de repente, a un campo
magnético perpendicular y hacia abajo, la corriente inducida lo es en el sentido de las agujas del reloj.
F.
3. El primario de un transformador tiene 10 espiras y el secundario 100. Si conectamos al secundario una pila de
corriente continua de 1,5 V de tensión, ¿qué tensión aparece permanentemente en el secundario?
Cero. Al ser la corriente en el primario continua, crea un campo magnético y, por tanto, un flujo magnético
constante, por lo que
d
=–
=0
dt
4. Si se mueve una espira paralelamente a su plano dentro de un campo magnético uniforme, indica lo que es
correcto:
a) Se produce corriente inducida al empezar el movimiento.
b) No se produce ninguna corriente inducida.
c) Aparece una corriente inducida en sentido antihorario.
d) Ninguna de las tres anteriores.
b. El flujo magnético no varía, por lo que no se induce ninguna fuerza electromotriz, ya que
d
=–
=0
dt
5. Se tienen dos espiras con sus planos paralelos y próximas la una a la otra. Si se unen los extremos de una de
ellas a los bornes de una pila de 2 V de f.e.m., indica cuándo se induce una f.e.m. en la otra:
a) Al cerrar el circuito en la primera.
b) Al abrir el circuito en la primera.
c) Cuando la corriente en la primera es estacionaria.
d) Cuando se aumenta la f.e.m. del generador.
a, b, d. En cualquier circunstancia que origine una variación de flujo magnético se induce f.e.m.
185
III LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
6. Una espira cuyo plano es perpendicular a un campo magnético uniforme intenso es atravesada por un flujo
determinado. En esta situación, la f.e.m. inducida es:
a) Nula.
b) Pequeña.
c) Elevada.
d) Positiva.
a.
7. Indica si es verdadero o falso lo que se afirma:
a) La ley de Lenz dice que la f.e.m. inducida se opone siempre a la causa que la origina.
b) Se tienen dos circuitos próximos sin contacto eléctrico; al variar la corriente en uno de ellos, se induce una
fuerza electromotriz en el otro.
c) Un circuito por el que circula una corriente estacionaria produce una f.e.m. autoinducida que se opone a la
corriente.
d) El coeficiente de autoinducción es la constante de proporcionalidad entre el flujo y el campo magnético del
circuito.
a, V; b, V; c, F; d, F.
8. Indica si es verdadero o falso que la frecuencia de la corriente alterna obtenida en un alternador es la misma que
la del rotor.
F. La frecuencia de la corriente alterna obtenida en un alternador depende del número de polos.
9. Un campo magnético uniforme de 0,4 T de intensidad forma un ángulo de 60° con el plano que contiene una
espira rectangular de 200 cm 2. ¿Cuánto vale el flujo magnético a través de ella, expresado en webers?
a) 40
b) 4,0 · 10–3
c) 6,9 · 10–3
d) 6,9
b.
186
10. Una varilla conductora de longitud l gira respecto a un eje perpendicular, alrededor de uno de sus extremos,
con velocidad angular constante . Dicha varilla se halla en el seno de un campo magnético uniforme que tiene
la dirección del eje de giro. La diferencia de potencial entre los extremos de la varilla es:
1
B l2
c) B l
d)
B l2
e)
a) 0
b) B l
2
d.
11. Dos espiras de las mismas características geométricas, una de cobre y otra de plástico, están sometidas a la
misma variación de flujo magnético. ¿Cuál experimenta la mayor fuerza electromotriz inducida?
a) La de cobre.
c) Las dos igual.
b) La de plástico.
d) Faltan datos.
a.
12. Una espira cuadrada plana de área S gira con velocidad angular constante , en el seno de un campo magnético uniforme, perpendicular al eje de giro. Dicho eje es perpendicular a los lados de la misma y pasa por su
centro. La fuerza electromotriz inducida es:
B
a)
b) B S
c) B S
d) B
S
b.
13. Una espira circular se coloca perpendicular a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme. Los terminales de la espira se unen a un galvanómetro, que indicará la intensidad de la corriente inducida cuando esta
espira se haga girar en el campo magnético (como sucede en el alternador). La máxima corriente inducida se
obtiene cuando el ángulo girado por la espira es, en radianes:
π
π
a)
b)
c) π
d) 2 π
4
2
b.