Campo Magnético en un alambre recto.

Campo Magnético en un alambre recto.
A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268)
Departamento de física, facultad de ciencias,
Universidad Nacional de Colombia
Resumen.
Se hizo pasar corriente eléctrica a través de varias espiras de alambre enrolladas en un marco
rectangular puesto verticalmente y fijo en el laboratorio, se acerca a este cable una brújula, ésta
es afectada por el campo magnético del alambre (BA el cual depende de la corriente I y de la
distancia al cable R) y del campo magnético de la Tierra (BT), lo que produce que se direccione en
dirección de la suma vectorial de estos dos campos, esa dirección está dada por el ángulo (θ) que
lo da la misma brújula, se encontró que la función tangente de ese ángulo es el cociente de campó
BA y el BT , entonces se varió R en seis valores diferentes y para cada una de estas se hizo variar la
corriente en diez valores diferentes y se tomó 𝜃 . Se encuentra analizando los datos
experimentales una relación de 𝑡𝑎𝑛 𝜃, 𝑅 e 𝐼, y a continuación se compararon estos resultados con
las hipótesis teóricas, gracias a esto fue posible encontrar el valor del campo magnético terrestre;
sin embargo, ya que el valor del campo magnético producido por la corriente que pasa a través del
alambre depende de tres variables medidas directamente, la propagación de errores se acentúa
en los resultados mostrados.
Introducción
La ley de Biot-Savart, permite calcular la intensidad del campo magnético creado por un circuito
de forma cualquiera, cuando es recorrido por una corriente determinada1. Según dicha ley, el
campo magnético que produce un elemento diferencial de corriente 𝑑𝑙 de un alambre recto de
longitud 𝐿 por el que circula una corriente 𝐼 sobre un punto que se encuentra a cierta distancia
del elemento 𝑑𝑙 esta dado por:
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝐼
𝑑𝑙 ×𝑢 𝑟
𝑟2
(1)
Donde 𝜇0 es la permeabilidad magnética del vacío, 𝑟 es el vector que va desde 𝑑𝑙 hasta el punto 𝑃
en el que se mide el campo magnético, (siendo 𝑟 la distancia entre 𝑑𝑙 y 𝑃 ) y 𝑢𝑟 es un vector
unitario en dirección a 𝑟 . Como se muestra en la Figura 1.
Figura 1 muestra las magnitudes involucradas en la ecuación (1).
En la figura 1, 𝑅 representa la distancia entre el punto 𝑃 y el punto medio del alambre recto.
La dirección del campo magnético, estará dada por la dirección resultante del producto vectorial
de la ecuación (1), sabiendo que 𝑑𝑙 esta en dirección a la corriente que pasa por el alambre, en
el caso de la Figura 1, el campo magnético está dirigido hacia adentro del papel.
Para calcularla magnitud del campo magnético total sobre todo el alambre, ya sabiendo la
dirección, se parte del hecho de que:
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑑𝑙 sin 𝜑
𝐼
(2)
𝑟2
Donde 𝜑 es el ángulo entre 𝑑𝑙 y 𝑢𝑟 , aquí se hizo uso del hecho de que 𝑢𝑟 es un vector unitario.
Además, con el fin de realizar la una integración para la ecuación (2), partiendo de la geometría de
la Figura 1 se hace el segundo miembro de la ecuación (2) en términos de la variable 𝜑 utilizando
las siguientes relaciones y sustituyendo en (2)
𝑟 =
𝑅
sin 𝜑
= 𝑅 csc 𝜑
(3)
𝑙 = −𝑅 cot 𝜑
(4)
𝑑𝑙 = 𝑅 𝑐𝑠𝑐 2 𝜑 𝑑𝜑
(5)
Llegando finalmente a:
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝐼
𝑅𝑐𝑠𝑐 2 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝜑
𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 𝜑
=
𝜇0 𝐼
sin 𝜑
4𝜋 𝑅
𝑑𝜑
(6)
Ahora es posible integrar (6) sobre los ángulos 𝜑1 y 𝜑2 que serian entonces los ángulos formados
entre un elemento diferencial 𝑑𝑙 en cada uno de los extremos del conductor y el vector 𝑢𝑟 .
𝐵 =
𝜇 0 𝐼 𝜑2
sin 𝜑
4𝜋 𝑅 𝜑 1
𝑑𝜑 =
𝜇0 𝐼
(cos 𝜑2
4𝜋 𝑅
− cos 𝜑1 )
(7)2
Las líneas de campo magnético sobre un plano horizontal perpendicular al eje del alambre para
distintas distancias 𝑅 son como las mostradas en la Figura 2.
Figura 2, Muestra las líneas de campo magnético sobre un plano perpendicular al eje del alambre recto.
En la figura 2, el símbolo ubicado en el origen de coordenadas, indica que la dirección de la
corriente está dirigida saliendo del papel.
Descripción del Montaje Experimental.
En la presente práctica experimental, se pretende medir el campo magnético generado por un
alambre recto por el cual circula una corriente determinada, para ello se hace uso de una brújula
con precisión de 2°, un conjunto de 50 espiras paralelas que serán utilizadas como un alambre
recto, una fuente de voltaje y un amperímetro con precisión de 0.002 A.
Tomando en cuenta que la longitud 𝐿 del alambre recto es mucho mayor que la distancia 𝑅 puede
hacerse 𝜑1 ≈ 𝜋 y 𝜑2 ≈ 0 y la ecuación (7) queda:
𝐵 =
𝜇0 𝐼
4𝜋 𝑅
2=
𝜇0 𝐼
2𝜋 𝑅
(8)
Sin embargo el valor de campo magnético expresado en (8) es el campo magnético producido por
la corriente 𝐼 al pasar por una sola de las espiras, por tal razón, el campo magnético total que
atraviesa el alambre recto será:
𝐵𝐴 = 50
𝜇0 𝐼
2𝜋 𝑅
(9)
Ya que 50 es el número de espiras paralelas contenidas en el alambre recto.
Ahora, teniendo como objetivo comprobar (9), se conecta el conjunto de espiras a la fuente de
voltaje variable y se coloca la brújula a una distancia 𝑅 determinada, de tal forma que la línea
perpendicular al alambre recto que pasa por el centro de la brújula sea paralela a la dirección
indicada por la brújula en ausencia de un campo magnético distinto al terrestre.
De esta forma, y tomando en cuenta que los vectores de campo magnético mostrados en la Figura
2 son tangentes a las líneas de campo magnético, el campo magnético de la tierra 𝐵𝑇 será
perpendicular al campo generado por el alambre 𝐵𝐴 en ese punto. Y la interacción total de estos
dos campos sobre la brújula será la suma de los vectores perpendiculares mencionados
anteriormente, así, la aguja de la brújula cambiara de dirección y apuntará en dirección al vector
suma 𝐵𝑟 , como se muestra en la figura 3.
Figura 3 muestra el campo magnético resultante
Partiendo de lo dicho anteriormente, para lograr medir el campo magnético generado
únicamente por el alambre haciendo uso de la brújula, debe usarse el siguiente hecho:
tan 𝜃 =
𝐵𝐴
(10)
𝐵𝑇
Y por tanto, si se tiene en cuenta que el campo 𝐵 de la ecuación (9) es en este caso el producido
por la corriente que pasa por el alambre, 𝐵𝐴 , al sustituir en (10) se llega a:
tan 𝜃 = 50
1
𝜇0 𝐼
𝐵𝑇
2𝜋 𝑅
(11)
En caso de demostrar experimentalmente (11), conociendo la veracidad de (10) se podrá
demostrar (9) y de esta forma se conocerá la magnitud de 𝐵𝐴 sobre un punto. Con este fin, se
varía entonces la corriente 𝐼 que circula por el alambre y la distancia 𝑅 del centro del alambre al
centro de la brújula, y se estudia la relación con la tangente del ángulo 𝜃 entre 𝐵𝑇 y 𝐵𝑟 .
La corriente 𝐼 será medida con el amperímetro y tendrá un máximo de 0.500 A.
Análisis de resultados.
Los datos tomados experimentalmente, son los mostrados en la Tabla 1.
Con estos datos, se hace la grafica de tan 𝜃 en función de la distancia Figura 4, para los distintos
valores tomados de la corriente y se hace un ajuste por mínimos cuadrados para determinar el
valor del exponente.
Figura 4 Gráfica de 𝒕𝒂𝒏 𝜽 en función de la distancia 𝑹 para distintos valores de la corriente 𝑰.
Al hacer la grafica se encuentra una dependencia no lineal por lo que se hace un ajuste de la forma
tan 𝜃 = 𝐴𝑅 𝑏
(12)
Donde 𝐴 es el valor de la tangente del ángulo cuando 𝑅 es 1 y 𝑏 es el exponente de cada una de
las líneas de corriente, los datos encontrados a partir de un ajuste de la forma (12) en la figura 4 se
muestran en la Tabla 2. Aunque la dependencia de cada una de las líneas no es lineal, se encuentra
que al promediar los exponentes, se obtiene:
𝑏𝑅 = (−1.024 ± 0.065)
(13)†
De lo cual puede inferirse una relación inversamente proporcional.
Posteriormente, se analiza la relación entre el tan 𝜃 y la corriente 𝐼 para las distintas distancias 𝑅.
Realizando una gráfica de tan 𝜃 vs 𝐼 para cada uno de los valores de 𝑅, Figura 5.
Figura 5, Muestra la gráfica de 𝒕𝒂𝒏 𝜽 en función de la corriente 𝑰 para distintos valores de la distancia 𝑹, con un
ajuste no lineal.
El ajuste realizado sobre la Figura 5, es también de la forma:
tan 𝜃 = 𝐴𝐼 𝑏
(14)
Para cada una de las distancias 𝑅 graficadas en la figura, los datos obtenidos a partir de este ajuste
se muestran en la Tabla 3. En este caso, también se obtiene un valor global para el exponente 𝑏
promediando los valores del exponente de cada una de las líneas mostradas en la figura,
obteniendo:
𝑏𝐼 = (1.169 ± 0.101)
†
(15)
La incertidumbre del promedio de los exponentes fue calculada con el factor de corrección t de Student 3
Puede verse que aun cuando la incertidumbre es grande este exponente no alcanza a ser
exactamente 1, por lo que no se tiene certeza de la dependencia lineal, en este caso, se hace un
ajuste lineal sobre los mismos datos y se tiene en cuenta la confiabilidad encontrada en este
nuevo ajuste, que en caso de ser muy pequeña descartará la hipótesis de una dependencia lineal.
Figura 6.
Figura 6 Muestra la gráfica de 𝒕𝒂𝒏 𝜽 en función de la corriente 𝑰 para distintos valores de la distancia 𝑹 con un ajuste
lineal.
Los datos encontrados al realizar un ajuste ahora lineal sobre los mismos datos de la Figura 5 son
los mostrados en la Tabla 4.
De los datos consignados en la tabla 4 y la Figura 6, se encuentra que es posible realizar un ajuste
lineal sobre los datos de 𝑡𝑎𝑛 𝜃 en función de la corriente 𝐼 con un grado de confiabilidad
promedio de 98.5% y por lo tanto, puede hablarse de un exponente 𝑏 ≈ 1 en la ecuación (14).
Tendríamos que la relación entre 𝑡𝑎𝑛 𝜃, 𝑅 e 𝐼 está dada por:
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝐾𝐼𝑅 (−1.024±0.065)
(16)
Que puede escribirse como:
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝐾
𝐼
𝑅 (1.024 ±0.065 )
(17)
Ahora, solo queda encontrar el valor de la constante 𝐾, para esto, se hace uso de la expresión:
𝑘=
tan 𝜃 𝑅
𝐼
(18)
Donde tan 𝜃 es el promedio de los datos de tan 𝜃 tomados experimentalmente, 𝑅 el promedio de
las distancias y 𝐼 el promedio de las corrientes que se hicieron circular por el alambre recto.
Finalmente, se llega a que el valor de 𝐾 es:
𝐾 = (0.642 ± 0.580)
(19)
Que según la ecuación (11) debería corresponder a:
𝐾 = 50
1
𝐵𝑇
𝜇0
2𝜋
(20)
Partiendo de la ecuación (11) se obtuvieron valores experimentales para 𝐵𝑇 , los cuales son
mostrados en la Tabla (6), de dichos valores se obtiene el promedio:
𝐵𝑇 = 0.0001926 ± 0.0000120 𝑇
(21)
Finalmente se tiene la ecuación:
tan 𝜃 = 0.642 ± 0.580
𝐼
𝑅 (−1.024 ±0.065 )
(22)
Que dentro de cierto margen de incertidumbre, prueba la ecuación (11) y con ella las ecuaciones
(9) y (8).
De esta forma, ya se puede predecir, a partir del análisis de los dato experimentales, la variación
del campo magnético producido por el alambre recto cuando se varía la corriente 𝐼y la distancia 𝑅,
para valores de estas que no fueron medidas en el laboratorio. Puede verse, que a medida que la
distancia del centro de la brújula al centro del alambre aumenta, el campo magnético producido
por el alambre disminuye y que cuando esta distancia tiene a cero, el campo magnético toma
valores muy grandes ; contrariamente, cuando se aumenta la corriente que circula por el alambre,
el campo magnético en un punto determinado a una distancia 𝑅 es mayor, se puede notar
además que en ausencia de corriente 𝐼 el campo magnético es nulo, al igual que la tangente del
ángulo 𝜃 por lo que la brújula apuntará en dirección del campo magnético terrestre.
Adicionalmente, la comprobación de las ecuaciones (8), (9) y (11), permite describir valores del
campo magnético cuando el alambre está conformado por un distinto número de espiras, que en
caso de aumentar, aumentará el campo magnético sobre un punto a una distancia 𝑅 determinada.
Conclusiones.
1. El campo magnético de un alambre recto en un punto, a una distancia
determinada del centro del alambre, es inversamente proporcional a la distancia.
2. Cuando se hace circular una corriente por un alambre recto, este genera un campo
magnético directamente proporcional a la corriente que circula por el alambre.
3. Con una brújula es posible medir el campo magnético producido por una corriente
que circula a través de un alambre recto si se tiene en cuenta que ésta señala el
norte magnético de la tierra, sin embargo la el valor del campo magnético que
produce la corriente que circula por el alambre, se obtiene a partir de la medición
directa de tres magnitudes, lo cual hace que la propagación de errores sea muy
evidente en los resultados.
Bibliografía.
[1] webpages.ull.es/users/flahoz/itop/CamposMagneticos.ppt
[2] http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/electymagnet/tem5_3_.htm
[3] Ardila A. M., Física experimental, Segunda edición, Departamento de Física, Universidad
Nacional de Colombia, 2007/ Pg. 245.
Anexos.
Ángulos medidos (θ ±1°)
R
I (±0,004 A)
(±0,0005 m) 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
0,0415
30
48
60
66
70
76
78
80
80
82
0,0815
16
30
42
52
60
66
70
72
74
76
0,1015
10
24
36
44
50
58
60
64
70
72
0,1215
10
20
30
40
48
52
58
62
66
70
0,1415
8
18
28
36
42
48
56
60
62
68
0,1615
8
16
22
30
38
42
50
54
58
62
Tabla 1 Ángulos medidos experimentalmente.
R (m
0,05
±0,0005) Tanθ ∆Tanθ
0,0415 0,577 0,023
0,0815 0,287 0,019
0,1015 0,176 0,018
0,1215 0,176 0,018
0,1415 0,141 0,018
0,1615 0,141 0,018
0,10
Tanθ ∆Tanθ
1,111 0,039
0,577 0,023
0,445 0,021
0,364 0,020
0,325 0,019
0,287 0,019
0,15
Tanθ ∆Tanθ
1,732 0,070
0,900 0,032
0,727 0,027
0,577 0,023
0,532 0,022
0,404 0,020
Tabla 2 Tangentes de los ángulos experimentales.
Tangente de los Ángulos medidos (Tan θ)
I (±0,004 A)
0,20
0,25
0,30
0,35
Tanθ ∆Tanθ Tanθ ∆Tanθ Tanθ ∆Tanθ Tanθ ∆Tanθ
2,246 0,105 2,747 0,149 4,011 0,298 4,705 0,404
1,280 0,046 1,732 0,070 2,246 0,105 2,747 0,149
0,966 0,034 1,192 0,042 1,600 0,062 1,732 0,070
0,839 0,030 1,111 0,039 1,280 0,046 1,600 0,062
0,727 0,027 0,900 0,032 1,111 0,039 1,483 0,056
0,577 0,023 0,781 0,028 0,900 0,032 1,192 0,042
0,40
Tanθ ∆Tanθ
5,671 0,579
3,078 0,183
2,050 0,091
1,881 0,079
1,732 0,070
1,376 0,051
0,45
Tanθ ∆Tanθ
5,671 0,579
3,487 0,230
2,747 0,149
2,246 0,105
1,881 0,079
1,600 0,062
0,50
Tanθ ∆Tanθ
7,115 0,901
4,011 0,298
3,078 0,183
2,747 0,149
2,475 0,124
1,881 0,079
Ecuación
I(±0.004)A
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
Valor
0.0157
-1.1329
0.04445
-1.01282
0.0661
-1.03542
0.10218
-0.98579
0.13353
-0.98103
0.11584
-1.14416
0.19541
-0.99957
0.21883
-1.02419
0.25746
-1.01777
0.39921
-0.90656
tan 𝜃 = 𝐴𝑅 𝑏
Error Estándar
Aj. R-Cuadrado
0.00305
0.97777
0.0695
0.00241
0.99594
0.02267
0.00802
0.97929
0.05233
0.01254
0.97524
0.05455
0.02375
0.94574
0.08338
0.01625
0.97436
0.06438
0.05097
0.89253
0.12266
0.03975
0.94015
0.0852
0.03532
0.96906
0.0647
0.03486
0.99376
0.03117
Tabla 3. Muestra los datos obtenidos a partir de un ajuste por mínimos cuadrados sobre los datos mostrados en la
Figura 4.
Ecuación
R(±0.0005)m
0,0415
0,0815
0,1015
0,1215
0,1415
0,1615
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
A
b
Valor
12.7509
1.04936
9.08074
1.19572
6.22742
1.15799
5.70775
1.19725
5.09152
1.21177
4.10648
1.20161
tan 𝜃 = 𝐴𝐼 𝑏
Error Estándar Aj. R-Cuadrado
0.86087
0.98767
0.03289
0.41186
0.995
0.02698
0.36275
0.99166
0.03876
0.23015
0.99596
0.02813
0.28329
0.99245
0.04043
0.21007
0.99302
0.03942
Tabla 4, Muestra los datos obtenidos a partir de un ajuste por mínimos cuadrados sobre los datos mostrados en la
Figura 5.
Ecuación
tan 𝜃 = 𝐵𝐼 + 𝐴
R(±0.0005)m
0,0415
0,0815
0,1015
0,1215
0,1415
0,1615
Valor
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
-0.03324
11.8593
-0.12471
7.3575
-0.10487
5.48186
-0.10258
4.81796
-0.1011
4.27832
-0.07463
3.48295
Error
Estándar
0.04532
0.48198
0.04216
0.33273
0.02879
0.18427
0.03007
0.17919
0.03261
0.18099
0.03143
0.15683
Aj. R-Cuadrado
0.98533
0.98189
0.98992
0.98769
0.98412
0.98204
Tabla 5, Muestra los datos obtenidos a partir de un ajuste lineal sobre los datos mostrados en la Figura 6.
Campos de la tierra calculados (BT) T
I (±0,004 A)
R (m
±0,0005)
0,05
BT
0,10
∆BT
BT
0,15
∆BT
BT
0,20
∆BT
BT
0,25
∆BT
BT
0,30
∆BT
BT
0,35
∆BT
BT
0,40
∆BT
BT
0,45
∆BT
BT
0,50
∆BT
BT
∆BT
0,0415 2,1E-04 1,9E-05 2,2E-04 1,2E-05 2,1E-04 1,0E-05 2,1E-04 1,1E-05 2,2E-04 1,3E-05 1,8E-04 1,4E-05 1,8E-04 1,6E-05 1,7E-04 1,8E-05 1,9E-04 2,0E-05 1,7E-04 2,2E-05
0,0815 2,1E-04 2,2E-05 2,1E-04 1,2E-05 2,0E-04 9,1E-06 1,9E-04 8,0E-06 1,8E-04 7,8E-06 1,6E-04 8,1E-06 1,6E-04 8,7E-06 1,6E-04 9,7E-06 1,6E-04 1,1E-05 1,5E-04 1,1E-05
0,1015 2,8E-04 3,6E-05 2,2E-04 1,4E-05 2,0E-04 9,3E-06 2,0E-04 8,3E-06 2,1E-04 8,1E-06 1,8E-04 7,6E-06 2,0E-04 8,4E-06 1,9E-04 8,8E-06 1,6E-04 8,9E-06 1,6E-04 9,6E-06
0,1215 2,3E-04 3,0E-05 2,3E-04 1,5E-05 2,1E-04 1,0E-05 2,0E-04 8,0E-06 1,9E-04 7,2E-06 1,9E-04 7,4E-06 1,8E-04 7,3E-06 1,8E-04 7,6E-06 1,6E-04 7,9E-06 1,5E-04 8,2E-06
0,1415 2,5E-04 3,8E-05 2,2E-04 1,6E-05 2,0E-04 1,0E-05 1,9E-04 8,2E-06 2,0E-04 7,6E-06 1,9E-04 7,2E-06 1,7E-04 6,6E-06 1,6E-04 6,8E-06 1,7E-04 7,3E-06 1,4E-04 7,3E-06
0,1615 2,2E-04 3,3E-05 2,2E-04 1,7E-05 2,3E-04 1,3E-05 2,1E-04 9,7E-06 2,0E-04 7,8E-06 2,1E-04 7,8E-06 1,8E-04 6,8E-06 1,8E-04 6,9E-06 1,7E-04 7,0E-06 1,6E-04 7,1E-06
Tabla 6 Campos magnéticos calculados.