1 Método de Euler Mejorado. E: y 0 D x 2 y, con y.1/ D 2; calcule y.1:5/, para h D 0:1. D: H Usaremos h D 0:1 para encontrar valores aproximados de la solución y.x/ en x D 1:1; 1:2; 1:3; 1:4; 1:5 : Usando .x0 ; y0 / D .1; 2/ y f .x; y/ D x 2 y resulta: x1 D x0 C h D 1:1 : k1 D h f .x0 ; y0 / D 0:1 f .1; 2/ D 0:1 : k2 D h f .x0 C h; y0 C k1 / D 0:1 f .1:1; 1:9/ D 0:069 : 1 y1 D y0 C .k1 C k2 / D 2 C 0:5. 0:1 0:069/ D 1:9155 : 2 Determinamos ahora y2 considerando .x1 ; y1 / D .1:1; 1:9155/: x2 D x1 C h D 1:1 C 0:1 D 1:2 : k1 D h f .x1 ; y1 / D 0:1 f .1:1; 1:9155/ D 0:0706 : k2 D h f .x1 C h; y1 C k1 / D 0:1 f .1:2; 1:8449/ D 0:0405 : 1 y2 D y1 C .k1 C k2 / D 1:9155 C 0:5. 0:0706 0:0405/ D 1:86 : 2 El valor de y3 lo calculamos considerando .x2 ; y2 / D .1:2; 1:86/, obtenemos ahora: x3 D x2 C h D 1:2 C 0:1 D 1:3 : k1 D h f .x2 ; y2 / D 0:1 f .1:2; 1:86/ D 0:042 : k2 D h f .x2 C h; y2 C k1 / D 0:1 f .1:3; 1:818/ D 0:0128 : 1 y3 D y2 C .k1 C k2 / D 1:86 C 0:5. 0:042 0:0128/ D 1:8326 : 2 Obtenemos y4 repitiendo el proceso, tenemos entonces: x4 D x3 C h D 1:3 C 0:1 D 1:4 : k1 D h f .x3 ; y3 / D 0:1 f .1:3; 1:8326/ D 0:0143 : k2 D h f .x3 C h; y3 C k1 / D 0:1 f .1:4; 1:8183/ D 0:0142 : 1 y4 D y3 C .k1 C k2 / D 1:8326 C 0:5. 0:0143 C 0:0142/ D 1:8326 : 2 Finalmente, y5 está dado por x5 D x4 C h D 1:4 C 0:1 D 1:5 : k1 D h f .x4 ; y4 / D 0:1 f .1:4; 1:8326/ D 0:0127 : k2 D h f .x4 C h; y4 C k1 / D 0:1 f .1:5; 1:8453/ D 0:0405 : 1 y5 D y4 C .k1 C k2 / D 1:8326 C 0:5.0:0127 C 0:0405/ D 1:8592 : 2 5. canek.azc.uam.mx: 4/ 2/ 2011 2 Es decir, la aproximación de la solución en x D 1:5 está dada por yaprox .1:5/ D 1:8592 : Ahora encontremos la solución exacta, esto nos permitirá determinar el error porcentual. Reescribimos la ED lineal: y 0 D x2 y ) y 0 C y D x2 : Su factor integrante es D e x . La solución general de esta ED es y D x2 2x C 2 C C e x : Usando la condición inicial y.1/ D 2, obtenemos: 2 D 1 C Ce 1 ) C D e ) y D x2 2x C 2 C e 1 x : Evaluando esta expresión en x D 1:5, obtenemos el valor exacto: yexacto D 1:8565 : En consecuencia, el error porcentual está dado por: 1:8565 1:8592 yexacto yaprox % D 100 % D 0:1454%: EP D 100 yexacto 1:8565 Mostramos a continuación los valores exactos, los aproximados y el error porcentual cometido, en cada uno de los puntos calculados hasta ahora y los siguientes cinco puntos a efecto de observar que el error EP aumenta, aunque para la ecuación diferencial que estamos considerando es pequeño. i xi yi yexacto EP % 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1:1 1:2 1:3 1:4 1:5 1:6 1:7 1:8 1:9 2 2 1:9155 1:86 1:8326 1:8326 1:8592 1:9118 1:9898 2:0928 2:2203 2:3718 2 1:9148 1:8587 1:8308 1:8303 1:8565 1:9088 1:9866 2:0893 2:2166 2:3679 0 0:0366 0:0699 0:0983 0:1257 0:1454 0:1624 0:1711 0:1771 0:1714 0:1731