Operadores lineales diagonalizables Objetivos. Estudiar operadores lineales diagonalizables. Establecer criterios de operador lineal diagonalizable. Requisitos. Independencia lineal de subespacios propios asociados a diferentes valores propios. 1. Definición (operador lineal diagonalizable). Sean V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) < +∞, T ∈ L(V ). Se dice que T es diagonalizable si existe una base U de V tal que la matriz TU es diagonal. 2. Observaciones antes de la definición de matriz diagonalizable. A cada matriz cuadrada A ∈ Mn (F) asociamos el operador lineal TA ∈ L(Fn ) definida mediante la siguiente regla: TA x = Ax ∀x ∈ Fn . Este operador TA tiene propiedad que (TA )E = A, donde E es la base canónica de Fn . Es natural decir que A es diagonalizable si es diagonalizable el operador TA , esto es, si existe una base U de Fn tal que la matriz (TA )U es diagonal. Notemos que −1 −1 (TA )U = PE,U (TA )E PE,U = PE,U APE,U . Se sabe que a cada matriz invertible P ∈ Mn (F) le corresponde una única base U de Fn tal que P = PE,U . Tomando en cuenta estas observaciones, obtenemos la siguiente definición. 3. Definición (matriz diagonalizable). Una matriz cuadrada A ∈ Mn (F) se llama diagonalizable si existe una matriz invertible P ∈ Mn (F) tal que la matriz P −1 AP es diagonal. 4. Definición (polinomio se factoriza en factores lineales). Sea f ∈ P(F). Vamos a decir que f se factoriza en factores lineales sobre F si f se puede escribir en forma f (x) = c(x − x1 )p1 · . . . · (x − xm )pm , donde c, x1 , . . . , xm ∈ F, p1 , . . . , pm ∈ {1, 2, . . .}. 5. Ejemplos. 1. f (x) = x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3) se factoriza en factores lineales sobre Q. 2. f (x) = x2 − 7 no se factoriza en factores lineales sobre Q, pero se factoriza en factores lineales sobre R. Operadores lineales diagonalizables, página 1 de 4 3. f (x) = x2 +6 no se factoriza en factores lineales sobre R, pero se factoriza en factores lineales sobre C. 6. Ejemplo. Este ejemplo sirve para comprender mejor la demostración del lema y del teorema escritos en continuación. Sea V un espacio vectorial real de dimensión 5, sea T ∈ L(V ) y sea U = (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) una base de V tal que T u1 = 7u1 , T u2 = 7u2 , T u3 = 7u3 , T u4 = 6u4 , T u5 = −3u5 . Escriba TU . Calcule CT y sp(T ). Para todo λ ∈ sp(T ) calcule r(λI5 − TB )) y dim(ker(λI − T )). 7. Proposición (criterio para que la matriz asociada a un operador lineal sea diagonal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n < +∞, sea T ∈ L(V ) un operador lineal y sea U = (u1 , . . . , un ) una base de V . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) la matriz TU es diagonal; (b) los elementos de U son vectores propios de T , o sea U consiste de vectores propios de T . Además, si se cumplen estas condiciones, entonces los elementos diagonales de TU son valores propios de T . Demostración. (a)⇒(b). Supóngase que TU = diag(α1 , . . . , αn ). Entonces por la definición de la matriz asociada TU se tiene que T uj = αj uj para todo j. Además los vectores uj son no nulos como elementos de la base U. Por lo tanto, los vectores uj son vectores propios de T . (b)⇒(a). Supongamos que u1 , . . . , un son vectores propios de T y α1 , . . . , αn son valores propios correspondientes (algunos de los escalares α1 , . . . , αn pueden coincidir entre si): T uj = αj uj (j ∈ {1, . . . , n}). Entonces por la definición de la matriz asociada a un operador lineal tenemos TU = diag(α1 , . . . , αn ). Operadores lineales diagonalizables, página 2 de 4 8. Teorema (criterio para que un operador lineal sea diagonalizable). Sean V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n < +∞, T ∈ L(V ). Sean λ1 , . . . , λm todos los valores propios distintos de T y ST,λk := ker(λk I − T ) los correspondientes subespacios propios. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) T es diagonalizable. (b) En V existe una base de vectores propios de T . (c) dim(ST,λ1 ) + . . . + dim(ST,λm ) = n. (d) El polinomio caracterı́stico de T se factoriza en factores lineales sobre F: CT (λ) = (λ − λ1 )p1 · . . . · (λ − λm )pm , y las multiplicidades algebraicas coinciden con las multiplicidades geométricas: ∀j ∈ {1, . . . , m} dim ker(λj I − T ) = pj . Demostración. La equivalencia (a)⇔(b) sigue de la proposición antes del teorema. (c)⇒(b). Encontramos algunas bases B1 , . . . , Bm de los subespacios ST,λ1 , . . . , ST,λm y denotemos por U a la contenación de las listas B1 , . . . , Bm : U := B1 ∨ . . . ∨ Bm . Del teorema de la independencia lineal de subespacio propios asociados a diferentes valores propios sigue que U es una base de W1 + . . . + Wm . Como |U| = m X k=1 |Bk | = m X dim(ST,λk ) = n, k=1 U es una base de V . (d)⇒(c). Es grado del producto de polinomios es igual con el producto de los grados, por eso m m X X dim(ST,λk ) = pk = deg(CT ) = n. k=1 k=1 (a)⇒(d). Sea U una base tal que TU es diagonal: TU = diag(α1 , . . . , αn ). Denotemos por qj al número de las entradas diagonales de la matriz TU iguales a λj : qj := i ∈ {1, . . . , n} : αi = λj . Entonces q1 + . . . + qm = n y CT (λ) = CTU (λ) = (λ − α1 ) · . . . · (λ − αn ) = (λ − λ1 )q1 · . . . · (λ − λm )qm . Operadores lineales diagonalizables, página 3 de 4 Además, dim(ker(λj I − T )) = n − r(λj I − T )) = n − r(λj In − TU ) el número de las entradas diagonales no nulas =n− de la matriz λj In − TU el número de las entradas diagonales nulas = de la matriz λj In − TU el número de las entradas diagonales = = qj . de la matriz TU iguales a λj 9. Corolario. Sean V un EV/F, dim(V ) = n < +∞, T ∈ L(V ). Supongamos que T tiene n valores propios diferentes. Entonces T es diagonalizable. 10. Ejercicio. Sean V un EV/F de dimensión finita y T ∈ L(V ) un operador lineal diagonalizable. Demuestre que el polinomio mı́nimo de T posée una factorización en factores lineales sobre F, y todas sus raı́ces son simples: µT (λ) = (λ − λ1 ) · . . . · (λ − λm ). Sugerencia. Sea B una base tal que TB es diagonal. Calcule (TB − λ1 I) · . . . · (TB − λm I). 11. Tarea adicional. Sean V un espacio vectorial F de dimensión finita y T ∈ L(V ) un operador lineal tal que µT se puede factorizar en factores lineales sobre F, y todas sus raı́ces son simples. Demuestre que T es diagonalizable. 12. Ejemplo. Determine si la matriz dada A es diagonalizable o no. Si es diagonalizable, encuentre una matriz P tal que P −1 AP sea una matriz diagonal. 4 3 4 3 3 . A= 3 −4 −3 −4 13. Ejemplo. 0 2 2 A = −1 −3 −2 . 1 2 1 14. Ejercicios. −1 −4 −2 A = −6 −3 −6 , 4 4 5 −1 −1 −1 1 1 . A= 1 2 2 1 15. Ejercicio (criterio para que una matriz sea escalar). Sea A ∈ Mn (F) y sea λ ∈ F. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) A es diagonalizable y sp(A) = {λ}. (b) A = λIn . Operadores lineales diagonalizables, página 4 de 4