Designaremos como DMAX a la máxima diferencia de numeración

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CONSIDERACIONES SOBRE EL ALMACENAMIENTO DE DATOS
Designaremos como DMAX a la máxima diferencia de numeración existente entre
E. MARTIN & J. VALCARCEL
& J. ESTEVEZ
ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
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los nodos extremos de un mismo elemento. Se observa que, si se numeran adecuadamente
los nodos (esto es, si se reduce al mínimo el valor de DMAX), todas aquellas submatrices
que se alejan de la diagonal principal por encima de una cierta magnitud son idénticamente
nulas. Dicha distancia, que denominaremos SEMIANCHO DE BANDA, viene dada por la
expresión
SB = (DMAX + l).m
será:
[100]
En consecuencia, el máximo número de coeficientes no nulos de una misma ecuación
B = (2.5B)-1
[101]
y recibe el nombre de ANCHO DE BANDA.
Lo anterior nos permite afirmar que todos los términos significativos de la Matriz de
Rigidez se agrupan en una franja diagonal; de tal forma que los elementos exteriores a la
misma son nulos y, por tanto, inoperantes en el proceso de resolución.
Por otra parte, y en virtud de la configuración simétrica de la Matriz de Rigidez, sólo
será preciso almacenar una fracción de la misma; esto es, aquellos elementos contenidos en
la diagonal principal o en la mitad triangular superior. De otra forma:
todo a.¡ tal que
j = l,...,(n.m) (columnas)
i=j,...,(n.m) (filas)
Si el producto (n.m) constituye el volumen total de ecuaciones del sistema, el número
teórico de coeficientes de la Matriz de Rigidez vendrá dado por (n.m)2. Sin embargo, y
atendiendo a la mencionada simetría, sólo serán diferentes
Por último, y de acuerdo con la distribución en banda ya analizada, el total de
coeficientes que ha de almacenarse se obtiene con la expresión
La cifra resultante supone una notable reducción respecto de (n.m)2, tanto mayor
cuanto menor sea el semiancho de banda evaluado con la igualdad [100]. Por tanto,
convendrá disminuir en la medida de lo posible la máxima diferencia de numeración entre
los nodos extremos de los elementos, DMAX; y ello en base a las siguientes consecuencias:
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142
CONSIDERACIONES SOBRE EL ALMACENAMIENTO DE DATOS
a.-
Decrecen las necesidades de almacenamiento de datos, en virtud de las
consideraciones expuestas.
b.-
Se reduce considerablemente el tiempo de cálculo. Al respecto, cabe avanzar que la
duración del proceso, empleando un programa de Gauss opái.úzado, se puede tomar
proporcional al cuadrado del semiancho de banda:
siendo t2 el tiempo que emplea el ordenador en reducir una fila.
Lo cierto es que no existen unos criterios generales que nos permitan determinar al
instante la numeración óptima, quedando el desarrollo de esta facultad al ejercicio de la
práctica. Únicamente apuntar, a modo de recomendación, que, cuando la estructura es
alargada en una cierta dirección, suele resultar favorable numerarla siguiendo alineaciones
sucesivas transversales a la misma.
Una vez analizadas las propiedades de la Matriz de Rigidez que nos permiten
disminuir el total de coeficientes significativos, sólo resta establecer los mecanismos
apropiados para regular su almacenamiento.
La primera posibilidad consiste en deformar la semibanda inclinada con objeto de
convertirla en una matriz recta bidimensional, con un total de (n.m) filas (tantas como
ecuaciones) y SB columnas. De ahí que, en términos generales, a esta dimensión menor se
la conozca simplemente como ancho de banda.
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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
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En estas condiciones se guardan todos los coeficientes K¡j tales que
i se encuentre comprendido entre la unidad y el total de ecuaciones,
j varíe desde i hasta el menor de los valores (n.m) o SB+i-1.
A lo largo del proceso de deformación, cada elemento a¡¡ se mantiene en la misma
fila, de numeración i, pero se traslada de la columna j a la j-i+1.
En realidad, estas transformaciones no tienen lugar de una forma directa, sino que se
asumen al situar adecuadamente en la banda recta las contribuciones de cada elemento. El
caso más simple es aquel en que, tanto la matriz resultante del ensamblaje como los
restantes datos que integran el problema, pueden alojarse simultáneamente en Memoria
Central. No obstante, en estas circunstancias dependemos por entero de las limitaciones del
ordenador, que sólo podrá albergar y analizar estructuras inferiores a un determinado
tamaño.
Si la capacidad anterior es rebasada, debe articularse un procedimiento de
transferencia entre la propia Memoria Central y la denominada Periférica, que vendrá
definida por el uso de dispositivos auxiliares. Conviene señalar que esta estrategia ralentiza
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CONSIDERACIONES SOBRE EL ALMACENAMIENTO DE DATOS
sensiblemente el proceso, por lo que, dejando a un lado otras consideraciones, resultará
favorable disponer en Memoria Central el mayor número posible de ecuaciones.
El primer artificio consiste en situar en un dispositivo externo los datos topológicos
y mecánicos de los distintos elementos estructurales. De esta forma se recupera cada vez la
información concerniente a una única pieza, con el fin de proceder a su ensamblaje.
Cuando el recurso anterior no es suficiente, es preciso fraccionar la Matriz de
Rigidez, de tal manera que se puede operar en Memoria Central con un sector de la misma
hasta su total construcción y posterior almacenamiento auxiliar. Así, si la descripción
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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
145
topológica de las barras se organiza por orden creciente de numeración, referida ésta al nodo
inicial (o de menor cifra), bastará disponer simultáneamente SB ecuaciones en Memoria
Central. En efecto, cuando al tomar un nuevo elemento, su nodo dorsal (i) sea distinto del
correspondiente a la pieza anterior (j), las ecuaciones relativas al nodo i habrán sido
rematadas. En este momento se procederá a guardarlas en la unidad externa, y a desplazar
las restantes con objeto de incorporar las siguientes hasta completar nuevamente el cupo de
SB filas.
El siguiente paso consiste en recuperar, para cada elemento, las ecuaciones
correspondientes a los nodos que conecta, y sumar sobre sus términos las contribuciones
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146
CONSIDERACIONES SOBRE EL ALMACENAMIENTO DE DATOS
de la pieza. De esta forma, sólo será necesario operar cada vez con las m igualdades que se
refieren a uno de los nodos.
Con todo, la reducción de capacidad así lograda se realiza a expensas de una aumento
excesivo en el volumen de transferencias de información, con el consiguiente retraso del
proceso. Con objeto de paliar este efecto, puede utilizarse la siguiente alternativa. En ella se
recuperan por orden las m expresiones relativas a un nodo, y se buscan todos los
elementos unidos al mismo para proceder a su ensamblaje. Dicha búsqueda se verá
agilizada si se alojan los datos topológicos en Memoria Central.
En este punto, conviene llamar la atención sobre el hecho de que todos y cada uno
de los anteriores procedimientos fueron diseñados en base a un almacenamiento
bidimensional de la Matriz de Rigidez. Por otra parte, esta forma de organizar sus
coeficientes presenta las siguientes desventajas:
a.-
La reserva de memoria se realiza facilitando al programa el valor máximo que puede
adoptar cada uno de los índices. Esta operación determina un espacio rectangular
en el que se incluye un total de SB. (SB-1J/2 términos nulos, y por tanto innecesarios;
situados en el triángulo inferior ya descrito.
b. -
La memoria interna del ordenador obedece a un direccionamiento lineal. Por ello,
cada tarea que vincule a un elemento de la matriz, cuya posición viene definida por
dos subíndices , conlleva operaciones adicionales imprescindibles para su localización.
A la vista de las anteriores reflexiones, puede optarse por alojar la totalidad de los
coeficientes de rigidez en un vector; esto es, almacenándolos linealmente. La
transformación puede realizarse bien por filas, bien por columnas. Analizando, por ejemplo,
el último caso, se deduce que la posición modificada de cada elemento K¡¡ responde a las
expresiones:
En la segunda igualdad, el primer sumando representa la contribución de las SB
columnas iniciales; mientras que el último paréntesis determina la posición del elemento
sobre la columna actual.
Esta última estrategia resulta especialmente útil si se desea emplear un
almacenamiento periférico de carácter aleatorio (libremente a cualquier posición del fichero,
sin necesidad de leer previamente los términos anteriores). Su uso permite reducir al máximo
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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
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las exigencias de capacidad, ya que el ensamblaje de cada elemento puede efectuarse
sumando directamente sus contribuciones a los coeficientes archivados externamente.
El sistema de almacenamiento lineal puede ser aún optimizado mediante la llamada
TÉCNICA DE LA ENVOLVENTE, que consiste en guardar la banda realmente
significativa de cada columna. En efecto, si en una de ellas son nulos todos los términos
anteriores a un cierto K¡j ubicado en el interior de la semibanda, la reserva de espacio que
les corresponde supondrá un gasto innecesario de posiciones de memoria. De otra forma:
En estas condiciones, bastará alojar en el vector de coeficientes, y para cada columna,
los términos
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148
CONSIDERACIONES SOBRE EL ALMACENAMIENTO DE DATOS
Como contrapartida, es necesario disponer de un vector de punteros que indique la
posición de los coeficientes que conforman la diagonal principal:
PUNT = (1,3,6,10,15,21,22,24,27,37,48,60)
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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
149
Por último, incidiremos en la interrelación existente entre el sistema de
almacenamiento elegido y el orden de numeración a plantear. Así, en el esquema de la
figura, la primera asignación conduce al menor ancho de banda posible, mientras que la
segunda resulta m¿xS adecuada para un almacenamiento de envolvente.
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CAPITULO 8
PROCEDIMIENTOS DE RENUMERACION
En el epígrafe anterior fue evaluado el semi ancho de banda a partir de la mayor de
las diferencias existentes entre los números asignados a dos nodos pertenecientes a un mismo
elemento
SB = (DMAXX+1)) m
[ 100 ]
Se demostró igualmente que una numeración adecuada (esto es, aquella que reduce
la mencionada diferencia al mínimo) se traduce en un ahorro de la capacidad de
almacenamiento necesaria, así como en una sensible disminución en el tiempo de cálculo. Por
otra parte, la primera consideración se vincula directamente a las limitaciones (en términos
de volumen de datos) que el ordenador puede imponer a la estructura objeto de análisis.
En este punto cabe establecer las siguientes reflexiones:
a. -
Normalmente se tiende al estudio de sistemas estructurales completos, en la forma
más detallada, e incluyendo el menor número posible de simplificaciones; todo ello
con objeto de aproximar el modelo de análisis al comportamiento real. Esta
pretensión obliga a aumentar de modo ostensible el nivel de información que
configura el problema.
b. -
En general, la introducción de datos suele realizarse mediante un programa auxiliar
de generación automática. Esta utilidad resulta especialmente operativa con
estructuras compuestas por un gran número de elementos o muy complejas, como
pueden serlo las mallas espaciales o los sistemas desplegables. En cualquier caso,
lo normal es que la numeración resultante no conduzca a un semiancho de banda
aceptable.
Las anteriores disquisiciones ilustran la necesidad de disponer de unos mecanismos
que introduzcan notables mejoras sobre las numeraciones iniciales, con las siguientes
consideraciones de funcionamiento:
a.-
Han de conducir a valores del semiancho de banda cuando menos próximos al
óptimo.
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152
PROCEDIMIENTOS DE REMUNERACIÓN
b.-
Resulta preferible un nivel interno de ejecución, sin que sea preciso facilitar otros
datos que los inherentes a la descripción topológica de la estructura.
c. -
No deben requerir un tiempo de análisis excesivo.
d. -
Han de consumir un volumen de almacenamiento razonable, a ser posible localizado
en Memoria Central.
Por otra parte, puede suceder que la numeración correspondiente al menor semiancho
de banda dificulte al usuario el tratamiento de resultados. En estas condiciones, hemos de
optar por una de las siguientes posibilidades:
a.-
Reorganizar totalmente todos los datos de la estructura de acuerdo a una nueva
numeración, abordar el proceso de cálculo y presentar finalmente los resultados en
base a la descripción inicial.
b.-
Modificar los programas deforma que la referencia a los nodos se realice a través
de un método de direccionamiento indirecto; es decir, sustituyendo el valor inicial I
por N(I), siendo N el vector que contiene la numeración final.
Lo cierto es que, para cada sistema, no existe una única solución conducente al
semiancho de banda mínimo. Igualmente, no se ha podido desarrollar un procedimiento con
el que determinar indefectiblemente el valor óptimo. Se suele asumir que el problema viene
acotado en su nivel inferior por el valor:
DMAX * parte entera
siendo CMAX el mayor número de conectividades de un nodo (esto es, relativo a la unión
perteneciente a más elementos). En el ejemplo de la figura:
DMAX ;> parte entera
Cuando el proceso de numeración se realiza de forma manual, existen ciertos
artificios como la variación local del orden de numeración, o la inclusión de nuevos nodos.
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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
153
Dejando a un lado las anteriores posibilidades, y centrándonos en los procesos
programables, puede establecerse la siguiente clasificación:
GRUPO A
Métodos que optimizan la numeración facilitada por el usuario mediante el
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154
PROCEDIMIENTOS DE RENUMERACIÓN
intercambio de las cifras asignadas a ciertos nodos.
GRUPO B
Métodos que conducen a una renumeración completa de la estructura,
independientemente de la solución inicial.
MÉTODOS INSCRITOS EN EL GRUPO A
En el presente epígrafe nos limitaremos a exponer de forma esquemática los
procedimientos propuestos por J. S. Rodrigues y H. R. Grooms. Ambos exigen la
determinación previa de la pareja o parejas de nodos que producen la máxima diferencia de
numeración. Sea:
DMAX = NJ - NI
(NKNJ)
8.1. MÉTODO DE RODRIGUES
Se describe en base a los siguientes pasos:
a.-
Averiguar si, al intercambiar la numeración del nodo NJ por la de alguno
comprendido entre NI+1 y NJ-1, se mejora localmente la situación. En su caso, se
elegirá la permuta que origine el resultado más favorable.
b.-
Si con el proceso anterior no se produce una corrección local, se prueba el efecto de
trocar la numeración del nodo NI por la de alguno ubicado entre NJ-1 y NI+1.
c. -
Si, con todo, no se obtiene mejoría alguna, se procede a la renumeración completa
de la estructura.
Sea el esquema de la figura, cuya máxima diferencia de numeración corresponde a
la barra 2-8:
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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
DMAX=6
(NJ-1)
NJ = 8
DMAX
Bara/s que produce/n DMAX
3
6
2-8
4
7
1-8
5
6
2-8
6
5
3-8
7
5
2-7 / 3-8
Intercambio del nodo 8 con
(NI+1)
NI=2
155
A la vista de los resultados, se elige el intercambio de los nodos 6 y 8. El proceso
puede reiterarse sucesivamente, siempre y cuando cada nueva aplicación produzca un
descenso en DMAX. Así, en el ejemplo propuesto:
DMAX = 5
Intercambio del nodo 8 con
(NI+1)
(NJ-1)
NI = 3
ATJ = 8
DMAX
Barra/s que produce/n DMAX
4
7
1-8
5
6
2-8
6
6
2-8
7
5
3-8
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156
PROCEDIMIENTOS DE RENUMERACIÓN
Dado que el primer recurso definido por Rodrigues no conduce a resultados positivos,
se procede a intercambiar NI con los nodos comprendidos entre NJ-1 y NI+1:
Intercambio del nodo 3 con
(NJ-1)
(NI+1)
DMAX
Barra/s que produce/n DMAX
7
5
2-7
6
4
2-6 / 3-7
5
4
2-6
4
4
2-6 / 4-8
Con todo, se ha reducido DMAX en 2 puntos, y, como consecuencia, el semiancho
de banda en 7 (de 21 a 15). Para un total de 24 ecuaciones, y considerando un
almacenamiento bidimensional recto, supone un ahorro de 168 posiciones de memoria.
8.2. MÉTODO DE GROOMS
Establecido igualmente el valor
se elige un parámetro INK comprendido entre la parte entera de (NJ-NI)/2,2 y 1, y con él
se abordan los siguientes cambios:
a.-
El nodo de valor NI+INK pasa a tener la cifra NI.
b.-
Todo N comprendido entre NI+1NK-1 y NI se aumenta en 1.
c.-
El nodo NJ-INK se convierte en NJ.
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157
ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
d.-
Los nodos comprendidos entre NJ-INK+1 y NJ se reducen en 1.
En el ejemplo propuesto:
DMAX = 6
NJ = S
NI = 2
1 <. INK ¿parte entera
Tomando INK=2 se definen las siguientes
modificaciones:
INICIALMENTE
ASIGNADO
(NI + INK)
4
2
(NI+INK-1)
3
4
(NI)
2
3
(NJ-INK)
6
8
(NK-INK+1)
7
6
(NJ)
8
7
DMAX=4
El proceso se repite nuevamente con la pareja de nodos que ahora produce la máxima
diferencia de numeración.
El análisis se prolonga hasta un número de iteraciones fijado de antemano, o hasta que
DMAX se sitúe por debajo de un valor predefinido.
Si bien el método descrito suele revelarse como muy eficaz, es preciso objetarse
ciertos inconvenientes:
a. -
Requiere la introducción de datos adicionales, como el valor de INK o la máxima
diferencia admisible.
b.-
No garantiza que cada nuevo intento optimice o, cuando menos, no empeore la
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158
PROCEDIMIENTOS DE RENUMERACIÓN
numeración anterior. De hecho, si en el ejemplo analizado se estudian las piezas 3-7
ó 4-8, DMAX aumenta a 5. Esta circunstancia obliga a almacenar en un vector
auxiliar la mejor de las numeraciones consideradas, procediendo a su sustitución sólo
cuando se verifique una mejoría.
MÉTODOS INSCRITOS EN EL GRUPO B
En general, se basan en la propiedad topológica de conexión entre nodos, que permite
trasladar el problema a otro de grafos.
8.3. MÉTODO DE CUTHILL Y McKEE
Se trata de traducir la idealización geométrica en estudio a un grafo, cuyos vértices
son los nodos de la propia estructura. Su organización, en forma de árbol, responde a los
siguientes criterios:
a. -
Se toma un nodo origen, y se dispone en el nivel 0. Deben considerarse en primer
lugar aquellos nodos con menor número de conexiones (normalmente los periféricos),
con objeto de mejorar la eficacia del proceso.
b. -
En el nivel 1 se alojarán todos aquellos nodos vinculados al anterior.
c.-
El nivel 2 estará constituido por los nodos conectados a algún punto del nivel
precedente, excepto aquellos que ya han sido ubicados.
d.-
El proceso se repite deforma análoga con los niveles subsiguientes.
Una vez finalizada esta etapa, se procede a la numeración de los vértices de acuerdo
a las siguientes directrices:
a. -
Se asigna el valor 1 al nodo emplazado en el nivel 0.
b.-
Se adjudican a los puntos del nivel 1 los números 2 y subsiguientes hasta NI.
c. -
La numeración del nivel 2 se realiza como sigue: Los nodos conectados al 2 se cifran
desde Nl+1 hasta N2; los unidos al 2 (y aún no numerados), desde N2+1 hasta N3;
y así sucesivamente.
d. -
En general, los vértices vinculados al de valor I, no numerados y situados en un nivel
posterior al de éste, recibirán cifras comprendidas entre N,.¡+1 y N,. Cuando N, sea
igual al total de nodos que comprende la estructura, habrá finalizado el proceso.
En cada nivel, si un nodo se encuentra conectado a J vértices, será preciso probar las
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& J. ESTEVEZ
ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
159
numeraciones resultantes de permutar las cifras asignadas entre ellos, hasta un total de J!
alternativas. Este procedimiento incrementa el tiempo de análisis de forma excesiva,
especialmente en estructuras con un número elevado de nodos.
Con objeto de paliar el anterior inconveniente, Cuthill y McKee descubrieron que
suele ser suficiente con asignar la numeración, en cada nivel, por orden creciente de
conectividad (es decir, imponiendo números inferiores a los vértices con menores lazos de
unión).
Volviendo sobre nuestro ejemplo:
En general, no es necesario repetir el proceso partiendo de cada uno de los nodos de
la estructura. Por el contrario, habitualmente se alcanzan resultados aceptables con un breve
número de intentos, y siempre que se haya desarrollado una cierta práctica en la elección del
vértice origen.
Por último, mencionar el llamado ALGORITMO INVERSO DE CUTHILLMcKEE, que consiste simplemente en invertir el orden antes obtenido. George demostró
que, en un elevado número de casos, este artificio proporcionaba una configuración mejor
de la Matriz de Rigidez, especialmente de cara a un almacenamiento de tipo lineal
optimizado.
E. MARTIN & J. VALCARCEL & J. ESTEVEZ
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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
161
CAPITULO 9
CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS
MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN
DEL SISTEMA DE ECUACIONES
En general, se considera que todo proceso de cálculo estructural se compone de tres
etapas claramente diferenciables. En la primera, se preparan los datos necesarios; esto es,
los relativos a la descripción geométrica del sistema, los que atienden a las características
mecánicas de sus elementos, la propia definición de sus conexiones y de los mecanismos de
sustentación, la ennumeración de las distintas acciones que solicitan a la estructura en cada
hipótesis de cálculo, y, en su caso, el planteamiento de los estados de autotensión. Las
siguientes fases consisten en el desarrollo del cálculo propiamente dicho, y en el postproceso
e interpretación de resultados.
Una fracción muy importante del tiempo total empleado, cuando se recurre al Método
de las Deformaciones, se ve consumida en la resolución del sistema de ecuaciones
E=K&
[19]
Cabe señalar que este problema no es patrimonio exclusivo del Análisis Matricial de
Estructuras de barras. En efecto, otros métodos, como el de Diferencias Finitas o el de
Elementos Finitos, conducen a sistemas de ecuaciones que en muchos casos son lineales, y
en otros casos pueden abordarse por resolución sucesiva de una serie de sistemas lineales.
Centrándonos en el caso de las aplicaciones implementadas en ordenador, resulta
extremadamente difícil ofrecer una estadística general (en términos porcentuales) sobre el
tiempo utilizado. Y ello debido a múltiples factores, tales como la magnitud del problema,
los algoritmos adoptados, las características del equipo, o el tratamiento de los ámbitos de
memoria. En cualquier caso, la espera crece de forma aproximadamente proporcional al
número total de ecuaciones y al cuadrado del semiancho de banda (dependiendo del orden
de numeración y de los criterios de almacenamiento). Todo ello apunta a la necesidad de
disponer de unos mecanismos de resolución veloces y adecuados. En este sentido, no se
puede hablar estrictamente de un método óptimo para todas las situaciones posibles. Es por
ello que ofreceremos una visión de conjunto (referida a los procedimientos usuales) antes de
centrarnos en el Método de Gauss, de fácil programación y amplias prestaciones en el estudio
de estructuras en régimen lineal.
E. MARTIN
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162
CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS
En lo sucesivo, distinguiremos entre:
a.-
Métodos Directos:
Son aquellos en los cuales la solución se obtiene afrontando un número conocido de
operaciones.
b.-
Métodos Iterativos:
En ellos, la solución definitiva se alcanza por aproximaciones sucesivas; es decir,
mejorando paulatinamente un conjunto de valores 'que se adopta inicialmente. El
número total de operaciones a efectuar es desconocido a priori, y por lo demás difícil
de prever.
Los métodos iterativos tuvieron gran desarrollo antes del uso generalizado del
ordenador, pues constituyen la base de los procedimientos tradicionales de cálculo (Cross,
Kani, ...)• Son especialmente útiles en el análisis manual, dado que proporcionan en todo
momento una interpretación física de las magnitudes tratadas, y facilitan al calculista la
detección de errores (errores que no afectan a la solución final, pero que prolongan el
proceso). Por otra parte, su programación resulta muy simple y sus requerimientos de
memoria son menores, lo que a su vez permite analizar estructuras de mayor tamaño si la
capacidad disponible es limitada.
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