Medidas coherentes de riesgo y funciones de distorsi¶on Silvia Mayoral Servicio de Estudios, Banco de Espa~na 21 de Septiembre, 2005 1 Contenido: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Resumen y motivaci¶on Valor en Riesgo Medidas coherentes de riesgo Propiedades de las medidas de riesgo: falta de consenso Medidas de riesgo basadas en distorsiones M¶as all¶a de la coherencia. Conclusiones. 2 1. Resumen Importancia de las medidas de riesgo • Necesidad de cuanti¯car el riesgo asumido • Las entidades ¯nancieras han fomentado la gesti¶on del riesgo en los ¶ultimos a~nos • Estudio PricewaterhouseCoopers: 82% de los directivos de empresas ¯nancieras indican que el conocimiento del riesgo es un tema prioritario en sus organizaciones • 73% piensan que sus organizaciones de¯nen su nivel de aceptaci¶on al riesgo de forma m¶as clara. • Acuerdo de Basilea II. 3 • Existen muchas medidas de riesgo. • No existe consenso en la literatura sobre qu¶e medida de riesgo es la m¶as adecuada. • >Qu¶e propiedades debe tener? ⇔ No hay acuerdo • La medida CV aR puede llevar a toma de decisiones incorrectas. Principales objetivos: • >Por qu¶e el CVaR funciona mal?. • De¯nir propiedades \m¶³nimas". 4 2.Valor en Riesgo • La medida m¶as utilizada en la pr¶actica: Valor en Riesgo (VaR) • Du±e y Pan (1997), el Valor en Riesgo se puede de¯nir como: Dado un horizonte temporal T y un nivel de con¯anza 100α%, el Valor en Riesgo es la p¶erdida en el valor de mercado sobre el horizonte temporal T que s¶olo es superada con una probabilidad 1 − α. • El VaR responde a >C¶ual es la m¶³nima p¶erdida en que incurrimos en los 100(1 − α)% peores casos de la cartera? 5 • Ejemplo: α = 0.99, T = 7 d¶³as V aR = 1.000.000: la p¶erdida de la posici¶on no deber¶³a ser superior a un mill¶on de d¶olares en 99 de 100 casos a lo largo de los siete d¶³as. • Si X indica las p¶erdidas-bene¯cios de la cartera.X ≥ 0 indicar¶a p¶erdidas y X ≤ 0 indicar¶an bene¯cios. V aRα = inf {x ∈ R | P (X ≤ x) ≥ α} . • Valor en Riesgo: p¶erdida asociada con el percentil α de la distribuci¶on de p¶erdidas de la cartera. 6 • Las ventajas del VaR: 1. Se expresa siempre en \dinero perdido" 2. Simplicidad 3. Universalidad • Paradoja { Cartera A: Valor 100 euros, p¶erdida 100 euros en los peores 5% casos. { Cartera B: Valor 100 euros, posici¶on en futuros con p¶erdidas no acotadas. { Se puede escoger B de tal forma que el V aR(B) = 100. 7 Problemas que presenta el VaR: • Si la distribuci¶on de p¶erdidas tiene una cola pesada nos podemos encontrar con dos carteras con igual VaR pero con p¶erdidas superiores al VaR muy diferentes. • Medida no subaditiva: diversi¯caci¶on puede aumentar el riesgo • Dif¶³cil de optimizar 8 3. Medidas coherentes de riesgo Artzner y otros (1997) intentan resolver estos problemas de¯niendo las medidas coherentes 1. 2. 3. 4. Sub-aditiva: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X ) + ρ(Y ), Positiva homog¶enea: ρ(λX ) = λρ(X ). Invariante por traslaci¶on: ρ(X + a) = ρ(X ) + a, a ∈ R Mon¶otona: Si X ≤ Y entonces ρ(X ) ≤ ρ(Y ). 9 • Artzner y otros (1999): Caracterizaci¶on de estas medidas. • Ejemplo de medida coherente: Valor en Riesgo condicionado (CVaR) • CVaR responde: >C¶ual es la p¶erdida esperada incurrida en los (1 − α)% peores casos de una posici¶on? CV aRα(X ) = EP [X | X ≥ V aRα], α ∈ (0, 1). • Por de¯nici¶on: CV aRα ≥ V aRα. • Propiedades m¶as atractivas: subaditiva y convexa. 10 4. Propiedades de las medidas de riesgo: Falta de consenso Se de¯nen muchos conjuntos de medidas: medidas convexas, espectrales, medidas de desviaci¶on, acotadas en media, etc.. Medidas convexas de riesgo: Follmer y Schied (2002) sugieren que el riesgo puede crecer de forma no lineal respecto al tama~no de la posici¶on. Relajan las condiciones positiva homog¶enea y subaditiva por convexidad: Convexidad:: ρ((1 − λ)Y + λX ) ≤ (1 − λ)ρ(Y )+ λρ(X ) para todo λ ∈ [0, 1]. 11 Medidas espectrales de riesgo: Acerbi (2002) de¯ne las medidas espectrales: Z1 Mφ(X ) = 0 φ(p)FX−(p)dp , (1) donde φ es una funci¶on real sobre el intervalo [0, 1] y FX−(p) = inf {x ∈ R | P [X ≤ x] ≥ p}. Kusuoka (2001) demuestra que las medidas espectrales son medidas coherentes que satisfacen las propiedades de invariante por ley y aditividad comon¶otona. 12 Rockafellar y otros (2002) de¯nen dos conjuntos diferentes de medidas de riesgo: medidas de desviaci¶on y medidas acotadas en media. Estas medidas no son coherentes. No existe consenso sobre las propiedades que las medidas de riesgo deben poseer. Goovaerts y otros (2003) son bastante cr¶³ticos sobre las condiciones de coherencia: sub{aditividad, invariante por traslaci¶on y positiva homog¶enea. Las propiedades deseables di¯eren cuando una medida de riesgo se utiliza para requerimientos de capital, para comparar primas de riesgo o para prop¶ositos de regulaci¶on. 13 5. Medidas de riesgo basadas en distorsiones Medida de riesgo: Valor esperado de las p¶erdidas bajo una probabilidad distorsionada (Integral de Choquet). Z∞ Z∞ ρg (Y ) = EP ∗ [X ] = 0 g(S (y))dy − 0 [1 − g(S (−y))]dy . (2) donde g es una funci¶on de distorsi¶on. De¯nici¶on Una funci¶on de distorsi¶on, g : [0, 1] → [0, 1], es una funci¶on no-decreciente que cumple g(0) = 0 y g(1) = 1. 14 Propiedades de las medidas basadas en distorsiones 1. 2. 3. 4. 5. 6. Monoton¶³a Homog¶enea positiva Invariante por traslaci¶on Aditiva comon¶otona Subaditiva si g es c¶oncava y superaditiva si g es convexa. Non-exceding loading : ρ(X ) ≤ max(X ) 15 • Valor esperado de una nueva funci¶on de distribuci¶on incorporando las expectativas o la aversi¶on al riesgo del individuo. • Una funci¶on de distorsi¶on repondera las probabilidades que asigna la funci¶on de distribuci¶on real de p¶erdidas. • Medidas coherentes basadas en distorsiones: repondera de forma que la distribuci¶on distorsionada tiene una cola m¶as pesada que la inicial. • Las medidas m¶as utilizadas est¶an basadas en distorsiones. 16 6. M¶as all¶a de la coherencia • Medidas basadas en distorsiones son coherentes ⇔ la distorsi¶on es c¶oncava. • No todas las medidas de riesgo coherentes son medidas basadas en distorsiones (aunque \si las m¶as importantes"). Valor en Riesgo 0 if y < 1 − α g(y) = 1 if y ≥ 1 − α (3) Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos y no{c¶oncava (no coherente). 17 Valor en Riesgo Condicionado y 1−α si y < 1 − α g (y ) = . 1 si y ≥ 1 − α (4) Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos, continua y c¶oncava (medida coherente). Ejemplo (CVaR inconsistente) P¶erdida A B 0 0.600 0.600 1 0.375 0.390 5 0.025 | 11 | 0.010 Tabla 1.:Distribuci¶on de las p¶erdidas de las carteras A y B. 18 Se puede calcular la distribuci¶on distorsionada de las carteras A y B. P¶erdida SA(x) SA∗ (x) X <0 1 1 0 ≤ X < 1 0.4 1 1 ≤ X < 5 0.025 0.5 5≤X 0 0 Tabla 2.: Distribuci¶on distorsionada de la cartera A El CV aRα(XA), a nivel α = 0.95, viene dado por: Z1 Z5 CV aR0.95(XA) = 0 dx + 1 0.5dx = 3 = CV aR0.95(XB ). 19 Problema de la medida CVaR: no utiliza toda la informaci¶on de la distribuci¶on inicial. Ejemplo Supongamos que tenemos la siguiente funci¶on de distorsi¶on: 50x si 0 ≤ x < 0.01 g1(x) = 0.5 si 0.01 ≤ x < 0.5 x si 0.5 < x ≤ 1 g es una funci¶on de distorsi¶on continua y constante en el intervalo [0.01, 0.5]. 20 Consideramos dos carteras A y B: P¶erdida A B 0 0.600 0.600 1 | 0.390 10 0.375 | 11 0.025 0.010 Tabla 3. Distribuci¶on de p¶erdidas de las carteras A y B La medida de riesgo generada por g1 asigna el mismo valor (5.5) a ambas carteras. Problema: La funci¶on de distorsi¶on no utiliza toda la infor- maci¶on inicial. 21 Se puede comprobar que da probabilidad cero a un conjunto de sucesos P¶erdida 0 10 11 P(A) P ∗(A) 0.600 0.5 0.375 0 0.025 0.5 Tabla 4.: Probabilidad distorsionada de la cartera A Soluci¶on: La medida de riesgo debe utilizar toda la informaci¶on de la distribuci¶on inicial. 22 De¯nici¶on: Consideramos un riesgo X y una medida de distorsi¶on ρ, i.e. ρ(X ) = EP ∗ (X ). La medida de riesgo ρ se dice que es completa si: S (x1) = S (x2) ⇔ S ∗(x1) = S ∗(x2), ∀ x1, x2 ∈ [0, 1], (5) donde S ∗ es la funci¶on de supervivencia de la probabilidad distorsionada, P ∗. Las medidas VaR y CVaR no son completas. Soluci¶on: La funci¶on de distorsi¶on que genera la medida de riesgo no puede ser constante. 23 No utilizar la informaci¶on inicial es equivalente a realizar una reponderaci¶on igual a cero. El coe¯ciente de reponderaci¶on se puede aproximar por la derivada de la funci¶on de distorsi¶on. Teorema: Las siguientes condiciones son equivalentes 1. S (x1) = S (x2) ⇔ S ∗(x1) = S ∗(x2), for all x1, x2 ∈ [0, 1], 2. g es una funci¶on de distorsi¶on estrictamente creciente. 24 Si estamos interesados en medidas coherentes (concavidad de la funci¶on de distorsi¶on) de¯nimos la propiedad de exhautividad. De¯nici¶on: Una medida de riesgo basada en una distorsi¶on es exhaustiva si es coherente y completa. La diferencia entre medidas de distorsi¶on convexas y c¶oncavas es que generan medidas super-aditivas o sub-aditivas, respectivamente. Caracterizaci¶on de las medidas exhaustivas en funci¶on de la derivada de la funci¶on de distorsi¶on. 25 • La coherencia no es sufuciente para evitar inconsistencias. Las medidas deben ser completas. • Las funciones c¶oncavas reponderan las p¶erdidas bajas por un coe¯ciente < 1 y las p¶erdidas extremas por un coe¯ciente > 1. • Existe un punto donde la reponderaci¶on cambia y el inversor decide asignar m¶as importancia a p¶erdidas superiores a ese valor que aquellas inferiores. 26 7. Conclusiones • No existe consenso sobre que propiedades deben tener las medidas de riesgo. • Se observan inconsistencias en las medidas de riesgo m¶as utilizadas en la pr¶actica: VaR y CVaR. • Las inconsistencias son debidas a que la funci¶on de distorsi¶on que de¯nen dichas medidas son constantes. • El problema aparece al reponderar por cero las probabilidades iniciales. • Se de¯nen propiedades para evitar dichas inconsitencias: Completitud y exhaustividad. 27