MA37A Optimización Laboratorio Presencial 1 Búsqueda del

Esquema
Descripción del Problema
Implementación
MA37A Optimización
Laboratorio Presencial 1
Búsqueda del mı́nimo en un intervalo real
Oscar Peredo
10 de Agosto del 2007
Oscar Peredo
MA37A Optimización Laboratorio Presencial 1 Búsqueda del mı́n
Esquema
Descripción del Problema
Implementación
Esquema
Descripción del problema
Búsqueda por Dicotomı́a
Método de la Sección Áurea
Implementación
Oscar Peredo
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Descripción del Problema
Sea θ : [a, b] → R función estrictamente cuasiconvexa, i.e. para
x, y ∈ [a, b], x 6= y , λ ∈ (0, 1):
θ(λx + (1 − λ)y ) < max{θ(x), θ(y )}
El problema es:
min θ(x)
x∈[a,b]
Oscar Peredo
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Función Cuasiconvexa
SI
NO
Oscar Peredo
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Teorema Principal
Teorema
Sea θ : [a, b] → R función estrictamente cuasiconvexa. Sean
λ, µ ∈ [a, b], tales que λ < µ:
Si θ(λ) > θ(µ), entonces θ(z) ≥ θ(µ), ∀z ∈ [a, λ).
Si θ(λ) ≤ θ(µ), entonces θ(z) ≥ θ(λ), ∀z ∈ (µ, b].
Oscar Peredo
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Es decir...
ak
µk
ak+1
θ(λk ) ≥ θ(µk ):
θ(λk ) < θ(µk ):
λk
ak+1
Oscar Peredo
bk
bk+1
bk+1
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Idea Principal
La idea de los métodos descritos es achicar el intervalo donde vive
el mı́nimo en cada iteración:
{x ∗ } ⊂ ... ⊂ [ak , bk ] ⊂ ... ⊂ [a2 , b2 ] ⊂ [a1 , b1 ] = [a, b]
Oscar Peredo
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Búsqueda por Dicotomı́a
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
Escoger constante > 0, tolerancia l > 0, k ← 1, Intervalo
inicial [a, b] = [a1 , b1 ].
repeat
if bk − ak < l then
k
PARAR. Retornar bk +a
2
else
k
k
− ,
µk = ak +b
+
Definir λk = ak +b
2
2
if θ(λk ) < θ(µk ) then
ak+1 = ak , bk+1 = µk
else
ak+1 = λk , bk+1 = bk
end if
end if
until Se cumpla criterio de parada
Oscar Peredo
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Búsqueda por Sección Áurea
Se impone que cada nuevo intervalo [ak , bk ] sea una proporción del
intervalo en la iteración anterior:
[ak+1 , bk+1 ] = α[ak , bk ]
con α ∈ (0, 1).
Escogiendo α = 0.618..., se tiene:
λk = ak + (1 − α)(bk − ak )
µk = ak + α(bk − ak )
Oscar Peredo
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Descripción del Problema
Implementación
Búsqueda por Dicotomı́a
Búsqueda por Sección Áurea
Búsqueda por Sección Áurea
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
Escoger tolerancia l > 0, k ← 1, Intervalo inicial [a, b] = [a1 , b1 ].
λ1 = a1 + (1 − α)(b1 − a1 ), µ1 = a1 + α(b1 − a1 ), α = 0.618....
repeat
if bk − ak < l then
k
PARAR. Retornar bk +a
2
else
if θ(λk ) > θ(µk ) then
ak+1 = λk , bk+1 = bk
λk+1 = µk , µk+1 = ak+1 + α(bk+1 − ak+1 )
else
ak+1 = ak , bk+1 = µk
λk+1 = ak+1 + (1 − α)(bk+1 − ak+1 ), µk+1 = λk
end if
end if
until Se cumpla criterio de parada
Oscar Peredo
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Implementación
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FIN
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