+q +4q

1. FUERZA ELÉCTRICA
PROBLEMA 1. Dos cargas puntuales de magnitudes +q y +4q , se encuentran separadas a
una distancia l . Una tercera carga se coloca de tal manera, que las cargas quedan en equilibrio por efecto sólo de fuerzas eléctricas.
(a)
Encontrar la ubicación, magnitud y signo de la tercera carga.
(b)
Examinar si acaso el equilibro es estable.
SOLUCIÓN
(a)
Las fuerzas entre las cargas +q y +4q son un par de acción – reacción como se indica
en el diagrama.
+q
+4q
r
F1
r
−F1
r
Para lograr el equilibrio de +q se requiere aplicarle una fuerza adicional del valor −F1 , de modo que la fuerza neta sobre ella sea nula.
+q
r
F1
r
− F1
Análogamente, para lograr el equilibrio de +4q se requiere aplicarle una fuerza adicional
r
del valor +F1 .
+4q
r
+ F1
r
−F1
Los dos requerimientos anteriores pueden lograrse con una carga negativa ubicada
entre las cargas +q y +4q , ya que ambas serán atraídas por una carga negativa. A su
r
vez, la carga negativa será atraída por las cargas +q y +4q , con fuerzas de valor +F1 y
1
2
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
r
−F1 respectivamente, quedando en equilibrio. El siguiente diagrama muestra las fuerzas
sobre la carga −Q :
−Q
r
F1
r
−F1
Todas las fuerzas involucradas son de igual magnitud. La distancia entre +q y −Q la llamaremos a , como se indica en el diagrama siguiente :
l
+4q
−Q
+q
a
La magnitud de la fuerza entre
+q y +4q
es :
4q 2
F1 = kc g 2
l
La magnitud de la fuerza entre
+q y −Q
es :
F1 = kc g
qQ
.
a2
La magnitud de la fuerza entre
+4q y −Q
es :
F1 = kc g
4qQ
2
(l − a)
Luego, para el equilibrio de +q se requiere :
kc g
.
.
4q 2
qQ
= kc g 2
2
l
a
4q 2
4qQ
kc g 2 = kc g
.
2
l
( l − a)
y el equilibrio de +4q requiere que :
De las ecuaciones de equilibrio se obtienen las soluciones para Q y a . Puesto que el lado
izquierdo de ambas ecuaciones es el mismo, igualando entre sí las expresiones del lado derecho, se obtiene 4a 2 = ( l − a ) .
2
Resolviendo, se encuentra que a =
l
.
3
Sustituyendo el valor de a en una de las ecuaciones de equilibrio se obtiene que :
Q=
4
q .
9
1. Fuerza Eléctrica
3
Puesto que la carga buscada es de signo negativo, hemos obtenido lo siguiente:
2a
a
+q
(b)
−4q
9
+4q
Un pequeño desplazamiento de la carga −Q hacia el lado derecho, hace que aumente la
fuerza de atracción hacia +4q y que disminuya la fuerza de atracción hacia +q . El resultado
es una fuerza neta hacia +4q que saca a la carga −Q de su posición de equilibrio. Algo semejante ocurre si −Q se desplaza inicialmente hacia el lado izquierdo. En consecuencia, el equilibrio de la carga −Q es inestable.
PROBLEMA 2. Dos cargas puntuales positivas y de igual magnitud, están separadas una distancia 2a . Una carga puntual de prueba se sitúa en un plano que es perpendicular a la línea
que une esas cargas y simétrico respecto a ellas.
(a) Calcular el radio r del círculo de simetría en este plano, para el cual la fuerza sobre la
carga de prueba tiene magnitud máxima.
(b) ¿Cuál es la dirección de esta fuerza, considerando que la carga de prueba es positiva?
4
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
SOLUCIÓN
Consideremos que las cargas son de magnitudes q y q0 , y examinemos las fuerzas
sobre q0 .
r
F
r
F2
r
F1
α
q0
y
α
q
a
q
a
r
r
F1 y F2 son de igual magnitud : F1 = F2 .
F1 =
1 g q g q0 .
4πε 0
a2 + y 2
r
r
Las componentes de F1 y F2 que son perpendiculares al plano, se anulan.
r
r
Luego, F = 2 F1 g sen α , ya que las componentes de F1 y F2 paralelas al plano se
suman. Es decir,
F=
q g q0 g y
2
g
3
4πε 0
( a2 + y 2 ) 2
pues
F es función de y , de acuerdo a la relación anterior.
s e nα =
y
(a
2
+y
2
)
1
2
.
1. Fuerza Eléctrica
5
Gráficamente :
En y = r , F es máximo y para encontrar el valor de r se hará
dF
= 0 . Puesdy
to que:
dF
q g q0
2 q g q0 g y 2
3
=
+
g  −  ,
3
5
dy
2πε 0 ( a 2 + y 2 ) 2 2πε 0 ( a 2 + y 2 ) 2  2 
debe resolverse,
q g q0
2πε 0 ( a2 + y 2 )
3
2

3y 2
g 1 − 2
2
 a +y

=0 .

La solución buscada se obtiene de :
1−
3y 2
=0 ,
a2 + y 2
Luego, el radio r es :
cuya solución es :
y=± a .
2
r = a .
2
r
La fuerza F es paralela al plano perpendicular a la línea que une las cargas q , según la figura al inicio de la solución presentada.
6
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
PROBLEMA 3. En cada uno de los vértices de un
7
8
cubo de lado a , se coloca una carga puntual +q .
5
Calcular la fuerza electrostática resultante sobre
a
6
a
una de las cargas.
4
1
3
2
a
SOLUCIÓN
Observe que, en este caso, lo más
qi
sión vectorial :
1 g
4πε 0
r
z
r r
qi g q1
r r 3 g ( r1 − ri ) ,
r1 − ri
r
F1i
q1
r
ri
adecuado es aplicar directamente la expre-
r
F1i =
r
( r1 − r i )
r
r1
0
y
x
r
r
para la fuerza producida por la partícula i sobre la partícula 1. En tal expresión r1 y ri son
los vectores posición de las cargas 1 e i respectivamente. Aplicando el principio de superposición, la fuerza resultante sobre la carga 1 será igual a :
r
F1 =
r
F
∑ 1i =
8
i=2
1
g
4πε 0
8
∑
i=2
r r
qi g q1
r r 3 g ( r1 − ri )
r1 − ri
Indudablemente, el resultado no dependerá del sistema
z
que simplifique lo más posible los cálculos; así por ejem-
7
8
de coordenadas utilizado, por lo que podemos elegir uno
5
6
y
plo, podemos ubicar el origen del sistema en la carga 1
4
y los ejes coincidiendo con los lados del cubo, como se
indica en la figura.
1
3
2
x
1. Fuerza Eléctrica
7
En este sistema los vectores posición son:
r
r1
r
r2
r
r3
r
r4
r
r5
r
r6
r
r7
r
r8
= 0
= a iˆ
= a iˆ + a jˆ
= a jˆ
= a kˆ
= a iˆ + a kˆ
= a iˆ + a ˆj + a kˆ
= a jˆ + a kˆ
Reemplazando estos valores, la expresión para la fuerza se reduce a :
r
F1 =
 ˆ
q2
 −a i
−a iˆ − a jˆ −a jˆ −a kˆ
g 3 +
+ 3 + 3 +
3
4πε 0  a
a
a
2a

(
+
Factorizando
(1
−a iˆ − a kˆ
(
2a
+
)
3
)
−a iˆ −a ˆj − a kˆ
(
3a
)
3

−a ˆj − a kˆ 
+
3 
2a 

(
)
a 2 ) y agrupando los coeficientes de los vectores unitarios, obtenemos
la expresión :
 
r
− q2  ˆ 
F1 =
g i 1+
4πε0  
 
2
+


 + jˆ  1+
3 


3 


1
( ) ( )
2
(
3
El factor numérico 1 + 2
r
( 2)
3
+1
( 3) )
3
2
1
+
( ) ( )
2
3
3
3


 + kˆ  1 +






2


3 
3 

1
+
( ) ( )
2
3
es aproximadamente igual a 1, 9 0 0 . Esto
nos da una expresión para F1 :
r
q2 ˆ ˆ ˆ
F1 = − 0,151
i + j+k .
ε 0 a2
(
)
Obsérvese que el vector está dirigido a lo largo de
z
la diagonal del cubo y que su magnitud es igual a :
5
r
q2
q2
F1 = 0,151
g
3
=
0,262
.
ε 0 a2
ε 0 a2
8
7
6
r
F1
y
4
1
2
3
x
Examinar la posibilidad de resolver este problema mediante otros métodos.
8
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
PROBLEMA 4. Determinar la fuerza eléctrica sobre la
λ
R
carga puntual q0 de la figura, que se encuentra en el
a
eje de un anillo de radio R y carga total Q distribuida
q0
uniformemente.
SOLUCIÓN
x
dl
dq
R
r
θ
a
α
z
α
r
dF
y
r
El elemento de carga dq produce una fuerza dF de magnitud :
dF =
q0
dq
g 2
4πε 0
r
.
r
dF tiene componentes dFx , dFy y dFz ; sin embargo la fuerza resultante sólo tiene componente Fz , ya que Fx = Fy = 0 en virtud de la simetría del anillo en relación a la ubicación
de q0 , y a la elección del sistema de coordenadas.
dFz = dF c o sα =
además :
q0
dq
a
g 2 g
,
4πε 0
r
r
dq = λ g d l = Q g Rdθ = Q g dθ .
2π R
2π
Luego, la única variable involucrada en dFz es θ , ya que r , Q , q0 , a y ε0 son constantes.
1. Fuerza Eléctrica
9
qQ
a
Entonces, Fz = 0
g
g
4πε0 2π r 3
2π
∫
dθ =
0
q0Qa
. Puesto que r 2 = R 2 + a 2 , el re4πε 0r 3
sultado queda :
Fz =
q0 Qa
4πε 0 ( R 2 + a 2 )
3
.
2
PROBLEMA 5. En el problema anterior, reemplazar el anillo cargado por un disco cargado uniformemente, con carga total Q y de radio R . Hallar la fuerza sobre una carga puntual q0
colocada sobre el eje del anillo.
SOLUCIÓN
El disco puede considerarse formado por una infinidad de anillos muy delgados, de diferentes radios. Esto permite aprovechar el resultado anterior, utilizándose como punto de partida, después de hacer algunos cambios en la notación :
x
dq
r
dF
q0
r
a
y
z
dr
El anillo de radio r , ancho dr
r
y carga dq produce sobre q0 una fuerza dF que so-
lamente tiene componente en dirección z , y de acuerdo al resultado anterior es:
dFz =
 Q  g 2π r d r .

 π R2 
con dq = σ d A = 
q0 g a g dq
4πε 0 ( r 2 + a2 )
3
2
10
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
La fuerza que ejerce el disco se encuentra como una superposición de las contribuciones
de todos los anillos.
σ4
6
47
8
q0 g a  Q 
Fz =
g
 g 2π g
4π ε 0  π R 2 
con r 2 + a 2 = µ
∫(
R
0
rdr
r 2 + a2 )
3
,
2
y d µ = 2r d r .
Fz
=
=
q0 g a g σ 1
g g
2ε 0
2
∫
µi
q0 g a g σ  1
g −
2ε 0
a
µs
dµ
µ
3
2
q g a gσ 1
2
= 0
g
g 1
2ε 0
2 µ 2
µi
µs

1

2
R +a 
2
Un caso particularmente interesante del resultado recién encontrado, es aquel que ocurre
cuando R ? a . Entonces:
Fz ;
q0 σ
.
2ε0
La carga q0 ubicada tan cerca del disco ( R ? a ) "ve" a este último como un inmenso plano
(plano infinito), ya que este resultado es el mismo que se obtiene para un plano infinito, por
integración directa. Lo anterior puede verificarse considerando al plano como un conjunto de
líneas infinitas e integrando, usando los resultados conocidos para la línea infinita.
1. Fuerza Eléctrica
11
PROBLEMA 6. Encontrar la fuerza ejercida sobre q0 , por un cilindro macizo de carga total Q ,
radio R y largo L , siendo q0 una carga puntual ubicada sobre el eje del cilindro, a una distancia
a de uno de sus extremos. Considerar que Q se distribuye uniformemente sobre el cilindro.
SOLUCIÓN
dq
ρ
q0
α
z
a
z=0
d Fz
dz
El cilindro macizo puede considerarse formado por una infinidad de discos de radio R , ancho
dz y carga dq .
De acuerdo al problema anterior, la fuerza ejercida por un disco de radio R y carga Q
sobre q0 ubicada en el eje a a una distancia z es:
Fz =
q0
2ε 0

g  Q 2  g  1 −

1
π2
R4
4
3 
σ
z
2
R + z2

 ,

donde se ha puesto σ = Q π R 2 .
En consecuencia, uno de los discos que forman el cilindro macizo produce sobre q0 una
fuerza dFz dada por :
dFz =
− q0
dq
g
2ε 0 π R 2

1 −



R2 + z2 
z
donde dq = ρ g d V = ρ g π R2 dz .
Luego,
dFz =

− q0 ρ 
z
1−

 dz
2
2
2ε 0 
R +z 
12
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
Integrando :
a +L
− q0 ρ
Fz =
2ε 0
con z 2 + R2 = u
Fz
∫
a

 dz
R 2 + z2 
z
du = 2zdz
;
=

1−

y
−q0 ρ 
1
L+ a − a −
2ε 0 
2

us
∫
ui
=
us

1
− q0 ρ 
1
2
L −
2u


2ε 0 
2
ui 

=
− q0 ρ
L−
2ε 0
=
(
−q ρ
L+
2ε (
0
0
( L+ a)
2

du 
1
u 2 
)
(L + a) + R )
+ R2 + a2 + R 2
a 2 + R2 −
2
2
r
Puede verificarse que la cantidad entre paréntesis es siempre positiva y, por lo tanto, F
apunta en la dirección −z cuando q0 y ρ son positivos.
Además ,
ρ=
Q
.
π R2 L
PROBLEMA 7. Determinar la fuerza sobre una carga puntual q0 , ejercida por un cilindro hueco
cargado uniformemente sobre su superficie con una carga total Q . El cilindro tiene radio R y
largo L , y la carga q0 está en el eje del cilindro a una distancia a de uno de sus extremos.
SOLUCIÓN
dz
σ
q0
z
a
d Fz
z=0
1. Fuerza Eléctrica
13
El cilindro hueco se puede considerar como un conjunto de anillos de igual radio R y de
ancho dz , conteniendo cada uno de ellos una carga dq .
De acuerdo a los resultados obtenidos para la fuerza que un anillo ejerce sobre q0 , se
tiene que :
Fz = −
q0 g Q g z
4πε 0 ( R + z
2
2
)
3
,
2
donde Q es la carga del anillo, R su radio y z la distancia entre el anillo y la carga q0 , medida sobre el eje.
Entonces, dFz en este caso es :
dFz = −
q0 zdq
4πε 0 ( R2 + z2 )
3
con dq = σ dA = σ g2π Rdz .
,
2
Luego :
q 2π R σ
Fz = − 0
4π ε 0 g 2
L +a
∫ (R
a
2zdz
2
+ z2 )
3
.
2
Finalmente :
Fz = −
q0 R σ
2ε0

g 1 −
 a
Fz = −
Q g q0
4πε 0 L

g 1 −
 a
1 

L+a 
1
L+a
,

.

sustituyendo σ =
Q
,
2π R L
14
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
PROBLEMA 8. Un plano infinito que tiene un agujero circular de radio R = 0,50[ m] , está cargado con
densidad superficial de carga σ = 2,0 g10 − 6 [C m 2 ] .
En el punto P , situado a 20[cm] del centro del agujero, se encuentra fija una partícula de carga
q = − 3,0 g 1 0−7 [C] .
¿En qué punto sobre el eje x habrá que colocar una partícula de carga q l = 2,0 g 1 0− 6 [C]
para que permanezca en equilibrio?
SOLUCIÓN
La carga puntiforme q l = 2,0 g 1 0− 6 [C] no podrá encontrarse en equilibrio en ningún punto de la porción del eje x comprendido entre el plano y el punto P . El punto pedido deberá
encontrarse más allá del punto P .
Para que la partícula de carga q l esté en equilibrio se debe cumplir que :
r
r
Fq l q = Fq l d e b i d a a l p l a n o .
Cálculo de la fuerza sobre q l debida al plano
Consideremos el plano como la suma de elementos diferenciales en forma de anillo.
La fuerza que ejerce un anillo con carga total Q sobre una carga puntual q l está dada
por ( ver PROBLEMA 4 ) :
Fx =
Qql g b
1
g
,
3
4πε 0
2
2
2
(r + b )
donde b es la distancia desde el centro del anillo a la carga y r es el radio del anillo considerado.
La fuerza que ejerce un anillo diferencial de carga dQ será:
dFx =
dQ g ql g b
1
g
, con dQ = σ dA = σ g 2π r d r ,
3
4πε 0
2
2
2
r
+
b
(
)
1. Fuerza Eléctrica
luego
15
dFx =
q l g b gσ g 2π r d r
1
g
.
3
4πε 0
2
2
2
r
+
b
(
)
La fuerza que ejerce el plano agujereado se obtiene integrando la expresión anterior :
Fx =
∫
∞
dFx =
∫
R
bq lσ
g
4ε 0
2r d r
( r 2 + b2 )
3
=
2
bq lσ
2
g
2
4 ε0
R + b2
(1)
2
Para R = 0 este resultado corresponde a la fuerza ejercida sobre q l por un plano infinito, sin agujero, tal como se encontró en el PROBLEMA 5 :
Fx =
σql
.
2ε0
La fuerza sobre q l debido a la carga q tiene dirección opuesta a la anterior, y es de magnitud :
Fq lq =
qql
1
g
4πε 0 ( b − 0,20 )2
(2)
Igualando (1) y (2) se obtiene la condición para que la carga q l permanezca en equilibrio.
Entonces,
σ ql b
2ε 0 R 2 + b 2
σ 2 b2
R 2 + b2
=
q ql
2
4πε 0 ( b − 0,20)
=
q2
4
4π 2 ( b − 0,20 )
4
q2
R 2 + b2 ) = b 2 ( b − 0,20 ) ,
2 2 (
4π σ
Esta ecuación se debe resolver numéricamente. Un método muy sencillo consiste en hacer una
tabla de valores para cada lado de la ecuación, variando el valor de b . El valor real de b , para
el cual ambos lados dan el mismo resultado, es la solución buscada. Esto requiere una calculadora o una planilla de cálculo.
16
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
PROBLEMA 9. Un electrón se suelta en el centro de un anillo de 5,0[cm ] de radio, cargado
con densidad uniforme de carga λ = −8,0[ nC / m ] . ¿Con qué velocidad pasa el electrón por
un punto sobre el eje, a 8,0[cm ] del centro?
SOLUCIÓN
El electrón es repelido por el anillo cargado negativamente. La fuerza eléctrica sobre el
electrón, cuando está justo al centro del anillo, es cero (¿porqué?). Al sacar ligeramente al
electrón del centro del anillo, inmediatamente comienza a actuar la repulsión.
Observe que la fuerza eléctrica no es capaz de sacar al electrón del centro del anillo, ya
que esa es una posición de equilibrio; sin embargo, el equilibrio es inestable ya que basta una
pequeña perturbación que mueva al electrón sobre el eje para que éste comience a acelerar.
De acuerdo a resultados anteriores ( ver PROBLEMA 4 ), la fuerza de una carga q0 , ubicada en el eje de un anillo de radio R y carga Q , a una distancia x de su centro, está dirigida a
lo largo del eje, y tiene magnitud:
F=
q0 Q x
4π ε ( R 2 + x 2 )
3
2
Supondremos que la perturbación que saca al electrón de la posición x = 0 , le comunica a
éste una energía cinética despreciable.
En consecuencia, toda su energía cinética en una posición dada, es la que le ha impreso
r
la fuerza eléctrica F , al hacer trabajo mecánico sobre el electrón; es decir,
∆ K = WF
r
Considerando que F es una fuerza variable y que el electrón se mueve a lo largo del eje x,
WF se calcula según :
1. Fuerza Eléctrica
17
x0
WF =
∫ F ( x) d x
0
18
Electromagnetismo Problemas y Soluciones
es decir :
WF =
∫
x0
0
q0 Q x d x
4π ε0 ( R 2 + x 2 )
3
=
2
q0 Q  1
 −
4π ε 0  R

1
2
R + x 02



además :
∆ K = K f − K i = 1 mV 2 − 0
2
Luego,
q Q 1
1
mV 2 = 0  −
2
4πε 0  R

1
2
R + x 02

.


Despejando V y reemplazando los valores numéricos :
1 = 9,0 g 109 [ Nm 2 / C 2 ] ;
4π ε0
q0
= 1,76 g 101 1 [C / Kg ]
m
R = 5,0 g 10− 2 [m ]
λ=
;
; x0 = 8,0 g 1 0− 2 [ m] ;
Q
= 8,0 g 10 −9 [C /m ] ,
2π R
todos ellos en unidades del sistema MKS, resulta :
V =
λ
ε0
q 
g  0   1 −
 m  

R
 = 8,7 g 1 06 [ m / s ] .
2
2 
R + x0 
La velocidad encontrada es del orden de un centésimo de la velocidad de la luz.
1. Fuerza Eléctrica
19