Calculo de coeficientes de transferencia Dr. Rogelio Cuevas García 1 El calculo de los coeficientes de transferencia de masa se prefiere en función de números adimensionales. En ingeniería de reactores heterogéneos, considerando l0 y v0 la longitud y velocidad característica del sistema, los más comunes son: El número de Reynolds Re = l0v0 ρ μ ó en un lecho empacado Re= Sc = El número de Schmidt d PG μ μ ρD El número de Sherwood Sh = kCl0 k ρ ; en un reactor de lecho fijo Sh = m D G Dr. Rogelio Cuevas García 2 1 Nusselt Nu = hl0 kT Prandtl Pr = CP μ kT Lewis Le = Factores j α DAB jD = = k ; ρ CP DAB Sh ; ReSc1/3 jH = Le= Sc ν / DAB μρ / DAB = = Pr ν /α CP μ / K Nu Re Pr1/3 Dr. Rogelio Cuevas García 3 Anteriormente, se definió el flujo molar causado por un fenómeno puramente difusivo, utilizando la ley de Fick como: J j = Dmj∇( Cj ) O cuando nos referimos a una dimensión j= -D dC dy Donde este factor JA[=] mol/(tiempo*área). Este factor se determina experimentalmente. Cuando existe una diferencia de concentraciones entre dos localizaciones 1 y 2 se define como Dr. Rogelio Cuevas García 4 2 J A = km am (C A1 − C A2 ) Que representa la definición más simple del coeficiente de transferencia kmA ([=] longitud/tiempo). A su vez el coeficiente de transferencia de masa se define a través del número de Sherwood: Shl 0 = velocidad de transferencia de masa por flujo convectivo kmAl0 = DA velocidad de transferencia de masa por difusión Donde l0, es una longitud característica. Existen bastantes correlaciones experimentales basadas en el Sh y entonces con este número es posible calcular kmA. Dr. Rogelio Cuevas García 5 • Para una placa plana de longitud L y ReL<105 En este caso la definición del número de Reynolds (Re) y Schmidt (Sc) es respectivamente: Cuando Cua do Re>10 e 05 Dr. Rogelio Cuevas García 6 3 • Flujo sobre una esfera (gotas de líquido, burbujas de gas, partículas pequeñas de sólidos). La longitud característica se ( ) convierte en el diámetro (D). Donde Re D = uD μ Conforme el diámetro de la partícula se hace pequeño, el límite es Sh=2. Situación que corresponde a una esfera rodeada por líquido estancado. Dr. Rogelio Cuevas García 7 • Flujo a través de un tubo de diámetro D Si ReD<2100 Sh=8/3 Ecuación valida a una distancia dentro del tubo suficiente para que el flujo laminar se desarrolle completamente. Si ReD>2100 Dr. Rogelio Cuevas García 8 4 • (1) Gamson et al. y Wilke and Hougen (2) Taecker and Hougen (3) McCune and Wiihelm (4): Ishino and Otake. (5) Bar Ilan and Resnick. (6) De Acetis and Thodos (7) Bradrhaw and Bennett (8) Hougen, Yoshida, Ramasnlami, and Hougen (esferas; ε = 0.37). • • • • • • • Datos experimentales del coeficiente de transferencia de masa contra Re Dr. Rogelio Cuevas García 9 • Partículas en un lecho empacado. En el cálculo de reactores de lecho empacado, Sh = Para esta geometría í en particular km ρ G Existen varias correlaciones; pero una de las más usuales es la propuesta por Dwivedli y Upadhai; porque es la que Smith utiliza en su libro de texto. jD = A vez, 0.458 εB ( Re ) −0.407 ; ⎛a ⎞ 2 /3 jD = Sh ⎜ m ⎟ ( Sc ) ; ⎝ at ⎠ Re Re= d PG Sc = Dr. Rogelio Cuevas García μ μ ρD 10 5 P llo tanto Por t t ell procedimiento di i t para determinar d t i km en este t caso seria: 1) Buscar o evaluar el valor del coeficiente de difusión (D). 2) Calcular el número de Schmidt Sc y el Re 3) Evaluar el valor de jD utilizando el Re. 4) Utilizando Utili d ell jD calcular l l ell número ú d Sh. de Sh 5) Del Sh determinar km(am) Dr. Rogelio Cuevas García 11 Transferencia de calor Dado que la radiación no es importante hasta ~500 °C, el calor que se transfiere en condiciones de flujo convectivo es Q = hA(T − TS ) D d A Donde A= área á d transferencia de t f i y h=coeficiente de transferencia de calor. Este coeficiente se define con el número de Nusselt Nul = hl kT kT es la conductividad térmica del fluido. Resulta que para gases el Sh Sh=Nu; Nu; porque el número de Lewis (Le) Sc Difusividad térmica Le = = =1 Pr Difusividad masica De donde es posible substituir el Sh por el Nu para calcular kT. Dr. Rogelio Cuevas García 12 6 Transferencia de calor entre un fluido y las particulas. (1) Gamson et al. Y Wilke and Hougen. (2) Baumeister and Bennett (a) for dt/dp>20, (b) correlación promedio (3) Glaser and Thodos. (4) de Acetis and Thados (5) Sen Gupta and Thadas (6) Handley and Heggs (ε = 0.37). G.E. Froment, K.E. Bishop, Chemical Reactor analysis and design, 2nd ed. 1979 El coeficiente de calor también puede correlacionarse con el número de Re de acuerdo a: jH = hf cP G Pr 2/3 Dr. Rogelio Cuevas García 13 Factores de efectividad no isotérmicos Para determinar el efecto de la temperatura en el factor de efectividad; procedemos de la siguiente manera: Para una reacción de orden n: R kSC S n ⎛ kS ⎞ ⎛ C S ⎞ η= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ R 0 k 0C 0n ⎝ k 0 ⎠ ⎝ C 0 ⎠ n La situación que se presenta es: Reacción exotérmica Dr. Rogelio Cuevas García 14 7 Para determinar la relación (k/ks) − EA ⎡⎛ E ⎡ E k S A0e RTS E ⎤ = = exp ⎢ − A + A ⎥ = exp ⎢ ⎜ A E − A k0 RT RT S 0 ⎦ ⎣ ⎣⎝ R A0e RT 0 ⎡⎛ E A ⎞ ⎛ T0 ⎞⎤ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎥ = exp ⎢ ⎜ ⎟ ⎜1− ⎟ ⎥ T T ⎠⎝ 0 S ⎠⎦ ⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ T S ⎠ ⎦ Definiendo la temperatura adimensional T*= TS T0 ⎡⎛ E ⎞ ⎛ kS 1 ⎞⎤ = exp ⎢ ⎜ A ⎟ ⎜1− ⎟⎥ k0 ⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ T * ⎠ ⎦ Dr. Rogelio Cuevas García 15 Para determinar la relación CS/C0, se utiliza el hecho de que en estado estable la velocidad de transferencia de masa es igual a la reacción química: k m a m (C0 − C S ) = ( − R A ) ( − R A ) = k m a m C0 − k m a m C S ; k m am C0 − ( − R A ) k m a m C S = k m a m C0 − ( − R A ) ; (−R A ) CS =1− = 1 − η Da D 0 C0 k m am C0 CS = km am Dr. Rogelio Cuevas García = C0 − (−R A ) k m am ; 16 8 E lla ecuación En ió original: i i l ⎡⎛ E ⎞ ⎛ kS 1 ⎞⎤ = exp ⎢ ⎜ A ⎟ ⎜1− ⎟⎥ k0 ⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ T * ⎠ ⎦ CS = 1 − η Da0 C0 n ⎧⎪ ⎡⎛ E ⎞ ⎛ ⎛ k ⎞⎛ C ⎞ 1 ⎞ ⎤ ⎫⎪ n η = ⎜ S ⎟⎜ S ⎟ = ⎨exp ⎢⎜ A ⎟⎜1− ⎟ ⎥ ⎬ (1− η Da 0 ) ⎝ k 0 ⎠⎝ C 0 ⎠ ⎪⎩ ⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝ T * ⎠ ⎦ ⎪⎭ Dr. Rogelio Cuevas García 17 Ahora el problema es determinar T* Calor Ca o d disipado=calor s pado ca o ge generado e ado por po la a reacción eacc ó ha (TS −T0 ) = −ΔH R ( -R A (T ,C S ) ) ; T S −T 0 = −ΔH R ( -R A (T ,C S ) ) ha Dividiendo ambos lados de la ecuación entre T0. −ΔH R ( -R A (T ,C S ) ) TS −1 = ; T0 ha (T0 ) ΔH R ( -R A (T ,C S ) ) TS = 1− T0 ha (T0 ) Dr. Rogelio Cuevas García 18 9 Si no existen datos para determinar el valor de h, se utilizan los factores j; porque en las condiciones en que operan los reactores de lecho fijo: JD=JH 2 2 k g Sc 3 h Pr 3 = ; vX ρv X Cp 2 JD = JH h Pr 3 ρv X Cp 2 k g Sc 3 vX 2 h Pr 3 = =1 ρCp 23 Sc Dr. Rogelio Cuevas García 19 2 ΔH R ( -R A (T ,C S ) ) ⎛ C 0 ⎞ TS h Pr 3 = T * = 1− = ⎜ ⎟• 2 T0 ha (T0 ) ⎝ C 0 ⎠ ρCpk m Sc 3 − −ΔH R C 0 ⎛ Sc ⎞ 3 ⎛ ( -R A (T ,C S ) ) ⎞ =1+ ⎜ ⎟ T0 ρCp ⎜⎝ Pr ⎟⎠ ⎜⎝ k m a mC 0 ⎟⎠ 2 Donde T * = 1+ β • ηDa Para gases Le=1 β= −ΔHC 0 1 cpT 0 ρ Dr. Rogelio Cuevas García 2 Le 3 20 10 η= ⎡⎛ E ⎞ ⎛ 1 R ⎛ ⎞⎤ ⎞ = ⎜ exp ⎢⎜ − A ⎟⎜ −1⎟ ⎥ ⎟ 1− ηDa 0 ⎟ R 0 ⎜⎝ ⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝T * ⎠ ⎦ ⎠ ( ) ⎡⎛ E ⎞⎛ ⎞⎤ 1 = exp ⎢⎜ − A ⎟⎜ −1⎟ ⎥ 1− ηDa 0 ⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝1+ β • ηDa ⎠ ⎦ ( n = ) n Dr. Rogelio Cuevas García 21 • 1. Cuando domina la reacción química. (La velocidad de transferencia de masa es alta, Da0→0) η= ⎡⎛ E ⎞⎛ ⎞⎤ R 1 = exp ⎢⎜ − A ⎟⎜ −1⎟ ⎥ 1− ηDa 0 R0 ⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝1+ β • ηDa ⎠ ⎦ ( ( ≈ exp(0) 1− ηDa 0 ) n ) n ≈ exp(0)(1) ≈ 1 n • 2. Cuando controla la transferencia de materia, Da0 alcanza valores altos. Esto implica que: (1− ηDa ) 0 n →0 Teniendo en cuenta el orden de reacción (n) en la ecuación anterior, resulta que para ordenes mayores la limitación causada por los problemas de transferencia de masa es mayor: Dr. Rogelio Cuevas García 22 11 • 3. Se presenta una zona con comportamiento interesante en la zona intermedia, En la definición de T* se tienen dos funciones. β= −Δ ΔHC 0 cpT0 ρ • Al principio (conforme aumenta Da0) predomina la función exponencial y entonces el valor de η depende del calor de reacción n ⎡⎛ E ⎞ ⎛ ⎞⎤ 1 η = exp ⎢ ⎜ − A ⎟ ⎜ −1⎟ ⎥ 1− ηDa 0 ⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ 1+ β • ηDa ⎠ ⎦ ( ) • Si la reacción es exotérmica, esto implica que ΔHR>0, β también es positivo y T*>1, lo cual implica que TS>T0. lo cual acelera la velocidad de reacción y el factor de efectividad es η>1 Dr. Rogelio Cuevas García 23 Para una reacción endotérmica ΔHR es positivo; β es negativo, 1+ β • ηDa ≤ 1 ⇒ Entonces Y finalmente 1 ≥1 1+ β • ηDa 1 −1 ≥ 0 1+ β • ηDa ⎡⎛ E ⎞⎛ ⎞⎤ 1 exp ⎢⎜ − A ⎟⎜ −1⎟ ⎥ ≤ 1 ⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝1+ β • ηDa ⎠ ⎦ Lo que indica que el factor de efectividad cae bastante rapido. Dr. Rogelio Cuevas García 24 12 • Para una reacción exotérmica Dr. Rogelio Cuevas García 25 13