el aleph de borges y las matematicas

El Aleph de Borges y las Matemáticas
EL ALEPH DE BORGES Y LAS MATEMATICAS
José del Río Sánchez (*)
En el prólogo a la Geografía fantástica del alfabeto español que escriben los miembros de la
Real Academia Española inspirándose en la letra del sillón que en ella ocupan, el director,
García de la Concha, citando a S. Sosnowski, explica la génesis del relato borgiano y de su
título. Borges quería encontrar un objeto que pudiera contener dentro de sí todo el espacio
cósmico de la misma manera que, en la eternidad, coexiste todo el tiempo —pasado, presente
y futuro—; por eso inventa —¿no es la eternidad también una invención?— esa “esfera de dos
o tres centímetros de diámetro” a la que, en principio, llama mihrab, nombre del espacio
sagrado de las mezquitas árabes. Pero, al leer el cuento ya ultimado, Borges, más que bautizarlo, reconoce el verdadero nombre de ese objeto, aleph, el nombre de la letra hebrea que,
aunque no puede ser articulada, permite articular las demás y, por extrapolación lingüísticoliteraria, encierra en sí el universo. En la posdata del cuento, Borges escribe dos observaciones
sobre la naturaleza y el nombre de ese objeto; en una de ella menciona que, para la teoría de
conjuntos, el aleph representa a los números transfinitos. ¿Existe alguna relación entre el aleph
borgiano y el aleph matemático? En caso de que exista, ¿el escritor la conocía y la utilizó conscientemente en la elaboración de su cuento? Y si no existe, ¿por qué hace esa referencia en el
apéndice?
Para contestar a estas preguntas, debo empezar recordando brevemente lo que son los números transfintos. La operación de contar, por primaria y natural que parezca, fue precedida históricamente (y es precedida en el desarrollo evolutivo de cada persona) por la operación de
comparar. Sin saber nada de números, un hombre primitivo, por comparación, puede decidir
si la cantidad de sus flechas es mayor, menor o igual que la de los dedos de una mano. Cuando
existe una correspondencia uno a uno (biunívoca) entre los elementos de un conjunto y los de
otro, dichos conjuntos son equiparables, y matemáticamente se dice que tienen el mismo “cardinal”. Al cardinal de todos los conjuntos equiparables con los dedos de una mano, en nuestra cultura lo representamos por el símbolo “5”, pero los romanos lo representaron por “V”, los
mayas por “-“, los etruscos por “^” , etc. El signo es convencional, el concepto universal. De
este modo, se ha construido un conjunto ordenado
1, 2, 3, 4, 5...
que sirve como patrón abstracto para comparar y para contar. Por ejemplo, si deseamos contar las caras de un dado, “ponemos” en cada cara un número de esta serie empezando por el
1; el último, 6, nos indica cuántas caras tiene el dado. Estos números se llaman, como sabemos, números naturales o enteros positivos y, a partir de ellos, se construyen las demás clases
de números: racionales, reales, complejos, etc. En el último cuarto del s. XIX, a George Cantor,
un atormentado profesor de matemáticas de una universidad alemana poco relevante, se le
ocurrió la idea revolucionaria de extender este proceso a conjuntos infinitos, es decir, “comparar” conjuntos infinitos mediante correspondencias entre sus elementos. De este modo descubrió, por ejemplo, que entre los números naturales y los números pares existe una correspondencia biunívoca:
Números naturales:
1
2
3
4
5 ...
›
›
›
›
›
Números pares:
2
4
6
8 10 ...
(*) Profesor de Secundaria de Salamanca.
Octubre 2002 • 2002 Urria
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José de Río Sánchez
Por lo tanto, el conjunto de los números naturales y el de los números pares tienen el mismo
cardinal. Pero también descubrió que entre los números naturales y otros conjuntos infinitos
(como el de los números reales) no es posible establecer una correspondencia uno a uno, por
lo cual, aunque los dos tengan infinitos elementos, no tienen el mismo cardinal. Concluyó que
había entonces diferentes cardinales de conjuntos infinitos a los que llamó “cardinales o
números transfinitos”, y los representó con la letra aleph y un subíndice para ordenarlos:
0,
1,
2, etc. El primero, aleph-cero, representa el cardinal del conjunto de los números
naturales y de todos los conjuntos equiparables a él; es el menor de los números transfinitos,
pero todavía no se sabe si el siguiente, aleph-uno, es el cardinal de los números reales.
¸ ¸ ¸
Ahora ya podemos volver a la primera de las preguntas: ¿Qué tienen que ver estos alephs
con la esfera de Borges? En la narración se encuentran tres “definiciones” de ese objeto más
o menos explícitas y no contradictorias (recordemos que analizamos un texto literario):
1. Un lugar del espacio que contiene todos los puntos.
2. Un lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe.
3. Un objeto secreto y conjetural cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.
Ninguna de esta caracterizaciones relaciona, en sentido estricto, el aleph de Borges con los
alephs matemáticos, porque éstos, como hemos visto, expresan la “cantidad” de elementos de
un conjunto infinito, pero no son “puntos” donde estén contenidos todos los “puntos” de un
conjunto. Estas definiciones apuntan más bien hacia la geometría. ¿Existen otros conceptos
matemáticos que puedan ilustrar, explicar, realizar, convertir en metáfora el aleph de Borges?
Creo que sí. La clave para empezar se encuentra en la tercera “definición" : el inconcebible
universo. ¿Es inconcebible el universo? Al margen de lo que opinen los demás científicos, los
matemáticos han probado que Borges tiene razón: el “universo absoluto” es inconcebible. Lo
explicaré con un ejemplo. Consideremos el conjunto de las tres primeras letras de nuestro
alfabeto: {a, b, c}. Podemos formar tres subconjuntos distintos con una letra cada uno:
{a} , {b} , {c}
También podemos formar otros tres con dos letras:
{a, b} , {a, c} , {b, c}
El conjunto de las tres letras también se considera un subconjunto porque cada uno de sus elementos pertenece al conjunto completo, y lo mismo le sucede al conjunto vacío. Ahora formamos otro conjunto con todos ellos:
{ {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {a,d} , {a,b,c} , { } }
Este nuevo conjunto contiene a nuestro conjunto inicial y a otros más. Ahora imaginemos que
existiera el “conjunto universal”, es decir, el conjunto que contiene a todos los conjuntos. Con
el procedimiento anterior, construiríamos un conjunto mayor que él, lo cual contradice su
hipotética naturaleza de universal. En consecuencia, el conjunto universal no existe, no es un
concepto matemático, es inconcebible. En matemáticas sólo existen universos “referenciales”:
son el marco en el que suceden ciertas clases de fenómenos; por ejemplo, la aritmética más
elemental se desarrrolla en el ámbito de los números enteros: ése es su “universo”. Pues bien,
como sabemos, este conjunto y otros muchos análogos, llamados “anillos”, contienen algunos subconjuntos especiales que se caracterizan por estas dos propiedades: la diferencia de
dos de sus elementos siempre pertenece al subconjunto y el producto de un elemento cualquiera por uno del subconjunto siempre da como resultado un elemento del subconjunto. Por
ejemplo, consideremos por múltiplos de 3 junto con el cero:
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SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA
El Aleph de Borges y las Matemáticas
{ 0, 3, 6, 9 ... }
La diferencia de dos cualesquiera de estos números también es un múltiplo de 3 o 0, y el producto de cualquier número entero por uno de éstos sigue siendo un múltiplo de 3 o 0. Estos
subconjuntos se llaman “ideales” y con ellos se construye un espacio denominado “espectro
del anillo” donde cada punto representa un ideal. Podemos imaginarlo, en el caso de los
números enteros, como una sucesión numerable de puntos alineados:
•
•
•
•
•
…
(0) (1) (2) (3) (4)
Pero hay un punto más: el correspondiente al conjunto completo que es también un ideal. Este
punto contiene a todos los ideales, es decir, a todos los puntos del espectro, y evidentemente
no podemos dibujarlo, sólo imaginarlo; se llama “punto genérico”. La esfera de Borges, su
Aleph, sería ese punto. Por lo tanto, a mi juicio, la explicación más coherente que puede darse
sobre el sentido matemático de la metáfora borgiana sería esta: si el cosmos fuera el espectro
de un anillo, el Aleph de Borges sería su Punto Genérico. En conclusión, creo que el escritor
no conocía la teoría espectral y que la referencia a la teoría conjuntista en el apéndice de su
relato no tiene como objeto la justificación del nombre asignado a su esfera cósmica, sino
mostrar la potencia semántica de la letra hebrea. De todos modos, el descubrimiento de la
relación, siquiera metafórica, entre el cuento de Borges y una teoría matemática ¿es algo
casual o más frecuente de lo que creemos?
Octubre 2002 • 2002 Urria
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