Tema 6: FLEXIÓN: DEFORMACIONES x + y Problemas resueltos Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008 6.1.-La viga de la figura es una IPE-160 y está sometida a la carga concentrada indicada de 30 kN. Calcular por el Método de la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica: 1) Ecuación de la Línea Elástica 2) Giros de las secciones extremas A y B 3) Flecha máxima Datos: E= 2,1x105 N/mm2 RA RB 30 kN A B 1m 3m Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio ∑F =0 ∑M = 0 A RA + RB = 30 RA = 22,5 kN → RB .4 = 30.1 RB = 7,5 kN 1) Ecuación de la línea elástica: (fórmula general de la ecuación diferencial de la línea elástica): M d2y =− z 2 E .I z dx 0 − x −1 M z = 22,5.x 1− x − 4 M z = 22,5.x − 30.( x − 1) = −7,5 x + 30 d2y = −22, 5.x dx 2 dy x2 E .I z . = −22,5. + C1 dx 2 3 x E .I z . y = −22, 5. + C1 .x + C2 6 d2y = 7,5.x − 30 dx 2 dy x2 E.I z . = 7,5. − 30.x + C3 2 dx 3 x x2 E.I z . y = 7,5. − 30. + C3 .x + C4 6 2 E .I z . E.I z . Cálculo de las constantes → condiciones de contorno: x = 0 → y0 −1 = 0 x = 1 → y0 −1 = y1− 4 dy dy = dx 0 −1 dx 1− 4 C1 = 26, 25 C2 = 0 x = 4 → y1− 4 = 0 x =1→ C3 = 41, 25 C 4 = −5 y operando se obtiene : y sustituyendo estos valores : 0 − x −1 1− x − 4 dy 1 = . ( −11, 25.x 2 + 26, 25 ) dx E .I z dy 1 = . ( 3, 75.x 2 − 30.x + C3 ) dx E.I z y= 1 . ( −3, 75.x 3 + 26, 25.x ) E .I z y= 1 . (1, 25.x 3 − 15.x + 41, 25.x − 5 ) E .I z 2) Giros de las secciones A y B: ϑA = dy 26, 25 = 0, 014 rad ( para x = 0 ) = 5 dx 0−1 2.1.10 .103.869.10 −8 siendo: E = 2.1.10 6 Kg / cm 2 ϑB = I z ( IPE − 160) = 869 cm 4 dy 3, 75.4 2 − 30.4 + 41, 25 4 para x = = = −0, 01 rad ( ) 2,1.105.103.869.10 −8 dx 1− 4 3) Flecha máxima dy = 0 → 0 = −11, 25.x 2 + 26, 25 → x = ±1, 53 m ( fuera del tramo) dx dy → = 0 → 0 = 3, 75.x 2 − 30.x + 41, 25 → x = 6, 24 m ( fuera del tramo) dx x = 1, 76 m 0 − x − 1: ymax → 1 − x − 4 : ymax ymax = y1− 4 ( x = 1, 76 m) = 1, 25.1, 763 − 15.1, 762 + 41, 25.1, 76 − 5 = 0, 015 m = 1,5 cm ↓ 2,1.105.103.869.10−8 6.2.-En la viga de la figura se pide determinar por el Método de los Teoremas de Mohr: 1) Giros de las secciones A y B 2) Flecha máxima Datos: E= 2,1x105 N/mm2, Iz= 2770 cm4 30 kN 30 kN RB RA 1m A B 3m 1m Cálculo de las reacciones: por simetría de cargas y de estructura: R A = RB = 30 + 30 = 30 kN 2 30 kN θA tag en C C δOC 30 kN θB yC δAC A yO O 30 kN 1m 1,5 m y x B 30 kN 1m 1,5 m 30 O x A C B Mz por simetría de estructura y de c arg as → ϑC = 0 → tagϑC = 0 (horizontal ) ϑAC = ϑA − ϑC = ( como ϑC = 0 ) = ϑA = S M AC −30.1, 5 = = −0, 0077 rad 5 E.I z 2,1.10 .103.2770.10 −8 ϑCB = ϑC − ϑB = (como ϑC = 0) = −ϑB = S M CB −30.1,5 = = −0, 0077 rad 5 E.I z 2,1.10 .103.2770.10−8 así pues: ϑ A = −0,0077 rad ϑB = 0,0077 rad δ AC = QAM AC −30.1,5.0, 75 = = −0, 0058 m = −0,58 cm E.I z 2,1.108.2770.10−8 (δ AC < 0 → A está por debajo de la tan gente en C ) yC = δ AC = 0,58 cm → yC = −0,58 cm ↑ yO = δ OC − yC δ OC 1 2 (− .1.30. .1) + (−30.1,5.1, 75) Q 3 = = 2 = −0, 01526 m = −1,526 cm E.I z 2,1.108.2770.10−8 M OC O (δ OC < 0 → O está por debajo de la tan gente en C ) yO = δ OC − yC = 1,526 − 0,58 = 0,946 cm y MAX = yO = 0,946 cm ↓ → y0 = 0,946 cm ↓ 6.3.-La viga de la figura es una IPE-160. Calcular por el Método de los Teoremas de Mhor: 1) Giros de las secciones A y B 2) Flecha en C 3) Flecha máxima Dato: E= 2,1x105 N/mm2 30 kN RB RA A B C 3m 1m Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio: ∑F =0 ∑M = 0 A RB = 30 + RA RA = 10 kN → RB .3 = 30.4 RB = 40 kN 30 - hD x xD Mz tag en A θB hC δBA D θA δAD A δCA tag en D yD B yC C 1) Giros en A y B: δ BA 1 1 .3.(−30). .3 QBM AB 3 = = 2 = −0, 02466 m ( punto B por debajo tan gente en A) E.I z 2,1.108.869.10−8 δ BA = ϑA .3 → ϑA = ϑAB = ϑA − ϑB = S M AB E.I z δ BA 0, 02466 = 0, 0082 rad ( sentido antihorario, ver figura) 3 3 1 .3. ( −30 ) 2 − 0, 082 − ϑB = → ϑB = 0, 0165 rad 2,1.108.869.10−8 ϑ A = −0,0082 rad = ϑB = 0,0165 rad 2) Flecha en C: δ CA 1 1 1 2 .3.( −30).(1 + .3) + .1.(−30).( .1) QCM AC 2 3 2 3 = −0, 0548 m = = 8 −8 E .I z 2,1.10 .869.10 δ CA < 0 → C está por debajo de la tan gente en A y C = δ CA − hC = 0,0548 − 0,0328 = 0,022 m = 2,2 cm siendo : hC = ϑ A .4 = 0,0082.4 = 0,0328 m y C = 2,2 cm ↓ 3) Flecha máxima: tramo AB : yMAX = y D siendo D un punto en el que : ϑD = 0 (ver figura ) localicemos ese punto D : ϑAD = ϑ A − ϑD = (como ϑD = 0) = ϑA = S M AD E.I z y sustituyendo valores : 1 1 − .xD .hD − .xD .10.xD 2 2 −0, 0082 = = → xD = ±1, 73 m 8 −8 2,1.10 .869.10 2,1.108.869.10 −8 30 hD ( por semejanza de tríangulos, ver figura : = → hD = 10.xD ) 3 xD δ AD Q M AD = A = E .I z 1 2 − .1, 73.10.1, 73. .1, 73 2 3 = −0, 0095 m = −0,95 cm 8 2,1.10 .869.10−8 δ AD < 0 → A está por debajo de la tan gente en D ymax = y D = y ( x = 1, 73 m = δ AD = 0,95 cm → y D = −0,95 cm ↑ Luego comparando valores, la flecha máxima en toda la viga será: yC = 2,2 cm ↓ 6.4.-En la viga de la figura se pide: 1) Dimensionamiento de la sección a resistencia, empleando criterio plástico 2) Dimensionamiento a rigidez, empleando la condición: ymax ≤ L/200 3) Giros de las secciones C y B (Calcularlos por los dos Métodos estudiados) 4) Flechas en C y B (Calcularlas por los dos Métodos estudiados) Datos: IPE, fy= 275 N/mm2; γM=1,1; γ =1,35; E= 2,1x105 N/mm2 RA MA 5 kN 2,5 kN A 2 kNm C 1m B 1m Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio: ∑F =0 ∑M = 0 RA = 2,5 + 5 + 2.2 = 11, 5 kN M A = 2,5.1 + 5.2 + 2.2.1 = 16,5 kN .m A 1) Dimensionamiento de la sección a resistencia: tracemos los diagramas de esfuerzos: x 7 + 11,5 5 9,5 Vy 16,5 6 x Mz 0 − x −1 V y = 11,5 − 2.x x = 0 → V y = 11,5 x = 1 → V y = 9, 5 x = −1.x 2 + 11,5.x − 16,5 2 x = 0 → M z = −16, 5 x = 1 → M z = −6 M z = 11, 5.x − 16,5 − 2.x. 1− x − 2 V y = 11,5 − 2.x − 2, 5 x = 1 → Vy = 7 x = 2 → Vy = 5 x M z = 11, 5.x − 2.x. − 2,5.( x − 1) = −1.x 2 + 9.x − 14 2 x = 1 → M z = −6 x = 2 → M z = 0 Dimensionamiento con criterio plástico: M z max = 16,5 kN .m M z* ≤ M zpl ,d = Wzpl . f yd sustituyendo valores :16, 5.106.1,35 ≤ Wzpl . 275 → Wzpl ≥ 89,1.103 mm3 1,1 entrando en tablas IPE → IPE − 160 comprobación a cor tan te V y : Vy max = 11,5 kN Vy* ≤ Vypl ,d = Av . f yd 3 siendo : Av = (area del alma ) = h.t w = ( IPE − 160) = 160.5 = 800 mm 2 275 1,1 sustituyendo valores :11,5.10 .1, 35 ≤ 800. y operando :15,53.103 ≤ 115, 47.103 3 * ¡ sí cumple a cor tan te ! y además : Vy = 15,53.103 < 0,5.Vypl = 0,5.115, 47.103 = 57, 735.103 3 ¡no es necesario combinar momento flector con fuerza cor tan te 2) Dimensionamiento a rigidez: y MAX ≤ L / 200 tag en A x yB = δBA A y yMAX = y B = δ BA B QBM AB = E .I z 1 δ BA = δ BA = 2 2 2 ∫ (−1.x + 11, 5.x − 16, 5).dx.(2 − x) + ∫ (−1.x + 9.x − 14).dx.(2 − x) 0 1 2,1.10 .10 .I z .10−8 5 −19, 417 2,1.I z yMAX = 3 19, 417 L 2 ≤ = 2,1.I z 200 200 → I z ≥ 924, 6 cm 4 Así pues para que se cumpla con los dos dimensionamientos: → IPE-180 → IPE − 180 3) y 4) Giros y Flechas en C y B: A.- Método de la Ecuación diferencial de la línea elástica: 0 − x − 1 M z = −1.x 2 + 11, 5.x − 16, 5 d2y = − M z = 1.x 2 − 11, 5.x + 16, 5 2 dx dy x3 x2 E .I z . = 1. − 11, 5. + 16, 5.x + C1 dx 3 2 4 3 x x x2 E .I z . y = 1. − 11, 5. + 16, 5. + C1 . x + C2 12 6 2 E .I z . 1− x − 2 M z = −1. x 2 + 9. x − 14 d2y = − M z = 1.x 2 − 9.x + 14 dx 2 dy x3 x2 E .I z . = 1. − 9. + 14. x + C3 dx 3 2 4 3 x x x2 E .I z . y = 1. − 9. + 14. + C3 . x + C4 12 6 2 E .I z . Condiciones de contorno: x = 0 → y0 −1 = 0 x=0→ x = 1 → y0 −1 = y1− 2 x =1→ dy =0 dx 0 −1 dy dy → = dx 0 −1 dx 1− 2 C1 = 0 C2 = 0 C3 = 1, 25 C4 = −0, 417 sustituyendo las constantes en las ecuaciones anteriores: 0 − x −1 1− x − 2 1 3 11, 5 2 .x − .x + 16, 5.x dy 3 2 = dx 2,1.105.103.1320.10 −8 1 4 11,5 3 16, 5 2 .x − .x + .x 6 2 y = 12 2,1.105.103.1320.10 −8 1 3 9 2 .x − .x + 14.x + 1, 25 dy 3 2 = dx 2,1.105.103.1320.10 −8 1 4 9 3 14 2 .x − .x + .x + 1, 25.x − 0, 417 12 6 2 y= 5 2,1.10 .103.1320.10 −8 ϑC = dy para x = 1 → 0,00399 rad dx 0−1 yC = y0−1 para x = 1 → 0,00231 m ϑC = 0,00399 rad ϑB = dy para x = 2 → 0,00502 rad dx 1− 2 y B = y1− 2 ϑ B = 0,00502rad para x = 2 → 0,007 m y C = 0,231 cm ↓ y B = 0,7 cm ↓ B.- Método de los Teoremas de Mohr: RA MA 2,50 kN θC 5 kN θB 2 kN/m tag en A A yB = δBA Cy =δ C CA 1m 1m x B 16,5 6 x Mz yB = δBA A B C ϑAC = ϑ A − ϑC = (como ϑA = 0) = −ϑC = S M AC E .I z 1 ∫ (−1.x ϑC = − 0 2 + 11,5.x − 16,5).dx = 0, 00399 rad 2,1.108.1320.10−8 ϑAB = ϑ A − ϑB = (como ϑA = 0) = −ϑB = 1 S M AB E .I z 2 2 2 ∫ (−1.x + 11,5.x − 16,5).dx + ∫ (−1.x + 9.x − 14).dx ϑB = − 0 yC = δ CA 1 2,1.10 .1320.10−8 8 = 0, 00502 rad QCM AC = E .I z 1 δ CA = (δ CA ∫ (−1.x 2 + 11,5.x − 16,5).dx.(1 − x) = −0, 00231 m → yC = 0, 00231 m 2,1.108.1320.10 −8 < 0 → el punto C está por debajo de la tan gente en A) 0 y B = δ BA = QBM AB E.I z 1 δ BA = ∫ (−1x 2 2 + 11,5 x − 16,5).dx.(2 − x) + ∫ ( −1x 2 + 9 x − 14).dx.(2 − x ) 0 1 2,1.108.1320.10 −8 = −0, 007 m (δ BA < 0 → el punto B está por debajo de la tan gente en A) → y B = 0, 007 m ϑC = 0,00399 rad ϑ B = 0,00502 rad y C = 0,231 cm y B = 0,7 cm 6.6.-En la viga de la figura de sección rectangular de 30 cm x 40 cm se pide calcular la flecha en la sección C Datos: E= 2,1x104 N/mm2 SECCION 60 kN A B C 60 kN 40 cm z 2m 3m y 30 cm Descompongamos la fuerza de 6000 Kg en la dirección de los ejes principales y,z: 20 → α = 53,13º 15 Fy = F .senα = 60.sen53,13º = 48 Kg tag α = Fz = F .cos α = 60.cos 53,13º = 36 Kg 48 kN RAy RAz A z 36 kN 3m 60 kN 48 kN RBy RBz C α 36 kN z 40 cm B 2m y 30 cm y Cálculo de las reacciones: Ecuaciones de equilibrio: ∑F =0 ∑M = 0 y Az RAy + RBy = 48 RBy .5 = 48.3 resolviendo : RAy = 19, 2 kN ∑F ∑M =0 z Ay =0 RBy = 28,8 kN RAz + RBz = 36 RBz .5 = 36.3 RAz = 14, 4 kN RBz = 21, 6 kN Los momentos de inercia de la sección serán: Iz = 1 .30 .40 3 = 160000 cm 4 12 Iy = 1 .40.30 3 = 90000 cm 4 12 con lo cual: E.I z = 2,1.104.103.160000.10−8 = 33600 kN .m 2 E.I y = 2,1.10 4.103.90000.10 −8 = 18900 kN .m 2 Diagramas de esfuerzos: 28,8 kN 48 kN 19,2 kN 14,4 kN z 21,6 kN A B C 36 kN 3m 2m 0− x−3 M z = 19, 2. x y x = 0 → Mz = 0 x x = 3 → M z = 57, 6 M y = −14, 4.x + x = 0→ My =0 57,6 3− x −5 M z = 28,8.(5 − x ) Mz 43,2 x = 3 → M y = −43, 2 x = 3 → M z = 57, 6 x = 5 → Mz = 0 M y = −21, 6.(5 − x ) x x = 3 → M y = −43, 2 x =5→ My =0 My Por el método de la ecuación diferencial de la elástica: Flechas en plano xy: 0− x−3 M z = 19, 2.x 3− x −5 2 d y = − M z = −19, 2.x dx 2 dy x2 E.I z . = −19, 2. + C1 dx 2 3 x E.I z . y = −19, 2. + C1 .x + C2 6 E .I z . M z = 28,8.(5 − x) = 144 − 28,8.x 2 d y = − M z = 28,8.x − 144 dx 2 dy x2 E.I z . = 28,8. − 144.x + C3 dx 2 3 x x2 E.I z . y = 28,8. − 144. + C3 .x + C4 6 2 E .I z . condiciones de contorno : x = 0 → y0 − 3 = 0 x = 5 → y3−5 = 0 operando : C1 = 67, 2 0− x−3 y= C2 = 0 x3 + 67, 2.x 6 33600 −19, 2. x = 3 → y0 −3 = y3−5 C3 = 283, 2 → x =3→ dy dy = dx 0 −3 dx 3−5 C4 = −216 yC = y ( x = 3) = 0.0034 m = 0, 34 cm ↓ Flechas en plano xz: 0− x−3 M y = −14, 4.x d 2z = − M y = 14, 4.x dx 2 dz x2 E.I y . = 14, 4. + C1 dx 2 3 x E.I y .z = 14, 4. + C1.x + C2 6 E .I y . 3− x −5 M y = −21, 6.(5 − x) = −108 + 21, 6.x d 2z = − M y = −21, 6.x + 108 dx 2 dz x2 E.I y . = −21, 6. + 108.x + C3 dx 2 3 x x2 E.I y .z = −21, 6. + 108. + C3 .x + C4 6 2 E .I y . condiciones de contorno : x = 0 → z0 − 3 = 0 x = 5 → z3 − 5 = 0 operando : C1 = −50, 4 0− x −3 C2 = 0 x3 − 50, 4.x 6 18900 14, 4. z= x = 3 → z 0 − 3 = z3− 5 C3 = −212, 4 → x =3→ C4 = 162 zC = z ( x = 3) = 0.0046 m = 0, 46 cm ↓ Calculemos zC, por el método de los Teoremas de Mohr: 14,4 kN z 36 kN A 21,6 kN C 4800 Kg B x zC z(x) y Si abatimos el plano horizontal xz hacia el vertical xy la figura quedará: tag. en A C δCA 14,4 kN θyA A y C 36 kN z(x) z δBA hC 21,6 kN zC 4800 Kg dz dz = dx 0−3 dx 3−5 B x 0− x−3 M y = − 14, 4. x 3− x−5 B δ BA = ∫ M y .dx.(5 − x ) Q BM AB = E .I y A E .I y = M y = − 21, 6.(5 − x ) 3 5 0 3 ∫ ( −14, 4.x ).dx.(5 − x ) + ∫ [ −21, 6.(5 − x ) ].dx.(5 − x ) 18900 δ BA = − 0, 01333 ( punto B por debajo tan gente en A ) tagϑ yA ≅ θ yA = zC = hC − δ CA δ BA 5 = 0, 01333 = 0, 00267 rad → ϑ yA = − 0, 00267 rad 5 (ver figura) hC = tagθ yA .3 ≅ ϑ yA .3 = 0, 00267.3 = 0, 00801 m 3 C δ CA ∫ M y .dx.(3 − x) Q M AC = C = E.I y = A E .I y ∫ (−14, 4.x).dx.(3 − x) 0 18900 = −0, 00343 m (el punto C está por debajo de la tan gente en A) zC = hC − δ CA = 0, 00801 − 0, 00343 = 0, 00458 m → zC = −0, 46 cm δC = ( yC ) tag β = 2 + ( zC ) = 2 ( 0,34 ) 2 + ( −0, 46 ) = 0, 57 cm 2 zC 0, 46 = → β = 53, 5º yC 0, 34 48 kN z 36 kN A C 4800 Kg zC δC z(x) y C´ β B yC y(x)