Máquinas eléctricas modernas

POR
MARCOS DAMIÁN PÉREZ
!
"
!
#
#
#
$$
&
"
%
%
'
#$%&' #$ ()' %&*+,-)' $(./01,/)' /2-3$-/,2-)($'4 /2%2 '2- (2' 5$-$1)#21$'
',-/16-,/2'4%2021$'',-/16-,/2'7#$ ,-#+//,6-4(2'%2#$1-2'7/1$/,$-0$'#$')112((2'
$- () $($/016-,/) #$ 820$-/,)49+-02 /2- $( #$')112((2 #$ 21#$-)#21$'7 #$ 0./-,/)'#$
/2-012(4:)- 8$1%,0,#2 $( #$')112((2 #$ +-) 51)- 3)1,$#)# #$ %2#$1-)' %&*+,-)'
$(./01,/)'
2'81,-/,8,2'#$ ;+-/,2-)%,$-02 #$ ()'%,'%)''2- $'$-/,)(%$-0$ (2'%,'%2'*+$ $()' %&*+,-)' /2-3$-/,2-)($'4 <)')#)' $- ()' %,'%)' ($7$' $($/012%)5-.0,/)' ,$%<)1524$'0)'%&*+,-)'%2#$1-)')#280)- 5$2%$01=)'4#,%$-',2-$'7 /)1)/0$1='0,/)'
#$ #,'$>2%+73)1,)#)''$5?-$( 8)8$( *+$ #$<)-#$'$%8$>)1
( 2<9$0,32 #$ $'0) %2-251);=) $'#)1 +-) ,-012#+//,6- ) )(5+-2'0,82'#$ %&*+,-)'
$(./01,/)'$'8$/,)($' $ #$'/1,<$- (2'5$-$1)#21$')',-/16-,/2'47 '+ ,%8($%$-0)/,6%&',%8210)-0$ $-(2'5$-$1)#21$'$6(,/2'*+$ )(,%$-0)-()1$#$(./01,/)-)/,2-)(40)1$)
82',<($ 51)/,)' ) () $($/016-,/) %2#$1-) #$ /2-012(4*+$ #) (+5)1 ) (2' 5$-$1)#21$'
)',-/16-,/2' #2<($%$-0$ )(,%$-0)#2' +$52 '$ ,-012#+/$- (2' %2021$' (,-$)($'
',-/16-,/2'7)',-/16-,/2'$-)-)(25=)/2-(2'120)0,32' /2-0,-+)/,6-'$ )-)(,@)-(2'
%2#$1-2'%2021$'
(
4,%8($%$-0)#2'/2-'01+/0,3)%$-0$ %$#,)-0$ $( +'2#$
'$-'21$'4(65,/)'#$ /2-012(4,-3$1'21$'7)(,%$-0)/,6- A 47;,-)(%$-0$ '$ )-)(,@)$(
%2021 #$ 1$(+/0)-/,) /2-%+0)#)4 0)%<,.- )(,%$-0)#2 %$#,)-0$ +- ()@2 #$
1$)(,%$-0)/,621 ?(0,%2'$ :)/$ +-)<1$3$ %$-/,6-#$ (2''$132%2021$')8(,/)#2'$-$( /)%82#$ ()
12<60,/)4/+72 ;+-/,2-)%,$-02 $' $'$-/,)(%$-0$ ',%,()148$12 '+ /2-'0,0+/,6- 3)1=)
#$<,#2)'+;21%)#$ $%8($28)1)','0$%)'#$ /2-012(
- 5$-$1)#21 #$ ,-#+//,6- 01,;&',/2 $' +-) /()'$ #$ 5$-$1)#21 $(./01,/2 *+$ $'
%$/&-,/)%$-0$ 7$(./01,/)%$-0$ ',%,()1 )( %2021 #$ ,-#+//,6-01,;&',/2 ( 5$-$1)#21 #$
,-#+//,6- 812#+/$ 820$-/,)$(./01,/)/+)-#2 $( 12021 $'%23,#2 )3$(2/,#)# %)721 )()
;1$/+$-/,)#$ ',-/12-,'%2#$( %2021 #$ ,-#+//,6-$*+,3)($-0$
+-#)%$-0)(%$-0$4$B,'0
$- #2'0,82'#$ 5$-$1)#21$')'=-/12-2'*+$ '$ :)- +0,(,@)#2
8)1)(),-0$51)/,6-#$ )$125$-$1)#21$'C$( 0,829)+()#$ )1#,(()7$( 0,8212021 #$3)-)#2
2' #$( 0,82 9)+() #$ )1#,(() '2- (2' %&' +0,(,@)#2' #$<,#2 ) *+$ '+ /2'02 $' <)924
1$*+,$1$- 82/2 %)-0$-,%,$-024'2- 12<+'02' 7 '$ 8+$#$- /2-$/0)1 #,1$/0)%$-0$
01)3.'#$ 8120$//,2-$'7%$#,2'#$ #$'/2-$B,6-)#$/+)#2' )()(=-$)$(./01,/))()*+$
$-01$5)1&-$-$15=)
2' 5$-$1)#21$' #$ ,-#+//,6- '$ +0,(,@)- %)721,0)1,)%$-0$ $- 0+1<,-)' $6(,/)' 7 $)(5+-)',-'0)()/,2-$':,#1&+(,/)'#$<,#2 ) '+ $'8$/,)( /)8)/,#)# #$ 812#+/,1 820$-/,)
$(./01,/)?0,( )3$(2/,#)#$'3)1,)<($'#$ 120)/,6! "#
- )//,#$-0$ %)1/6 $( #$'/+<1,%,$-02 #$( 5$-$1)#21 #$ ,-#+//,6- D)/$ %+/:2')>2'
$-+-);&<1,/)4'$ $-/2-01)<)+- 51)-%2021 %23,$-#2+-)%&*+,-)/+)-#2'$ /2106()
$-$15=)$(./01,/) '0$ 821 ,-$1/,)',5+,65,1)-#27+-28$1)1,202/6'+'/)<($'71$/,<,6
+-)#$'/)15)$(./01,/) 2'0./-,/2''$ 81$5+-0)12-/6%24', $'0)<)#$'/2-$/0)#2482#=)
#)1 /211,$-0$ 7'$ #,$12-/+$-0)#$ *+$ $'0)<)5$-$1)-#2$-$15=)$(./01,/)
8)10,1 #$ $'$ %2%$-02 /2%$-@6 ) $'0+#,)1'$ $( ;$-6%$-2 7 #$'/+<1,$12- *+$ +%2021 #$ ,-#+//,6- /2%?- )( /+)( '$ /2-$/0) /)8)/,021$'$- 8)1)($(2 8)1) /211$5,1 $(
;)/021 #$ 820$-/,)48+$#$ /2-3$10,1'$ $-+-5$-$1)#21 $(./01,/2
$ %#
&'
()
21 '+8)10$4(2'5$-$1)#21$'#$ ,-#+//,6--2'2-)+02E$B/,0)#2'4',-2*+$ 1$*+,$1$-#$
+- '+%,-,'012 $B0$1-2 #$ /211,$-0$ 01,;&',/) 8)1) 812#+/,1 +- ;(+92 %)5-.0,/2 120)-0$
'0$ '+%,-,'012 $B0$1-2 8+$#$ 8123$-,1 #$ ()1$# $(./01,/)42 #$( %,'%2 5$-$1)#214+-)
3$@*+$ /2%$-@6)812#+/,1 ( ;(+92%)5-.0,/2120)-0$ #$( $'0)021 ,-#+/$ /211,$-0$'$$( 120214(2 /+)( 812#+/$ ) '+ 3$@ +- /)%82 %)5-.0,/2 ) 3$(2/,#)# #$ 120)/,6- #$(
/)%82 %)5-.0,/2 #$( $'0)021 $'0& 1$5,#) 821 () ;1$/+$-/,) #$ () (=-$) , $( 12021 5,1)
%&'($-02 *+$ $( /)%82 #$( $'0)021 ;1$/+$-/,) #$ ',-/12-,'%2 4$-02-/$'() %&*+,-)
28$1) /2%2 +, 821 $( /2-01)1,24$( 12021 5,1) ) +-) 3$(2/,#)#
%)721 *+$ () ;1$/+$-/,) #$ ',-/12-,'%24() %&*+,-) 28$1) /2%2 +4
)
- (2'5$-$1)#21$'#$ ,-#+//,6-4$( ;(+92 %)5-$0,@)-0$ $'$'0)<($/,#2 821 +- <)-/2 #$
/)8)/,021$'/2-$/0)#2)()%&*+,-)8)1)()1$5+()/,6-#$( ;)/021 #$ 820$-/,)
)820$-/,)*+$ #$')112(()+-5$-$1)#21 )'=-/12-2$'812821/,2-)( )()#,;$1$-/,)$-01$
'+3$(2/,#)##$ ',-/12-,'%2A '7()3$(2/,#)#)-5+()1 $-'+12021 A
*+
(,(
) %&*+,-) #$ ,-#+//,6- $' +0,(,@)#) #$'#$ $( ',5(2 8)')#2E $' %+7 12<+'0)4
/2-'01+/0,3)%$-0$ %&' '$-/,(()4#$ <)92 /2'02 7 1$*+,$1$ %+7 82/2 %)-0$-,%,$-02E4
%20,32 821 $( /+)( '$ ()/2-',#$1))8128,)#)8)1)28$1)1 $- 1$5,2-$'),'()#)'#2-#$ $'
#,;=/,( 2 %+7 /2'02'2 1$)(,@)1 +- %)-0$-,%,$-02 8$1,6#,/2 '0$ $'$( /)'2 #$ %+/:)'
%,/12/$-01)($'$(./01,/)'4$'8$/,)(%$-0$ ()'$6(,/)'
#$%&'#$ ()'3$-0)9)'7)%$-/,2-)#)'4'$ '+%)*+$ '+ 1$()/,6- 8)1E3$(2/,#)#4$- ()'
/$1/)-=)' #$ () 3$(2/,#)# -2%,-)(4 8$1%,0$ +- )%210,5+)%,$-02 #$ () 3)1,)/,6/2-'0)-0$ #$( 8)1 %201,@$-();($/:)81,-/,8)( #$( )$125$-$1)#21 22<'0)-0$4$-01$ %&'
;)321)<($ $'$'0)/)1)/0$1='0,/) F 4()$;,/,$-/,)#$( 5$-$1)#21 #,'%,-+7$ G H
-) #$'3$-0)9) #$ $'02' 5$-$1)#21$' $' *+$ 1$*+,$1$- 02%)1 820$-/,) 1$)/0,3) #$ ()
(=-$)$(./01,/))()/+)( $'0&-/2-$/0)#2'I(2/+)( 21,5,-)+-;)/021 #$ 820$-/,)<)92*+$
#$<$ '$1 %$921)#2%$#,)-0$ /)8)/,021$'
21 '+ 8)10$4 (2' 5$-$1)#21$' '=-/12-2' -2 '2- %+7 )8128,)#2' 8)1) ,-0$51)1
)$125$-$1)#21$'#$ 3$(2/,#)# /2-'0)-0$ 7) *+$ /+)-#2 '$ /2-$/0)- #,1$/0)%$-0$ ) ()
(=-$) $(./01,/) $-01$5)- +-) 820$-/,) *+$ $'812821/,2-)( /2- $( &-5+(2 #$ ;)'$ '02
1$'+(0)$-+-)3$(2/,#)#120)/,2-)( /2-'0)-0$ 8)1)/+)(*+,$1 820$-/,)%$-21 2,5+)( )()
-2%,-)( - /2-'$/+$-/,)41$'+(0)+- ','0$%)#$%)',)#2 1=5,#2 $- /+)-02 )'+ 1$()/,68)1E3$(2/,#)#G H
$
2' 5$-$1)#21$'#$ ,-#+//,6- #2<($%$-0$ )(,%$-0)#2'
+0,(,@)#2'$- 0+1<,-)'
$6(,/)' $'0&- ',$-#2 +0,(,@)#2' ) +-) 0)') /)#) 3$@ %)721 $- 51)-9)' $6(,/)' )
81,-/,8)( 1)@6- #$ () 828+()1,#)# #$ (2'
' $6(,/2' /2-$/0)#2' )( ','0$%)
,-0$1/2-$/0)#2 -)/,2-)( $''+ /)8)/,#)# #$ '+%,-,'01)1 820$-/,))0$-',6- 7 ;1$/+$-/,)
/2-'0)-0$ )%$#,#)*+$ ()3$(2/,#)##$( 12021 3)1=) )/2-;,5+1)/,6-#$(
0)%<,.8123$$ ()82',<,(,#)##$ /2-012()1 $( ;)/021 #$ 820$-/,)#$( ','0$%)/2%2+-02#2
$
#( "
( ;+-/,2-)%,$-02 #$(
'$ <)') $- $( 5$-$1)#21 #$ ,-#+//,6- 01,;&',/2 /2- 12021
#$3)-)#2 $- $( /+)( $( 12021 $')(,%$-0)#2 %$#,)-0$ )(5?J J
/2-3$10$1 8)1) 8123$$1 28$1)/,6- $'0)<($ -2%,-)( )?- ) 3$(2/,#)#
3)1,)<($
-','0$%)
0=8,/2'$ %+$'01)$-() ,5+1)
( /2-3$1'21
J J /2-','0$ $7 +- /2-3$1'21 #$( ()#2 #$ ()
#2'/2%82-$-0$'C+- /2-3$1'21 #$( ()#2 #$( 12021 *
1$# +
%<2' '2- /2-3$1'21$' )(,%$-0)#2' /2- 0$-',6- #,1$/0) *+$ +0,(,@)#,'82',0,32' #$ $($/016-,/) #$ 820$-/,) 8)1) ',-0$0,@)1 /)%<,)1 () ;1$/+$-/,) +-)
0$-',6-)(0$1-))8)10,1 #$ +-);+$-0$ #$ 0$-',6-/2-0,-+) 2')-,((2'12@)-0$'#$( 12021
'$ /2-$/0)- )( /2-3$1'21 #$( ()#2 /211$'82-#,$-0$4 $( /+)( $'0& )/28()#2 )( 2012
/2-3$10,#21 %$#,)-0$ +- 3=-/+(2#$
( /2-3$1'21 #$( ()#2#$ ()1$# '$ /2-$/0))()
%,'%)%$#,)-0$ +-','0$%)#$ ,-#+/0)-/,)'01,;&',/)'$-'$1,$4%,$-01)'*+$ $( #$3)-)#2
#$( $'0)021 '$ /2-$/0)$-;21%)#,1$/0))()1$#
2- $'0)/2-;,5+1)/,6-4()820$-/,)/)80+1)#)821 ()0+1<,-)#$ 3,$-02 $'01)-';21%)#)
$- $-$15=) $(./01,/) 821 $( 5$-$1)#21 #$ ,-#+//,6- 7 $' 01)-'%,0,#) ) () 1$# 821 (2'
#$3)-)#2'#$( $'0)021 7$( 12021 ( ','0$%)#$ /2-012( 5$-$1)()''$>)($'*+$ /2%)-#)$( &-5+(2 #$ ,-/(,-)/,6- #$( 12021 7 ()' 0$-',2-$' #$ * 7 + 8)1) /2-012()1 ()
820$-/,)#$ ()0+1<,-)$6(,/)4$( 32(0)9$ $- #,1$/0)7 ()820$-/,)1$)/0,3)2 0$-',2-$'#$
()'0$1%,-)($'*+$ 3)-)()1$#
( 81,-/,8,2 #$ 28$1)/,6- $'/2%2 %+$'01)();,5+1)C()')(,#)#$( 5$-$1)#21 '$ /2-$/0)
#,1$/0)%$-0$ ) () 1$# $(./01,/)47 ) '+ 3$@ '$ $'0)<($/$ +- ()@2 #$ 1$)(,%$-0)/,6- 821
%$#,2 #$ )(5?- /2-3$1'21 #$ ;1$/+$-/,) /2- $( 2<9$02 #$ /2-012()1 $( ','0$%) #$
$B/,0)/,6-#$( 12021 '0$ ()@2#$ 1$)(,%$-0)/,6-81$'$-0)#2'3$-0)9)'%+7,%8210)-0$'C
2%2 $( 32(0)9$ #$( 12021 $' /2-012()#2 821 +- /2-3$1'21 $($/016-,/2 #$
820$-/,)4$( 5$-$1)#21 #$ ,-#+//,6- $'/)8)@ #$ ,%8210)1 7 $B8210)1 ) '+ 3$@
820$-/,) 1$)/0,3) '02 0,$-$ ,%8210)-0$'/2-'$/+$-/,)'8)1) () $'0)<,(,#)# #$(
','0$%)$(./01,/27($ 8$1%,0$4821 (20)-02)()%&*+,-)8$1%)-$/$1 /2-$/0)#))(
','0$%))?-$-81$'$-/,)#$ 8$10+1<)/,2-$''$3$1)'
#$%&'4/2%2 ();1$/+$-/,)#$( 12021 $'/2-012()#24$'02 :)<,(,0))()%&*+,-)
#$ ,-#+//,6- ) %)-0$-$1'$ ',-/12-,@)#) /2- () 1$# $(./01,/) )?- /+)-#2 ()
0+1<,-)#$ 3,$-023)1=$ '+3$(2/,#)#
$ $'0) %)-$1) '$ (251) #$')/28()1 ()' ;1$/+$-/,)' %$/&-,/) 7 $(./01,/)47 1$'+(0)
82',<($ %)-0$-$1 ();1$/+$-/,)#$ ')(,#)$- +- -,3$( $'0)<($ ,-#$8$-#,$-0$%$-0$ #$ ()
3$(2/,#)##$ 120)/,6-#$( 5$-$1)#21
( &-5+(2#$ )0)*+$ #$( 12021 '$ /2-012()8)1)(,%,0)1 ()820$-/,)#$ ')(,#)#$( 5$-$1)#21
)'+ 3)(21 -2%,-)( $- 81$'$-/,)#$ ;+$10$'3,$-02' - 5$-$1)#21 $6(,/2 /2- /2-012( #$
#,1$//,6- 8+$#$ ',$%81$ )8123$/:)1 #$ () %)-$1) %&' $;,/,$-0$ () #,1$//,6- #$ (2'
3,$-02'
$
$
.
/
$
#( & #) ( "
0"1 (
' )
## ( 2
'
0 (0
$ /2-',#$1)$( /)'2#$ +-%2021 120)0,32)'=-/12-2#$ 9)+()#$ )1#,(()4)( *+$ /210)%2'
821 +- '$%,8()-2 )B,)( ()'/212-)'%)5-.0,/)'#$( $'0)021 7 #$( 1202147 #$'$-12(()%2'
821 +-8()-2 -$( %2021 #$'$-12(()#2(2'8)*+$0$'%)5-.0,/2'#$( $'0)021 7$( 12021 '$
01)-';21%)- $- 8)1)($($8=8$#2'1$/0)-5+()1$''$8)1)#2'821 +- $-01$:,$112 8()-2 /2'+'1)-+1)'$-;1$-0)#)'
)1)#+8(,/)1 ();% % ;+$1@)%)5-$02%201,@ '$ 8+$#$ #,'82-$1 +- '$5+-#2 ,-#+/021
#$( 2012 ()#2 #$( ,-#+/,#2 , $( ,-#+/,#2 0,$-$ %)0$1,)( ;$112%)5-.0,/24$'-$/$')1,)
%$-2' ;% % 8)1) 2<0$-$1 ;+$1@)' ,%8210)-0$'4 8$12 )8)1$/$- +-2' $';+$1@2'
',5-,;,/)0,32'#$ 1$(+/0)-/,) $- $( '$-0,#2 01)-'3$1')( )( )3)-/$ #$( ,-#+/,#24(2 /+)(
/2%8(,/)$( 5+,)#2%$/&-,/2#$ .'0$
01)$9$/+/,6- #$( %2021 (,-$)( /2-','0$ $- )112(()1 #$ -+$32 ()3$1',6- 8()-))-0$1,21
)(1$#$#21 #$( $9$ 8)1)($(2 )()#,1$//,6- #$( %23,%,$-02 1$/0,(=-$2 /2%2 '$ %+$'01)$()',5+,$-0$ ,5+1)
2-#$ ();($/:),-#,/)$( '$-0,#2#$( /)%82%)5-.0,/2
$ $ %#
&'
()
0)
# 0 (0
( $'*+$%)#$ () ,5+1) 1$81$'$-0)+- %2021 (,-$)(4$- $( *+$ $( #$'8()@)%,$-02 #$(
,-#+/,#2'$ 812#+/$ '$5?-$( $9$ (2-5,0+#,-)(
)()3$(2/,#)#%$/&-,/)
!" #
(5+-2'#$ (2'8)1&%$012';+-#)%$-0)($''2-C
C3$(2/,#)##$( /)%82%)5-.0,/2
C3$(2/,#)#%$/&-,/)#$( ,-#+/,#2
C512'21 #$( ,-#+/,#2
C)-/:2#$ ()8)10$ )/0,3)#$( ,-#+/,#2
C)-/:2#$ ()/)<$@)#$ ()<2<,-)
)/211,$-0$ #$ $B/,0)/,6-#$( #$3)-)#2,-#+/021 /,1/+()$-()#,1$//,6- !4/1$)-#2+/)%82 81,-/,8)( #$ ,-#+//,6- %)5-.0,/24$- () #,1$//,6- #$( $9$ 01)-'3$1')( " ,
$'02' #$3)-)#2' $'0&- /211$/0)%$-0$ 1$8)10,#2' 7 '2- )(,%$-0)#2' 821 +-) ;+$-0$
01,;&',/) ) +-) ;1$/+$-/,) 4$( /)%82 %)5-.0,/2 81,-/,8)( 7 () ;+$1@) %)5-$02%201,@
;% % '$ 8128)5)'$5?-$( $9$
/2-+-);21%)#$ 2-#)#$'(,@)-0$ )+-)3$(2/,#)#
(,-$)(
( /)%82 %)5-.0,/2 /211$'82-#,$-0$ )( ,-#+/021 )01)3,$') $- $-01$:,$112 5$-$1)-#2
#$-012 #$( ,-#+/,#2 ()';+$1@)'$($/012%201,/$' ;$ % 7 ) () 3$@ +-)'/211,$-0$' (
;(+92 %)5-.0,/2 #$1,3)#2 #$ $'0)' /211,$-0$'4#$'(,@)-0$ 1$'8$/02 #$( ,-#+/021 7 )(
,-#+/,#2 1$'0) ,-%63,( 1$'8$/02 )( ;(+92 81,-/,8)( ) ,-0$1)//,6- $-01$ ()' /211,$-0$'
,-#+/,#)'7$( ;(+92%)5-.0,/2$-$( $-01$:,$112#$0$1%,-)+-);+$1@)%201,@(,-$)( '2<1$
$( ,-#+/,#24/+72'$-0,#24'$1&$( %,'%2*+$ 0,$-$ $( /)%82%)5-.0,/2#$'(,@)-0$ 7*+$
(($3))( ,-#+/,#2)+-)3$(2/,#)# 4*+$ $',-;$1,21 )()3$(2/,#)##$( /)%82
( (
#$( %2021 #$ ,-#+//,6-(,-$)( '$ #$;,-$ /2%2C
=
−
( 81,-/,8,2$($%$-0)( #$ ;+-/,2-)%,$-02$'4$-02-/$'4',%,()1 )( #$ ()%&*+,-)120)0,3)4
*+$ 0,$-$ )/28()%,$-02%)5-.0,/2)'=-/12-2
( ,-#+/,#2 8+$#$ '$1 )',%,()#2 /2%2 +-) (&%,-) /2-#+/021) #$ )-/:2 # $ % 7 #$
51+$'2 & ) )-/:+1) # '$ $-/+$-01) 821 /2%8($02 #$-012 #$( /)%82 %)5-.0,/2
81,-/,8)(4*+$ $' #2-#$ '$ 5$-$1)- ()' /211,$-0$' ,-#+/,#)' $ 8+$#$ /2%8)1)1 $'0)
8)10$ # /2- (2'/2-#+/021$'#$ ()'1)-+1)'#$( 12021 #$ () %&*+,-) 120)0,3) )'#2'
<)-#)'()0$1)($'% #$( %2021 (,-$)( ',0+)#)'/)#)+-))/)#)()#2 #$ ()8)10$ #47 ;+$1)
#$( /)%82 %)5-.0,/2 81,-/,8)(4;21%)- $( /,1/+,02 #$ /,$11$ #$ ()'/211,$-0$',-#+/,#)'
:)/,$-#2 ()%,'%);+-/,6- *+$ ()'/)<$@)'#$ <2<,-)'#$ (2'#$3)-)#2'0=8,/2'#$ ()'
%&*+,-)'120)0,3)' ,5+1)K
$
%
- $( /)'2 #$ +- %2021 (,-$)( 01,;&',/2 0+<+()14$( #$3)-)#2 $'0&;21%)#2 821 <2<,-)'
0212,#)($')(29)#)'$- 1)-+1)'1)#,)($'4+-)821 1)-+1)481)/0,/)#)'$- $( ,-0$1,21 #$ +0+<2#$ %)0$1,)( %)5-.0,/2 2-$/0)-#2()'<2<,-)')+-','0$%)01,;&',/2#$ ;21%)*+$
'$)-1$/211,#)'$-;21%)'+/$',3)821 /211,$-0$'#$ '$-0,#2,-3$1'240)( /2%2%+$'01)()
,5+1)L4$-$( ,-0$1,21 #$( 0+<2'$ 0$-#1&+-/)%82)(0$1-)0,32#$'(,@)-0$ )(2()152#$(
$9$ #$( 0+<2 , $- $( ,-0$1,21 #$( 0+<2 /2(2/)%2'+- )-,((2 /2-#+/0214()'/211,$-0$'
,-#+/,#)'<)92())//,6-#$( /)%82%)5-.0,/2#)1&-21,5$-);+$1@)'$($/012%)5-.0,/)'
*+$ 0$-#$1&-)#$'8()@)1(2)B,)(%$-0$
&
$
#
*
0 (
+/:2'#,'$>2':)- ',#2 )8(,/)#2'8)1)(2'%2021$'(,-$)($'41$'+(0)-#2 ;,-)(%$-0$ $#2'51)-#$'/)0$521=)'C%2021$'(,-$)($'#$ (
,
'(
%
•
1$-$'#$ 8128+(',6- %)5-.0,/)4/2%2 $( 01$- #$ ($3,0)/,6- %)5-.0,/) 9)82-.'
,-,%2
•
+<0$'%2#$1-2'9)82-$'$'4,-/(+7$-#2() =-$) 2$, $#2$- 2M72
•
•
•
8(,/)/,2-$' ',- ($3,0)/,6- %)5-.0,/)4/2%2 ','0$%)' #$ 01&-',02 1&8,#2 8)1)
<2%<)1#$12'
2-0)>)'1+')' +'2'/2-%2#,;,/)/,2-$'
'2 $- ','0$%)' #$ /2-012( #$ %23,%,$-02' 12<60,/)4 $- ','0$%)' #$
#$'(,@)%,$-02 /2%2/210)#21$'(&'$1 #$ 81$/,',6- 48+$10)'#$'(,@)-0$'
)
*
%
*
+
,(
•
'2$-)/$($1)/,6-#$ %2-0)>)'1+')'
•
'2$-#,'$>2#$ )1%)'
•
'2$-','0$%)'#$ #$'8$5+$ $($/012%)5-.0,/2#$ )3,2-$'#$ 5+$11)
•
+5$1,#)'8)1)+'2$-8128+(',6-#$ -)3$'$'8)/,)($'
) ;)<1,/)/,6- #$ (2' %2021$' #$ )(0) )/$($1)/,6- /2-(($3)4',- $%<)1524#$ 51)-#$'
#,;,/+(0)#$'/2-'01+/0,3)'47#$%)-#)51)-/)-0,#)##$ $-$15=)
.
/
$$
$( %,'%2%2#2*+$ /2-(2'%2021$'120)0,32'4$-(2'%2021$'(,-$)($'$B,'0$-()'#2'
3$1',2-$'C%2021 (,-$)( )',-/16-,/2 2#$ ,-#+//,6- 7%2021 (,-$)( ',-/16-,/2
- $( %2021 (,-$)( ',-/16-,/24$( 81,%)1,2 $'0&/2-;21%)#2 821 +- #$3)-)#2 01,;&',/2 7
$( '$/+-#)1,2 $'0& /2%8+$'02 #$ $($/012,%)-$'4 ,%)-$' 8$1%)-$-0$'4 2 ,%)-$'
'+8$1/2-#+/021$' , $( #$3)-)#2 01,;&',/2 '$ )(,%$-0) #$ /211,$-0$ 01,;&',/)4812#+/$
0)%<,.-+-)2-#)$($/012%)5-.0,/)3,)9$1)47$-$'0$ /)'24(2',%)-$'#$( '$/+-#)1,2'$
)/28())$'0)2-#)73,)9)-)()
4#)#)821C
=
2-#$
$' $( 8)'2 #$ 82(247 $' () ;1$/+$-/,) #$ () )(,%$-0)/,6- , '$ +0,(,@),%)-$'82#$12'2'40)($'/2%2 (2''+8$1/2-#+/021$'4$(
8+$#$ 28$1)1 /2- 5)8 #$
),1$ %&'51)-#$
( /,1/+,02 $*+,3)($-0$ 8)1) )-)(,@)1 $'0$ 0,82 #$ %2021 $' ',%,()1 )( #$( %2021
',-/16-,/2 #$%&'4 ', '$ +0,(,@)- ,%)-$' 82#$12'2'4 (2' $;$/02' 1$)/0,32' #$ ()
)1%)#+1)'2-#$'81$/,)<($'7()1$)/0)-/,)',-/16-,/)*+$ $B,'0$ $'#$<,#)?-,/)%$-0$ )
()1$)/0)-/,)#$ 8.1#,#)
- $( 81$'$-0$4$( %2021 (,-$)( ',-/16-,/2 -2 '$ +0,(,@)0)- )%8(,)%$-0$ /2%2 $( (,-$)(
#$ ,-#+//,6- ,-$%<)1524$(
0,$-$ +-51)-820$-/,)( $-$( /)%82#$ 01)-'8210$ #$
)(0)3$(2/,#)#4#2-#$ +-51)-5)8#$ ),1$ $'-$/$')1,2
*
-
.-
/
$ 01)0)#$ +-%2021 ',-/16-,/2/+7212021 $'+-,%&-8$1%)-$-0$47*+$ $'28$1)#2#$
%2#2
%$#,)-0$ +- ()@2 #$ 1$)(,%$-0)/,6- 7 +-) (65,/) #$ /2-012( (
$'0)021 /2-','0$ 5$-$1)(%$-0$ $- <2<,-)#2'/2-$/0)#2'$-$'01$(()7#,'8+$'02') N
$-01$ '= ( 021*+$ #$ 120)/,6- '$ 812#+/$ 821 (),-0$1)//,6- $-01$ $( /)%82 %)5-.0,/2
812#+/,#2821 ()'<2<,-)'#$( $'0)02147$( #$( 12021 3$1 ,5+1)
-
#
/
.
0
*
%#
#( "
( /)%82 %)5-.0,/2 120)-0$ #$( $'0)021 '$ 812#+/$ $-$15,@)-#2 ()'<2<,-)'$- ;21%)
/2-%+0)#)4#$ %2#2 *+$ $( 021*+$ '$) ',$%81$ %&B,%2 )1) $-$15,@)1 ()' <2<,-)'
)#$/+)#)'#$ %)-$1)*+$ '$ 812#+@/)$( %&B,%2 8)1 82',<($ $- ()82',/,6- )/0+)( #$(
120214$'-$/$')1,2 /2-2/$1 /+&( $'$')82',/,6-48)1)(2 /+)( '$ 1$*+,$1$ +#$
82',/,6-)-5+()1 *+$ -2',-;21%$ ,-'0)-0$ ),-'0)-0$ ()/2-;,5+1)/,6-#$( 12021
),-0$1)//,6- $-01$ ()82',/,6- '$-')#)47 ()(65,/)#$ $-$15,@)/,6- #$ ()'<2<,-)''$
(($3))( /)<2 %$#,)-0$ +-)
479+-02'/2-;21%)- +- ()@2 1$)(,%$-0)#2
#$ /2-012(
)/2-%+0)/,6- #$ ()'<2<,-)'$- (2'
'$ $;$/0?)$- ;21%)$($/016-,/)%$#,)-0$
+- /,1/+,02
/2-;21%)#2 821 '$%,/2-#+/021$' $-$1)(%$-0$ '$ +0,(,@) +,-3$1'21 *+$ 28$1$ /2- #,'82',0,32' )+02/2-%+0)-0$'4 0)($' /2%2
''4
'4
'47
' ( $'0)#2 -E ;;#$ $'02'#,'82',0,32'8+$#$ /2-012()1'$ )8)10,1
#$ ()''$>)($'#$ '+'
4()'/+)($''2- /2%)-#)#)'821 $( '$-'21 )%<,.- $B,'0$#,'$>2' #$ /2- 0,1,'021$'48$12 0,$-$- 812<($%)' /+)-#2 $( 12021 ;+-/,2-) ) <)9)'
3$(2/,#)#$'
( '$-'21 #$ 82',/,6-#$( 12021 /2-012()1&()')//,2-$'#$ $-/$-#,#22)8)5)#28)1)(2'
,-0$11+8021$'#$ %2#20)( *+$ $( &-5+(2812%$#,2 $-01$ $( /)%82%)5-.0,/2#$( 12021 7
#$( $'0)021 '$)#$ N7$( 021*+$ '$)$( %&B,%282',<($
2' ,-0$11+8021$' #$( $'0)021 '$ /2-%+0)- /)#) K N $(./01,/2' 7 (2' 'O,0/:$' '2-+%$1)#2'$- ()'$/+$-/,)$- *+$ '2- $-/$-#,#2' , $( ,-3$1'21 $')(,%$-0)#2 #$'#$
+-) ;+$-0$ #$ 32(0)9$ /2-0,-+2 () 1$5+()/,6- #$ /211,$-0$ 8+$#$ (($3)1'$ ) /)<2 /2A
D)7#2'0,82'#$
C 01)8$@2,#)($'7 ( ',-+'2,#)($' -$( #$( 0,8201)8$@2,#)(
() ;$% 0,$-$ ;21%) 01)8$@2,#)( 7 () /211,$-0$ #$ ;)'$ 1$*+$1,#) $' +-) 2-#) *+)',E
/+)#1)#)#$
N - (2'#$ 0,82 ',-+'2,#)(4();$% $'',-+'2,#)( 7()/211,$-0$ #$ ;)'$
1$*+$1,#)$'',-+'2,#)(
);$% 01)8$@2,#)( $'5$-$1)#)821 ,%)-$'8$1%)-$-0$'#$( 12021 /2- +-)#,'01,<+/,6#$ ;(+92 /+)#1)#) 7 +-) <2<,-)/2-/$-01)#)$- $( $'0)021 2' N#$ () /211,$-0$ #$
;)'$ 1$*+,$1$ +-'$-'21 #$ <)9)1$'2(+/,6-40)( /2%2+-'$-'21 D)(( 2+-'$-'21 $($/012
680,/248)1)/2-%+0)1 (2'#,'82',0,32'/)#)K N$(./01,/2'#$ /211,$-0$
-) ;$% ',-+'2,#)( '$ 5$-$1) ) 8)10,1 #$ ,%)-$' 8$1%)-$-0$' $- $( 12021 /2- +-)
#,'01,<+/,6- #$ ;(+92 %)5-.0,/2 $'$-/,)(%$-0$ ',-+'2,#)( 7 +- #$3)-)#2 #,'01,<+,#2 $$( $'0)021 )/211,$-0$ #$ ;)'$ ',-+'2,#)( 1$*+,$1$ #$ +- '$-'21 #$ 82',/,6- )<'2(+02 2
+- 1$'2(3$1 8)1) 82#$1 '$-')1 () 82',/,6- $- ;21%) /2-0,-+) 7 (251)1 +-) )#$/+)#)
'=-0$','#$ +-) /211,$-0$ #$ ;21%) #$ 2-#) ',-+'2,#)( ) /211,$-0$ $- () ;)'$ $'+-)
;+-/,6-',-+'2,#)( #$ ()82',/,6-#$( 12021
)' ;21%)' ,#$)($' #$ 02#)' $'0)' /)-0,#)#$' $- ;+-/,6- #$ () 82',/,6- #$( 12021 '$
%+$'01)-$-() ,5+1)
1
( %2021 0,8201)8$@2,#)( 1$*+,$1$ #$ +-'$-'21 #$ 82',/,6-$/2-6%,/2 + $'*+$%)#$
/2-%+0)/,6- $'',%8($47 #)#2 *+$ '2()%$-0$ 'O,0/:$''$ $-/+$-01)- $-/$-#,#2'$02#2 %2%$-024()$;,/,$-/,)#$( ,-3$1'21 $')(0) ( /2'02 020)( ',$%81$ '$1&%$-21 ,$%<)1524$( ,8($7#$( 021*+$ '$1&$($3)#2', ();21%)#$ ()'2-#)'$'-2,#$)(
( %2021 0,82 ',-+'2,#)( 1$*+,$1$ #$ +- '$-'21 #$ 82',/,6- /)12 $ -$/$',0) %&'
'2;0O)1$ 7 :)1#O)1$ 8)1) 812/$')%,$-02 #$ '$>)($' ) $;,/,$-/,) #$( ,-3$1'21 '$1&
%$-21 #$<,#2)*+$ ,-0$11+8021$''$ :)(()-$-/$-#,#2'02#2$( 0,$%82 ,-$%<)152$(
1,8($ #$( 021*+$ '$1&<)92,-/(+',3$ /+)-#2();21%)#$ ()'2-#)''$)-2,#$)(
*$
#' 2
( 12021 #$ ,%&- 8$1%)-$-0$ 8+$#$ 0$-$1 #$'#$ :)'0) " 82(2' #$ 8)1$' /2- 82(2'
)(0$1-)#2' 7
)';$11,0)'%)5-.0,/)':)- ',#2+0,(,@)#)'#$'#$ :)/$ 0,$%828)1)()
;)<1,/)/,6-#$ ,%)-$'8$1%)-$-0$' -())/0+)(,#)#:)-5)-)#2828+()1,#)#(2',%)-$'
;)<1,/)#2' /2- )($)/,2-$' #$ 0,$11)' 1)1)' *+$ 81$'$-0)- %)721 #$-',#)# #$ /)%82
%)5-.0,/2
2%?-%$-0$ '$ +0,(,@)- 0,82'#$ /2-;,5+1)/,2-$'#$( 12021 #$ ,%&- 8$1%)-$-0$4()'
/+)($''$ %+$'01)-$-() ,5+1) 47'$ #$'/1,<$-)/2-0,-+)/,6-C
- . '&()* '+(,&%+* )( -& *./)012#2) 2' ,%)-$' 8$1%)-$-0$' 1)#,)(%$-0$
%)5-$0,@)#2''$ %2-0)- $- +-)$'01+/0+1)/2- )(%)#$ )/$12 /2%2 %+$'01)()
,5+1)
2%2 ()8$1%$)<,(,#)# 1$()0,3)#$( %)0$1,)( %)5-.0,/2 $'/$1/)-2 )
()+-,#)#4.'0$ )/0?)/2%2+-5)8#$ ),1$ ( 5)8#$ ),1$ $;$/0,32$'4821 (20)-024
51)-#$4:)/,$-#2 8$*+$>2 )$'01+/0+1)$'%)5-.0,/)%$-0$ -2E')(,$-0$ 7821
(20)-02 #P *
-(. '&()* 2(*)0,+* - $'0$ )11$5(24(2' ,%)-$' '$ $-/+$-01)- ,-'$102' $- ()
$'01+/0+1)/2%2%+$'01)() ,5+1) (
2-$'0)/2-;,5+1)/,6-$( 021*+$ %&B,%2
#$')112(()#2$'%)721 *+$ $-$( /)'2)-0$1,21
-. '3( /)0'&()(,) 2(,)0(+ #+( '&4(),25&#26( 0&%2&- 2' ,%)-$' '$ :)((),-'$102' $- $( %)0$1,)( #$( 12021 /2- %)5-$0,@)/,6- 1)#,)(4/2%2 %+$'01) ()
,5+1)
),-#+/0)-/,)$- $( $9$ / $'%)721 *+$ (),-#+/0)-/,)$- $( $9$ 47
)%<)''2-%)721$'*+$ $-(2'/)'2')-0$1,21$'
- . '3( /)0'&()(,)2(,)0(+#+( '&4(),25&#26( #20#.(1)0)(#2&-
** +
(,(
0 3# 0 )
#
3 00(
2' %2021$'
0,$-$- ()' ',5+,$-0$' 3$-0)9)' $- 1$()/,6- /2- (2' %2021$'
/2-3$-/,2-)($'*+$ +0,(,@)-$'/2<,(()'C
) )%)>2#$ 12021 8$*+$>2 7)(0)#$-',#)# #$ 820$-/,)4#$<,#2)())+'$-/,)#$
/2-%+0)#21$'%$/&-,/2'7$'/2<,(()'
< $-21 ,-$1/,)71$'8+$'0)#,-&%,/)%&'3$(2@
/ )721 3$(2/,#)# 7 /)8)/,#)# #$ 021*+$4#$<,#2 )())+'$-/,)#$ $'/2<,(()'7
/:,'8)'
# $-21 /2'02#$ %)-0$-,%,$-02
$ )721 1)#,2021*+$J,-$1/,)
; $921 #,',8)/,6-0.1%,/)
2%2 #$'3$-0)9)'4$'02' %2021$' 1$*+,$1$- #$C'$-'21$' #$ 82',/,6-4$($/016-,/) #$
820$-/,) /2%8($9) ,-3$1'21$'47 /2-012()#21$' /2%8($92'41$'+(0)-#2 $- +- %)721
/2'02 )'%$921)'$- %)0$1,)($'8)1),%)-$'8$1%)-$-0$'7 ()1$#+//,6- #$ /2'02'$/,1/+,02',-0$51)#2'$ ,-0$11+8021$'$($/016-,/2'#$ 820$-/,):):$/:2 *+$ (2'%2021$'
Q $- 8)10,/+()1 (2'#$ 0,82 01)8$@2,#)( Q <+$-2'/2%8$0,#21$'$- $( /)%82 #$
#,'82',0,32'#$ )(0)8$1;21%)-/$
-01$ '+')8(,/)/,2-$'4'$ +0,(,@)- )%8(,)%$-0$ $-C/2%8+0$1 #,'M #1,3$'4'$132 #1,3$'4
12<60,/)43$:=/+(2'$($/016-,/2'47201)')8(,/)/,2-$')(,%$-0)#)'/2-<)0$1=)'
4
.
/
4
#) ( 35 (
#( "
);,5+1)%+$'01)+-/210$ 01)-'3$1')( #$( %2021 #$ 'O,0/:$#1$(+/0)-/7/2-"82(2'$$( $'0)021 7 K 82(2'$- $( 12021 %<2'#$ %)0$1,)($';$112%)5-.0,/2' '02'%2021$'
0,$-$- +- 12021 /2- +- 8)1 #$ 82(2' %$-2' *+$ $( $'0)021 2(2' #$( $'0)021
#,)%$01)(%$-0$ 28+$'02''2-$B/,0)#2'',%+(0&-$)%$-0$ /2%2%+$'01)() ,5+1)
(
021*+$ '$ 812#+/$ 821 () 0$-#$-/,) #$ (2' 82(2' #$( 12021 ) )(,-$)1'$ /2- (2' 82(2'
$B/,0)#2' #$( $'0)021 8)1) 0 1
)
/+)-#2 $( )112(()%,$-02 #$(
$'0)021 $'$B/,0)#2821 +-)/211,$-0$
, ();)'$ '$ $B/,0)4(2'82(2')7 )R#$( 12021 '$ )(,-$)1&- /2- (2'82(2' 7 R#$(
$'0)021 , (+$52 '$ $B/,0
) () ;)'$ 4'$ )(,-$)1&- (2'82(2'< 7 <R/2- (2' 7 R#$(
$'0)02147 821 (2 0)-024$( 12021 5,1)1& +- 8$*+$>2 &-5+(2 $- '$-0,#2 #$ ()')5+9)'#$(
1$(29 21 (20)-024', ()';)'$''$ $B/,0)-$-()'$/+$-/,) 4 4 4 4
$( 12021 5,1)1&
$- '$-0,#2 #$ ()' %)-$/,(()' #$( 1$(29 -0+,+0 *) '.)7) #+( &-48( *2(#0+(2*'+
0)*/)#,+%)-#&'/+%)-)*,&,+09/)0+&':+*420&( )( *)(,2%+#+(,0&02+
(
%&' )8128,)#2 8)1) () $B/,0)/,6- #$ ()' ;)'$' #$( $'0)021 #$8$-#$ #$ ()
82',/,6- #$( 12021 21 (2 0)-024+- '$-'21 #$ 82',/,6- $'-$/$')1,2 )$B/,0)/,6- #$<$
,1'$ /2-%+0)-#2 '$/+$-/,)(%$-0$ #$ ;)'$ $- ;)'$ )%$#,#)*+$ $( 12021 '$ %+$3$47#$
)((=$( -2%<1$ #$ %2021 #$ 1$(+/0)-/,)/2-%+0)#)
4$
0(
0( # ' "
#6'
)1)$( %2#$()#2#$( 021*+$ '$ )'+%$-#2':,860$','C
) $ $B/,0)
1
< ( %)0$1,)( ;$112%)5-.0,/2$'
2- $'0)'/2-',#$1)/,2-$'4$- $-')%<($ %)5-.0,/2 $-01$ ()'<2<,-)'$B/,0)#)'8+$#$
1$81$'$-0)1'$ 821 +-) ,-#+/0)-/,) +)-#2 $( 12021 3)1=) '+ 82',/,6-4() ,-#+/0)-/,)
/211$'82-#,$-0$ )$');)'$ 0)%<,.-3)1=) ( 021*+$ $'0&#)#2821C
2
=
∂
∂θ
32 θ
=
2
2
2
∂
( 32 θ
∂θ
)
( 021*+$ $'812821/,2-)( )( /+)#1)#2#$ ()/211,$-0$47821 (20)-024,-#$8$-#,$-0$ #$ '+
#,1$//,6- ) ,5+1) %+$'01)3)1,)'82',/,2-$'#$( 12021 1$'8$/02#$( $'0)021
"
+
$'#$
(),-#+/0)-/,))+%$-0)(,-$)(%$-0$ )'82',/,2-$' ( ) 1$81$'$-0)- ()'
82',/,2-$'#$ %&B,%),-#+/0)-/,) 8)10,1 #$
(),-#+/0)-/,)#$/)$ (,-$)(%$-0$
) ,5+1) %+$'01)()3)1,)/,6-0$%821)( #$ (2'8)1&%$012'#$( ','0$%)$-;+-/,6-#$
() 82',/,6- #$( 12021 #+1)-0$ +-) 8)')#) #$( 82(2 #$( 12021 821 $( ;1$-0$ #$( 82(2 #$(
$'0)021 2%2 8+$#$ 2<'$13)1'$4', '$ )(,%$-0) /2- +-) /211,$-0$ /2-'0)-0$4$( 021*+$
812%$#,2812#+/,#2$'-$02 ,4$-/)%<,24()/211,$-0$ '$ )8(,/)?-,/)%$-0$ $-()$0)8)
$-()*+$ (),-#+/0)-/,)/1$/$4'$ (251)+-3)(21 82',0,32#$( 021*+$ -$02 ',%8210)-0$
$-02-/$'0$-$1 ()/)8)/,#)##$ )8(,/)1 ()/211,$-0$ #$ $B/,0)/,6-/+)-#2$( 12021 $'0&$+-)82',/,6-8)10,/+()147(+$52/2-%+0)1()$-201)82',/,6-81$#$0$1%,-)#)
- (2'','0$%)'1$)($'4',- $%<)1524-2 '$ (251) +-) ;21%) 1$/0)-5+()1 $- () 2-#) #$
/211,$-0$4#$<,#2 )(),-$1/,)#$ ()<2<,-)/+)-#2 '$ ($ )8(,/)()0$-',6- #$ $B/,0)/,6)8$1;21%)-/$ 1$)( #$( ','0$%)'$ %+$'01)$- () ,5+1) )/2-0,-+)/,6- +)-#2 '$
)(,%$-0) () 0$-',6- $- () 82',/,6- θ 4() /211,$-0$ /1$/$ 1&8,#)%$-0$ 821*+$ ()
,-#+/0)-/,)$'8$*+$>) +)-#2'$ *+,0)()0$-',6-$-()82',/,6-θ 4()/211,$-0$ #$/)$
($-0)%$-0$ 821*+$ (),-#+/0)-/,)):21)$'%&B,%)4#$9)-#2 (+5)1 8)1)())8)1,/,6- #$
+-8$*+$>2021*+$ -$5)0,324/2%2%+$'01)() ,5+1)
)1)$3,0)1 $'0)/2%82-$-0$ -$5)0,3)#$ 021*+$4#$<$ 1$%23$1'$ ()0$-',6- /2- )(5+-)
)-0,/,8)/,6-4/2%2%+$'01)() ,5+1) (
!
) ,5+1) K %+$'01)$( ;+-/,2-)%,$-02 5$-$1)( ,#$)( /2- ())(,%$-0)/,6-/2-%+0)#)
#$ ()'/+)012;)'$'48)1)$( %2021 $-$'0+#,2
$
7
%
1)-#$' %&*+,-)' $(./01,/)' '$ +0,(,@)- -21%)(%$-0$ 8)1) (251)1 +-) /2-3$1',6/2-0,-+)#$ $-$15=) ,-$%<)1524$B,'0$-)8(,/)/,2-$'$-*+$ ()/2-3$1',6-/2-0,-+)#$
$-$15=) -2 $' -$/$')1,) 21 $9$%8(2C(2' 12<20
' 1$*+,$1$- /2-012( #$ 82',/,6- 8)1)
%23$1 $( <1)@2 #$ +-) 82',/,6- ,-,/,)( ) 201) 81$#$0$1%,-)#) )($' )8(,/)/,2-$'
1$*+,$1$- #$ %2021$'$'8$/,)($'#$ <)9) 820$-/,) ( 81,-/,8,2 #$ 28$1)/,6- #$ $'02'
%2021$' $' ',%,()1 )( #$ (2' 2012' $($/012%)5-.0,/2' ,- $%<)1524'+ /2-'01+//,6-4
#,'$>27%2#2#$ 28$1)/,6-$'#,;$1$-0$
/2-0,-+)/,6- '$ :)/$ %$-/,6- #$ %2021$' *+$ 28$1)- <)92 (2' %,'%2' 81,-/,8,2'
;=',/2' *+$ (2' %2021$' $($/012%)5-.0,/2' /2-3$-/,2-)($'48$12 *+$ $'0&- #,'$>)#2'
8)1)/2-#,/,2-$'#$ 28$1)/,6-/2%8($0)%$-0$ #,'0,-0)'
7
+
2'
4 /2%?-%$-0$ #$-2%,-)#2'
4 '2- %2021$'
$(./01,/2' $'8$/,)(%$-0$ #,'$>)#2' 7 /2-'01+,#2' 8)1) '+ +0,(,@)/,6- $- ','0$%)'
1$)(,%$-0)#2'4/2%2)/0+)#21$' +820$-/,)#$ 01)<)923)1=)$-01$ +-);1)//,6-#$ O)00
7 )(5+-2' /,$-02' #$ O)00' $ /)1)/0$1,@)- 821 +-) )(0) 1$'8+$'0) #,-&%,/)4(2 /+)(
1$*+,$1$ <)9),-$1/,) '02'%2021$''2-4821 (20)-024%&'8$*+$>2'$-#,&%$012 7%&'
()152'$-(2-5,0+#
$ +0,(,@)- 8)1) )8(,/)/,2-$' $-C 12<60,/)4 1)#)1$'4 /2%8+0)#21)'4 #,'82',0,32' #$
%&*+,-)'7','0$%)'5+=)'
7
#2 )
#
2- %2021$' /2- $B/,0)/,6- $- // ,-#$8$-#,$-0$ 2 %2021$' #$ // #$ ,%)-$'
8$1%)-$-0$' ) ,5+1) L %+$'01) +- #,)51)%) $'*+$%&0,/2 #$( %,'%2 '02'
'$132%2021$''$ /2-012()--21%)(%$-0$ /2-()0$-',6-#$ )1%)#+1) )%,'%)'$ #,'$>)
8)1) 0$-$1 +-) 51)- 1$','0$-/,) #$ %2#2 *+$ () /)1)/0$1='0,/) / 4
'$)
(,-$)( 70$-5)+-)812-+-/,)#)8$-#,$-0$
- $'02' %2021$' $( ;(+92 %)5-.0,/2 #$ $B/,0)/,6- 7 $( 021*+$ '$ $-/+$-01)4(2/+)( ($')8210)+-)1$'8+$'0)#,-&%,/)%+71&8,#) S ')(02'#$ 32(0)9$
#$ $B/,0)/,6-812#+/$-/)%<,2'<1+'/2'$-()3$(2/,#)#7$( 021*+$
&
7 $
#2 )
#
(
2' '$132%2021$' #$ )/ '$ +0,(,@)- 8)1) )8(,/)/,2-$' #$ %+7 <)9) 820$-/,) 2- #$
/2-'01+//,6-12<+'0)70,$-$-%$-21 ,-$1/,) ,-$%<)1524$-5$-$1)(4'2-%&*+,-)'-2E
(,-$)($' 7 )(0)%$-0$ )/28()#)'47 '+' /)1)/0$1='0,/)' #$ 021*+$E3$(2/,#)# -2 '2- 0),#$)($'
)%)721=)#$ (2'%2021$'#$ )/+0,(,@)#2'$- /2-012( '2- #$ 0,82
7#$
#2';)'$' +;1$/+$-/,)-21%)(%$-0$ $'0&$-01$ K 7
D@
)
) ,5+1) " %+$'01) +- #,)51)%) $'*+$%&0,/2 #$ $'0$ %2021 ( $'0)021 0,$-$ #2'
)112(()%,$-02' #,'01,<+,#2' #$'8()@)#2' $- N $(./01,/2' $-01$ $((2' -2 #$ (2'
)112(()%,$-02'4(()%)#2
4'$ /2-$/0) ) +-) ;+$-0$ #$ 0$-',6/2-'0)-0$
∠ N ( 2012)112(()%,$-024(()%)#2
4$')(,%$-0)#2/2-+-)
;+$-0$ #$ 0$-',6- 3)1,)<($ #$ () %,'%) ;1$/+$-/,) *+$ () ;)'$ #$ 1$;$1$-/,)48$12
#$'8()@)#)$- N$(./01,/2' '0)?(0,%);)'$ 5$-$1)(%$-0$ '$ )(,%$-0)#$'#$ +- '$132
)%8(,;,/)#21 )#,1$//,6- #$ 120)/,6- #$( '$132%2021 #$8$-#$ #$ ()1$()/,6- #$ ;)'$'4
$-)#$()-022$-)01)'24#$ ();)'$ #$ /2-012( /2-1$'8$/02)();)'$ #$ 1$;$1$-/,)
)' /)1)/0$1='0,/)' #$ 021*+$ Q 3$(2/,#)# #$8$-#$- ;+$10$%$-0$ #$ () 1$','0$-/,) #$(
12021 )1)','0$%)'#$ /2-012(4$'$'$-/,)( *+$ ()1$()/,6-'$)(2%&'(,-$)( 82',<($
7 *
#2 )
#
( # &5
2''$132%2021$'#$ //:)-#2%,-)#2$( &1$)#$ (2''$132','0$%)'#$ )(0)820$-/,) ,$%<)1524$( /)%82#$ ,-3$'0,5)/,2-$'%&'%2#$1-)':)(($3)#2)( +'2#$ '$132%2021$'
)(,%$-0)#2' /2- /) 01,;&',/) 8)1) )8(,/)/,2-$' /2%2 '$132 ','0$%)' #$ )(0) 820$-/,)
'02' %2021$' '2- )(0)%$-0$ -2 (,-$)($' 7 )/28()#2'4 ',- $%<)1524 %+/:2'
,-3$'0,5)#21$':)- (251)#2 28$1)1()/2%2 +- ','0$%)#$')/28()#2 7(,-$)( %$#,)-0$ $(
+'2#$ 0./-,/)'#$ /2-012( (()%)#)'
2
7$
%
%
.
#)
#/
- %2021 8)'2 )8)'2 120)+- #$0$1%,-)#2 -?%$12 #$ 51)#2'$- 1$'8+$'0))+- 8+('2
$(./01,/2#$ $-01)#) )'2'0=8,/2''2- N4 N4 N4L N7 N821 /)#)8+('2$(./01,/2 (
%2021 '0$88$1 $' +- )/0+)#21 ,-/1$%$-0)( $($/012%$/&-,/2 /)8)@ #$ /2-3$10,1 8+('2'
#,5,0)($' #$ $-01)#) $- +-) ')(,#) )-)(65,/) #$ %23,%,$-02 #$ $9$ '4821 (2 0)-024
+0,(,@)#2$-','0$%)'#$ /2-012( #,5,0)($' -01$-#$ 8+('2''$ +0,(,@)8)1)%23$1 $( $9$
#$( %2021 821 8)'2' 21%)(%$-0$ $-(2'%2021$'8)'2)8)'2-2'$ 1$*+,$1$--, #$ +'$-'21 #$ 82',/,6- -, -,-5?- ()@2 #$ 1$)(,%$-0)/,6- 8)1) :)/$1 *+$ () ')(,#) ',5) $(
/2%)-#2#$ $-01)#) ( $'*+$%)<&',/2#$ ;+-/,2-)%,$-02'$ %+$'01)$-() ,5+1)
-
)'$/+$-/,)#$ $-$15,@)/,6- #$ ()'<2<,-)'812#+/$ +- /)%82 120)-0$ *+$ $''$5+,#2
821 $( ,%&- 12021 4*+$ ',$%81$ 0,$-#$ ) )(,-$)1'$ /2- $( %,'%2 ) '$/+$-/,) '$
/2-0,-?) :)'0) *+$ $( 12021 :) #)#2 +- #$0$1%,-)#2 -?%$12 #$ 1$32(+/,2-$'
81$$'0)<($/,#)' -$'*+$%)#$ ;+-/,2-)%,$-020=8,/2'$ %+$'01)$-() ,5+1)
1
!2
8
2:-2+40&1;&<
•
•
•
&*+,-)' (./01,/)'4 0$8:$-
:)8%)-4 0)$#,/,6-
,'01,<+0$# $-$1)0,2- Q -#+/0,2- )-# $1%)-$-0 )5-$0 $-$1)021'4 2, $, ),
T @$ +- :)-4A ,($7E
4 L
1,-/,8($'2; ($/01,/ )/:,-$')-# 2O$1 ($/012-,/4 )1$':
4A ,($7
$-4 -# #,0,2-
(,)0(),<
•
:008CJJ$-O,M,8$#,)215JO,M,J-#+/0,2-U5$-$1)021
•
:008CJJ$-O,M,8$#,)215JO,M,J 2+<(7E;$#U$($/01,/U%)/:,-$
•
:008CJJOOO #,1$/0,-#+'017$'J812#J2'O)(#E$($M012%2021$-J%2021E(,-$)(E',-/12-2E
L"E
:0%(
•
:008CJJ5$%,-, +#,'01,0)( $#+/2J/2%+-,#)#J812;$'21$'J#1),1)-J#2/+%$-0'J8)8$1'J%,(U
0$/-+1)U 8#;
•
:008CJJOOO %$0)(+-,3$1'/2%J)1$$'J)(0)3$(2J0+021,)(J,#$M2J%2021$'(,-$)($':0%
•
:008CJJ021*+$E#1,3$'/2%J #;U$-5(,':J
•
:008CJJOOO #$$ +8/$#+J/)J#2/$-/,)J$0'$//8<J)'',5-)0J28J 10,/($'
•
:008CJJOOO 0#B/$'/)$'J
JJ
U 8#;
•
:008CJJOOO )(()<2+0/,1/+,0'/2%J32(U J/:80U J :0%(
U
J
U
E
8#;
J VE
"
E