Enseñanza Las ondas de materia propuestas por de Broglie Jesús Unturbe Louis de Broglie put forward the idea of wave-particle duality in 1923-24, less than two years before the advent of Quantum Mechanics. This last theory assumes that duality, but in a more abstract and counter-intuitive manner than de Broglie did. In this article the wave behavior of matter is presented in a didactic way following de Broglie´s ideas. This kind of presentation may (hopefully) be helpful to better understand the quantum features in a more intuitive way. It is shown that this wave mechanics, in the framework of the theory of relativity, is compatible with Planck´s quantum and explains as well the particle´s dynamics, provided the uncertainty relations are properly incorporated. The main difficulty with this view lies in its interpreting the wave as a non-local entity. Una característica fundamental de la Física Cuántica es la dualidad onda-corpúsculo. Esto significa que una partícula puede ser descrita alternativamente como onda o como corpúsculo. Este anti-intuitivo concepto fue visualizado a principios de los años 20 del siglo pasado por Luis de Broglie en una tesis [2] que maravilló al propio Einstein. “Creo que es el primer tenue rayo de luz para el peor de nuestros enigmas físicos” (carta de Einstein a H.A. Lorentz, del 16 de diciembre de 1924, [9], p. 438). Probablemente la novedad de estas ideas hizo dudar a Langevin el aceptar dicho trabajo como Tesis Doctoral y pidió a de Broglie que enviase una copia a Einstein. La opinión de Einstein convenció a Langevin. Así pues, como dice Pais, Einstein no sólo es un padre sino el padrino de la mecánica ondulatoria. Lo verdaderamente sorprendente es que, haciendo intervenir la Teoría de la Relatividad (especial), de Broglie deduce una descripción ondulatoria para la materia que es compatible con la corpuscular clásica y con el cuanto de acción: las ondas de materia. [Con motivo de la conmemoración del centenario de su nacimiento en 1892, la Revista Española de Física le dedicó unos artículos [10]; [12], incluyendo la reproducción de uno de sus artículos originales [6]]. Tras haber contribuido al desarrollo de la mecánica ondulatoria de la física cuántica, de Broglie se desmarcó de la interpretación ortodoxa de Copenhague apostando por una interpretación mecanicista de la función de onda. Para él la onda no es sólo un instrumento matemático representando una amplitud de probabilidad, sino un sustrato físico de una energía muy tenue que serviría de 'guía' al corpúsculo o concentración de energía. Enfrentándose a los problemas planteados por los sistemas de partículas (desigualdad de Bell) y al problema de la medida, siguió investigando prácticamente en solitario, teorizando una termodinámica oculta de la partícula aislada, una mecánica no lineal y una evolución estocástica [3]; [4]; [5]. Legado de su inspiración son, por ejemplo, las investigaciones de D. Bohm, J.P. Vigier, S. Bergia y L. Smolin. Pero pasemos al origen de la noción de dualidad ondacorpúsculo. Hace casi exactamente un siglo, basándose en los resultados del efecto fotoeléctrico, Einstein propuso una teoría revolucionaria acerca de la naturaleza corpuscular de las ondas electromagnéticas en la que intervenía de manera fundamental el cuanto de acción de Planck (Einstein, 1905). “Entre 1905 y 1923 [Einstein] fue un hombre aparte, por ser el único, o casi el único, que tomó seriamente el quantum de luz” (Pais, 1984, p. 361). Otra aplicación del cuanto de REF Diciembre 2006 acción de Planck fue la de 'cuantizar' las trayectorias de los electrones en el átomo (modelo de Bohr) explicándose el espectro y la constante de Rydberg del átomo de hidrógeno, en abril de 1913, y para el átomo de hélio de un solo electrón, en octubre. Al conocer esto último, Einstein dijo: “entonces, es uno de los mayores descubrimientos”. Este programa vertebró la primera física cuántica, basado en el 'principio de correspondencia', según el cual, la Física era fundamentalmente cuántica y el comportamiento clásico era un resultado de los grandes números. “Einstein estaba particularmente impresionado con el enunciado y manejo, por parte de Bohr, del principio de correspondencia” ([9], p. 419). Hacia 1922 ya se disponía de fuerte evidencia sobre desviaciones de la imagen clásica, lo que impulsó a Compton y a Debye, independientemente, a seguir la alternativa cuántica, deduciendo un año después, la cinemática relativista para la dispersión de un fotón por un electrón en reposo [el efecto Compton]. “El apoyo experimental a la teoría –concluyó Compton (1923)–, indica en forma convincente que un quantum de radiación porta con él, además de energía, un impulso con dirección”. La reacción de Einstein ([9], p. 416) es una antesala de la dualidad: “El resultado positivo del experimento de Compton demuestra que la radiación se comporta como si consistiese en proyectiles discretos de energía, no solamente en cuanto a la transferencia de energía, sino también en cuanto a la Stosswirkung [acción de choque] (...) Ahora hay por lo tanto dos teorías de la luz, las dos indispensables y –como hay que admitir a pesar de veinte años de tremendos esfuerzos por parte de los físicos teóricos– sin conexión lógica alguna.” Entonces llegó de Broglie, quien retomando y dando la vuelta al argumento de Einstein, generalizó la dualidad onda-corpúsculo para la materia. Así como la luz (clásicamente ondulatoria) poseía una naturaleza corpuscular, la materia (clásicamente corpuscular) debía tener asimismo una naturaleza ondulatoria. Como comenta de Broglie en el prefacio a su tesis: “Después de larga reflexión en soledad y meditación, tuve bruscamente la idea, durante el año 1923, de que el descubrimiento hecho en 1905 por Einstein debía generalizarse a todas las partículas materiales, y especialmente a los electrones”. Lo comunicó en dos trabajos en septiembre de 1923 y presentó su tesis 12 meses después. De esta concepción, generalización natural de la de Einstein, es de la que tratamos en este trabajo. [Hubo sólo un precedente, en 1909 Einstein fue el primero en subrayar la necesidad de incorporar una dualidad partícula-onda en los fundamentos de la teoría cuántica. Pais, 1984, p. 445.] http://www.rsef.org Las ondas de materia propuestas por De Broglie 41 Así, las ondas de materia, que se estudian en toda introducción a la Mecánica Cuántica (MQ), no sólo tienen un interés histórico, sino que –como dijo John Bell–, nos ayuda a la hora de entender un poco mejor esta disciplina, siempre y cuando no nos dejemos llevar por la intuición más de lo necesario. Incluso, para todo estudiante de espíritu independiente, puede servir como un punto de partida para hipótesis de trabajo alternativas, siempre que valoremos adecuadamente sus dificultades. Por tanto, en este trabajo expondremos de manera didáctica y sencilla una visualización de las ondas de materia. Veremos que la hipótesis del cuanto de acción de Planck no es un añadido ad hoc con calzador en la Mecánica Clásica, sólo forzado por los datos empíricos, sino más bien casi una necesidad lógica que unifica formalmente las representaciones [clásicas] ondulatoria y corpuscular. Las ondas de materia fueron retomadas por Erwin Schrödinger quien propuso en enero de 1926 la ecuación de ondas que lleva su nombre, la cual describe la dinámica de las partículas de manera universal, aunque en la aproximación norelativista. Simultáneamente, las investigaciones de física cuántica de la llamada escuela de Copenhague (Niels Bohr, Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Wolfgang Pauli), culminan con la Mecánica Matricial, que propone un formalismo algebraico de operadores, igualmente universal a la hora de explicar la física atómica. Se había dado una vuelta de 180 grados en el modo de entender la Física, pues dicho formalismo era incompatible con el de la Mecánica Clásica. Había pues dos concepciones rivales, de un lado la Mecánica Ondulatoria introducía el descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la materia, acomodándose al cuerpo del paradigma conceptual clásico; y de otro lado la Mecánica Matricial, abiertamente incompatible con los conceptos clásicos (p.e., desaparecía la noción de trayectoria). La tensión llegó al límite cuando se demostró que ambas teorías (Ondulatoria y Matricial) eran formalmente equivalentes, gracias al propio Schrödinger y a P.A.M. Dirac. Finalmente, a lo largo de este año [1926] terminaría por resolverse el 'pulso' con la interpretación de Born: el cuadrado de la función de ondas ψ representa la probabilidad de localización de la partícula. En consecuencia, ψ no representa la materia sino el conocimiento que tenemos de ella. Se consolida la MQ y la ecuación de Schrödinger pasa a formar parte de su cuerpo doctrinal. A partir de aquí, la MQ comienza una vertiginosa carrera de éxitos tanto en el terreno empírico como en el teórico (los debates Bohr -Einstein). Einstein había dicho una vez que “cuanto más éxito tiene la teoría cuántica, más tonta me parece” ([9], p. 402). Él, que fue su germen, seguiría pensando que la MQ era una teoría incompleta (“el buen Dios no juega a los dados”). Hubo una serie de autores que como él se apartaron de la 'ciencia establecida' de la MQ investigando su completitud mediante 'variables ocultas', que en ultima instancia explicarían la MQ en términos más clásicos e intuitivos (Einstein, de Broglie, Schrödinger, David Bohm, John Bell). La puntilla llegaría con el teorema de la desigualdad de Bell, en 1964 (Véase, Bell, 1992), que demuestra la imposibilidad de que la MQ pueda ser descrita en términos de variables ocultas clásicas (locales). Y los experimentos de Alain Aspect en 1981 y 1982 demostrarían empíricamente que la MQ viola las desigualdades de Bell. Una demarcación importante hay que hacer respecto a la 'ciencia establecida'. El desarrollo formal de las ondas de materia, que veremos a continuación, está perfectamente aceptado y lo podemos asumir sin más. Lo que lo diferencia de la MQ es la interpretación de esta onda como una entidad física existente. Debe quedar claro que para la MQ la función de onda describe una amplitud de probabilidad y no puede interpretarse como un campo. Frecuencia angular de las ondas planas relativa a un observador en movimiento Una onda, en su sentido abstracto, es una oscilación de una magnitud en los puntos que constituyen un espacio. El punto del ciclo en que se encuentra la oscilación en un momento dado lo denominamos fase y al valor de máxima oscilación lo denominamos amplitud. Haciendo el símil de las olas del mar, podríamos representar la oscilación en un punto de su superficie mediante un corcho flotando, el cual oscila arriba y abajo alrededor de una posición de equilibrio. La fase sería indicada, en cada momento, por la distancia respecto a la posición de equilibrio, y la amplitud por el valor máximo de esta distancia (esto es, el tamaño de la ola). Una 'ecuación de ondas' asegura el comportamiento de la onda, esto es, de la fase y amplitud: la fase oscila en el tiempo y cambia de manera continua (sin saltos) de un punto del espacio a su contiguo (p.e., la forma sinoidal de las olas); la amplitud puede cambiar de un punto al contiguo de manera más suave. También las amplitudes pueden evolucionar en el tiempo, por ejemplo, al tirar una piedra a un estanque, al principio el agua empieza a oscilar con una gran amplitud en el lugar donde cae la piedra y, gradualmente, las oscilaciones van perdiendo amplitud en dicho lugar. Nosotros vamos a considerar, por motivos didácticos, ondas planas, es decir, un tipo de solución de la ecuación de ondas que mantiene la misma amplitud en todos los puntos del espacio y que no varía a través del tiempo. Asimismo, el periodo de oscilación T de una onda plana también es constante a través del espacio y del tiempo. La fase Φ en un punto dado, por ejemplo en x = 0, será una función lineal del tiempo, Φ = ωt, donde ω es la 'frecuencia angular' ω = 2π/T. De esta manera, cuando pasa un tiempo t = T, la fase adquiere el valor 2π radianes (equivalente a 360°), esto es, un ciclo completo. El interés teórico por el comportamiento y propiedades de las ondas planas no se debe únicamente a que se trata de un caso particularmente sencillo de onda que puede aplicarse a regiones concretas de ondas más complejas; por ejemplo, el frente de ondas de una onda esférica puede aproximarse a una onda plana en una región pequeña del espacio. De mucho mayor alcance es el teorema de Fourier, según el cual toda onda puede descomponerse en una suma de ondas planas. Esta onda plana se 'propaga' en una dirección dada, digamos a lo largo del eje X. Al igual que las olas del mar que oscilan arriba y abajo, podemos encontrar un sistema de referencia que visualice las ondas como 'estacionarias', por ejemplo un barco desplazándose 'a la vez' que las olas. Esto significa que todo móvil que se desplace a lo largo del eje X con una determinada velocidad u (velocidad de fase) encon- http://www.rsef.org REF Diciembre 2006 42 Enseñanza traría que la fase no oscila en el tiempo. La expresión de la fase de una onda plana obedece este requisito: Φ = ω(t – x/u) (2) es decir, que el valor de la fase Φ(xo, to) en un punto del espacio-tiempo es independiente del sistema de referencia inercial del observador. En nuestro ejemplo, si en un punto dado del mar y en un instante dado de tiempo la ola está, digamos, en su punto máximo, cualquier observador verá lo mismo. La ecuación (1) está definida en el sistema de referencia X. Supongamos ahora que quiero estudiar la fase de dicha onda desde un sistema de referencia X' que se mueve a lo largo del eje X con velocidad βc (siendo c la velocidad de la luz, y β un número menor que uno). Entonces, las coordenadas x y t se transformarán en x' y t' de acuerdo con las transformaciones de Lorentz: x' = γ(x – βct), t' = γ(t – xβ/c), γ = (1 – β2)–1/2. donde (3) A partir de las transformaciones (3) es fácil ver (tomando u = x/t y u' = x'/t') que la velocidad u se transformará en u' = (u – βc)/(1 – uβ/c). (4) La fase que el móvil observa a su paso será Φ' = ω'(t' – x'/u'), que sustituyendo (3) y (4) da lugar a Φ' = ω'(t' – x'/u') = ω'(t – x/u) / γ(1 – βc/u). (5) Ahora, teniendo en cuenta que el valor de la fase es la misma desde los dos sistemas de referencia, tenemos que sustituir las expresiones (1) y (5) en (2), obteniendo la siguiente expresión para la transformación de la frecuencia angular ω: ω' = γ ω (1 − βc/u). (6) Esta sería la 'velocidad de oscilación' que vería el móvil a su paso. En nuestro ejemplo, desde una boya se observaría una frecuencia ω de las olas del mar y desde una lancha surcando las olas, se observaría una frecuencia ω' diferente. Estudiemos detenidamente la ec. (6) y preguntémonos qué velocidad debería tener el móvil que persigue las ondas para que observase la mínima oscilación de estas. Obviamente, si el móvil adquiriese la velocidad de las olas, esto es βc = u, entonces vería a éstas estáticas respecto de él; es lo que le sucede al surfista. Efectivamente, introduciendo esto en (6) obtenemos ω' = 0. Sin embargo, y aquí reside mi modesta contribución, calculemos matemáticamente la velocidad βc del móvil que minimiza ω', considerando la posibilidad de una velocidad REF Diciembre 2006 βc = c2 / u. (1) Efectivamente, aquel movimiento que cumple x = xo + ut observará, a su paso, una fase estacionaria, ya que sustituyendo x en (1) obtenemos, Φ = ω(t – (xo + ut)/u) = ω(–xo / u), que es independiente del tiempo. Ahora vamos a describir la fase de la onda plana desde un sistema de referencia inercial (esto es, desde un móvil a velocidad constante) que se mueve con una velocidad relativista (esto es, que pueda ser cercana a la de la luz). En lo que sigue vamos a suponer que la fase es invariante Lorentz, Φ = Φ' de fase superlumínica. Para lo cual hemos de hacer dω'/dβ = 0. Esto nos da una velocidad βc aparentemente superlumínica: (7) Esta interpretación hemos de descartarla inmediatamente dado que partimos de que βc < c. Sin embargo existe otra posibilidad: una onda con velocidad de fase u superlumínica; lo cual, como después veremos, no es nada del otro mundo. [Se trata de un mínimo ya que, para el valor dado por (7), d 2ω'/dβ2 = γ3 > 0.] Resumiendo, habría tres clases de ondas planas: (i) con velocidad de fase inferior a la de la luz (u < c). Es el caso de las conocidas ondas mecánicas, como las olas del mar. Un observador desplazándose a la velocidad de fase, vería un panorama estático (ω' = 0; como el surfista). (ii) Ondas con velocidad de fase superior a la de la luz (u > c). En este caso, la velocidad del móvil que observa la frecuencia mínima es c2 / u (como veremos más adelante, este será el caso de las ondas de materia). (iii) Ondas a la velocidad de la luz (u = c). Es el caso de las ondas electromagnéticas. Aquí no existe un sistema de referencia privilegiado. Einstein llegaría a la teoría de la relatividad hace un siglo tras esfuerzos infructuosos de resolver el problema de considerar la luz (de tipo iii) como una onda de tipo (i), es decir, un observador que persiguiese un rayo de luz no llegaría nunca a ver un campo electromagnético estático. Características de las ondas planas de velocidad de fase superlumínica Consideremos el sistema de referencia X' en el que la frecuencia de la onda ω' se observa mínima y veamos qué aspecto tiene la onda. Llamaremos ωo a esta frecuencia mínima y Xo al sistema de referencia en que esto ocurre. Podemos fácilmente imaginar, e incluso construir, una sencilla onda de fase superlumínica. Esto no debería extrañarnos si tenemos en cuenta que la definición de velocidad de fase es u = λ/T (donde λ, la longitud de onda, representa la distancia entre dos crestas consecutivas en un instante de tiempo). El problema es el mismo que cuando vemos un anuncio luminoso consistente en una hilera de luces que se encienden y se apagan de tal manera que hace el efecto de que un punto luminoso se traslada de un extremo al otro. El desplazamiento del 'efecto óptico' puede ser superlumínico y esto no significa que nada tenga que trasladarse a dicha velocidad, ni energía, ni información. Un móvil en reposo respecto al sistema de referencia en que la onda tiene frecuencia mínima tendrá, obviamente, velocidad nula (βc = 0), y por (7) una velocidad de fase u infinita. Un conjunto de osciladores vibrando todos en fase lo ilustra. En nuestro ejemplo del anuncio luminoso, todas las bombillas intermitentes parpadearían al unísono. En un instante de tiempo todas las luces se encenderían simultáneamente, un tiempo dado después se apagarían y así sucesivamente. Como todos los osciladores están en la misma cresta llenando todo el espacio, λ será infinito. Así es como veríamos una onda de este tipo en el sistema de referencia Xo en el que se observa la frecuencia mínima ωo. Aunque se pudiese objetar que no es una 'onda' por no tener ni crestas ni valles, no puede negarse que se trata de una 'vibración'. En http://www.rsef.org Las ondas de materia propuestas por De Broglie 43 otras palabras, en el sistema Xo la onda no tiene aspecto 'ondulatorio' en el espacio pero sí lo tiene en el tiempo. Por supuesto, de la expresión (7) sabemos que la velocidad de fase será superlumínica siempre que el observador no lo sea, esto es, siempre. En otras palabras, no es posible hallar un sistema de referencia desde el que un sistema de osciladores en fase se observen como una ondulación estática, a diferencia del mar visto por el surfista. Las ondas de fase superlumínica son en cierto modo, vibraciones intrínsecas, ya que desde ningún punto de vista dejan de vibrar. De enorme importancia es notar que la expresión (7) es sólo posible en un espacio-tiempo minkowskiano, es decir, teniendo en cuenta la teoría de la relatividad especial. Desde el marco de la mecánica newtoniana, un conjunto de osciladores en fase seguirá estando en fase en todos los sistemas de referencia (esto es u = ∞). En cambio, por pequeña que sea la velocidad βc, la mecánica relativista predice que aparece un aspecto ondulatorio en el espacio, una λ finita. Esto se debe a que la noción de simultaneidad en relatividad, que se puede definir siempre para todo el espacio, sólo puede definirse desde un sistema de referencia dado. En otras palabras, habrá un sistema de referencia en el que las superficies de simultaneidad sean paralelas a las de igual fase. Por tanto, al cambiar dicho sistema de referencia, las superficies de simultaneidad intersecarán las superficies de igual fase, y atravesarán crestas diferentes, esto es, una λ finita. La paradoja de la frecuencia Consideremos la fórmula de la transformación de la frecuencia angular (6) respecto al sistema de referencia Xo donde la frecuencia es mínima, ω' = ωo. Esto es, sustituyendo (7) en (6), obtenemos que un observador que se desplace a una velocidad βc registrará una frecuencia para la onda: ω = γ ωo (9) Ahora bien, como ωo = 2π/(t2 – t1), denominando ω' = 2π/(t'2 – t'1), tenemos que la frecuencia de un oscilador vista desde un móvil es ω' = ωo / γ, Velocidad de grupo Se define velocidad de grupo de una onda como v = dω / dk donde k es el 'número de ondas', esto es, k = 2π / λ. Ahora, teniendo en cuenta que u = λ / T = ω / k, y que si partimos del sistema de referencia en que ω = ωo, entonces cualquier otro sistema a velocidad βc observará una velocidad de fase u=c/β. Por tanto, se obtiene la relación ω = ck / β. Sustituyendo esto en (8) se obtiene la transformación de k con la velocidad: k = γ ωo β / c . (8) es decir, en reposo la frecuencia es ωo y a medida que aumenta la velocidad la frecuencia aumenta, primero suavemente, y se hace considerablemente grande para velocidades cercanas a la luz. Sin embargo, la expresión (8) es justo la contraria de la transformación de la frecuencia dada por la relatividad, lo cual le llamó extraordinariamente la atención a de Broglie. Para verlo vamos a aplicar la transformación de Lorentz (3) a la frecuencia. Sea un oscilador de frecuencia ωo en un determinado sistema de referencia y sea un móvil que pasa a su lado a velocidad βc, ¿qué frecuencia observará? Sea t2 – t1 el periodo de tiempo que emplea el oscilador en completar un ciclo, y t'2 – t'1 el tiempo de ese ciclo medido por el observador móvil. Usando (3) se obtiene t'2 – t'1 = γ(t2 – xβ/c) – γ(t1 – xβ/c) = γ(t2 – t1), campo de osciladores. Así, en el sistema de referencia en que la onda tiene frecuencia mínima ωo los osciladores están en fase y un móvil los observa en conjunto y no por separado, como si avanzaran con él. El resultado es una frecuencia mayor. Algo así como una lancha surcando el mar que a medida que aumente su velocidad podrá atravesar las olas con más frecuencia. Finalmente, estamos ahora en situación de entender la concordancia entre diferentes observadores de la onda plana. Supongamos que nosotros estamos en el sistema donde la onda tiene frecuencia mínima ω = ωo. Entonces un móvil observará, según (8), ω = γ ωo. Supongamos ahora que la oscilación que observa dicho móvil se registra 'on-line' en un oscilador que lleva consigo. La frecuencia que nosotros observamos de su oscilador en movimiento será, según (10), ω' = ω/γ, y por tanto, ω' = (γωo) / γ = ωo. Es decir, observaremos que todos lo móviles registran la misma frecuencia ωo que observamos nosotros directamente. En conclusión, ωo es un invariante de la onda y su sistema de referencia está privilegiado. Esto no sucede desde otros observadores, donde ω ≠ ωo. Como veremos, este sistema privilegiado no debe ser interpretado como un nuevo 'eter', sino como algo mucho más tangible: materia. (10) que es lo opuesto de (8), esto es, en reposo la frecuencia es ωo y a medida que aumenta la velocidad, se observa una ralentización de la frecuencia. La aparente paradoja se resuelve, claro está, porque una onda no es un oscilador, aunque puede representarse por un (11) Si ahora eliminamos β de las ecuaciones (8) y (11) llegamos a una expresión de la frecuencia en función de k, ω = ω(k), (12) ω2 = ωo2 + c2 k2. Ahora estamos en condiciones de hallar la velocidad de grupo. v = dω/dk = c2k / ω = βc. Es decir, la velocidad de grupo coincide con la velocidad del observador respecto al sistema de referencia donde es mínima la frecuencia de la onda. Pasemos a interpretar este resultado. De entrada, encontramos una consecuencia de lo más relevante: la velocidad de grupo no puede superar la velocidad de la luz. Hasta aquí hemos considerado la onda como un campo, es decir, hay unos valores oscilantes en los puntos de un espacio. Cuando modifico el sistema de referencia, en virtud de las transformaciones de Lorentz, estos de valores oscilantes me muestran otro panorama, pero en teoría de campos no es correcto hablar de 'velocidad del campo' porque el campo no se mueve. Ahora, desde el concepto de velocidad de grupo, sí podemos hablar de movimiento de la onda. Según este resultado, la velocidad de la onda se 'localizaría' en el sistema de referencia donde su frecuencia es mínima (y con velocidad de fase u = ∞); en cualquier otro sistema de referencia (donde la onda tendría una velocidad de fase finita u) podríamos decir que la onda se 'mueve' con velocidad v = c2/ u. http://www.rsef.org REF Diciembre 2006 44 Enseñanza Naturalmente, cuando uso el término 'localización' referido a una onda plana que llena todo el espacio, me estoy refiriendo al sistema de referencia privilegiado, esto es, a una velocidad más que a una región espacial. No obstante, cuando se trabaja con un pulso de ondas, esto es, cuando la amplitud de la onda es diferente de cero sólo en una región del espacio, la velocidad de grupo coincide con la velocidad del desplazamiento de ese pulso, con lo que el término localización adquiere un sentido espacial más preciso. En palabras de Feynman, “las modulaciones, siempre que sean suficientemente lentas, irán a la velocidad de grupo”. [Para casos especiales en que se consiguen velocidades de grupo superlumínicas (pero nunca velocidad de señal superlumínica), véase [13].] La luz En caso que la onda tenga velocidad de fase u = c, ya que u = λ / T = ω / k, tenemos que ω = ck. Ahora, si sustituimos en (12) obtenemos ωo = 0. El sistema de referencia en que la frecuencia se hace cero tendría que tener la velocidad de la luz, por lo que podemos decir que la luz no privilegia a ningún sistema de referencia; lo cual es consistente con los supuestos de la relatividad, que hemos asumido. Sabemos por la teoría de ondas que la energía de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud. Sin embargo, aplicado a la luz esto trajo una interesante paradoja en la radiación del cuerpo negro a finales del siglo XIX, que sólo parecía solucionarse con la hipótesis del cuanto propuesta por Max Planck en 1900. Fue confirmado por Einstein en 1905 en su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico, por el que recibirá el premio Nobel, que la luz se concentra en cuantos indivisibles de energía Eluz = ωluz, la acumulación de los cuales proporciona una energía proporcional al cuadrado de la amplitud (recuperando el comportamiento clásico). Asimismo, dado que Eluz = pluz c = ωluz = c kluz, tenemos también que un cuanto de luz posee momento pluz = h kluz ( es la constante de Planck dividida por 2π). Este trabajo, fue revolucionario no sólo por demostrar el aspecto corpuscular de la luz, sino porque sería el origen de la física cuántica, esto es, invalidó las leyes de la mecánica clásica para energías y momentos del orden o inferiores a los que intervienen en los sucesos elementales. El origen ondulatorio de la materia De Broglie, inspirado en este trabajo, como mencionamos en la introducción, toma el argumento al revés, y postula una naturaleza ondulatoria para la materia. Aquí, no obstante, no seguiremos su línea argumental, sino que seremos consistentes con la que parte del comportamiento abstracto de las ondas para llegar, por deducción, al comportamiento de la materia. Tomando en cuenta este conocimiento revolucionario añadido, según el cual la realidad física se comporta como una acumulación de cuantos elementales, aplicaremos este principio cuántico a las ondas. Tomemos una onda de tan baja intensidad que se corresponda con un cuanto elemental. Entonces, la expresión para la velocidad de grupo, v = c2k / ω, puede reescribirse como pc2 = E v, REF Diciembre 2006 (13) donde hemos definido E = ω, p = k, lo cual cumple el caso particular de la luz, E = pc. Es decir, si hubiésemos partido de la dinámica de la partícula (13) y de la cinemática de la onda (v = c2k/ω), entonces tendríamos que E/ω = p/k es un invariante, que en el caso particular de la luz es . Por tanto, no hay inconsistencia al aplicar el principio cuántico a las ondas en cuestión (las de fase superlumínica). Una consecuencia de esto es que, dado que k = 2π / λ, podemos reescribir p = k como λ = h / p, (14) que es la longitud de onda que de Broglie calculó para la onda asociada a la partícula. Definamos ahora el concepto 'masa inercial', m, como la proporcionalidad entre el momento p y la velocidad de grupo v, esto es, p = mv. (En esta definición no estamos presuponiendo, de manera subrepticia, ninguna propiedad invariante para la masa inercial; de hecho, no es invariante.) Sustituyendo esto en (13) se obtiene nada menos que E = m c2, (15) que en el sistema de referencia donde la velocidad de grupo es cero, pasa a ser Eo = moc2. Ahora, multiplicando la expresión (12) por 2 obtenemos 2 E = (ωo)2 + p2c2. Pero la energía en el sistema de referencia donde la velocidad de grupo es cero es Eo = ωo, y en consecuencia, E2 = Eo2 + p2c2, o bien, E2 = mo2c4 + p2c2. (16) Sorprendentemente, las expresiones (13, 15 y 16), son las de la dinámica de la partícula relativista. Es chocante, porque hasta ahora no hemos introducido en ningún momento la noción de corpúsculo. Ahora, sustituyendo la expresión (15) en (16) con p = mv, obtenemos m = γmo, donde γ = (1 – (v/c)2)–1/2, que es la conocida fórmula relativista de la masa. Ahora bien, como ωo es un invariante para la onda y dado que Eo = moc2 = ωo, mo será también un invariante y la podemos denominar 'masa en reposo' respecto a la velocidad de grupo. Es conocido el límite newtoniano de bajas velocidades, v « c, donde γ ≈ 1 + v2/2c2, y por tanto, E = mc2 = γ moc2 ≈ moc2 + ½ mov2. En una palabra, la energía cinética asociada a la onda de materia elemental sería Ec = mc2 – moc2 ≈ ½ mov2. Y si definimos el concepto de fuerza como F = dp/dt, entonces F ≈ mo dv/dt = mo a, la ecuación fundamental de la dinámica newtoniana. Cuantización del momento angular y origen del espín Consideremos ahora las características fundamentales para una onda giratoria. Sea un sistema de referencia inercial O tal que, en su origen, la onda tenga frecuencia mínima. Tomemos ahora un sistema de referencia O' con sus ejes rotando alrededor del origen del sistema O, a velocidad angular constante. Si O' es 'co-rotante' con la onda, en todos sus puntos se observará la frecuencia mínima ωo y oscilarán en fase. Un punto del sistema O' alejado del origen una distancia R, observado desde el sistema de referencia inercial O, registrará una frecuencia mayor ω y una longitud de onda λ a lo largo de la circunferencia para un instante dado. (Nota: http://www.rsef.org Las ondas de materia propuestas por De Broglie 45 la distancia R no será modificada por las transformaciones de Lorentz porque su desplazamiento es perpendicular.) Ahora viene el punto importante: en un instante dado de tiempo desde el inercial O, sobre la circunferencia de longitud 2πR, la fase de la onda no debe pegar saltos. Como sabemos de mecánica ondulatoria, sólo caben dos posibilidades. La primera es que el número de longitudes de onda a lo largo de la circunferencia sea un número entero n. La segunda posibilidad es un número semientero de longitudes de onda, es decir, una onda estacionaria. Por tanto, 2πR = n λ. Ahora, insertando esto en la expresión de la velocidad de fase u = λ/T = λω/2π = c2/v, se obtiene, n = R v ω / c2. Multiplicando esta expresión por y teniendo en cuenta (13), llegamos a que n = R v ω / c2 = R v E / c2 = R p, que no es otra cosa que el momento angular L. Esto es, L = n , el momento angular de una onda debe estar cuantizado, tomará valores discretos. Si los intercambios de energía han de estar constreñidos por números enteros de , las ondas elementales con n entero no podrán pasar a tenerlo semientero y viceversa. Estos dos tipos de 'partículas elementales' serán llamadas bosones y fermiones, donde se dice que poseen un 'espín' entero o semientero, respectivamente. El principio de incertidumbre Hasta aquí hemos considerado una onda plana, esto es, que posee un único valor para la frecuencia y la longitud de onda. Ahora consideremos un 'paquete' de ondas, esto es, una onda donde su amplitud es apreciablemente distinta de cero en una región localizada del espacio. Como apunté antes, la velocidad de grupo coincide con la velocidad de desplazamiento de este paquete. Por todo lo que hemos visto, un paquete de ondas se comporta como un corpúsculo: posee una masa inercial invariante en el sistema de referencia del paquete, momento, fuerza y energía cinética. No obstante, hay ciertas limitaciones en la analogía corpuscular, ya que un paquete de ondas no posee un número de ondas k ni una frecuencia ω bien definidos. Efectivamente, como demuestra el teorema de Fourier, un paquete puede expresarse como una suma infinita de ondas planas, cada una con su frecuencia y número de ondas bien definidos. Se puede demostrar con toda generalidad que para construir un único pulso hay que superponer muchas ondas con frecuencias y número de ondas distribuidos en un pequeño rango en torno a unos valores centrales. Si designamos el tamaño del 'paquete' por ∆x, se puede demostrar que existe una relación inversa con el número de ondas, de manera que cuanto más 'comprimido' esté el paquete, mayor dispersión tendrá el número de ondas, ∆x ∆k ≥ 1. (17) Ahora, recordando que v = dω/dk = cte, defino ∆ω de tal manera que v = ∆ω/∆k. De la misma manera, dado v = dx/dt = cte, defino ∆t tal que ∆x = v ∆t. Con estas definiciones, ∆x∆k = v ∆t ∆k = ∆ω ∆t, y por tanto, ∆ω ∆t ≥ 1. (18) Finalmente, como dp/dk = y dE/dω = , podemos escribir, ∆p = ∆k y ∆E = ∆ω, y sustituyendo en (17) y (18), obtenemos: ∆p ∆x ≥ /2 ∆E ∆t ≥ /2. (19) Nota: el factor ½ depende de la definición precisa de la anchura ∆. Estas son las famosas relaciones de incertidumbre que halló Heisenberg en 1927, durante una convalecencia, a partir del formalismo de la MQ. Expresan las limitaciones de la descripción de la analogía corpuscular. Cuanto más 'localizada' esté una onda, –esto es, cuanto más estrecho sea el paquete de ondas– más indefinidos estarán el momento y la energía. A la inversa, una onda plana, que tiene un momento y una energía bien definidos, ocupa el espacio entero, todo el tiempo. Debemos entender con cuidado la relación de incertidumbre energía-tiempo. Tal como las hemos deducido significa que la indefinición de la energía de un paquete está en relación inversa con el tiempo ∆t que éste tarda en pasar por un punto fijo. Si ahora tomamos la relación de incertidumbre energía-tiempo en el sistema de referencia donde v = 0, para una onda plana, según (16), tendrá una energía moc2 donde el valor de mo está bien definido, es decir, ∆mo = 0. Como consecuencia ∆t = ∞, es decir que siempre estaremos 'dentro' de la onda; lo cual sólo puede significar una cosa: la estabilidad de la onda elemental. A la inversa, una onda elemental con una 'masa en reposo' indefinida ∆mo > 0, tendrá una vida media dada por τ ≈ / ∆moc2, puesto que tendría que desaparecer como tal al cabo de dicho tiempo: se desintegrará. Por último, en el caso de que ∆mo ≈ mo, se podrían crear ondas elementales durante un tiempo ∆t ≈ / moc2. Discusión Partiendo sólo de la descripción del movimiento ondulatorio desde distintos sistemas de referencia inerciales, hemos visto no sólo la compatibilidad con la naturaleza cuántica de la energía electromagnética, sino también que un cierto tipo de ondas (con velocidad de fase superlumínica) se comportan como corpúsculos materiales dentro de ciertos límites dados por las relaciones de incertidumbre, pero siempre sujetos a las leyes de la mecánica (relativista). Es importante destacar que no hemos usado en ningún momento el concepto de partícula ni tampoco hemos utilizado nada del formalismo de la MQ ni, mucho menos, de la Teoría Cuántica de Campos (TCC). En síntesis, el modelo ondulatorio relativista predice el comportamiento corpuscular clásico de la materia, los límites dentro de los que este modelo es válido, y fuera de estos límites, naturalmente, el comportamiento ondulatorio (p.e., el fenómeno de interferencia), las interacciones entre 'partículas' materiales y luz (p.e., efecto Compton), la cuantización del momento angular, e incluso quedan apuntadas algunas propiedades de la TCC (creación de pares virtuales). Hemos expuesto el modelo de De Broglie de una manera didáctica, eludiendo su concepción heterodoxa donde se postula la existencia de un corpúsculo añadido a la onda. Como hemos visto, este añadido es absolutamente innecesario. El modelo aquí expuesto tiene la ventaja de permanecer dentro del camino ortodoxo y, al ser previo al formalismo de la MQ, permanece intuitivo. Es importante notar que en el modelo de De Broglie es imprescindible el principio de relatividad de Einstein, esto es, la relatividad de los sistemas de referen- http://www.rsef.org REF Diciembre 2006 46 Enseñanza cia inerciales de Galileo más la invariancia de la velocidad de la luz respecto a dichos sistemas de referencia. En otras palabras, sin la relatividad sería absolutamente imposible deducir, a partir sólo de ondas, un modelo de la materia aproximadamente corpuscular. No obstante, el camino por el que Einstein llegó al modelo corpuscular de las ondas electromagnéticas fue a partir de fluctuaciones estadísticas de la radiación del cuerpo negro en dos pasos: en el primero dedujo la cuantización de la energía (1905) y en el segundo la cuantización del momento (1916). No usó la relatividad especial. Incluso, en el año 1924, estudiando el caso del gas cuántico, llegó a “enunciar la necesidad de ondas de materia por el análisis de fluctuaciones” ([9], p. 439), un camino independiente del tomado por de Broglie. A pesar del éxito predictivo del modelo ondulatorio, formalmente correcto, –modelo en el que podríamos incluir el caso especial no relativista de la ecuación de ondas de Schrödinger–, queda como problema insoluble la interpretación de las ondas elementales como partículas elementales de materia. Una onda elemental (extensa) que representa un electrón atravesando una cámara de niebla, ioniza a su paso el vapor sobresaturado de agua, dejando el rastro definido de una trayectoria, perfectamente visible; se dice que la onda se ha colapsado. Este cambio instantáneo de la forma de la onda elemental es un escollo insalvable del modelo. En cambio, la MQ ya no trata con ondas de materia sino de probabilidad, por lo que la aparición de los rastros de las partículas elementales en la cámara de niebla no supone ninguna paradoja: en lugar de colapsarse la materia, se ha actualizado una probabilidad. No obstante, permanece en MQ el problema de la medida como su continuación. La MQ, que se asume como fundamento de toda la física, predice la superposición de estados macroscópicos: se puede estar en dos sitios a la vez, o en dos estados (vivo y muerto). La inobservabilidad de estos estados sólo puede conciliarse mediante una construcción metafísica: la existencia paralela de universos. Cada estado existe en un universo separado. Así, soy consciente de estar en un sitio pero no del yo que está en el otro sitio, y viceversa. Aunque el problema teórico es grave, para todos los efectos prácticos la superposición de estados macroscópicos es indetectable. “Pero aunque la MQ es capaz de rendir cuenta de estos aspectos del mundo macroscópico con una aproximación extremadamente buena –dijo John Bell en 1973–, no puede ir más allá de eso. La serpiente no puede engullirse a sí misma por la cola. Permanece este embarazoso hecho: la teoría es sólo aproximadamente inequívoca, sólo aproximadamente auto-consistente” ([1], cap. 5). Lo que no cabe duda, es que la MQ tiene su ámbito hegemónico indiscutible en los 'modestos' términos de la interpretación de Copenhague, esto es, la física atómica, nuclear y partículas elementales. Y es compatible con la Física Clásica dentro de los límites de las relaciones de incertidumbre. Sin embargo, cuando pretende erigirse en teoría última REF Diciembre 2006 no puede sustituir completamente a las enormes aportaciones de la Física Clásica (Teoría de la Relatividad General). A este respecto es interesante la perspectiva de Károlyházy (1966) y otros, que lejos de intentar reducir un paradigma al otro, tratan de armonizarlos partiendo de ambos y modificándolos ligeramente (véase [11]). Siguen vigentes las palabras de John Bell en 1966: “Hacemos hincapié no sólo en que nuestro punto de vista es minoritario, sino también en que el interés actual acerca de estas cuestiones es pequeño. El físico típico cree que han sido respondidas hace tiempo y que él entendería completamente cómo, si dispusiera de veinte minutos para pensar sobre ello” ([1], cap. 3). Queda por escribir el último capítulo de la física teórica, que como nos tiene acostumbrados, terminará por remitirnos a un segundo volumen aún más fascinante. Agradecimientos Quiero agradecer los valiosos comentarios de José Luis Sánchez-Gómez (UAM) en la elaboración de este trabajo, bien entendido que toda deficiencia corre de mi cuenta. Referencias [1] BELL, J.S. (1990). Lo decible y lo indecible en Mecánica Cuántica. Madrid: Alianza Universidad. [Orig. 1987] [2] DE BROGLIE, L. (1927). Recherches sur la théorie des quanta. J. Physique (serie 6) VIII (5), 225, Thése de Doctorat. París: Masson, 1924. [3] DE BROGLIE, L. (1964a). La Thermodynamique de la particule isolée. París: Gauthier-Villars. [4] DE BROGLIE, L. (1964b). La Thermodynamique cachée des particules, Ann Inst Henri Poincaré, I (1), 1-19. [5] DE BROGLIE, L. (1970). The reinterpretation of wave mechanics. Foundations of Physics, 1, 5. [6] DE BROGLIE, L. (1992). Radiations. Ondes et Quanta. 6 (2), 62. [7] Einstein, A. (1905). Sobre un punto de vista heurístico referente a la generación y conversión de la luz. Annalen der Physik, 17, 132. [en alemán] [8] KÁROLYHÁZY, F. (1966). Nuovo Cimento A, 42, 390. [9] PAIS, A. (1984). 'El Señor es sutil...' Barcelona: Ariel. (Orig. 1982) [10] SÁNCHEZ-GÓMEZ, J.L. (1992). La interpretación de la mecánica cuántica de De Broglie-Bohm desde una perspectiva actual. Revista Española de Física, 6(2), 57. [11] SÁNCHEZ-GÓMEZ, J.L. Y UNTURBE, J. (1999). Gravitacionally induced decoherence in macroscopic systems. Foundations of Physics Letters, 12, 233-250. [12] SÁNCHEZ RON, J.M. (1992). Louis de Broglie, entre la física clásica y la cuántica. Revista Española de Física, 6(2), 53. [13] SÁNCHEZ SOTO, L.L., G. BJÖRK Y A.B. KLIMOV (2005). Controlando la velocidad de la luz: luz rápida, luz lenta. Revista Española de Física, 19(1), 39-42. Jesús Unturbe está en el Grupo Especializado de Información Cuántica Real Sociedad Española de Física Madrid http://www.rsef.org