Detección de propiedades tiempo-frecuencia en registros sísmicos

Detección de Propiedades Tiempo-Frecuencia en Registros Sísmicos Sintéticos y Reales
Juan Felipe Beltrán, Profesor Instructor, Depto. Ing. Civil, Universidad de Chile, Chile, Av. Blanco
Encalada 2120 Piso 4, Of. 429, jbeltran@cec.uchile.cl
Rubén Boroschek K., Profesor Asistente, Depto. Ing. Civil, Universidad de Chile, Chile
Arturo Arias S., Profesor Titular, Depto. Ing. Civil, Universidad de Chile, Chile
SUMARIO
El presente trabajo es de carácter exploratorio y tiene como objetivo estudiar procedimientos para la
caracterización de patrones de evolución de frecuencias, amplitudes y singularidades de señales
sísmicas sintéticas y reales. Para identificar estas características, se utiliza la transformada de
Fourier por ventanas o espectrograma y la transformada wavelet. En una primera etapa se estudia la
aplicación de los dos métodos en registros sintéticos de características conocidas (frecuencias,
amplitudes, singularidades), de manera de poder determinar las debilidades y fortalezas de cada
uno, para posteriormente aplicarlos en registros reales. Como conclusión principal se observa que el
espectrograma logra establecer con buena precisión la frecuencia pero no así su ubicación temporal
o viceversa. El uso de la transformada wavelet en cambio, logra identificar con mayor precisión la
ocurrencia de cambios suaves o bruscos en el espacio del tiempo pero con una menor precisión
relativa en el espacio de la frecuencia. El uso de la transformada wavelet permite establecer los
componentes necesarios para representar las características más importantes de un registro.
Adicionalmente la forma de la transformada wavelet permite generar registros sintéticos con gran
facilidad. En este trabajo se presentan en detalle los procedimientos de análisis utilizados y la
comparación de los resultados entregados por ambos métodos.
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Introducción
El desarrollo actual de los programas computacionales para el análisis estructural permite la
validación del diseño de obras de ingeniería en el rango de comportamiento no lineal. En el caso del
diseño sísmico, la validación de este comportamiento debe realizarse utilizando acelerogramas
asociados a terremotos de gran magnitud. Sin embargo el stock de registros sísmicos fuertes a nivel
mundial aún es limitado, situación que obliga al desarrollo de acelerogramas artificiales.
La representación de la acción sísmica por medio de procesos aleatorios parece haber sido
propuesta por primera vez por Housner (1947). Los primeros modelos eran estacionarios: series de
pulsos con tiempo de llegada aleatorio, ruido blanco y ruido blanco filtrado, o bien segmentos
finitos de procesos aleatorios estacionarios (p. ej.: Hudson (1956), Rosenblueth (1956), Bycroft
(1960), Bogdanoff et al. ( 1961), Rosenblueth y Bustamante (1962), Goldberg et al. (1964). En el
caso de estructuras que se comportan de manera aproximadamente lineal y ante niveles de
excitación moderados o medianamente intensos, los modelos estocásticos estacionarios pueden
resultar suficientes. Incluso, su uso para tal efecto, salvo en estudios académicos, es superfluo e
innecesario. Sin embargo, si se trata de evaluar esas mismas estructuras ante excitaciones sísmicas
excepcionalmente intensas, los modelos estacionarios resultan inadecuados, porque el objetivo es
conocer el comportamiento de la estructura en condiciones límite con el propósito de determinar sus
modos de falla, identificar los puntos débiles y emitir pronunciamientos sobre el grado de
seguridad, todo lo cual implica que se produzcan efectos fuertemente no lineales.
En 1969, Jennings et al. proponen un modelo no estacionario consistente en representar el
acelerograma como el producto de un proceso estacionario (ruido blanco filtrado) por una función
del tiempo de variación lenta. Este tipo de representación permite introducir una no-estacionaridad
que puede reproducir las variaciones temporales de la intensidad. Desde estos años a nuestros días,
se han presentado varios aportes entre los que se pueden destacar Ruiz y Penzien (1969), Saragoni
(1972), Saragoni y Hart (1974), Grigoriu et al. (1988); Der Kiureghian y Crempien, (1989), Yeh y
Wen (1990), Deodatis et al. (1990), Zhang et al. (1991), Conte y Peng (1996a y 1996b).
Para simular acelerogramas, es necesario primero identificar las propiedades observadas en
registros reales. Esto comprende al menos la evolución de frecuencias, amplitudes y la detección de
singularidades del evento. Conte y Peng (1996a y 1996b) utilizan para la detección de la noestacionaridad del proceso una extensión del método de estimación espectral desarrollado por
Thomson (1982) y para la simulación de registros procesos gaussianos sigma oscilatorios.
Recientemente Huerta et al. (2000) investigaron otros procedimientos de caracterización de
registros sísmicos, entre los métodos considerados se encuentra el espectrograma, la distribución de
Wigner -Ville, la distribución Choi -William y una distribución llamada de interferencia reducida,
presentando esta última, según los autores, los mejores resultados.
El presente trabajo tiene por objetivo estudiar dos procedimientos para caracterizar procesos no
estacionarios: la transformada de Fourier por ventanas o espectrograma y la transformada wavelet.
El objetivo de utilizar estos dos procedimientos es determinar las debilidades y fortalezas de cada
uno en la determinación de las características fundamentales de un registro sísmico para su uso
posterior en simulación de señales.
La transformada de Fourier por ventanas
El procedimiento de analizar una señal mediante un espectrograma, consiste en dividir la señal en
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segmentos o ventanas de longitud constante las que se analizan posteriormente mediante la
transformada de Fourier. La selección de una ventana de duración constante obliga a la observación
con la misma resolución de los detalles locales y de los patrones globales, colocando en detrimento
una de las características dependiendo del tamaño seleccionado. A pesar de esto, el procedimiento
es capaz de dar información valiosa en situaciones específicas.
Estas limitaciones indican que un procedimiento que sea capaz de adaptarse dependiendo del tipo
de patrón que se quiere estudiar tiene un mayor potencial de identificación. Estas características se
cumplen con la transformada wavelet.
La transformada wavelet
La transformada wavelet fue introducida para detectar estructuras o singularidades geológicas en
estudios geofísicos de refracción sísmica a principios de los años 80, siendo desarrollada
fuertemente a finales de la misma década por Grossmann, Morlet, Mallat y Daubechies entre otros
(Hubbar, 1996).
El análisis de la señal mediante la transformada wavelet es un proceso que consiste en la
determinación de la correlación entre funciones preestablecidas, funciones wavelet Ψjk(t) y la señal
que está siendo analizada f(t), correlación que queda determinada por los coeficientes wavelet αjk.
La determinación de los coeficientes wavelet puede ser hecha mediante una transformada wavelet
discreta (DWT) o una transformada wavelet continua (CWT). La transformada en su forma
continua tiene la siguiente forma:
∞
α jk = ∫ f (t )ψ jk (t )dt
(1)
∞
donde los índices j y k están asociados con dos variables independientes: La escala asociada al
parámetro j y la traslación asociada al parámetro k. La traslación representa típicamente el tiempo
mientras que la escala o nivel de descomposición es una manera de tener el contenido o banda de
frecuencia. Para cada nivel de descomposición j, se realiza la dilatación y traslación (parámetro k)
de las funciones wavelet, en donde la función de base de la transformada wavelet consiste en un
número de funciones locales, cada una con su propia amplitud, la que corresponde a la correlación
entre la wavelet y la señal, es decir, los coeficientes αjk.. De acuerdo al procedimiento de
descomposición elegido (análisis discreto o continuo) se puede tener una descomposición ortogonal,
es decir, cada descomposición tiene información independiente de otras descomposiciones.
Existen diferentes tipos de wavelet cuya selección depende del objetivo del análisis, entre las más
utilizadas se encuentran las denominadas Haar, Daubechies, sombrero mexicano, Morlet y otras
(Fig. 1).
La transformada discreta wavelet (DWT) descompone la señal a analizar en niveles donde se
calculan los coeficientes wavelet. Si la base de la descomposición es 2, los niveles de
descomposición están relacionados entre sí por una potencia de 2. Para una señal con 2 n puntos
donde n es un entero, DWT requiere 2n coeficientes wavelet para describir totalmente la señal. La
descomposición de la señal mediante una transformada discreta para cada nivel de descomposición
j y cada posición k tiene la forma
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α jk = ∑ f (tl )ψ jk (tl )
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(2)
tl
y
ψ jk (t l ) = 2 j / 2ψ (2 j t l − k )
(3)
donde j representa nivel de descomposición o escala y k representa el número de coeficientes a
calcular por cada nivel, tl =l*∆t.
Una de las ventajas de la transformada wavelet es que existe su inversa (IWT) lo que posibilita el
desarrollo de señales sintéticas. La transformada inversa tiene la forma (Gurley, Kareem (1999))
f (tl ) =
n −1 2 j −1
∑ ∑α
j = −1 k = 0
ψ jk (tl )
(4)
jk
La DWT permite la ubicación en el espacio (tiempo) y escala (frecuencia) en forma simultánea
ajustándose a las características locales de la señal. En forma resumida, un análisis tiempofrecuencia-amplitud. Esta característica ha sido denominada multiresolución: con un mismo
instrumento de observación se pueden identificar aspectos generales y aspectos locales. El proceso
de multiresolución eso sí tiene las limitaciones establecidas por el principio de incertidumbre o de
Heisenberg, que en este caso significa que no es posible medir con una resolución arbitrariamente
alta en forma concurrente en el espacio del tiempo y de la frecuencia (Kumar et al. (1997)).
La banda de frecuencia asociada a cada nivel j de descomposición está dada en forma aproximada
por la siguiente relación (Gurley y Kareem (1999)):
La frecuencia menor de la banda es
f1 j =
0.5
∆t 2 j +1
f2 j =
0.5
∆t 2 j
(5)
y la frecuencia mayor es:
donde j = 0,..., n-1.
(6)
Finalmente, la energía de la señal puede definirse a través de la expresión (Kumar, (1997))
E = ∫ f (t ) dt = ∑∑ α jk
2
j
2
(7)
k
La relación anterior indica que la energía de la señal E es una combinación lineal de la suma del
valor absoluto al cuadrado de los coeficientes wavelet de todos los niveles de descomposición.
En este trabajo se utilizan espectrogramas y la transformada wavelet en la caracterización de las
siguientes señales sintéticas y reales:
1- Señal con frecuencia constante con ventana de tiempo Hanning
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2- Señal compuesta por dos frecuencias diferentes con ventana de tiempo Hanning
3- Señal compuesta por dos segmentos de frecuencia constante con ventana de tiempo Hanning
4- Señal compuesta por una frecuencia que varía linealmente con el tiempo
5- Registro sísmico en edificio aislado
6- Registro sísmico en edificio aislado con discontinuidades
En el análisis de las señales se utilizará una wavelet discreta con funciones wavelet desarrolladas
por Daubechies con orden 10 ('db10') (Matlab (1996)) debido a que presenta un traslapo pequeño,
lo que significa que tiene una buena resolución en el dominio de la frecuencia en desmedro de una
buena resolución en el dominio del tiempo (Iyama et al. (1999)).
Comparación del análisis de registros sintéticos con espectrogramas y transformada wavelet
1- Análisis de una señal de frecuencia constante:
La señal a analizar es una sinusoide suavizada de frecuencia 5 Hertz con una tasa de muestreo de
200 puntos por segundo. El análisis de la señal mediante un espectrograma identifica la presencia
de una sola frecuencia cuyo valor máximo está ubicado alrededor de los 5 Hertz (Figura 2). En la
parte superior de la figura se muestra la señal original y en la parte inferior el espectrograma de
ésta. En el espectrograma, el eje de las abscisas representa el tiempo (segundos) y el de las
ordenadas la frecuencia (Hertz). Además, la escala de colores del espectrograma representa la
energía asociada a cada frecuencia, siendo el color oscuro el máximo valor de ella.
Realizando un análisis discreto con una wavelet Daubechies de orden 10 y utilizando los rangos de
frecuencia definidos por las ecuaciones (5) y (6), el nivel de descomposición asociado a la
frecuencia de la señal debería ser el 5. La Figura 3 muestra la trasformada wavelet de la señal para
diferentes niveles de descomposición además de un gráfico en que se muestra la energía asociada a
cada nivel según la ecuación (7). En el análisis de esta figura, se aprecia que existen dos niveles que
poseen aproximadamente el 100 % de la energía (niveles 4 y 5). En este punto se puede apreciar
que la energía asociada a la banda definida por el nivel 5 es el 92 % de la energía de la señal.
Los resultados obtenidos al descomponer una señal en funciones wavelet, dependen
fundamentalmente de la wavelet elegida. En la Figura 4, la señal original se ha descompuesto
utilizando una wavelet Meyer (Matlab, (1996)), la que se ha utilizado en una escala de
descomposición de potencia de 2. Analizando la figura, el nivel 5 de descomposición es la que
registra aproximadamente la totalidad de la energía retenida.
En este caso en particular, el uso de la wavelet Meyer entrega mejores resultados que el uso de la
wavelet Daubechies de orden 10, en cuanto a la identificación de la banda de frecuencia asociada a
la señal. Esto se debe a que la wavelet Meyer pertenece a un grupo de wavelet denominadas
armónicas (Newland, 1993), las que son compactas en el dominio de la frecuencia, es decir, tienen
una frecuencia inicial y final definidas, y se extienden sobre un rango infinito en el dominio del
tiempo, por su parte las wavelets Daubechies son compactas en el dominio del tiempo. Por este
motivo, en la Fig. 3 se aprecian dos bandas de frecuencias para describir el 100% de la energía de la
señal original.
2- Análisis de una señal compuesta por dos frecuencias diferentes con ventana de tiempo Hanning.
La señal a analizar está compuesta por dos sinusoides presentes en todo el registro con frecuencias
de 4.5 y 18 Hertz, suavizadas con una ventana Hanning y muestradas con una tasa de 200 puntos
por segundo. Las bandas de frecuencias y energía deberían concentrarse principalmente en los
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niveles 3 y 5 en una descomposición de tipo wavelet, de acuerdo a la relación establecida en las
ecuaciones (5) y (6).
El análisis de la señal mediante un espectrograma (Figura 5) detecta la presencia de dos frecuencias
constantes, correspondiente a 18 y 4.5 Hertz; además, de acuerdo a la escala de colores una mayor
concentración de energía en el centro de cada segmento de la señal.
En el análisis discreto de la señal mediante una wavelet Daubechies de orden 10 (Fig. 6), se
observa que los coeficientes correspondientes a los niveles de descomposición 2, 3, 4 y 5,
representan el total de la energía de la señal según ecuación (7), siendo los coeficientes de los
niveles 4 y 5 los más importantes ya que aportan un 98% del total.
3- Análisis de una señal compuesta por dos segmentos de frecuencia constante con ventana de
tiempo Hanning
La señal a analizar está compuesta por dos sinusoides suavizadas con una ventana Hanning, de
frecuencia constante, con una tasa de muestreo de 200 puntos por segundo. Cada segmento tiene
dos frecuencias asociadas de 19 y 4.5 Hertz, teniendo el primer segmento una amplitud de 20 y el
segundo una amplitud de 10. Según las bandas de frecuencias definidas por las ecuaciones (5) y (6),
los niveles en que se deberían obtener coeficientes mayores son el 3 y el 5, siendo los coeficientes
del primer segmento mayores que los del segundo de acuerdo a la ecuación (7).
El análisis de la señal mediante un espectrograma (Fig. 7) identifica la presencia de dos frecuencias
constantes en cada segmento, siendo sus valores 19 y 4.5 Hertz. Además, de acuerdo a la escala de
colores, identifica la mayor energía en el primero de éstos. La zona de energía nula también la
detecta pero en forma errónea, ya que producto del uso de ventanas móviles existen ocasiones en
que la longitud de una de éstas abarca zonas en que hay energía y otras en que no hay, por lo que el
resultado temporal que entrega está distorsionado.
En el análisis discreto de la señal mediante una wavelet Daubechies de orden 10 (Figura 8), se
observa que los coeficientes wavelet correspondientes a los niveles de descomposición 3 y 5
representan cerca del 97 % de la energía de la señal. Además, los coeficientes del primer segmento
son mayores que los del segundo, hecho que indica una mayor energía asociada según la ecuación
(7).
4- Análisis de una señal compuesta por una frecuencia que varía linealmente con el tiempo
La señal a analizar es una sinusoide de amplitud 1, con una tasa de muestreo de 200 puntos por
segundo y con una frecuencia que varía linealmente con el tiempo, partiendo de un valor inicial de
2 Hertz hasta un valor final de 14 Hertz. Según las bandas de frecuencias definidas por las
ecuaciones (5) y (6), los niveles en que se deberían obtener coeficientes mayores van desde el nivel
6 hasta el nivel 3.
El análisis de la señal mediante un espectrograma (Fig. 9) identifica la variación lineal y creciente
de la frecuencia de ésta con respecto al tiempo, con una frecuencia inicial de 2 Hertz y una
frecuencia final de 12.5 Hertz.
El análisis de la señal usando una descomposición en funciones wavelet Daubechies de orden 10 y
la energía asociada a cada nivel de descomposición se muestra en la Figura 10. Los coeficientes
asociados a los niveles de descomposición 3 a 6 contienen aproximadamente el 100 % de la energía
de la señal. Para complementar la información obtenida de la Fig. 10, en la Figura 11 se muestra la
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transformada wavelet inversa de la señal. De esta figura se aprecia que la recomposición de la señal
por detalles de escala está prácticamente contenida en niveles sucesivos desde el nivel 6 hasta el
nivel 3, teniendo este último nivel una menor participación. Este análisis muestra que la frecuencia
es creciente y que existe un traslapo entre los niveles de descomposición.
5- Análisis de un registro sísmico en edificio aislado
La señal a analizar pertenece a un registro real ocurrido el 22 de febrero de 1996 de Magnitud 5.9
y aceleración máxima 62.4 cm/seg2. La tasa de muestreo es de 200 puntos por segundo. El registro
fue obtenido en la dirección vertical de la primera losa de un edificio con aislación en la base, que
se encuentra en la ciudad de Santiago, Chile. Debido a la alta no linealidad del sistema de aislación,
que está basado en goma de alto amortiguamiento, la frecuencia predominante de vibración
registrada varía sustancialmente dependiendo de la amplitud y velocidad del movimiento.
El análisis de la señal mediante un espectrograma, Fig.12, muestra que existen tres regiones
características en el tiempo. La primera es una región entre los segundos 0 y 14, Fig. 13, donde
predomina una frecuencia única cercana a los 15 Hertz. Esta frecuencia se asocia a un modo de
vibración predominante en la dirección vertical del edificio como cuerpo rígido (Moroni et al.
2000). En la fase del movimiento fuerte, correspondiente a la segunda región, entre los segundos 27
y 30, la amplitud del movimiento es mayor y se genera una banda de frecuencias entre 2 y 15 Hertz,
Fig. 14. Esta banda de frecuencias se puede asociar a un movimiento forzado del terreno y a la
excitación del modo principal traslacional, que para este nivel de movimiento es cercano a los 2
Hertz y posee componentes tanto en la dirección vertical como horizontal. Posteriormente en la
tercera región, (después de los 30 segundos) la señal presenta una frecuencia dominante cercana a
los 2 Hertz, lo que corresponde a una vibración traslacional con componente de cabeceo o rocking
que se detecta en la dirección vertical del movimiento de la estructura.
Analizando los coeficientes de la descomposición en transformada wavelet con ondeletas
Daubechies de orden 10, Fig.15, se aprecia que la energía de la señal está contenida desde el nivel 3
hasta el nivel 7 (25 a 0.78 Hertz). Utilizando la transformada inversa y un análisis multiresolución
se identifican también las mismas tres regiones que el caso anterior (Fig.16). La primera región,
Fig. 17, se extiende hasta los 15 segundos donde la frecuencia preponderante es la del nivel 3 (25 a
12.5 hertz). En la Fig. 18 se analiza la señal entre los 15 y 45 segundos, en la que se pueden
identificar dos regiones de frecuencia. La primera es una región entre los 28 y 30 segundos donde la
amplitud del movimiento es mayor y se genera una banda de frecuencias desde el nivel 7 al nivel 3
(25 a 0.78 Hertz), para posteriormente tener una frecuencia principalmente en los niveles 6 y 7, que
corresponde a la tercera región (3,125 a 0.78 Hertz).
6- Análisis de un registro sísmico en edificio aislado con singularidades.
A la señal anterior se le han agregado discontinuidades (variación de un único punto) a los 20, 40 y
50 segundos.
El análisis de la señal mediante un espectrograma detecta las discontinuidades en la señal entre los
segundos [18.8, 19.9], [38.8, 39.9] y [48.8, 49.8] respectivamente, posiciones ligeramente
adelantadas y de duración mayor debido al empleo de ventanas de longitud constante de 1.28
segundos y a la asignación de tiempo referencial correspondiente al centro de la ventana, Fig. 19.
El análisis mediante los coeficientes wavelet, Fig.20, de la señal no detecta las perturbaciones
debido a que las magnitudes de las discontinuidades no son comparables a las amplitudes de la
señal original y consecuentemente no representan una energía significativa. En cambio, el análisis
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en multiresolución de la misma señal, detecta en la función correspondiente al nivel de
descomposición 1 (100 a 50 Hertz) discontinuidades en los tiempos 20, 40 y 50 segundos y
parcialmente a los 50 segundos en el nivel de descomposición 2 (50 a 25 Hertz) (Fig. 21).
Conclusiones:
Se han analizado señales no estacionarias sintéticas y reales utilizando la técnica de espectrograma
y transformada wavelet. Ambos procedimientos han permitido estudiar e identificar las
características de la no-estacionaridad pero evidenciando fortalezas y debilidades, identificándose
un gran potencial de la transformada wavelet en el proceso de caracterización y simulación de
registros sísmicos.
El espectrograma resulta muy conveniente cuando la transición o no-estacionaridad tiene un cambio
relativamente lento con relación a la longitud de la ventana de análisis. Sin embargo tiene el
inconveniente que utiliza ventanas de longitud constante y por tanto la observación de los detalles y
de los patrones globales se realiza con la misma resolución, colocando en detrimento la
identificación de una de ellas. Adicionalmente el procedimiento genera distorsiones en el tiempo de
ocurrencia y duración de la no-estacionaridad.
La transformada wavelet presenta algunas ventajas ya que el procedimiento de reconocimiento de
características se realiza acorde a la "dimensión" de la misma a través del proceso de
multiresolución. Sin embargo la precisión de la identificación depende del tipo de wavelet y de la
escala donde se ubica la característica a identificar. En este proceso no aparecen los corrimientos o
duraciones ficticias, pero la identificación de las frecuencias tiene menor precisión. Los límites
para las bandas de frecuencias definidos por las ecuaciones (5) y (6), entregan una buena
aproximación de la banda de frecuencia que contiene cada nivel de descomposición. En general, se
debe definir un criterio mínimo de conservación de la energía para analizar la señal. Si la o las
frecuencias de alguna señal en particular está (n) cerca de los límites, ya sea inferior o superior, de
los intervalos de frecuencia definidos por las ecuaciones (5) y (6) para cada nivel de
descomposición, los coeficientes de las wavelet calculados corresponderán a niveles sucesivos. Por
otra parte la existencia de la transformada inversa la convierte en un procedimiento potencial de
simulación.
Agradecimientos.
El presente trabajo se ha desarrollo con el apoyo del proyecto FONDECYT
Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Chile.
.
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FIGURA 1 Wavelet Daubechies de orden 10 y Wavelet Meyer
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FIGURA 2 Señal de frecuencia constante de 15 Hertz y espectrograma
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FIGURA 3 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociada
a cada nivel de descomposición para señal frecuencia constante de 15 Hertz
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FIGURA 4 Descomposición wavelet Meyer en 8 niveles y energía asociada a cada nivel de
descomposición para señal de frecuencia constante de 15 Hertz
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FIGURA 5 Señal de dos frecuencias constantes de 4.5 Hertz y 18 Hertz y espectrograma
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FIGURA 6 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociada
a cada nivel de descomposición para una señal de dos frecuencias constantes de 4.5 y 18 Hertz
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FIGURA 7 Señal de dos segmentos de frecuencia constante de 4.5 Hertz y 19 Hertz y
espectrograma
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FIGURA 8 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociada
a cada nivel de descomposición para una señal de dos segmentos de frecuencia constante de
4.5 y 19 Hertz
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FIGURA 9 Señal con frecuencia linealmente variable, con frecuencia inicial de 2 Hertz y
frecuencia final de 14 Hertz y espectrograma
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FIGURA
10 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía
asociada a cada nivel de descomposición para una señal de frecuencia linealmente variable
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FIGURA 11 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 a
D7) de la señal de frecuencia linealmente variable
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FIGURA 12 Registro sísmico de un edificio aislado y espectrograma
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FIGURA 13 Espectrograma del registro sísmico para los primeros 15 segundos, donde
predomina una frecuencia vertical de 15 Hertz marcada con línea negra
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FIGURA 14 Espectrograma del registro sísmico entre los 15 seg. y 45 seg. donde se produce
la transición en frecuencia entre 15 Hertz y 2 Hertz marcada con línea negra.
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FIGURA 15 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociada
a cada nivel de descomposición para un registro sísmico de un edificio aislado
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FIGURA 16 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 a
D7) del registro sísmico.
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FIGURA 17 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 a
D7) del registro sísmico de un edificio aislado en los primeros 15 seg., donde predomina el
nivel de descomposición 3, antes del arribo de la onda P.
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FIGURA 18 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 a
D7) del registro sísmico entre los 15 y 45 seg.
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FIGURA 19 Registro sísmico de un edificio aislado con discontinuidades y espectrograma
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FIGURA 20 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociada
a cada nivel de descomposición para el registro sísmico con discontinuidades
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FIGURA 21 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 a
D7) del registro sísmico con discontinuidades, donde éstas son detectadas en el primer nivel
de descomposición (D1) y parcialmente en el segundo (D2).
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