Capitulo 3 Distorsión

Distorsión
Objetivo
•
•
El alumno entenderá cuales son las condiciones de un medio para transmisión sin distorsión
El alumno aprenderá a clasificar y medir la distorsión.
Contenido
•
•
•
•
•
Distorsión
Transmisión sin distorsión
Clasificación de la distorsión
Distorsión armónica
Distorsión por intermodulación
Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 4. Distorsión
Distorsión
Definición 1. Distorsión. Es cualquier cambio en una señal que altera su forma de onda básica (en el dominio
del tiempo) o bien, altera la relación entre sus componentes espectrales (domino de la frecuencia). La
distorsión puede ser del tipo lineal o del tipo no lineal
Definición 2. Distorsión lineal. Es la alteración de la forma de onda de la señal transmitida y se debe a la
respuesta en frecuencia no plana del medio de transmisión, que trabaja como filtro y tiende a atenuar o a
resaltar algunas frecuencias del mensaje. El efecto en telefonía es que a veces se no reconocemos la voz del
que nos habla porque se modifica su timbre.
Definición 3. Distorsión alineal. Es un tipo de distorsión no lineal y ocurre cuando un sistema, debido a su
ganancia no línea, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias múltiplo de las frecuencias ya
presente (armónicas) o bien, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias suma y diferencia de
las frecuencias ya presentes en la señal (intermodulación). Auditivamente, se escucha como un ruido
intermitente.
Transmisión sin distorsión
El estudio de un sistema que transmite sin distorsión, una señal, se realiza en el dominio del tiempo y en el
dominio de la frecuencia. Para este estudio considere el sistema de la figura 1 en el cual la señal de salida
se calcula como la convolución de la señal de entrada con la respuesta a impulso del sistema ,
es decir:
∗ (1)
Figura 1. Diagrama a bloque de un sistema genérico. Tal sistema se usará para explicar la
transmisión sin distorsión de las señales.
Estudio en el dominio del tiempo
En el dominio del tiempo, la señal que entrega un sistema que transmite sin distorsión deben satisfacer las
siguientes condiciones:
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo
[Escribir texto]
Año 2011
2
1.
La salida es una réplica de la entrada.
2.
La salida puede estar amplificada o atenuada respecto de la entrada.
3.
(2)
(3)
La salida puede estar retrasada en tiempo respecto de la entrada.
− (4)
Estudio en el dominio de la frecuencia
Se busca conocer la respuesta en frecuencia del sistema que transmite sin distorsión. Para tal fin, iguale las
ecuaciones (1) y (4):
∗ = − (5)
Se aplica ahora la transformada de Fourier a la ecuación (5).
= (6)
Si ahora se retira la señal de entrada, la cual es común a ambos lados del signo igual, se logra
= (7)
La ecuación (7) representa la respuesta en frecuencia de un sistema que transmite sin distorsión una señal.
A este respecto, dado que la ecuación de respuesta en frecuencia es un complejo, se hace necesario un
estudio en magnitud y fase
La ecuación (8) es la magnitud de la respuesta en frecuencia:
‖‖ = La gráfica de la ecuación (8) puede verse en la figura 2.a. De esta figura puede notarse lo siguiente:
(8)
Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 4. Distorsión
•
•
La magnitud de la respuesta en frecuencia es independiente de la frecuencia
El ancho de banda del sistema que transmite sin distorsión es infinito
La ecuación (9) es la fase de la respuesta en frecuencia.
= −
(9)
La gráfica de la ecuación (9) puede verse en la figura 2.9. De esta figura puede notarse que el desfasamiento
que provoca el sistema en una señal que lo atraviesa es proporcional a la frecuencia.
Figura 2. Curvas de magnitud (a) y fase (b) de la respuesta en frecuencia de un sistema que transmite sin distorsión.
Clasificación de la distorsión
La figura 3 exhibe la clasificación general de la distorsión que será tratada
Figura 3. Clasificación de la distorsión.
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo
[Escribir texto]
Año 2011
4
Distorsión armónica
Cuando una señal senoidal excita un circuito no lineal, en la salida aparecen armónicas de esa señal, mismas
que provocan que tal señal, a la salida del circuito, aparezca deformada.
Definición 4. La distorsión armónica es la alteración de la forma de onda de una señal debido a que la
ganancia no lineal del sistema genera nuevas componentes espectrales en frecuencias que son múltiplo
(armónicas) de las frecuencias de otras componentes espectrales ya presentes en la señal.
La ecuación temporal que describe la distorsión alineal
Considere la curva de ganancia lineal de la figura 4.a. Esta curva puede ser descrita por la ecuación siguiente
$%& = (10)
Considere ahora la curva de ganancia no lineal de la figura 4.b. Esta curva puede ser descrita por la siguiente
ecuación
!
#
$%& = ' ' "
'⋯
Donde los términos de la ecuación 11 tienen los siguientes significados:
•
•
•
•
: Es el término lineal, la señal de entrada es amplificada por un factor .
!
: Es el término cuadrático, responsable de la distorsión por segunda armónica.
#
" : Es el término cúbico, responsable de la distorsión por tercera armónica.
Y así sucesivamente.
Figura 4. (a) Curva de ganancia lineal. (b) Curva de ganancia no lineal.
(11)
Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 4. Distorsión
En la ecuación 11, los términos de potencias superiores a la potencia tres tienen significados similares, el
término de la potencia cuarta produce la distorsión por cuarta armónica, el término de la quinta potencia
produce la distorsión por quinta armónica, y así sucesivamente.
Comportamiento temporal de un sistema no lineal
La figura 5.a ilustra la curva de ganancia de un sistema no lineal al cual se le alimenta un tono puro o
senoide. La salida generada por el sistema puede verse como una senoide deformada.
Comportamiento espectral de un sistema no lineal
Cuando se alimenta un tono puro a un sistema no lineal, la señal de salida es el tono deformado. El espectro
de ese tono puede verse en la figura 5.c.
Demostración del comportamiento no lineal de un amplificador con JFET
El JFET es un semiconductor con comportamiento típicamente cuadrático. La figura 6 ilustra un amplificador
JFET con autopolarización. La ecuación que describe la salida en función de la entrada es:
!
$%& = ' (12)
Figura 5. Respuesta temporal de un sistema con ganancia no lineal. Observe que luego de alimentar una
senoide, el sistema entrega una senoide deforme.
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo
[Escribir texto]
Año 2011
6
VCC
5V
VCC
R1
1kΩ
1
C2
Q1A
100nF
C1
2
2N5454
100nF
R2
1kΩ
0
0
Figura 6. Circuito amplificador con JFET. Este circuito provoca típicamente un curva de ganancia cuadrática.
Si la señal de entrada es un tono puro descrito como:
= )* -* (13)
Sustituyamos ahora la ecuación de entrada (13) en la ecuación característica (12) y tendremos la siguiente
señal:
)$%& =
)*!
)*!
' )* -* −
./2* 2
2
Donde los términos de la señal que resulta significan:
•
•
•
)*! ⁄2 es una componente de directa.
)* -* es la componente fundamental a frecuencia * .
)*! ⁄2./2* es la componente por segunda armónica (a frecuencia 2* ).
Utilidad de la distorsión armónica
Los circuitos que producen distorsión armónica con todo propósito se emplean como:
•
•
•
•
Multiplicadores de frecuencia
Circuitos sintonizadores
Sintetizadores de frecuencias
Generadores de funciones de alta frecuencia
(14)
Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 4. Distorsión
Medición de la distorsión por la n-ésima armónica
La distorsión que provoca por la segunda armónica se puede cuantificar en porcentaje del voltaje de la
componente fundamental de la forma que sigue:
%72° )!°1
× 100%
)2
(15)
En donde
•
•
)!°1 es el voltaje de la segunda armónica.
)2 es el voltaje de la componente fundamental.
De forma semejante, la distorsión por tercer armónica puede cuantificarse también en un porcentaje del
voltaje de la componente fundamental como:
%73° =
)#°1
× 100%
)2
(16)
De forma general se puede cuantificar la distorsión por la - − é45 armónica como la relación de su
voltaje al voltaje de la componente fundamental.
Medición de la distorsión armónica total
La distorsión generada por todo el contenido armónico se puede expresar a partir del teorema de Parseval
como:
%<7 =%72°! + %73°! + ⋯
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo
[Escribir texto]
(17)
Año 2011
8
Ejemplos de distorsión armónica
Primer ejemplo:
La curva característica de transferencia de un amplificador es:
!
$%& = 100 ' 50 ' (18)
= 5-100
(19)
Si la señal de entrada es:
Calcule el %<7
Sustituyendo la entrada en la ecuación de transferencia del amplificador resulta que salida es:
$%& = 112.5 + 250-100 − 12.5./200
(20)
Entonces el %<7 se calcula como:
%<7 12.5
× 100% 5%
250
(21)
Segundo ejemplo
La curva característica de salida de un amplificador es:
$%& 4 + 200./100 + 10./150
(22)
Calcule el %<7
Dado que la ecuación representa una señal con dos componentes espectrales cuyas frecuencias no so
múltiplo una de la otra, resulta que %<7 = 0
Tercer ejemplo:
La señal de salida de un amplificador ha sido cualificada mediante la siguiente ecuación
$%& 50 + 250./100 + 5./ ! 200 + 2-200
Calcule el %<7
(23)
Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 4. Distorsión
Primero se quita el cuadrado de la expresión trigonométrica, es decir, se aplica una identidad trigonométrica
y resulta que:
$%& = 50 ' 250./100 + 2.5 + 2.5./200 + 2-200
(24)
Obsérvese que en la expresión anterior se tiene la suma ⋯ + 2.5./200 + 2-200 para resolver
esta situación de dos componentes en cuadratura se emplea la siguiente identidad trigonométrica
A
./. + A- =! + A ! ./ B − C D
(25)
Aplicando la ecuación (23) a la ecuación (22) se puede resolver de la forma que sigue
$%& 52.5 + 25./100 + =2.5! + 2! ./ B200 − C
2
D
2.5
(26)
Así que la distorsión armónica total se calcula como:
%<7 √2.5! + 2!
× 100% 12.806%
25
(27)
Intermodulación
Cuando una señal excita un circuito no lineal, en la salida aparecen componentes espectrales nuevas que no
son armónicas de esa señal. Estas nuevas componentes provocan que la señal, a la salida del circuito,
aparezca deformada.
Definición 5. La intermodulación es la alteración de la forma de onda de una señal debido a que la ganancia
no lineal del sistema genera nuevas componentes espectrales en frecuencias que son suma y resta de las
frecuencias de las componentes espectrales ya presentes en la señal.
Ecuaciones para el comportamiento no lineal y cuadrático de un amlificador
Considere nuevamente el circuito amplificador con JFET de la figura 5. Tal amplificador tiene una curva de
ganancia característicamente cuadrática y que es modelada por la ecuación (12). Si ahora la entrada es la
suma de dos tonos puros, es decir:
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo
[Escribir texto]
Año 2011
10
= H ' J
(28)
Donde
H = )H -H (29)
J = )J -IJ K
Sustituyendo la ecuación 28 en la ecuación 12 se logra
!
$%& = IH ' J K ' IH ' J K
(30)
Desarrollando la ecuación (30) y agrupando términos se logra
$%& = H ' H! ' IJ ' J! K ' 2 H J
(29)
Donde
•
•
•
H + H! : es el termino correspondiente a la salida correspondiente a la entrada H
IJ + J! K: es el término correspondiente la salida correspondiente a la entrada J
2 H J : es término se conoce como producto cruzado.
Los dos primeros términos de la ecuación (29) indican un comportamiento lineal ya que cada entrada genera
su propia salida: el efecto de estos términos ya ha sido estudiado. El tercer término, conocido como
producto cruzado, corresponde a un comportamiento no lineal y es el objeto de interés del presente
segmento.
El producto cruzado
Es el producto cruzado que apareció en la ecuación 29 y corresponde a:
LM/NO./ .MOQN/ H J
(30)
Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 4. Distorsión
Si se sustituyen la pareja de ecuaciones (29) en la ecuación (30) se logra
LM/NO./ .MOQN/ )H )J cosIH − J K − )H )J cosIH + J K
(31)
Donde puede observarse que:
•
)H )J cosIH − J K: es una componente espectral en frecuencia diferencia
•
)H )J cosIH ' J K: es una componente espectral en frecuencia suma
Ejemplo:
Si dos senoides de frecuencias 1UQV y de 20UQV ingresan a un amplificador de ganancia cuadrática,
calcule cuantas componentes espectrales sale y a cuales frecuencias.
Cada senoide de entrada genera una componente de directa, su propia frecuencia y una segunda armónica.
Además, el producto cruzado genera dos componentes espectrales a frecuencias suma y diferencia. Así que
a la salida del sistema se tienen 7 componentes espectrales en las siguientes frecuencias:
Para la senoide de 1UQV se tiene
"7
1UQV
2UQV
La senoide de 20UQV genera (se repite la componente de directa)
"7
20UQV
40UQV
El producto cruzado genera
19UQV
21UQV
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo
[Escribir texto]
Año 2011
12
Bibliografía
[Malvino]
Malvino; Albert, "Principios de eletrónica" McGraw Hill, 7a edición