Rentas Financieras. Renta fraccionada 1 6. RENTA FRACCIONADA

Rentas Financieras. Renta fraccionada
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6. RENTA FRACCIONADA
Una renta fraccionada se caracteriza porque su frecuencia no coincide con la frecuencia de
variación del término de dicha renta.
Las características de la renta fraccionada son las siguientes:
• Periodo de la renta: P (Frecuencia de la renta: m=1/P).
• Periodo de la variación del término: P’ (Frecuencia de la variación del término: M=1/P’).
• Número de términos de la renta: n.
• Número de términos de cuantía diferente en el plazo de la renta: N.
• El término general de la renta fraccionada es Cr , donde r=1,2,...,N puesto que el término
sólo cambia N veces de cuantía.
• Número de términos de igual cuantía dentro de cada periodo de variación: k.
Se cumple que k =
m P′ n
=
= .
M P N
El esquema temporal de una renta fraccionada, vencida, inmediata y temporal, es el
siguiente:
0
C1
C1
P
2P
...........
C1
............ kP
C2
C2
.........
C2
(k+1)P (k+2)P ........ 2kP
............
CN
............ nP años
Como se desprende del esquema anterior, el término de la renta no varía cada periodo sino
que lo hace cada k periodos. Así, durante los k primeros periodos el término es el mismo y se
simboliza por C1 , durante los k segundos periodos el término también es el mismo y se
simboliza por C2 , aunque distinto a los primeros k periodos y así sucesivamente. Una renta
fraccionada se puede considerar como un conjunto de N rentas constantes.
Para hallar el valor actual de la renta fraccionada se sustituye, en primer lugar, cada una de las
N rentas constantes por su valor final:
Rentas Financieras. Renta fraccionada
0
C1
C1
...........
C1
P
2P
..........
kP
C2
C2
.........
C2
(k+1)P (k+2)P ........ 2kP
V1
V2
............
2
CN
............ nP años
............
VN
El valor final de una renta de k términos de cuantía constante Cr y de frecuencia m es:
Vr = Cr ⋅ sk
Im
r = 1,2,...,N
Así, la renta original puede sustituirse por otra renta de N términos de cuantía variable
Vr ,
r = 1,2,...,N y de periodicidad P ' , esto es de frecuencia M, cuyo esquema temporal es:
V1
0
P
V2
............
VN
2P ........... P’=kP (k+1)P (k+2)P ..... 2P’=2kP ........ NP’=nP años
El valor actual de la renta fraccionada, V0f , se obtiene del siguiente modo:
0
V0f
V1
V2
............
P’
2P’ ............
VN
NP’ años
Rentas Financieras. Renta fraccionada
N
V0f = ∑ Vr ⋅ (1 + IM )
N
−r
= ∑ Cr ⋅ sk
r =1
(1 + Im )
k
=
=
−1
Im
r =1
N
⋅ ∑ Cr ⋅ (1 + IM )
r =1
Im
−r
⋅ (1 + IM )
=
−r
3
=
IM N
−r
⋅ ∑ Cr ⋅ (1 + IM ) =
Im r =1
N
IM M
i
i
−r
−r
⋅ ⋅ ∑ k ⋅ Cr ⋅ (1 + IM ) = M ⋅ ∑ C 'r ⋅ (1 + IM ) = M ⋅ V0auxiliar
Im m r =1
im r
im
=1
N
Vauxiliar
0
En definitiva,
V0f =
iM
⋅ V0auxiliar
im
V0auxiliar es el valor actual de una renta, denominada auxiliar, cuyas características son las
siguientes:
• Su frecuencia es igual a la frecuencia de variación de la renta fraccionada: M.
• El número de términos (y, por tanto, el número de periodos) coincide con el número de
términos de cuantía diferente en todo el plazo de la renta fraccionada: N.
• El término de la renta es Cr′ = k ⋅ Cr
(r=1,2,...,N) y cada uno de ellos se sitúa donde está el
último término de cuantía Cr . Así, por ejemplo, el primer término de la renta auxiliar
C1′ = k ⋅ C1
se sitúa donde está el último término de cuantía C1 .
El esquema de la renta auxiliar asociada al de la renta fraccionada es el siguiente:
Renta fraccionada
0
C1
C1
...........
C1
P
2P
...........
kP
C2
C2
..........
C2
(k+1)P (k+2)P ......... 2kP
............
CN
......... nP años
Renta auxiliar
C’1 = k⋅C1
0
P’=kP
C’2 = k⋅C2 ...... C’N = k⋅CN
2P’=2kP ....... NP’=nkP años
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La renta auxiliar es una renta variable, vencida, inmediata y temporal y, por tanto, su valor
actual se obtiene aplicando las fórmulas de las rentas de variación geométrica o lineal
anteriormente vistas en los apartados 4. y 5. respectivamente.
El cociente
iM
es el denominado factor corrector, que permite convertir el valor actual de la
im
renta auxiliar en el valor actual de la renta fraccionada, vencida, inmediata y temporal. Dicho
factor corrector es el cociente entre el tanto nominal de interés asociado a la frecuencia de la
variación y el tanto nominal de interés asociado a la frecuencia de la renta fraccionada.
Ejemplo
Sea una renta de 120 términos mensuales y vencidos, variables a razón de un 5% anual
acumulativo. Hallar su valor actual si el tipo de interés es el 6% efectivo anual y durante el
primer año cada término mensual es de 3.000 €.
Las características de la renta fraccionada son:
• Periodo de la renta: P = 1 12 ⇒ m = 12
• Periodo de la variación: P ′ = 1 ⇒ M = 1
• Número de términos de la renta: n=120
• Número de términos de cuantía diferente: N=10
• Durante el primer año, el término mensual es de 3.000 € ( C1 = 3.000 ). Durante el segundo
año se incrementará dicho término un 5% con respecto al del año anterior. Así,
C2 = 1,05 ⋅ C1 = 3.150 . En definitiva, se cumplirá que Cr = C1 ⋅ 1,05 r −1 r = 1,2,3,... 10
• Número
de
términos
de
igual
cuantía
n
m
P
12
120
K=
=
= 12
1
10
N
N
M
N
• La renta es vencida, inmediata y temporal
Y las características de la renta auxiliar son:
• Periodo de la renta: P ′ = 1 ⇒ M = 1
dentro
de
cada
periodo
de
variación:
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• Número de términos: N=10
• El primer término es C1′ = k ⋅ C1 = 12 ⋅ C1 = 36.000 € y está situado al final del primer año
de la renta, que es precisamente donde está situado el último término de cuantía C1 . El
segundo término es C2′ = k ⋅ C2 = 12 ⋅ C2 = 12 ⋅ 1,05 ⋅ C1 = 1,05 ⋅ 12 ⋅ C1 = 1,05 ⋅ C1′ . Como puede
apreciarse, la variación del término de la renta auxiliar es la misma que la de la renta
fraccionada. Este resultado puede generalizarse al resto de los términos y ello permite expresar
el término general como Cr′ = C1′ ⋅ 1,05
r −1
= 12 ⋅ C1 ⋅ 1,05
r −1
con
r = 1,2,3,...,10 . Así, la renta
auxiliar es una renta de variación geométrica a la cual se aplicará la fórmula obtenida en el
apartado 4. de este capítulo.
Los esquemas temporales correspondientes a las rentas fraccionada y auxiliar asociadas a la
renta descrita en el ejemplo son los siguientes:
Renta fraccionada
C1
0
1/12
C1
..........
C1
2/12 ......... 12/12
C2
13/12
C2
..........
C2
............
C10
14/12 ......... 24/12 ....... 120/12 años
Renta auxiliar
C’1=12⋅C1
0
C’2=12⋅C2 .... C’10 =12⋅C10
1
i
1
0,06
2
C'
..........
10 años
1
1 − 1,0510 ⋅ 1,06−10
f
⋅ 36.000 ⋅
= 334.420,25 €
V0 =
0,058411
1,06 − 1,05 i
12
V0auxiliar
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6.1. Renta fraccionada anticipada, inmediata y temporal
Si la renta fraccionada es anticipada, inmediata y temporal la valoración debe hacerse teniendo
en cuenta el siguiente esquema:
Renta fraccionada
C1
C1
.............
0
P
............
C1
(k-1)P
C2
kP
C2
..........
C2
.........
(k+1)P ..... (2k-1)P
CN
...... (n-1)P
nP años
Renta auxiliar
-P
0
P
C’1 = k⋅C1
C’2 = k⋅C2 ...... C’N = k⋅CN
(k-1)P
(2k-1) P ........ (n-1)P
años
(k-1)P
En el caso de que la renta sea anticipada, el valor actual de la renta auxiliar se obtiene un
periodo, P, antes del origen de la renta. Por tanto, para tener el valor en el origen de la
operación deberá capitalizarse el resultado obtenido un periodo de la renta fraccionada:
V0f =
iM
⋅ V−auxiliar
⋅ (1 + Im )
P
im
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Ejemplo
Hallar el valor actual de una renta de iguales características a la del ejemplo anterior pero
anticipada.
Los esquemas correspondientes a las rentas fraccionada y auxiliar son los siguientes:
Renta fraccionada
C1
C1
0
........
C1
C2
1/12 ........ 11/12
C2
12/12
............. C2
13/12 ........ 23/12
.............
C10
........ 119/12 120/12 años
Renta auxiliar
-1/12
0
C’1=12⋅C1
C’2=12⋅C2 .... C’10 =12⋅C10
11/12
1+11/12 ...... 9+11/12 años
11/12 años
Como la renta fraccionada es mensual y anticipada, el valor de la renta auxiliar se obtiene un
mes antes del origen de la renta siendo necesario capitalizar el resultado un mes para poder
tener el valor de la renta fraccionada en el origen de la operación.
i
1 V0f =
1 − 1,0510 ⋅ 1,06−10
⋅ 36.000 ⋅
⋅ 1,004867
= 336.048,06 €
0,058411
1,06
−
1,05
1+I12
0,06
i
12
Vauxiliar
− 1 12
Vauxiliar
0