Estimación de modelos de volatilidad estocástica RESUMEN:

Estimación de modelos de volatilidad estocástica
García Centeno, Mª Carmen; Ibar Alonso, Raquel
Departamento Métodos Cuantitativos para la Economía
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad San Pablo-CEU
Dirección postal: Julián Romea, 23
28003 Madrid
Tf: 91 4566300 ext (456)
E-mail: garcen@ceu.es; ribar@ceu.es;
RESUMEN:
La volatilidad es uno de los principales elementos que influyen en la evolución de los
mercados financieros, puesto que a través de ella se puede estimar y medir la “cuantía” de
los cambios que no se pueden predecir y que se producen en la rentabilidad de un activo
financiero y también, se puede determinar cuál es el riesgo financiero del mercado o el
valor de compra o venta de opciones.
La volatilidad puede ser de dos tipos: determinista y estocástica. En este artículo se van a
estimar distintos modelos de volatilidad estocástica, los cuales se van a diferenciar entre sí,
según cual sea la forma de dependencia de la volatilidad de su propio pasado o según los
factores que en ella pueden influir.
Palabras claves: Volatilidad estocástica, Máxima verosimilitud, ARCH, GARCH, GARCHM, EGARCH, AGARCH.
ABSTRACT:
The volatility is one of the principal elements which has influenced in the evolution of
financial market, since through them we can estimate and weigh up the “quantity” of the
changes they cannot been forecasted and they exist in the financial assets yield and through
them, also we can determine which is financial market risk and the put and call options.
There are two types of volatility: deterministic and stochastic volatility. In this paper, we
estimate different stochastic models, the differences between the models are relationship
between volatility and the past volatility and the other factors which influence it.
Keywords: Stochastic volatility, Maximum Likelihood, ARCH, GARCH, GARCH-M,
EGARCH, AGARCH, TGARCH.
1
1. INTRODUCCIÓN.
Al analizar el comportamiento de los mercados (o en este caso concreto del tipo de cambio
cruzado del euro frente al yen-JPY- y el tipo de cambio cruzado del euro frente a la libra
esterlina-GBP-) se comprueba que han existido periodos en los que la dispersión es mayor
y otros en los que la dispersión es menor. Por esta razón, es importante determinar cual es
el comportamiento de la varianza a lo largo del tiempo.
De forma genérica, se puede decir que la volatilidad es una estimación de los cambios que
se producen en las rentabilidades de los diferentes activos, divisas, índices del mercado, etc.
Así, los agentes financieros tratan de obtener la mejor estimación de ésta, para poder
gestionar y cubrirse del riesgo del mercado o determinar cual es el valor de una opción.
La volatilidad, básicamente puede ser de dos tipos: determinista o estocástica. La primera
no cambia a lo largo del tiempo o si lo hace es de forma conocida y cierta; la segunda
cambia a lo largo del tiempo de forma desconocida o incierta.
Para estimar el comportamiento estadístico de estos tipos de volatilidad se procede de
forma diferente, en el primer caso se utiliza como estimación de la volatilidad la desviación
típica de la serie de rentabilidades y en el segundo caso entre otros, se utilizan los modelos
de heterocedasticidad condicional autorregresiva (modelos ARCH1), la generalización de
estos (modelos GARCH) o alguna de sus variantes.
En este trabajo se han estimado modelos GARCH, EGARCH, AGARCH, M-GARCH para
estimar la volatilidad del tipo de cambio cruzado diario del euro frente a la libra esterlina y
frente al yen, durante el período comprendido entre enero de 2000 y abril de 2003. Los
datos para realizar estas estimaciones se han obtenido de la página web de cinco días con
datos históricos de los mercados financieros y de divisas.
La finalidad que se persigue con la formulación y estimación de estos diferentes modelos es
conseguir el más adecuado (dependiendo de la forma de dependencia de la varianza de su
pasado o de otras variables que en ella puedan influir) para lograr la mayor capacidad
predictiva o la valoración de opciones (el objeto de este trabajo no va a ser realizar
predicciones futuras de la volatilidad, ni valorar opciones).
2. ANÁLISIS DE DATOS.
Un análisis gráfico de la evolución diaria del tipo de euro frente a la libra esterlina (GBP) y
el yen (JPY) a lo largo del periodo considerado indica que estos no son estacionarios, ya
que en los primeros años las variaciones son mucho mayores que al final del periodo, así,
para realizar un análisis de la volatilidad que se ha producido en estas variables se va a
trabajar con la primera diferencia regular del logaritmo neperiano de los tipos de cambio.
2
0.02
1
D L G BP
0.00
1
A CF-D L G BP
0
0
200
400
600
0
800
0
1.0
d lg b p ^2
0.0004
20
40
0
200
400
600
800
0
60
1
A CF-d lg b p ^2
0.5
0.0002
P A CF-D L G BP
20
40
60
40
60
P A CF-d lg b p ^2
0
0
20
40
60
0
20
Gráfico 1: ∆ln GBP y su cuadrado junto con sus respectivas funciones de
autocorrelación simple y parcial
0.050
1
1
DLJPY
PACF-DLJPY
ACF-DLJPY
0.025
0
0
0.000
-0.025
0
200
400
600
800
0
1
dljpy^2
0.0015
10
0.0010
20
30
0
1
ACF-dljpy^2
0
10
20
30
PACF-dljpy^2
0
0.0005
0
200
400
600
800
0
10
20
30
0
10
20
30
Gráfico 2: ∆ln JPY y su cuadrado junto con sus respectivas funciones de autocorrelación
simple y parcial
En los gráficos 1 y 2, donde respectivamente está representada la primera diferencia del
logaritmo del tipo de cambio de la libra esterlina y el yen, así como sus funciones de
autocorrelación simple (acf) y parcial (pacf), se puede apreciar que:
3
1. Se producen clustering o concentración de volatilidades, es decir, en ciertos
momentos del tiempo se producen altas dispersiones y en otros la dispersión es
menor.
2. No existe autocorrelación entre las observaciones del ruido en los diferentes
desfases del tiempo, por lo tanto no se puede establecer ninguna relación lineal
entre εt y εt-i (ya que todos los valores de sus funciones de autocorrelación
simple y parcial no son estadísticamente significativos). Esto no implica que
sean independientes, ya que puede existir dependencia exponencial, cuadrática o
de cualquier otro tipo.
3. Si nos fijamos en las funciones de autocorrelación simple y parcial de sus
cuadrados, si que existen valores significativos, lo que implica una dependencia
en la varianza.
3.
ESTIMACIÓN
DE
AUTORREGRESIVA
MODELOS
DE
HETEROCEDASTICIDAD
Dado el comportamiento de las funciones de autocorrelación simple y parcial de los
cuadrados de los tipos de cambio vamos a proponer para ambos tipos de cambios cruzados
un modelo GARCH(1,1)2 de la forma:
∆lny t = µ + ε t
ε t = σta t
a t → i.i.d(0,1)
σ 2t = α 0 + α1ε 2t −1 + β1σ 2t −1
donde α >0 y α1 , β1 ≥0
Los resultados de la estimación (utilizando máxima verosimilitud con el PcGive) para la el
yen (JPY) son los siguientes:
Modelling DLJPY by restricted GARCH(1,1) The estimation sample is: 2 to 808
Coefficient
Constant
X
0.000292548
alpha_0
H
3.27352e-07
alpha_1
H
0.0394229
beta_1
H
0.954075
log-likelihood 2830.78979
mean(h_t)
6.03305e-05
no. of observations
807
AIC
-7.00567482
mean(DLJPY) 0.000260455
alpha(1)+beta(1) 0.993497
Std.Error
robust-SE
0.0002341
0.0002345
2.218e-07
2.865e-007
0.01112
0.01539
0.01249
0.01609
HMSE
3.25658
var(h_t)
1.11209e-09
no. of parameters
4
t-value
1.25
1.14
2.56
59.3
var(DLJPY) 6.08983e-05
alpha_i+beta_i>=0, alpha(1)+beta(1)<1
4
t-prob
0.212
0.254
0.011
0.000
0.050
DLJPY
5.0
Fitted
0.025
2.5
0.000
0.0
-0.025
-2.5
0
150
300
450
600
750
0
Con dSD
0.0125
r:DLJ PY (s caled )
150
Density
300
r:DLJPY
0.4
450
600
750
N(s =0.997)
0.0100
0.2
0.0075
0.0050
0
1
150
300
A CF-r:DLJPY
450
600
750
-4
1
PA CF-r:DLJPY
0
-2
0
2
4
ACF -r^2DLJPY
0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
En esta estimación del modelo GARCH(1,1), se puede apreciar que excepto la constante
los parámetros son significativos, lo que implica que la variación de los tipos de cambio
está influenciada por el comportamiento de la volatilidad en el período anterior y de
además, se ha recogido con esta estimación de forma adecuada la dependencia de los
cuadrados en las funciones de autocorrelación simple y parcial, (ya que todos los valores
están prácticamente en torno a cero), lo que implica que los clustering de la volatilidad ya
no están tan acentuados como anteriormente. Si nos fijamos en el histograma de frecuencia
se aprecia que la distribución es asimétrica, para estimar esta asimetría al final del trabajo
se va utilizar un modelo AGARCH(1,1).
Para comprobar si la tasa de variación del tipo de cambio cruzado depende o no de la
varianza heterocedástica (σ2t), es necesario incluirla en la ecuación de la media como
variable explicativa y comprobar si su parámetro es estadísticamente significativo o no.
Estos modelos se conocen como GARCH en media o GARCH-M3 y la ecuación que se
necesita estimar es:
∆lny t = µ + δ σ t2 + ε t
ε t = σta t
a t → i.i.d(0,1)
σ 2t = α 0 + α1ε 2t −1 + β1σ 2t −1
donde α >0 y α1 , β1 ≥0
5
Si se estima el modelo GARCH-M (1,1) para el tipo de cambio de la libra esterlina, los
resultados obtenidos son:
Modelling DLGBP by restricted GARCH-M(1,1) The estimation sample is: 3 to 822
Constant
alpha_0
alpha_1
beta_1
h_t
Coefficient
Std.Error
robust-SE
t-value
X 0.000160158 0.0005213 0.0007248
0.221
H 2.29385e-07
2.267e-07 3.925e-07
0.584
H
0.0341740
0.01577
0.02903
1.18
H
0.957451
0.02175
0.04159
23.0
X
0.0268784
19.34
27.30 0.000984
log-likelihood 3135.56811
mean(h_t)
2.98225e-05
no. of observations
820
AIC
-7.63553199
mean(DLGBP)
0.000154527
alpha(1)+beta(1) 0.991625
t-prob
0.825
0.559
0.239
0.000
0.999
HMSE
2.6734
var(h_t)
1.49827e-10
no. of parameters
5
var(DLGBP)
3.02569e-05
alpha_i+beta_i>=0, alpha(1)+beta(1)<1
Estos resultados nos indican que la varianza (con parámetro estimado positivo e igual a
0,0268784) no es estadísticamente significativa (el estadístico t es igual a 0.000984) y por
lo tanto en media, la tasa de variación del tipo de cambio cruzado no está influenciada por
la volatilidad.
Una de las variantes del modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva más
utilizada en los mercados financieros, para garantizar que la volatilidad es siempre positiva
y así, no plantear ninguna restricción sobre el signo de los parámetros, es el modelo general
expresado en forma logarítmica. Estos modelos se conocen como GARCH exponencial o
EGARCH4. En este modelo la varianza condicional es una función asimétrica de las
perturbaciones retardadas (εt-i) para permitir captar cual es el efecto que las malas o buenas
noticias tienen en la volatilidad (“efecto leverage”).
El modelo que vamos a estimar para el tipo de cambio cruzado de la libra esterlina es un
EGARCH(1,1), donde la expresión para el logaritmo de la varianza condicional es:
∆lny t = µ + ε
ε t = σta t
t
a t → i.i.d N(0,1)
 ε 2t −1
 ε 2t −1 
 + β ln σ 2
ln σ = α 0 + α1 θ
− E
t −1
 σ t −1  1
 σ t −1



Los resultados obtenidos son:
2
t
Modelling DLGBP by EGARCH(1,1)
The estimation sample is: 3 to 822
6
Coefficient Std.Error
X 0.0001261
0.00018
H -0.0748645 0.08022
H -0.0080029 0.01863
H 0.0660413 0.03060
H
0.992836 0.007688
Constant
alpha_0
eps[-1]
|eps[-1]|
beta_1
log-likelihood
3135.47039
mean(h_t)
2.96858e-05
no. of observations
820
AIC
-7.63529364
mean(DLGBP)
0.000154527
robust-SE
0.00020
0.1293
0.02611
0.05339
0.01241
t-value
0.615
-0.579
-0.306
1.24
80.0
t-prob
0.539
0.563
0.759
0.216
0.000
HMSE
2.69319
var(h_t)
1.39178e-10
no. of parameters
5
var(DLGBP)
3.02569e-05
En este caso, el parámetro que mide el “efecto laverage” no es significativo (t-Student es
igual a –0.306) sin embargo, como era de esperar, es negativo, ya que así el impacto que
generarían las malas noticias sobre la volatilidad es mayor que el que generarían las buenas
noticias.
En el gráfico 3, se puede apreciar que los valores estimados de los cuadrados de la
variación del tipo de cambio de la función de autocorrelación simple y parcial no son
estadísticamente significativos, lo que implica que a través del modelo estimado se ha
conseguido captar la inercia de la volatilidad.
0.02
DLGB P
5.0
F itted
r:DLGB P (scaled)
2.5
0.00
0.0
-2.5
150
0.008
300
450
600
750
150
Density
C ondS D
r:DLGB P
0.4
0.006
300
450
600
750
N(s= 1.01)
0.2
0.004
150
1
300
AC F -r:DLGB P
450
600
750
-4
1
P AC F -r:DLGB P
0
-2
0
2
4
AC F -r^2DLGB P
0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
Gráfico 3: Resultados de la estimación de un modelo EGARCH(1,1) para el tipo de cambio cruzado
de la libra esterlina.
7
Para estimar la asimetría que se produce en la volatilidad (ya que ésta se ve afectada de
diferente forma por las variaciones positivas y negativas) se ha propuesto un modelo
AGARCH5(1,1) cuya expresión es la siguiente:
∆lny t = µ + ε t
ε t = σta t
a t → i.i.d(0,1)
σ 2t = α 0 + α1ε 2t −1 + γ ε 2t −1d t −1 + β1σ 2t −1
1 si ε t < 0
donde : d t −1 = 
0 resto de los casos
α >0 y α1 , β1 ≥0
La variable dt es una variable ficticia a través de la cual se trata de captar este
comportamiento asimétrico en las innovaciones positivas y negativas.
Los resultados de la estimación de este modelo para el tipo de cambio cruzado del yen son
los siguientes:
Modelling DLJPY by restricted AGARCH(1,1)
Coefficient
Constant
X 0.000422829
alpha_0
H
9.67975e-17
alpha_1
H
0.0296237
beta_1
H
0.967778
asymmetry H -0.00182009
The estimation sample is: 2 to 837
Std.Error
0.000227
robust-SE
0.000228
0.009660
0.009526
0.000838
0.01552
0.01519
0.001029
t-value
1.85
t-prob
0.064
1.91
63.7
-1.77
0.057
0.000
0.077
log-likelihood 2947.60461
HMSE
3.293
mean(h_t)
5.85817e-05
var(h_t)
1.0519e-09
no. of observations
836
no. of parameters
5
AIC.T
-5885.20922
AIC
-7.03972395
mean(DLJPY)
0.000282
var(DLJPY)
5.93343e-05
alpha(1)+beta(1) 0.997402 alpha_i+beta_i>=0, alpha(1)+beta(1)<1
Según los valores estimados, se comprueba que la distribución es asimétrica ya que el valor
estimado del parámetro se puede considerar significativo. Además, por ser negativo indica
que es asimétrica hacia la izquierda.
8
4. CONCLUSIONES
Dependiendo del comportamiento de la volatilidad a lo largo del tiempo es necesario
plantear el modelo que mejor lo estime y recoja la mayor información posible para que las
predicciones sean lo más adecuadas posible.
Para saber cual es el comportamiento futuro de la volatilidad, los datos más recientes
pueden aportar más información que los datos contenidos en series históricas largas.
Los modelos de valoración conjunta que tienen en cuenta simultáneamente diferentes
elementos tales como la asimetría, clustering, etc, son los más utilizados ya que reflejan
mejor la situación del mercado (se buscan modelos que reúnan todas las características del
mercado, por esta razón a lo largo del tiempo la familia de modelos ARCH y GARCH ha
sido muy prolifera, en el intento de obtener las mejores predicciones de la volatilidad
futura). Hay muchos modelos de este tipo, pero aquí solo se han estimado una mínima parte
de ellos que tratan de recoger la evolución de los tipos de cambio cruzados de la forma más
fiable posible.
5. BIBLIOGRAFÍA
Andersen, T.G, et al. (2001) The Distribution of Realized exchange Rate Volatility, Journal
of the American Statistical Association, 96, pp 42-55.
Bollerslev, T (1986). Generalised autoregresive conditional heteroscedasticiy. Jorunal of
Econometrics 51, pp 307-327.
Engle, R.F (1982). Autorregressive conditional heteroscedasticity, with estimates of the
varinance of United Kingdom inflation. Econometrica 50, pp 987-1007.
http://www.5dias.com/mercados/divisas/historico.html?select=EUR
Ruiz, E. (1993). Modelos para series temporales heterocedásticas. Cuadernos Económicos
ICE, 56, pp73-108
1
Los modelos ARCH fueron la primera aproximación que se hizo a la varianza condicional y fueron
propuestos por Engle en 1982.
2
GARCH: Modelo de heterocedasticidad autorregresiva condicionada generalizado propuesto por Bollerslev
en 1986, como generalización de los modelos ARCH propuestos por Engle, permiten depender la varianza de
la series de un término constante (α0) del rendimiento al cuadrado de la serie en el periodo anterior (ε2t-1) y de
la varianza de la serie en el periodo anterior (h2t-1).
3
Los modelos GARCH-M fueron propuestos por Bollerslev en 1986.
4
Los modelos EGARCH fueron propuestos por Nelson en 1991 para solventar algunos de los inconvenientes
que se derivan de la estimación de modelos GARCH. Entre estos inconvenientes se puede citar: no siempre es
9
fácil conseguir la restricciones de no negatividad de los parámetros; no permiten estimar de forma adecuada el
efecto apalancamiento financiero que se produce en la realidad; la suma de los parámetros es un valor
próximo a uno, lo que da lugar a los modelos GARCH integrados (IGARCH) que tienen una raíz unitaria en
la varianza, lo que implica que no son estacionarios y por lo tanto no tienen una varianza marginal definida.
5
Los modelos AGARCH fueron propuestos por Zkion (1990) y Glosten(1993) con el fin de captar como en el
mercado los movimientos a la baja son más volátiles que los movimientos al alza.
10