Guía 6 - Universidad de Chile

Mecánica II
G ONZALO G UT ÍERREZ
F RANCISCA G UZM ÁN
G IANINA M ENESES
Universidad de Chile, Facultad de Ciencias,
Departamento de Fı́sica, Santiago, Chile
Guı́a 6: Ondas y Sonido
Martes 6 de Noviembre 2007
Tarea: Cap. 14 Apuntes, Prob. 4, 7, 17. Entregar Ma. 13 (!) Nov.
1. Al mover un bote en un lago tranquilo se producen en éste ondas superficiales. El bote
efectúa 12 oscilaciones en 20 segundos y cada oscilación produce cresta. Para que una cresta
llegue a la orilla situada a 12 [m] del bote se necesitarán 6 [s].
a) Calcule la longitud de onda de las ondas superficiales.
b) Escriba la expresión para las ondas superficiales.
R: a) 3.33 [m] ; b) ξ = ξ0 sin(2π(0,3x − 0,6t))
2. La ecuación de una cierta onda es ξ = 10 sin(2π(2x − 100t)), donde x está en metros y t en
segundos. Halle:
a) La amplitud.
b) La longitud de onda.
c) La frecuencia.
d) La velocidad de propagación de la onda.
R:a) 10 [m]; b) 0.5[1/m] ; c) ν=100[1/s]; d) 50 [m/s].
3. Un resorte cuya longitud normal es de 1 [m] y cuya masa es de 0.2 [kg] es estirado 0.04 [m]
por una fuerza de 10 [N]. Calcule la velocidad de propagación de las ondas longitudianles a
lo largo del resorte.
R: 35.1 [m/s].
4. Determine cuál de las siguientes expresiones describen ondas viajeras:
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a) ψ(x, t) = e−(a
x2 +b2 t2 +abxt)
b) ψ(x, t) = A sin(ax2 − bt2 )
2
c) ψ(x, t) = A sin 2π( xa + bt )
d) ψ(x, t) = Acos2 2π(t − x)
5. Se observan dos puntos en una cuerda cuando una onda móvil pasa por ella. Los puntos
estan en x1 = 0 y x2 = 1 m. Los movimientos transversales de los dos puntos resultaron ser
del modo siguiente:
y1 = 0, 2 sin(3πt)
y2 = 0, 2 sin(3πt + π8 )
a) ¿Cual es la frecuencia de la onda (en hertz) ?
b) ¿Cual es la longitud de onda ?
c) ¿Con qué velocidad se mueve la onda ?
d) ¿En que dirección se mueve la onda ?
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6. Una onda de sonido pasa a través de un gas de densidad ρ0 y presión p0 . El desplazamiento
de las moleculas está descrito por la ecuación : ζ(x, t) = A cos(ωt − kx).
a) Encuentre la ecuación para la presión en el gas como función de x y t.
b) Encuentre la energı́a cinética del movimiento dado para onda de sonido en un volumen
V, de area A en el plano y, z y longitud λ a lo largo del eje x.
7. Un instrumento músical rudimentario es construido con un hilo de masa despreciable y
longitud `, sometido a una tensión T y con ambos extremos fijos. A éste se le amarra una
masa M a una distanciá x a alguno de sus extremos. La masa es desplazada del equilibrio
una distanciá A con A << x, A << L − x, y luego es soltada dejando que oscile.
a) Encuentre la frecuenciá del sonido
b) Escriba la ecuación para el desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio
como función del tiempo.
c) Variando x, ¿cual es el mı́nimo y el máximo valor que puede adoptar la frecuencia?.
Desprecie los efectos de la gravedad.
8.
a) Demuestre que si se tiene una función ψ(x, t) = f (x ± vt) se cumple que:
∂ψ(x, t)
∂ψ(x, t)
= ±v
∂t
∂x
gr
b) Considere un pulso que viaja en una cuerda de densidad lineal µ = 3 cm
, hacia la derecha con velocidad v = 5 cm
s . Un segundo pulso viaja hacia la izquierda con velocidad
−v y tiene una forma tal que al superponerse al primero da como resultante una amplitud nula en la cuerda en la zona de superposición. Calcule la velocidad que posee cada
segmento de la cuerda en ese instante (amplitud nula a lo largo de toda la cuerda)
c) Calcule la energı́a total instantánea en la zona de superposición de los pulsos con amplitud resultante nula.
9. Dos péndulos acoplados. Considere dos péndulos a y b, de longitud de `, cuyas masas son
Ma y Mb . Los péndulos están acoplados por un resorte de constante K, como la pregunta de
la prueba pasada.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento (para pequeñas oscilaciones).
b) Resuelva las ecuaciones usando modos normales.
c) Encuentre una superposición de los dos modos que corresponda a las condiciones iniciales (t = 0), en el que ambos péndulos tienen velocidad nula, pero la amplitud del
péndulo a es A y la del b es cero.
d) Sea Ea la energı́a del péndulo a en t = 0. Encuentre una expresión para Ea (t) y para Eb (t). Suponga acoplamiento débil. Se transfiere completamente la enerı́a desde el
péndulo a al b durante una pulsación ?. Compare con el caso en que ambos péndulos
tiene igual masa. i.e Ma = Mb .
10. El sonido más débil que se puede percibir tiene una amplitud de presión de 2 × 10−5 [N/m2 ]
y el más fuerte sin que cause dolor tiene una amplitud de presión de 28 [N/m2 ] aproximadamente. En cada caso determine:
a) La intensidad del sonido en [W/m2 ] y en [db].
b) La amplitud de las oscilaciones, si la frecuencia es de 500 [Hz]. Suponga que la densidad
del aire es de 1.29 [kg/m3 ] y la velocidad del sonido es 345 [m/s].
R: En el más bajo: a) 4,49 × 10−3 [W/m2 ], -3.45 [db] ; b) 1,43 × 10−11 [m]. En el más alto a)
0,881 [W/m2 ], 119 [db]; b) 2,01 × 10−5 [m].
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11. El tono de un silbato de una locomotora es de 500 [Hz]. Determine la frecuencia del sonido
escuchado por una persona que se encuentra en la estación, si el tren se desplaza con una
velocidad de 72 [Km/h].
a) Hacia la estación.
b) Alejandose de ella. Suponga que la velocidad del sonido es de 340 [m/s].
R: a) 531.2 [Hz]; b) 472.2 [Hz].
12. Una cuerda de masa total m y longitud L se suspende verticalmente. Demuestre
p que un pulso de onda transversal recorrerá la longitud de la cuerda en un tiempo t = 2 L/g. Indicación: Encuentre una expresión para la velocidad de onda en cualquier punto x, considerando
la tensión como resultado del peso del segmento debajo de ese punto.
13. Anote una expresión que describa la variación de presión como una función de la posición y
el tiempo para una onda sonora senoidal en el aire si λ = 0,10 [m] y 4Pmax = 0,20 [Pa].
14. Se detona una carga explosiva a una altura de varios kilómetros en la atmósfera. A una
distancia de 400[m] de la explosión la presión acústica alcanza un máximo de 10 [Pa]. Si se
supone que la atmósfera es homogénea sobre la distancia considerada, ¿ Cuál será el nivel
sonoro (db) a 4 [Km] de la explosión?. (Las ondas sonoras en el aire se absorben a una tasa
de aproximadamente 7 [db/Km].)
R: 65.6 [db].
15. Dos fuentes tienen niveles sonoros de 75 [db] y 80 [db]. Si suenan simultáneamente .
a) ¿ Cuál es el nivel sonoro combinado?.
b) ¿Cuál es su intensidad combinada en [W/m2 ]?.
R: a) 81.2 [db] ;b) 1.32×10−4 [W/m2 ].
16. Un diapasón que vibra a 512 [Hz] cae desde el reposo y se acelera a 9.8 [m/s2 ]. ¿A qué distancia abajo del punto donde se suelta el diapasón llegan ondas de 485 [Hz] de frecuencia al
punto de partida? Considere la velocidad del sonido como 340 [m/s].
R: 19.3 [m].
17. Un meteorito del tamaño de un camión entra a la atmósfera de la tierra a una velocidad de
20 [Km/s] y no disminuye mucho su velocidad antes de entrar al océano.
a) ¿Cuál es el ángulo de Mach de la onda de choque desde el meteorito en la atmosfera?
utilize 331[m/s] como la velocidad del sonido.
b) Suponiendo que el meteorito supera el impacto con la superficie del océano ¿Cuál es el
ángulo de Mach inicial de la onda de choque que el meteorito produce en el agua?. ( la
velocidad del sonido en el mar es 1533 [m/s]).
R: a)0,948o ; b) 4,40o .
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