Diseño de Cuadrados Latinos Objetivo: Ensayar k tratamientos, agrupando las unidades experimentales según dos criterios diferentes (dos tipos de Bloques) para minimizar los errores aleatorios debido a la variabilidad de las unidades experimentales, utilizando un número pequeño de ensayos. Ejemplo: Se quieren ensayar cuatro niveles de un fertilizante (factor), en cuatro variedades distintas de trigo durante cuatro años. Bloque II Bloque I (Variedad) (Año) 1 2 3 4 1 A B D C 2 D C A B 3 B D C A 4 C A B D Condiciones: número de Bloques I = número de Bloques II = número de tratamientos cada tratamiento aparece una vez en cada fila y en cada renglón. el número de repeticiones de cada tratamiento es igual al número de tratamientos. Bloque Fila 1 ... ... i ... ... k Bloque Columna ... ... j ... ... 1 k yijt Tratamientos: A,B,C,D.... t = 1,...,k k y i .. = Ti .. k ∑ y i , j ,t = j =1 media de las observaciones en la i-ésima fila k k y.j. = T. j . k = ∑ y i , j ,t i =1 media de las observaciones en la j-ésima k columna k y ..t = T..t k = ∑ y i , j ,t i =1 k y = y ... = T... N media de las observaciones para el k tratamiento t k ∑ ∑ y i , j ,t = i =1 j =1 N media general; N = k2 Modelo aditivo: y ij = µ + β i + γ j + τ t + ε ijt µ = media verdadera de todas las medias βi= efecto verdadero del bloque i de filas γj= efecto verdadero del bloque j de columnas τt = efecto verdadero del tratamiento t β i = µ i .. − µ γ j = µ.j. − µ ; k ∑ βi También se cumple que: τ t = µ ..t − µ ; =0 ; i =1 k ∑γ j = 0 ; j =1 k ∑ τt =0 t =1 y ij = y + ( y i .. − y ) + ( y . j . − y ) + ( y ..t − y ) + ε ijt µ βi τt γj ⇒ ε ijt = ( y ijt − y i .. − y . j . − y ..t + 2 y ) k k ∑ ∑ ( yijt − y ) j =1 i =1 ST + k k 2 k k k = k ∑ ( y i .. − y ) + k ∑ ( y . j . − y ) + k ∑ ( y .t . − y )2 + i =1 SB. Fila k 2 j =1 SB. columna ∑ ∑ ∑ ( yijt − y i .. − y . j . − y ..t + 2 y )2 = i = 1 j = 1t = 1 SError 2 t =1 STrat Suma de Cuadrados: ST = SB + STrat + Se Grados de libertad: φT = φB Fila+ φB Columna + φTrat + φe N –1 = k2 – 1= (k – 1) + (k – 1 ) + (k – 1)+(k – 1).(k – 2) Hipótesis: Ho´: τ1 = .....= τt = ....= τk = 0 H1´: Existe al menos un τt ≠ 0 Ho´´: β1 = .....= βi = ....= βk = 0 H1´´: Existe al menos un βi ≠ 0 Ho´´´: γ1 = .....= γj = ....= γk = 0 H1´´´: Existe al menos un γj ≠ 0 Tabla de Análisis de Varianza Fuente de Variación Suma de cuadrados Tratamientos STrat Bloques Filas Bloques Columnas Error Total S Bfila Cuadrados Medios F φTrat = k - 1 sTrat2 = STrat/φTrat 2 sTrat Ti2.. =∑ − CT φB fila = k - 1 k i =1 sBfil2 = SBfil/φBfil T..2t =∑ − CT k t =1 k k S Bcol = k ∑ T.2j . j =1 k − CT Se = ST – SB fila – SBcol – STrat ST = φ k φB col = k - 1 φe = (k-1). (k-2) sB col2 = SB col/φB col 2 serror s B2 fil 2 serror s B2 col 2 serror serror2=Se/φe k ∑ ∑ yijt2 − CT j =1 i =1 N-1 k nj ∑ ∑ yij j =1 i =1 2 CT = N . y = N 2 Si F calculado > Fcrítico rechazo la hipótesis nula, el factor estudiado influye significativamente. Ventajas: Reduce el error aleatorio agregando otro criterio para agrupar las unidades experimentales. Desventajas: Muy pocos grados de libertad para el error. No se puede perder ninguna observación. 3x3 A B C B C A C A B 4X4 A B B A C D D C C D A B B C A C A B A B C D C B A 5X5 A B C D E B C D E A C D E A B D E A B C E A B C D D C B A C B A D B A D C C A B A B C B C A A D C B