4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente Unidad 4 Teoremas Integrales Rotacional, Divergencia, Gradiente Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional Dado un campo vectroial F = P î + Qĵ + Rk̂ ¾hay un campo G = Lî + M ĵ + N k̂ tal que rot G=F? Si F es un csampo vectorial de clase c1 denido en R3 tal que div F = 0 entonces existe un campo vectorial G de clase c1 de modo que Teorema 1. rot G = F Demostración. Si F = P î + Qĵ + Rk̂ y G = Lî + M ĵ + N k̂ se tiene entonces î ∂ rot G = ∇ × G = ∂x L ĵ ∂ ∂y M se debe cumplir k̂ ∂N ∂M ∂L ∂N ∂M ∂L ∂ = − , − , − ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y N ∂N ∂M − =P ∂y ∂z ∂L ∂N − =Q ∂z ∂x ∂M ∂L − =R ∂x ∂y tomando L = 0 se llega a ∂N ∂M − =P ∂y ∂z ∂N − =Q ∂x ∂M =R ∂x Integrando la segunda expresión se tiene x Z N (x, y, z) = − Q(t, y, z) dt + f (y, z) x0 tomamos f (y, z) = 0 Z x N (x, y, z) = − Q(t, y, z) dt x0 Integrando la tercera expresión se tiene Z x M (x, y, z) = − R(t, y, z) dt + g(y, z) x0 Sustituimos ambas expresiones en la ecuación ∂N ∂M − =P ∂y ∂z Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente Unidad 4 Teoremas Integrales y obtenemos R x ∂ − x0 Q(t, y, z) dt ∂y − R x ∂ − x0 Q(t, y, z) dt ∂y Z x x0 como div F = 0 entonces R x ∂ − x0 R(t, y, z) dt + g(y, z) − ∂z R x ∂ − x0 R(t, y, z) dt ∂z − =P ∂g =P ∂z Z x ∂ (−R(t, y, z) dt) ∂g ∂ (−Q(t, y, z) dt) − − =P ∂y ∂z ∂z x0 Z x ∂Q ∂R ∂g − (t, y, z) − (t, y, z) dt − =P ∂y ∂y ∂z x0 ∂P ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂R + + =0 ⇒ =− − ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z por lo tanto Z x x0 Z x ∂R ∂g ∂g ∂P ∂Q (t, y, z) − (t, y, z) dt − =P ⇒ (t, y, z) dt − =P − ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z x0 ⇒ P (x, y, z) − P (x0 , y, z) − ∂g =P ∂z esto quiere decir ∂g ∂g =0 ⇒ = −P (x0 , y, z) ⇒ g(y, z) = − −P (x0 , y, z) − ∂z ∂z Z z P (x0 , y, u) du z0 y asi tenemos el campo G = Lî + M ĵ + N k̂ dado por L(x, y, z) = 0 Z x Z z R(t, y, z) dt − M (x, y, z) = x0 P (x0 , y, u) du z0 Z x N (x, y, z) = − Q(x0 , y, u) du x0 Ejemplo Sea F (x, y, z) = −z î + xy k̂. Hallar G tal que rot F=G Solución En este caso se tiene F (x, y, z) = (−z, 0, xy) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ P (x, y, z) = −z F (x, y, z) = (−z, 0, xy) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ Q(x, y, z) = 0 F (x, y, z) = (−z, 0, xy) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ R(x, y, z) = xy Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 2 4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente Unidad 4 Teoremas Integrales de esta manera P (x, y, z) = −z ⇒ P (0, y, u) = −u Q(x, y, z) = 0 ⇒ Q(t, y, z) = 0 R(x, y, z) = xy ⇒ R(t, y, z) = ty por lo tanto si x0 = z0 = 0 Z x M (x, y, z) = 0 L(x, y, z) = 0 Z z yt2 x u2 z yx2 z2 ty dt − −u du = |0 + |0 = + 2 2 2 2 0 Z x N (x, y, z) = − 0 du = 0 0 de esta manera G(x, y, z) = z2 yx2 + ,0 0, 2 2 Ejemplo Sea F (x, y, z) = 2î + ĵ + 3k̂. Hallar G tal que rot F=G Solución En este caso se tiene F (x, y, z) = (2, 1, 3) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ P (x, y, z) = 2 F (x, y, z) = (2, 1, 3) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ Q(x, y, z) = 1 F (x, y, z) = (2, 1, 3) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ R(x, y, z) = 3 de esta manera P (x, y, z) = 2 ⇒ P (0, y, u) = 2 Q(x, y, z) = 1 ⇒ Q(t, y, z) = 1 R(x, y, z) = 3 ⇒ R(t, y, z) = 3 por lo tanto si x0 = z0 = 0 x Z M (x, y, z) = 0 L(x, y, z) = 0 Z z 3 dt − 2 du = 3t |x0 − 2t |z0 = 3x − 2z 0 Z N (x, y, z) = − x du = −x 0 de esta manera G(x, y, z) = (0, 3x − 2z, −x) Supongamos todos los campos vectoriales que se consideran derivables con continuidad. Sea H = F + G, donde F es solenoidal (div F = 0) y G es irrotacional. Existe entonces un campo vectroial u tal que F = rot u y un campo escalar ϕ tal que G = ∇ϕ en S. Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 3 4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente Unidad 4 Teoremas Integrales Demostrar que u y ϕ satisfacen en S la siguiente ecuación diferencial en derivadas par- Ejercicio ciales a) ∇2 ϕ = div H b) grad (div u) − ∇2 u = rot F Demostración. tenemos que div H = div F + G = div F + div G = div G = div (∇ϕ) = ∇2 ϕ por otro lado rot H = rot F + rot G = rot F = rot (rot u) = grad (div u) − ∇2 u Hallar los campos F y G donde F es solenoidal (div F=0) y G es un campo gradiente de modo que se verique Ejercicio H =F +G para Solución a) H(x, y, z) = (x2 y, y 2 z, z 2 x) para el inciso a) como div H = div F + G = div F + div G = div G entonces H = ∇ϕ por lo tanto ∂ϕ = x2 y, ∂x ∂ϕ = y 2 z, ∂y ∂ϕ = z2x ∂z integrando Z ϕ(x, y, z) = ϕ(x, y, z) = donde Z x2 y + A(y, z), ϕ(x, y, z) = x3 y + A(y, z), 3 A(y, z) = de esta manera ϕ(x, y, z) = y3 z z3x + , 3 3 por lo tanto G = ∇ϕ = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , ∂x ∂y ∂z ϕ(x, y, z) = y3 z + B(x, z), 3 B(x, z) = ϕ(x, y, z) = Z y 2 z + B(x, z), x3 y z 3 x + , 3 3 ϕ(x, y, z) = C(x, y) = z 2 x + C(x, y) z3x + C(x, y) 3 x3 y y 3 z + 3 3 z3x x3 y y 3 z + + 3 3 3 z3 2 x3 2 y3 2 = x y + ,y z + ,z x + 3 3 3 de la ecuación H = F + G se tiene F (x, y, z) = Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV 3 z x3 y3 − ,− ,− 3 3 3 Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 4