universidad tecnica de ambato

UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CONTABILIDAD Y
AUDITORIA
CARRERA:
CONTABILIDAD Y AUDITORIA
MODALIDAD:
SEMIPRESENCIAL
SEMESTE:
CUARTO
MODULO:
APLICACIÓN DE PROGRAMACION LINEAL
TUTOR:
Dra. MARGOTH BONILLA
AMBATO ECUADOR
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
1
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
PRESENTACIÒN
Este módulo va dirigido a todos los estudiantes, dada la gran importancia que tiene la
matemática y sus ramificaciones, es por eso que el análisis numérico ha generado
nuevas áreas de investigación matemática teniendo como antecedente el estudio de los
algoritmos y la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido
resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a
mediados del siglo XIX.
Es por eso que se ha convertido en una gran herramienta en campos tan diversos como
la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. En el mundo
moderno está avanzando más rápido que nunca, dando como resultado que teorías que
eran completamente distintas se han reunido para dar como resultado teorías más
completas y abstractas. A pesar de que la mayor cantidad de problemas importantes
han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo
tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso la
matemática más abstracta esta encontrando aplicación.
Un ejemplo muy reconocido es Newton quien obtuvo en el campo de la matemática sus
mayores logros. Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas
tangentes a curvas y para calcular el área bajo una curva, y descubrió que los dos
procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de
las fluxiones.
Dentro del campo tan amplio de la matemática su estudio de las relaciones entre
cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para
deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas, la utilización de símbolos
para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones,
axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y
teoremas más complejos, esto deja un campo abierto a saber que todo su ámbito de
aplicación se encuentra dentro de todas las carreras o especialidades es por eso que el
énfasis propuesto en su estudio es muy diverso y de una u otra manera siempre se aplica
aunque para comprar un pan.
PROGRAMACION LINEAL
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OBJETIVO GENERAL
General
Conocer e integrar las herramientas que permitan maximizar y minimizar una
función de costo, utilidad, etc.
Lograr una capacidad de inducción, reflexión y deducción de los temas tratados.
CONTENIDO PROGRAMÁTICO
UNIDAD I. SISTEMA
VARIABLES
DE
ECUACIONES
1.1. Métodos de resolución
1.2. Guía de estudio
LINEALES
CON
DOS
5
9
UNIDAD II. DESIGUALDADES LINEALES:
2.1.Reglas
2.2.Ejercicios Resueltos
2.3.Guía de estudio
2.4.Inecuaciones de segundo grado
2.5.Guía de trabajo
11
12
14
16
20
UNIDAD III. ALGEBRA DE MATRICES:
3.1. La Matriz.- definición
3.2. Orden de una matriz
3.3. Notación Abreviada de una Matriz
3.4. Relación de identidad entre matrices
3.5. Clases de Matrices
3.6. Transpuesta de una matriz
3.7. Algebra de matrices
3.8. Menores y cofactores de una matriz
3.9. Matriz adjunta.
3.10. Matriz inversa
3.11. Propiedad fundamental de la matriz inversa.
3.12. Rango de una matriz.
3.13. Transformación elementales
3.15. Matrices equivalentes.
3.16. Matriz escalonada
3.17. Guía de trabajo.
21
23
23
26
26
31
35
50
54
56
59
64
66
69
70
71
UNIDAD IV. PROGRAMACIÓN LINEAL:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Programación lineal: El método grafico
Teorema del punto de esquina
Resolución grafica
Ejercicios propuestos
Método simplex
Forma estándar de maximización
Selección de Pivote
PROGRAMACION LINEAL
72
75
76
78
82
82
85
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4.8. Aplicaciones de la maximización
4.9. El método simplex: dualidad y minimización
4.10. Guía de trabajo
4.11. Índice.
PROGRAMACION LINEAL
91
92
93
94
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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
Los temores inhiben nuestras potencialidades y de esta manera podemos generar
una imagen negativa impidiéndonos avanzar hacia nuestro objetivo, por lo tanto;
deseche esas actitudes.
Si el estudiante no comprende, deberá realizar lecturas reflexivas y pausadas o
conversar con su profesor tutor para determinar el alcance y utilidad de los
diversos temas que presenten dificultad.
Las actividades de Aprendizaje se realizaran en forma individual o grupal y
deberán ser entregadas en la presencial descrita al final de cada unidad teniendo
un puntaje total de seis puntos.
El examen final se realizara en forma individual, este consistirá en un ejercicio
práctico de programación lineal aplicado a la vida cotidiana. El puntaje
designado por este trabajo es de cuatro puntos y deberá ser receptado en el
último encuentro.
BIBLIOGRAFIA
Los libros escogidos para esta asignatura, como fuente bibliográfica, contienen las
definiciones, características, elementos, clasificaciones, ejercicios, alcance e
importancia de las unidades didácticas desarrolladas, utilizando el lenguaje sencillo para
su mejor comprensión.
Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004 Microsoft
Corporation. Reservados todos los derechos.
ESPINOZA, Ramos Eduardo, Matemática Básica. Lima-Perú. 2002
HUNGERFORD-DIAL. Matemática para Administración y Economía. México. 2000.
HAEUSSLER, Paúl. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y
de la Vida. Octava Edición. s/a.
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PRIMERA UNIDAD
Cuando una situación debe describirse matemáticamente, no es raro que surja un
conjunto de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica
establece un plan de producción para dos modelos de un producto nuevo. El modelo A
requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas
del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 335 piezas del
tipo I y 850 piezas del tipo II cada día. ¿Cuántos productos de cada modelo debe
producir cada día, de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean
utilizadas?
Es buena idea construir una tabla que resuma la información importante, la
siguiente tabla muestra el número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para
cada modelo, así como el total disponible.
Modelo
A
Piezas tipo I
Piezas tipo II
Modelo
B
4
9
5
14
total
disponible
335
850
Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modelo A fabricados
cada día, y y igual al número de artículos del modelo B. Entonces éstos requieren de
4x + 5y piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como están disponibles 335 y
850 del tipo I y II, respectivamente, se tiene:
4 x 5 y 335
9 x 14 y 850
A este conjunto de ecuaciones le llamamos sistema de dos ecuaciones lineales
con dos variables. El problema es encontrar valores de x y y para los cuales ambas
ecuaciones sean verdaderas de manera simultanea. Estos valores se llaman soluciones
del sistema.
A continuación recordaremos los diferentes métodos para resolver este tipo de sistemas
OBJETIVO:
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables aplicando
diferentes métodos de resolución.
DESARROLLO DEL CONTENIDO.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Muchas aplicaciones de la matemática requieren encontrar la solución de un
sistema de ecuaciones lineales ( o de primer grado). Esta unidad presenta métodos para
resolver tales sistemas, incluyendo los métodos matriciales.
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ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Dos o más ecuaciones con dos o más variables (incógnitas) son simultáneas
cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Ej. x + y = 5
x–y=1
Son simultaneas porque x = 3, y = 2, satisfacen ambas ecuaciones.
ECUACIONES EQUIVALENTES
Son las que se obtienen a partir de una ecuación dada, multiplicando o
dividiendo.
Ej.
x + y=4
2x + 2y = 8
8x + 8y = 32. Son equivalentes porque dividiendo la tercera para 8 y la segunda
para 2, se obtiene la primera.
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones.
ECUACIONES INDEPENDIENTES
Son las que no se obtienen una de la otra. Cuando, estas ecuaciones tienen un
solo par de valores como solución se llaman también simultaneas. Ej. x + y = 5 y
x – y = 1, son independientes porque no se obtienen una de la otra y simultaneas, porque
el único par de valores que satisfacen a ambas ecuaciones es x = 3 , y = 2
SISTEMA DE ECUACIONES
Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más variables.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
Como se dijo anteriormente, para resolver estos sistemas, tenemos varios
métodos, entre ellos: El de reducción (eliminación), sustitución, igualación, grafico, por
determinantes, escalonado (Gauss – Jordan) y el de la matriz inversa (Sarrus).
METODO DE REDUCCIÓN
1. Se igualan los coeficientes con signos opuestos de la variable que se desea
eliminar. Para hacer más sencilla esta operación, es conveniente encontrar el mcm de
los números que se desea eliminar.
2. Se realizan operaciones con las dos ecuaciones.
3. Se despeja la variable sobrante.
4. El valor de la incógnita encontrado, se remplaza en cualquiera de las
ecuaciones dadas, se realizan operaciones y se despeja el valor de la otra (segunda)
variable.
Ej.
Resolver el sistema:
4 x 5 y 335
9 x 14 y 850
Vamos a eliminar x
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1. Igualamos los coeficientes de x, con signos opuestos, para lo cual, el mcm de
4 y 9, es 36, entonces, para obtener 36x en la primera ecuación nos hace falta
multiplicar por 9 y a la segunda por 4. Para que sean opuestos, a cualquiera de estos
factores, le añadimos el signo negativo.
Multiplicando a la primera por (-9):
-36x - 45y = -3015
36 x + 56y = 3400
2. Realizando operaciones, se tiene:
11y = 385
3. Despejando y
y = 35
4. Remplazando este valor en la ecuación 1, tenemos:
4x + 5(35) = 335
4x + 175 = 335
Realizando todas las operaciones posibles, se obtiene que x = 40
Cada día el administrador debe planear la fabricación de 40 productos del modelo
A y 35 del modelo B.
METODO DE SUSTITUCIÓN
1. Se despeja una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas.
2. Este valor se sustituye en la otra ecuación.
3. Se realizan todas las operaciones posibles hasta encontrar el valor de la variable
no despejada.
4. Este valor encontrado se remplaza en cualquiera de las ecuaciones dadas hasta
encontrar el valor de la otra variable.
Aplicar el procedimiento descrito para resolver el siguiente sistema:
4 x 5 y 335
9 x 14 y 850
METODO DE IGUALACIÓN
1. Despejamos una misma variable de las dos ecuaciones dadas.
2. Igualamos los valores encontrados.
3. Realizamos todas las operaciones posibles hasta encontrar el valor de la
variable sobrante.
4. Para encontrar el valor de la segunda variable aplicamos el procedimiento
anterior.
Aplicar el procedimiento descrito para resolver el siguiente sistema:
4 x 5 y 335
9 x 14 y 850
PROGRAMACION LINEAL
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METODO GRAFICO
1.
2.
3.
4.
Despejamos la variable y de las dos ecuaciones dadas
Construimos una tabla de valores para cada valor de y.
Graficamos los pares obtenidos en el plano cartesiano.
El punto formado por la intersección de las dos rectas es la solución del sistema.
NOTA: Si las dos graficas se sobreponen, se dice que son equivalentes, y si no
existe intersección, se dice que son incompatibles o que no hay solución.
Aplicar el procedimiento descrito para resolver el siguiente sistema:
4 x 5 y 335
9 x 14 y 850
RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES
1. Se escribe una fracción, en la cual; tanto en el numerador como en el
denominador consten los coeficientes de las variables.
2. Si se desea encontrar el valor de x, se remplaza las constantes por los
coeficientes de x.
3. Si se desea encontrar el valor de y, se remplaza las constantes por los
coeficientes de y.
4. Estos reemplazos, se realizan solo en el numerador, por lo tanto los coeficientes
del denominador se mantienen.
5. Se multiplican los coeficientes en forma diagonal, teniendo presente que la
secundaria es negativa, se reduce y se simplifica si es posible.
Aplicar el procedimiento descrito para resolver el siguiente sistema:
4 x 5 y 335
9 x 14 y 850
METODO ESCALONADO (Gauss – Jordan)
1. Escribimos los coeficientes de las variables, a continuación, se anotan las
constantes separadas entre si por una línea vertical.
2. Se dejan los coeficientes en forma escalonada, para lo cual, se van eliminando
los coeficientes sobrantes.
3. Para eliminar los mencionados coeficientes, se trabaja entre filas, ya sea
multiplicando o dividiendo por cualquier cantidad que ayude a eliminar los
mismos.
4. Se despejan las variables de las ecuaciones obtenidas.
Ej.
Aplicando el método escalonado, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
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4 x 5 y 335
9 x 14 y 850
GUIA DE ESTUDIO
El trabajo propuesto, será presentado en hojas a cuadros y las representaciones gráficas
en hojas de papal milimetrado, en la próxima presencial.
Investigue de ser necesario y resuelva aplicando los seis métodos conocidos y en
forma secuencial cada uno de los siguientes sistemas:
x 4y 3
2x y 1
x 2y
7
4 p 12q 6
3x 2 y
5
x 2y
x y z
1
3x y z 1
4x 2 y 2z 0
x 2y 1
y z 3
3x 5 y
5x 9 y
4v 2w 36
8 x 3w
54
9x + 4,1y = 7
2,6x – 3y =18
x 2y 4
2x 3y 2z
4x 7 y 2z
7
7
7
5x 3 y
9
x 2y z 0
2x 4 y 2z 0
x 2y z 0
5x 3 y 2
10 x 6 y 4
x = 2y + 4
2(2y + 4) – 3y + 2z = -2
4(2y + 4) – 7y + 2z = 6
x 2 y 3z
2 x y 3z
2
6
4x – 3y – 2 = 3x – 7y
x + 5y – 2 = y + 4
2 p 6q
3
4x 2 y 9
5 y 4x 5
5x 7 y 4 z 2
3x 2 y 2 z 3
2 x y 3z 4
x + 2y + z = 4
2x + 4y + 2z = 8
4
4
2x + 2y – z = 3
4x + 4y – 2z = 6
x+ y+ z=-1
3x + y + z = 1
4x – 2y + 2z = 0
x – 2y – z = 0
2x – 4y – 2z = 0
-x + 2y + z = 0
TIEMPO APROXIMADO DE ELABORACIÓN
OCHO HORAS
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SEGUNDA UNIDAD
Suponga que un consumidor recibe un ingreso fijo de $ 60 semanales que utiliza
en la compra de los productos A y B. Si x Kilogramos de A cuestan $ 2 por Kilogramo
y Kilogramos de B cuestan $ 3 por Kilogramo, entonces 2x + 3y = 60, donde x, y ≥0
Las soluciones de esta ecuación llamada ecuación de presupuesto, dan las posibles
combinaciones de A y B que pueden comprarse con $ 60.
Por otro lado, supongamos que el consumidor no necesariamente desea gastar
todos los $ 60. En este caso tenemos la siguiente desigualdad.
2 x 3 y 60, dondex, y 0
Una desigualdad con dos variables, por lo general esta representada por una
región en el plano cartesiano.
OBJETIVO:
Representar en forma geométrica la solución de una desigualdad lineal con
dos variables y ampliar esta representación a un sistema de desigualdades
lineales.
DESARROLLO DEL CONTENIDO.
DESIGUALDADES LINEALES
Suponga que a y b son dos puntos sobre la recta de los números reales. Entonces,
a y b coinciden, a se encuentra a la izquierda de b, o a se encuentra a la derecha de b.
B
a
a
b
a
b
a < b; a es menor que b
b > a ; b es mayor que a
b
a
a > b; a es mayor que b
b < a; b es menor que a
Si a y b coinciden entonces a = b. Si a se encuentra a la izquierda de b, decimos
que a es menor que b y escribimos a < b, en donde el símbolo de desigualdad “<” se lee
“es menor que”. Por otra parte, si a se encuentra a la derecha de b, decimos que a es
mayor que b y escribimos a > b. Los enunciados a > b y b < a son equivalentes.
Otro símbolo de desigualdad “ ”, se lee “es menor o igual a” y se define como:
a b si y solo si a < b o a = b. De esta manera semejante, el símbolo “≥” esta definido
como: a ≥ b si y solo si a > b o a = b. En este caso decimos que a es mayor o igual a b.
Usaremos las palabras números reales y puntos de manera indistinta, ya que
existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos que están
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sobre una recta, Así, podemos hablar de los puntos -5,-2.0.7 y 9 escribir 7 < 9, -2 > -5,
7≤7y7≥0
-5
-2
0
7
9
Puntos en la recta numérica
Supongamos que a < b, y x esta entre a y b. Entonces no sólo a < x, sino
también x < b. Indicamos esto escribiendo a < x < b, que puede considerarse como una
desigualdad doble. Por ejemplo 0 < 7 < 9.
Acabamos de definir una desigualdad usando la relación menor (<), pero las
otras: (>, ≤, ≥) también podrían haber sido utilizadas.
Reglas para las desigualdades
1) Si un mismo numero se o resta en ambos lados de una desigualdad, la
desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. Simbólicamente:
a < b, entonces a + c < b + c y a – c < b – c
Por ejemplo: 8 < 10,
8 + 3 < 10 + 3; 11 < 13
2) Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo numero
positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.
Simbólicamente.
a b
a < b y c > 0,
ac < bc y
 <0
c c
3 7

Ejemplo:
3 < 7 y 2 > 0, de modo que 3(2) < 7(2) y
2 2
3) Si ambos miembros de una desigualdad se le MULTIPLICA o DIVIDE por un
mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.
a
b

a< b
y c > 0,
a(-c) > b(-c) y
>0
c
c
3
7

Ejemplo:
3 < 7 y 2 > 0, pero 3(-2) > 7(-2) y
2
2
4) Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse por una expresión
equivalente a ella. En forma simbólica,
Si a < b y a = c, entonces c < b.
Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2
5) Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus
recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con
1 1
sentido contrario a la desigualdad original. Por ejemplo, 2 < 4, pero 
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6) Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevamos cada lado a la
misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo
sentido que la original. Por tanto, si 0 < a < b y n > 0, entonces:
a n  b n ...... y...... n a  n b
en donde suponemos que n es un número entero positivo en la ultima
desigualdad. Por ejemplo, 4  9 de modo que 4² < 9² y 4  9
El resultado de aplicar las reglas 1 a 4 a una desigualdad se conoce como desigualdad
equivalente. Esta es una desigualdad cuya solución es exactamente la misma que la
original. Aplicaremos estas reglas a una desigualdad lineal.
Definición
Una desigualdad lineal en la variable x es aquella que puede escribirse en la
forma ax + b < 0 ; donde a y b son constantes y a 0.
EJEMPLO 1. Resolver la siguiente desigualdad lineal.
2(x – 3) < 4.
Estrategia: remplazaremos la desigualdad dada por desigualdades equivalentes
hasta que la solución sea evidente.
2(x – 3) < 4.
2x - 6 < 4
2x – 6 + 6 < 4 + 6
2x < 10
2 x 10

2
2
x<5
(Regla 4)
(Regla 1)
(Regla 4)
(Regla 2)
Todas las desigualdades son equivalentes. Por tanto, la desigualdad original es
cierta para todos los números reales x tales que x < 5. Por ejemplo, la desigualdad es
1
cierta para x= -10,-0.1, 0,
y 4.9. Podemos escribir nuestra solución simplemente
2
como
x < 5 y representarla de manera geométrica por medio de una semirrecta
gruesa. El paréntesis indica que el 5 o esta incluido en la solución.
x < 5
)
En el ejemplo 1, la solución consistía en un conjunto de números, es decir, todos
los menores que 5. En general, es común utilizar el término intervalo para referirse a
tales conjuntos. En el mencionado ejemplo, el conjunto de todas las x tales que x < 5
puede denotarse por la notación de intervalo (-∞ , 5). El símbolo -∞ no es un numero,
sino solo una convención para indicar que el intervalo se extiende de manera indefinida
hacia la izquierda.
Existen otros tipos de intervalos: Por ejemplo, el conjunto de todos los números
x para los cuales a ≤ x ≤ b se conoce como un intervalo cerrado, que incluye a los
números a y b, los cuales se llaman extremos del intervalo. Este intervalo se denota
mediante [a , b]. Los corchetes indican que a y b están incluidos en el intervalo. Por otra
parte, el conjunto de todas las x para las que a < x < b se llama intervalo abierto y se
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denota mediante (a , b). los extremos no son parte de este conjunto. Para ampliar estos
conceptos, tenemos los siguientes intervalos.
(a , b]
(
]
a<x≤b
[a , b)
[
)
a≤x<b
[a , ∞)
[
x≥a
(a , ∞)
x>a
(-∞ , a]
]
x≤a
(-∞ , a)
)
x<a
(-∞ , ∞)
-∞ < x < ∞
EJEMPLO 2.
Resolver 3 – 2x ≤ 6
- 2x ≤ 3
(Regla 1),
3
x≥(Regla 3).
2
3
3
La solución es x ≥ - , o, utilizando intervalo tenemos, [- , ∞). Geométricamente,
2
2
3
x≥2
[
EJEMPLO 3.
3
s 2 1 2 s 4
2
Aplicando las reglas anteriores, se tiene:
Resolver
2
3
s 2
2
1 2
2s 4
(Regla 2)
3 (s – 2) + 2 > -4 (s – 4)
3s – 4
> -4s + 16
7s > 20
(Regla 1)
20
7
(Regla 2)
s>
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20
,
7
La solución es
s>
20
7
20
7
EJEMPLO 4
a. Resolver: 2(x – 4) – 3 > 2x – 1
2x – 8 – 3 > 2x – 1
-11 > -1. Como no es verdadero que -11 > -1, en tal virtud, no
existe solución o el conjunto solución es
(conjunto vacío)
b. Resolver: 2(x – 4) – 3 < 2x – 1
Aplicando las reglas conocidas, tenemos que: -11 < -1. Esto es verdadero, en
,
consecuencia, el conjunto solución es:
,
GUÌA DE TRABAJO
RESUELVA LAS DESIGUALDADES PROPUESTAS. DE SU RESPUESTA EN
NOTACIÓN DE INTERVALO Y REPRESENTELA EN FORMA
GEOMETRICA SOBRE LA RECTA DE LOS NUMEROS REALES.
1. 3x > 12.
2. 4x < -2.
3. 4x – 13 ≤ 7.
4. 3x ≥ 0.
5. -4x ≥ 2.
6. 2y + 1 > 0.
7. 5 – 7s > 3.
8. 4s – 1 < -5.
9. 3 < 2y + 3.
10. 6 ≤ 5 – 3y.
11. 2x – 3 ≤ 4 + 7x.
12. 3(2 – 3x) > 4(1 – 4x).
13. -3 ≥ 8(2 – x)
14. 8(x + 1) + 1 < 3(2x) + 1.
15. 2(3x – 2) > 3(2x – 1)
16. 3- 2(x – 1) ≤ 2(4 + x).
17. x + 2 < 3 - x
18. 2 x 2  8 3 x .
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5
x  40.
6
2
20.
x6
3
9y 1
21.
2y 1
4
4y 3 1
22.
.
2
3
23. 4x – 1 ≥ 4(x - 2) + 7.
24. 0x ≤ 0
1 t 3t 7
25.
.

2
3
26. Utilidades Cada mes del año pasado una compañía tuvo utilidades mayores que
$ 37,000 pero menores que $ 53,000. Si S representa los ingresos totales del año,
describa S utilizando desigualdades.
27. Utilizando desigualdades, simbolice el enunciado siguiente. El número de horas
de trabajo x para fabricar un producto no es menor que 2½ ni mayor que 4.
28. Geometría. En un triangulo rectángulo, uno de los ángulos agudos x es menor
que 3 veces el otro ángulo agudo mas 10 grados. Resuelva para x.
29. Gasto. Una estudiante tiene $ 360 para gastar en un sistema estereofónico y
algunos discos compactos. Si ella compra un estereofónico que cuesta $ 219 y el
costo de los discos es de $ 18.95 cada uno, determine el mayor número de discos
que ella puede comprar.
5y 1 7 y 1
30.

3
2
19.
EJERCICIOS DE ANALISIS:
APLICACIONES:
UTILIDAD
Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de
mano de obra y material es de $ 21 por calentador. Los costos fijos (costos en que
incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $ 70,000. Si el precio
de venta de un calentador es $ 35, ¿Cuántos debe vender para que la compañía
genere utilidades?
Solución:
Recuerde que
Utilidad = ingreso total – costo total.
Debemos encontrar el ingreso total y después determinar cuando su diferencia es
positiva.
Sea q el número de calentadores que deben venderse. Entonces su costo es 21q. Por
tanto, el costo total para la compañía es 21q + 70,000. El ingreso total de la venta de
q calentadores será 35q. Entonces
Utilidad = ingreso total – costo total, queremos que la utilidad > 0. Se
tiene:
ingreso total – costo total > 0.
35q – (21q + 70,000) > 0.
14q > 70,000.
q > 5000.
PROGRAMACION LINEAL
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16
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Por tanto, deben venderse al menos 5001 calentadores para que la compañía genere
utilidades.
RENTA VERSUS COMPRA
Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una maquina excavadora. Si
fuese a rentar la maquina, el costo de la renta seria de $ 3000 mensuales (sobre la
base de un año) y el costo diario (gas, aceite y operador) seria de $ 180 por cada
día que la maquina se utilice. Si él fuese a comprarla, sus costos fijos anuales
serian de $ 20,000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serian de $
230 por cada día que la maquina se utilizara. ¿Cuántos días al año por lo menos
tendría que utilizar el constructor la maquina para justificar la renta en lugar de la
compra?
Estrategia: vamos a determinar expresiones para el costo anual de la renta y el costo
anual de la compra, así encontraremos cuando el costo de la renta es menor que el
de la compra.
Sea d el número de días de cada año que la maquina será utilizada. Si la maquina se
renta, el costo total anual consiste en los gastos de la renta, que son (12)(3000) y los
costos diarios de 180d. Si la maquina se compra, el costo por año es 20000 + 230d.
y como se quiere que:
costorenta < cos tocompra ,
12(3000) + 180d < 20,000 + 230d
36,000 + 180d < 20,000 + 230d,
16,000 < 50d
320 < d.
Por tanto, el constructor debe utilizar la maquina al menos 321 días para justificar
rentarla
NOTA: De la bibliografía recomendada, resuelva 5 ejemplos de aplicaciones
propuestos
TIEMPO APROXIMADO DE ELABORACIÓN OCHO HORAS
PROGRAMACION LINEAL
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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
Son de la forma:
ax2 + bx + c > 0
a 0
ax2 + bx + c < 0
a 0
METODOS DE SOLUCION
FACTORIZACION
METODO DE COMPLETAR CUADRADOS
METODOS DE LOS PUNTOS CRITICOS O VARIACIÓN DE SIGNOS.
METODO DE FACTORIZACION (ASPA SIMPLE)
a. b > 0 => a > 0
b>0
(1)
a<0
Se aplican las
Siguientes propiedades
b<0
a. b > 0 => a > 0
b>0
(2)
a>0
b>0
Ejemplos:
1. Resolver la inecuación: x2 – 7 x + 12 > 0
Solución:
=>
x2 – 7 x + 12 > 0:
Factorizando
(x–a)(x–3)>0
a
b
(x – 4) > 0 (x – 3) > 0:
(x – 4) < 0 (x – 3) < 0
x>4
x>3
x<4 x<3
graficando
graficando:
3 4
3
4
(4; + 00) (- 00, 3)
Rpta: c.s = ( - 00; 3 )
( 4 ; + 00)
Nota: c.s = Conjunto solución
2. Resolver la inecuación: x2 – 10x + 21 < 0
Solución:
x2 – 10x + 21 < 0
PROGRAMACION LINEAL
Factorizando el polinomio:
(x–3) (x–7)<0
a
b
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x
-3
x
-7
aplicando la propiedad ( 2 ): (x – 3 ) < 0
x<3
(x – 7 ) > 0:
(x – 3 ) > 0
x>7
x>3
x<7
(- 00; 3)
(7, + 00) = 0
Rpta: c.s = (3; 7)
(x – 7 ) < 0
(3; 7)
METODO DE COMPLETAR CUADRADOS
(Cuando no se puede factorizar el polinomio)
Se aplican las siguientes propiedades:
1.
a2 > b.
b>0
a> b
2.
a2 < b.
b> 0
- b <a<
a >-
b
b
Nota: Si
a2 > b.
a2 < b.
b < 0 =>
b < 0 =>
c.s = R
c.s = Ợ
( )
( )
¿ Como aplicar el método de completar cuadrados? Por ejemplo:
1. Resolver: 2 x2 - 3x + 2 < 0
Solución:
1°. El coeficiente de x2 debe ser 1: ( entonces se divide todo entre 2 )
x2 -
3
x +1
2
< 0
2°.El término independiente se pasa al segundo miembro:
3
x2 - x
< -1
2
3°. A ambos miembros de la desigualdad se les suma el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término.
3
3
3
x2 - x + ( - )2 < -1 + ( )2
2
4
4
Trinomio cuadrado
perfecto
(x
3 2
7
) < ( ver nota, parte (
2
16
 c.s = Ợ Rpta:
-
PROGRAMACION LINEAL
):
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2. Resolver: 2x2 +3x + 5<0
Solución:
Aplicando el método de completar cuadrados:
x2 =>
3
5
3
3
5
3
x <=> x2 + x +( )2 < - + ( )2
2
2
2
4
2
4
31
3 2
) <4
16
Una expresión al cuadrado no puede ser menos que un valor negativo, por
consiguiente:
Según: ( ):
NOTA: Si la inecuación propuesta, hubiera sido de la forma: 2x² + 3 x + 5 > 0 se
hubiera obtenido según ( ):
31
3 2
(x) >
c.s = R
4
16
3. Resolver: 3x2 – 2 x – 2 < 0
(x+
Solución:
Aplicando el método de completar cuadrados
x2 -
2
2
x <
3
3
x2 -
2
2
2
2
x < +( ) 2
+( )2
3
6
3
6
1 2
7
) <
) aplicando la propiedad a2 < b, b > 0 , b < a < b , se tiene :
3
9
7
7
7
1 7
1 7
1
1
< x<
=> < x<
=>
< x <
3
3
3
3
3
9
9
(x2- -
7
9
Rpta: c.s = (
1
7 1
,
7
3
3
2
4. Resolver: x + x – 4 > 0
Solución:
Completando cuadrados:
 (x +
)
x2 + x +
1
1
>4+
=>
4
4
1 2 17
) >
aplico propiedad a2 > b, b > 0 a >
2
4
PROGRAMACION LINEAL
x2 + x +
b va<-
1
17
>
4
4
b:
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x+
x>
17
v
4
1
>
2
1
7
4
x=
1
<2
1
17
x <
17
4
4
REPASO:
los signos que se utilizan en una desigualdad son: < y >.
Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma, resta, multiplica o
divide una misma cantidad positiva, la desigualdad se mantiene.
Inecuación de primer grado es cuando el mayor exponente de la variable es
la unidad (1).
Inecuación de segundo grado es cuando el mayor exponente de la variable
es dos (2).
Para resolver una inecuación de segundo grado se puede aplicar
factorizaciòn, completaciòn o puntos críticos.
El conjunto solución de una inecuación de segundo grado es la intersección
de cada inecuación de primer grado obtenida.
GLOSARIO
- Inecuación.- Es una desigualdad.
- Desigualdad.- Es una relación de orden.
- Variable.- Término desconocido.
- Puntos críticos.- Valor o valores de las variables
GUÌA DE TRABAJO
Esta guía es un trabajo que debe ser realizado máximo por cuatro personas. Lo
importante no es que repita o copie información, sino que cree sus propias
producciones tomando como base los conocimientos previos.
1. Explique la diferencia entre ecuación e inecuación.
2. Escriba 5 inecuaciones de primer grado y cinco de segundo grado.
3. Resuelva y escriba el conjunto solución de las siguientes inecuaciones
propuestas:
x 4 7 x 4x 7
x
1
30 x 1  5
a)
b)
3
x 3
9
5
1
c) 3
x
e) 2 x 2
1 x
1
x
3
6x
11
d)
3x
4
PROGRAMACION LINEAL
22 x 2
3
9
44
11 x
4
f) x
20 x
19 4
1 x
x
3
3 3
1
x
1
5
0
4
3
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g) m 1 x 2
m 2x  x m
2
i)
x
2 x
1
2
2
x
2 x2
x
h) 2 x 4
3x 2
j)
x 5  13 x
2
20  0
4. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN: Describa el método de los puntos
críticos, mediante 5 ejemplos y preséntelos en la próxima presencial
TIEMPO APOXIMADO DE ELABORACIÓN
BIBLIOGRAFIA
ING. GOÑI Juan, BASE MATEMÀTICA, Págs. 234 – 256
HAEUSSLER Ernest, MATEMATICAS PARA ADM., ECON., CCSS Y DE
LA VIDA, Octava edición, Págs.57 – 74.
LONDOÑO Nelson, MATEMÀTICA PROGRESIVA 8, Págs. 205-224.
ARDURA M, ALGEBRA, PAGS 91-92
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TERCERA UNIDAD
OBJETIVO
Introducir el concepto de matriz y considerar tipos especiales de matrices.
ALGEBRA DE MATRICES
Las matrices, tema de esta unidad, son arreglos de números. Las matrices y su
algebra respectiva tienen una aplicación potencial siempre que una información
numérica se pueda acomodar de manera significativa en bloques rectangulares.
Un área de aplicación del algebra matricial son las graficas en el plano
cartesiano, del cual, los puntos de cada vértice o esquina se pueden representar mediante
matrices.
La búsqueda de formas para describir situaciones en matemática y economía,
condujo al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el
sistema de ecuaciones lineales:
3x + 4y + 3z = 0
2x + y - z = 0
9x – 6y + 2z = 0
Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las
ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede
describirse por el arreglo rectangular:
3
2
9
4
1
–6
3
-1
2
Que es llamado matriz (plural: matrices). Consideraremos a tales arreglos rectangulares
como objetos por si mismos; se acostumbra encerrarlos entre corchetes y también es
común que se utilicen paréntesis.
Definición.- Se denomina Matriz a todo aquel arreglo rectangular de elementos de un
conjunto de números reales, vectoriales, tensores, números complejos, etc., colocados
en filas y columnas perfectamente definidas.
Ejemplo: Son matrices:
a
c
M=
b
B=
b2 + b2
a+b
1
A=
d
a3 + b3
a2 + b2
a+b
PROGRAMACION LINEAL
a3 – b3
a2 - b2
1
1
14
-8
2
2
2
17
-5
7
3
3 1/7
20
-2
5 6
5 1/10
(a + b) 2
(a – b)
(a2 – b2)
; donde a, b, c,
/5
B
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C=
i
12
5
j
-9
6
k
8
10
D=
(2, 3, 5)
(3, 6, 9)
(7, 4, 8)
(-2, -3, -5)
( 7, 11, 9 )
( 8, 15, 23 )
(4, 6, 6)
( 8, 2, 1)
( 9, 13,15)
; donde: i, j, k, vectores unitarios
(1, 0, 4)
( 2, 3, 21)
( 4, 7, 13)
NOTACIÓN MATRICIAL
1. A las matrices se les designa mediante símbolos o letras mayúsculas: A, B, C, D,
E,......, X, Y, Z,.......
Ejemplo:
r
3
a
5
12
1
A=
5
6
2
Z=
b
4
s
0
7
c
1
3
t
9
29
2. A los elementos de la matriz se les simboliza por “ají”.
Donde:
a es el elemento matricial
i es i – esima a la que pertenece
j es la columna j- esima a la que pertenece
Así:
211
-621
512
122
filas (i)
La posición o ubicación de un elemento
cualquiera se indica así: "aij". Por ejemplo:
512’ quiere decir que el elemento 5 pertenece
a la fila 1 y a la columna 2.
columnas (j)
3. A los elementos de la matriz se les aisla mediante el uso de paréntesis o
corchetes.
Ejemplo:
4
13 18
Sea:
A=
3
9
17
5
16
12
7
12
11
15
PROGRAMACION LINEAL
3
7
9
2
5
6
12
1
3
3
29
0
1
7
Filas
o
B=
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Filas
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Columnas
columnas
A y B , representan, una matriz. Se lee: "La matriz A", " La matriz B "
4. Una matriz no tiene valor numérico, ni está asociada con algún valor real;
excepto el determinante de una matriz.
ORDEN DE UNA MATRIZ
,
Definición.- " El orden de una matriz se establece mediante la expresión m x n en
la cual "m" y " n " son elementos de M, donde:
m : es el número de filas de la matriz
n: es el número de columnas de la matriz.
Ejemplo: Sea la matríz:
M=
4
17
21
5
6
10
13
19
7
21
23
71
8
29
32
35
4
33
21
25
4 filas
5 columnas
M tiene 4 filas y 5 columnas: m = 4 ; n = 5 entonces M es una matriz de orden 4 x 5
NOTACION ABREVIADA DE UNA MATRIZ
Sea la matriz" A "donde: A = [ a i j ] m x n ; m, n ε N
Es una matriz de orden m x n, tal que sus elementos pertenecen a los siguientes
intervalos:
J ε = [ 1, m ] ó
Ejemplo 1:
1≤i ≤m
;
j ε [ 1, n ] ó
1≤j ≤n
;
m, n ε N
Sea la matriz A, tal que:
A = [a i ] 3 x 2
Es una matriz de orden 3 x 2, esto es que:
i ε 1, 3
ó
1≤i ≤3
;
j ε 1, 2
ó
1≤j ≤2
cuya forma desarrollada es la siguiente:
A=
a11
a21
a31
a12
a22
a32
3x2
La matriz tiene i = 3 filas y j = 2 columnas
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Ejemplo 2 : Sea la matriz:
M = [ b i j ] 3 x 5 la cual en su forma desarrollada es :
M=
b11
b12
b13
b14
b15
b21
b22
b23
b24
b25
b31
b32
b33
b34
b 35 3 x 5
M = [ b i j ] 3 x 5 Es una matriz de 3 filas y 5 columnas
Ejemplo 3. Sea la matriz
N=[c ij] l x 6
Su desarrollo es: N = [ c 11 c 12 c 13 c 14 c 15 c 16]
N = [ c ij ]1 x 6 Es una matriz de 1 fila y 6 columnas, se llama también “matriz
fila”
Ejemplo 4 : Sea la matriz:
P =[ c ij ] 5 x 1 ; cuyo desarrollo es :
,
Cll
C21
P=
Es una matriz de 5 filas y una sola
C31
P= I c ij I 5X1
C41
C5
columna, se llama también " matriz
columna ",
5x1
Ejemplo 5: Sea la matriz:
Q = [ q ij ] m x n
Cuyo desarrollo es :
ql1
ql2
ql3 ............ q1n
q21
q22
q23 ............ q1n
Q=
.................................................
..................................................
qm1
qm2
qm3 ............... qmn
mxn
Ejemplo 6: Si en la matriz:
d
5
5+a
d+6
d
+2
a
Se verifica que : a 11 =
5
PROGRAMACION LINEAL
y
a 12 = 14
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Calcular: d - a
y a 22
Solución: De la matriz y de los datos dados:
a11
=
a12
=
d
5
; es decir 5 = d
5
d = 25
5 + a ; es decir 14 = 5 + a
a=9
Por consiguiente ; d - a = 16 y a22 = 31
Rpta.
Ejemplo 7: Si en la matriz siguiente:
a
3
M=
-5 3-d
11 + a
a-b
9-b
13 + c
b-c
15 - c 15 - b
d
5
- 13
a+d
c
-2
10
3x4
Se verifica: al1 = a22 - .5 = al4 - 9 = a34 - 13 = 5
Calcular: a31 + al3 + a23
Solución: (1) De acuerdo al enunciado y de los datos:
al1 = 5 ;
a22 - 5 = 5; al4 - 9 = 5 ;
a34-3 = 5;
. entonces:
(2) De la matriz: Marcamos los elementos que se quieren calcular:
a
3
M=
-5
3-d
11- a
a-b
9.- b
13 - c
b-c
15 - c
15 - b
a
3
-13
a-d
c 10
2
3x4
(3) De los datos consignados; calculamos los valores de: a, b, c, d.
al1 = a -5
=>
a22 =
=>
5 = a -5
3
9-b
a14 = d
c
10
a =30
-13 =>
10 = 9 - b
=> b = -1
14 = d - 13
=> d = 135
5
a34 =
=>
3
5
-2
=>
18 = C - 2
=> c = 200
10
(4) Con los resultados obtenidos en (3) se tendrá:
a31 = b - c = - 201
a13 = 11 - a = 11 - 30 = -19
a23 = 13 – c = -187
:. Rpta : a31 + a13 + a23 = -201 - 19 -187 = - 407
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RELACION DE IDENTIDAD ENTRE LAS MATRICES
Definición .- Dos matrices M y N son iguales o idénticas, cuando verifican de modo
Simultáneo las siguientes condiciones:
(1) Igualdad de Orden
(2) Elementos correspondientes entre sí iguales. Es decir para todo ( i, j) m x n: M (i, j)=
N (i , j)
Ejemplo 1 : Las matrices:
M=
5
35
.60
2
25
1
19
45
19
N=
3x3
5
35
60
2
25
1
19
45
19
3x3
Son iguales o idénticas, pues verifican las condiciones de la definición:
Ejemplo 2 : La igualdad de matrices
a
d
b
e
c
f
=
8
9
17
10
31
33
Se verifica sólo si además de tener igual orden, como que la tienen 3 x 2, se debe
cumplir simultáneamente que:
a = 8,
b = 17,
c = 31
d = 9,
e = 10,
f = 33
Como se ve, además, el orden son iguales 3 x 2.
NOTA: Cuando se indica el orden, el primer factor indica el número de filas y el
segundo factor el número de columnas.
CLASES DE MATRICES
Para un estudio ordenado y deductivo se tendrá en cuenta las siguientes clases de
matrices, en orden frecuente.
I.-
Matriz cuadrada.
II.- Matriz nula.
III.- Matriz diagonal
IV.- Matriz escalar.
V.- Matriz identidad.
VI.- Matriz fila o vector fila
VII.- Matriz columna o vector columna.
VIII.- Matriz triangular superior
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IX.- Matriz triangular inferior
Las cuales pasamos a detallar:
I- LA MATRIZ CUADRADA:
Definición.- Es toda aquella matríz en la cual se verifica que el número de filas es igual
que el número de columnas.
Ejemplo 1:
La matríz ' A " es cuadrada:
12
41
23
96
A=
2x2
Pues el número de filas es (2) igual que el número de columnas (2)
Ejemplo 2:
a
d
g
A= b
e
h
c
f
I
3x3
Número de filas = número de columnas.
NOTA: El orden de una matriz cuadrada está dada por el # de filas o el # de columnas.
El orden de las matrices de los 2 ejemplos anteriores es de 2° orden y 3° orden
respectivamente.
DIAGONALES
En toda matriz cuadrada, y exclusivamente en ellas, se disponen de diagonales, las
cuales se llaman principal y secundaria.
Ejemplo: En la siguiente matríz cuadrada
M=
2
4
2
0
3
11
6
8
7
21
5
9
10
3
1
7
DIAGONAL SECUNDARIA
DIAGONAL PRINCIPAL
II.- LA MATRIZ NULA:
Definición.- Es toda-aquella matriz cuyos elementos son neutros aditivos (ceros).
Ejemplo: Son matrices nulas:
O
M=
IOI;
N=
PROGRAMACION LINEAL
O
P=IOOOI
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O
O
O
Q=
;
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
S=
O
III.- LA MATRIZ DIAGONAL
Definición.- Es toda Matríz Cuadrada en la cual los elementos son neutros aditivos o
ceros, con excepción de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo: Son matrices diagonales:
P=
2
O
O
O
13
O
O
O
21
Q=
18
O
O
O
O
4
O
O
O
O
9
O
O
O
O
25
En ambos, los elementos son nulos, con excepción de los contenidos en la diagonal
principal.
IV. LA MATRIZ ESCALAR:
Definición.- Se denomina de éste modo a toda Matriz Diagonal en la cual todos los de
su diagonal principal son iguales.
Ejemplo 1 : La siguiente es Matrices Escalares :
E=
19
0
0
0
0
19
0
0
0
0
19
0
0
0
0
19
Es importante destacar que la definición de Matriz Escalar exige que ésta sea
previamente una matriz diagonal.
Ejemplo 2: Los siguientes no son Matrices escalares a pesar de tener los elementos de
su diagonal principal iguales.
P=
7
3
5
0
1
7
2
1
4
8
7
9
2
1
-3
7
PROGRAMACION LINEAL
Q=
-19
35
4
2
-19
8
3
5
-19
Dra. Margoth Bonilla
30
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
V.- LA MATRIZ IDENTIDAD:
Definición.- Es toda matriz escalar en la cual los elementos de la diagonal principal son
neutros multiplicativos o unos.
Ejemplo: Los siguientes son matríces identidad:
M=
1
O
O
O
O
1
O
O
O
O
1
O
O
O
O
1
;
N=
1
0
0
1
Es necesario destacar que la definición de Matriz Identidad exige que la misma sea
previamente una matriz escalar,
VI.- LA MATRIZ FILA O VECTOR FILA
Definición.- Es toda aquella matriz que posee una sola fila, siendo el orden, en
consecuencia,
igual a " 1 x m " !
Ejemplo : Las siguientes son matrices fila:
A=
2
7
3
1x3
B = –8
4
10
15
21
35
1x6
Observar que:
A posee una sola fila y 3 columnas. ;
B posee una sola fila y 6 columnas.
VII. - LA MATRIZ COLUMNA O VECTOR COLUMNA:
Definición .- Es toda aquella matriz que posee" m "filas y una sola columna, siendo por
lo tanto el orden igual a " m x 1”.
Ejemplo: Las siguientes son matrices columnas:
13
7
A=
10
91
B=
1
4
5
11
7
52
6x1
9
5X1
Observar que:
A posee 6 filas y una sola columna
B posee 5 filas y una sola columna.
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
31
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VIII.- LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Definición." Son todas aquellas matrices cuadradas en las cuales, los elementos por
debajo de la diagonal principal son iguales a cero (neutros aditivos).
ó
aij=0,
i>j
Ejemplo: Los siguientes son matrices triangulares superiores:
5
16
27
14
9
15
48
12
0
32
48
0
36
21
22
37
0
0
25
0
0
23
33
25
0
0
0
11
51
0
0
0
0
65
3x3
B=
Observar que las matrices A y B cumplen exactamente con la definición
correspondiente.
IX.- LA MATRIZ TRIANGULAR 1NFERIOR
Definición.- Son todas aquellas matrices cuadradas en las cuales los elementos por
encima de la diagonal principal son iguales a cero.
ó . aij = O ,
Vi>j
Ejemplo: Los siguientes son Matrices Triangulares Inferiores.
M=
6
0
0
2
0
0
0
0
2
3
0
5
3
0
0
0
18
7
13
0
4
6
2
0
3
9
3
8
0
4
9
5
4
5
N=
Ejemplo 2 : Determinar: a + b + c + d + e
Sabiendo que M es una Matriz Triangular Superior.
a
M=
a+1
a+b
b+c
2a
- 16
5
b
b+2
c+d
3b
-15
7
e
+7
3
c
c+3
c 3
4
12 - c
d
-4
5
PROGRAMACION LINEAL
d
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32
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Solución : (1) Por definición de una matriz triangular superior.
.
.
.
.
2a
- 16
5
.
.
.
3b
-15
7
e
+7
3
.
.
c 3
4
12 - c
d
-4
5
.
M=
Los elementos por debajo de la diagonal principal deberán ser nulos.
(2) Por consiguiente: de los elementos por debajo de la diagonal principal:
2a
-16 = 0
5
=>
a = 40
3b
-15 = 0
7
=>
b = 35
c
-3 = 0
4
=>
a = 12
e
+7= 0
3
=>
a = -21
d
- 4= 0
5
=>
a = 20
(3) Finalmente:
a + b + c + d + e = 86
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Definición.-
Es toda aquella matriz denotada por" At ", la cual se obtiene al,
transformar las filas en columnas de una matriz" A " original.
Si A mxn es una matriz, At nxm es la matriz transpuesta.
Ejemplo: Sea la matriz:
M=
1
15
5
12
7
10
9
13
Mt =
1
5
7
9
15
12
10
13
2x4
4x2
Para lograr la matriz transpuesta se procedió estrictamente como lo establece la
definición.
La 1 ra Fila:
1
PROGRAMACION LINEAL
15
Forma la 1 ra, columna:
1
15
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La 2da, Fila:
5
12
Forma la 2da. columna:
5
12
La 3ra. Fila:
7
10
Forma la 3ra. columna:
7
10
La 4ta. Fila:
9
13
Forma la 4ta. columna:
9
13
Observar que la matriz transpuesta tiene el orden permutado.
Otro ejemplo:
A=
a
5
2
b
3
2
c
1
2
d
O
2
At =
a
b
c
d
5
3
1
O
2
2
2
2
3x4
4x3
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
Sean A, B, matrices, tales que At y Bt son las Transpuestas; se verifican las siguientes
equivalencias:
1.- (A + B)t = At + Bt ; " La Transpuesta de una suma de matrices, equivale a la suma
de las matrices transpuestas ",
2.- ( A - B) t = At + Bt ; " La Transpuesta de la diferencia de dos matrices, equivale a la
diferencia de las matrices transpuestas”.
3.-( AB ) t = A t . B t
“La Transpuesta de un producto de matrices es equivalente al
producto de las matrices transpuestas ",
4.- ( KA) t = KA t, K ε R; " La Transpuesta de una escalar ( # real) es el mismo escalar',
5.- ( A t ) t = A ; " La Transpuesta de la transpuesta es igual a la matriz original"
6.- Si A es una matriz cuadrada:
( A + At )t = At + A
CONSECUENCIAS DE LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Son los referidos a la matriz simétrica y.antisimétrica.
1. LA MATRIZ SIMÉTRICA:
Definición.- Es toda aquella matriz cuadrada en la cual se verificó! la condición:
Si : A = A t (A matriz cuadrada)
Entonces A es una matriz simétrica
PROGRAMACION LINEAL
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Ejemplo: Sea:
15
23
37
23
17
82
37
82
95
;
A = At=
15
23
37
23
17
82
37
82
95
A Es Una matriz simétrica
PROPIEDADES EN UNA MATRIZ SIMETRICA
1°. Toda matriz simétrica es cuadrada.
2°.- Los elementos simétricos, relativos a la diagonal principal de una matriz simétrica,
son iguales:
Ejemplo:
Elementos simétricos
15
23
59
A = 23
17
82
59
82
95
;
A=
15
23
59
23
17
82
59
82
95
iguales.
Diagonal principal
A, es una matriz simétrica,
En el ejemplo: 23= 23 ; 59 = 59 ; 82 = 82 , son simétricos.
3°.- La Transpuesta de una matriz simétrica es la misma matriz,
4°.- Los elementos de una matriz simétrica “aij” . verifican la condición siguiente;
. aij = aji
II. LA MATRIZ ANTISIMETRICA
Definición .- Es toda aquella matriz cuadrada en la cual se verifican la condición
siguiente: Si: A = -A t
=> A, es una matríz antisimétrica,
PROPIEDADES DE UNA MATRIZ ANTISIMETRICA
1°. La matriz antisimétrica es siempre una matriz cuadrada.
2° Los elementos de la diagonal principal son todos ceros.
3° Los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son opuestos;
analíticamente los elementos" aij , de una matriz antisimétrica verifican:
aij = - aji
4° Para obtener la transpuesta de una matriz antisimétrica será suficiente obtener el
opuesto aditivo de la matriz.
Ejemplo 1 : La matríz B es antisimétrica :
PROGRAMACION LINEAL
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B=
0
-7
-25
7
0
-83
25
83
0
Elementos simétricos opuestos o aditivos.
B=
0
-7
-25
7
0
-83
25
83
0
Diagonal principal de elementos nulos.
Bt =
0
-7
-25
7
0
-83
25
83
0
Bt =
0
7
25
7
0
83
25
-83
0
Ejemplo 2: Las matrices P Y Q son antisimétricas
P=
Pt =
t
P =
0
-6
-9
-3
-2
0
8
-2
3
-5
-10
6
0
-5
-7
-3
-8
0
7
-2
9
2
9
5
0
-1
-15 ; Q= 2
-7
0
6
-3
-8
3
7
1
0
-12
-3
2
-6
0
13
31
2
3
15
12
0
5
-9
3
-13
0
-4
10
-2
8
-31
4
0
0
-6
-9
-3
-2
0
8
-2
3
-5
-10
6
0
-5
-7
-3
-8
0
7
-2
9
2
9
5
0
-1
-15 ; Q t =
2 -7
0
6
-3
-8
3
7
1
0
-12
2
-6
0
13
31
2
3
15
12
0
5 -9
3
-13
0
-4
10 -2
8
-31
4
0
0
6
9
3
2
-6
0
5
7
3
-3
t
0
-8
2
-3
5
10
8
0
-7
2
-9
-2
-9
-5
0
1
15 ; Q =
-2
7
0
-6
-3
8
-3
-7
-1
0
12
3
-2
6
0
-13
31
-2
-3
-15
12
0
-5
9
-3
13
0
4
-10
2
-8
31
4
0
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
36
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En cada caso se utiliza el criterio del Algebra.,de matríces referido al opuesto de una
Matriz: Es decir: Sea M una matriz tal que:
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a11
a12
a13
a14
-M= - a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
M=
El opuesto de M será:
=
-a11
-a12
-a13
-a14
-a21
-a22
-a23
-a24
-a31
-a32
-a33
-a34
ALGEBRA DE MATRICES:
Es el conjunto de operaciones que se pueden realizar con las matrices.
I. ADICION DE MATRICES
Definición: Sean las Matrices P, Y Q de orden m x n :
P = I aij I
mxn
y
Q = I bij I mxn
Se llama suma de matrices a una tercera matriz de orden mxn, tal que:
P + Q = aij + bij
mxn
En relación a la definición de matrices podemos deducir lo siguiente:
1.- La suma de matrices se realiza entre aquellas que poseen el mismo orden.
2.- Los elementos de la matriz suma, resultan de sumar los" elementos
correspondientes" de las matrices sumandos.
Ejemplo 1:
2
1
Si: E = 7
5
y F=
3
9 3x2
2
1
E+F= 7
5
3
9
PROGRAMACION LINEAL
+
19
39
31
55
47
71
19
39
31
55
47
71
=
3x2
2+19
1+39
7+31
5+55
3+47
9+71
Dra. Margoth Bonilla
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E+F=
21
40
38
60
50
80
Rpta:
Ejemplo 2 :
Si:
Entonces:
A+B=
A+B=
A= a
3
b
-1
a
3
b
-1
B=
y
+
a+2
3+c
b+4
-1 + d
2
c
4
d
2
c
4
d
Rpta.
AXIOMAS DE LA ADICION DE MATRICES
Si M, N y P son matrices, K es un número real o escalar ; entonces :
1°.- M + N = N + M ; Axioma de conmutatividad
2°.- ( M + N ) + P = M + ( N + P); Axioma de asociación
3°.- K ( M + N ) = KM + KN; Axioma de distribución de la multiplicación de un escalar
por una suma de matrices.
4°.- (K1 + K2) M= K1M + K2 M; Distribución de multiplicación de una matriz por una
suma de escalares.
5°.- 1 x M = M ; Existencia del elemento neutro de la multiplicación.
6°.- M = (-1) M ; Existencia del opuesto de una matriz.
7°.- M - N = M + ( -N) ; Definición de la sustracción de matrices.
Ejemplo 1 : Sean las matrices calcular la diferencia E - F :
E =
12
4
15
3
19
7
y
F=
8
1
21
29
30
15
Solución:
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
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4
15
3
19
7
E-F =
12
-
8
1
21
29
30
15
=
12
4
15
3
19
7
+
-8
-1
-21
-29
-30
-15
Aplicando la suma de matrices :
4-1
15 - 21
3 – 29
19 -30
7 – 15
E-F=
12 - 8
4
3
E – F = -6
=
-26
-11
-8
Ejemplo 2 : Sean las matrices:
M=
4
π
-1
5
-2
3
y
B=
2
-2
-a
-2
π
5
Calcular la diferencia: M-N
Solución:
4
M-N= 5
π
-1
-2
3
-2
-a
-2
π
5
π+2
a- 1
-(π+2)
3 -5
4- 2
M -N= 5+2
_
2
=
4
π
-1
5
-2
3
2+ π
a-1
-(2 + π)
-2
4- 2
=
+
7
- 2
2
a
2
-π
-5
Ejemplo 3 : Verificar la igualdad:
11x
3
1
10
9
2
5 +
11
8
4
2
7
6
= 11
3
1
2
5
4
2
+ 11
10
9
11
8
7
6
Solución (1°) Ejecutando la suma de matrices del paréntesis en el primer miembro y
realizando las multiplicaciones indicadas en el segundo miembro de la igualdad:
11x
13 + 10
1+9
3 x 11
1 x 11
10 x 11
9 x 11
2 + 11
5+8
= 2 x 11
5 x 11
+ 11 x 11
8 x 11
4+ 7
2+6
4 x 11
2 x 11
7 x 11
6 x 11
(2°) Continuemos ejecutando las operaciones indicadas en ambos miembros de la igualdad:
11x
13
10
13
13
11
8
=
PROGRAMACION LINEAL
33
11
22
55
44
22
+
110
99
121
88
77
66
Dra. Margoth Bonilla
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(3°) Realizando la multiplicación del escalar 11 por la matríz en el 1er. miembro y
sumando las matrices en el segundo miembro,
13 x 11
10 x 11
13 x 11
13 x 11
11 x 11
8 x 11
=
33 + 110.
11 + 99
22 + 121
55 + 88
44 + 77
22 + 66
(4°) Finalmente se logra la igualdad:
143
110
143
143
121
88
=
143
110
143
143
121
88
Esta última igualdad verifica el axioma del producto dé un escalar por una suma de
matrices en relación a la distributividad del escalar por cada matriz:
K (M1+ M2) = K M1,+ K M2
Ejemplo 4 : Verificar la igualdad siguiente:
(5+9) x
2
11
2
11
5
9
5
9
7
8
7
3
1
3
= 5x
2
11
5
9
8
7
8
1
3
1
+9x
Solución : (1°) Ejecutando la suma del escalar en el 1er miembro y el producto del
escalar por la matriz en el 2° miembro:
14
2
11
2x5
11 x 5
5
9
5x5
9x5
7
8
7x5
3
1
3x5
=
2 x 9 11 x 9
+
5x9
9x9
8x5
7x9
8x9
1x5
3x9
1x9
18
99
45
81
(2°) Continuemos con las operaciones indicadas:
2 x 14
11 x 14
10
55
5 x 14
9 x 14
25
45
7 x 14
8 x 14
35
40
63
72
3 x 14
1 x 14
15
5
27
9
=
+
............ (I)
(3°) En esta etapa, se efectúan las multiplicaciones en el 1er miembro y se suman las
matrices en el 2° miembro:
28
154
70
126
98
112
42
14
PROGRAMACION LINEAL
=
10 + 18
55 + 99
25 + 45
45 + 81
35 + 63
40 + 72
15 + 27
5 +9
................... (II)
Dra. Margoth Bonilla
40
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
(4°) Finalmente obtenemos;
28
154
28
154
70
126
70
126
98
112
98
112
42
14
42
14
=
Lo que verifica el axioma de la distribución de la multiplicación de una matriz por una
suma de escalares
( K1, + K2 )M = K1 M + K2 M
II.- MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Para un estudio ordenado tendremos la secuencia siguiente:
A.- La multiplicación de una escalar por una matriz.
B.- La multiplicación de un vector fila por una matriz columna
C.- La multiplicación de dos matrices.
A) LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Definición .- Sea la matriz: M.[ aij ] mxn y
K un escalar (ε R) KM = [ K aij ] mxn.y i, j
Al multiplicar una matriz por un escalar K, este se distribuye sobre cada elemento de
matríz.
Ejemplo 1 : Sea:
M= 10
4
7
3
9
3
8
11
Ejecutando la multiplicación según la definición
correspondiente.
M=
40
70
90
30
80
110
;
Observar que el escalar 10 se distribuyó sobre cada
elemento de la matriz.
Ejemplo 2 : Sea K= π y la matriz M :
-2
M=
2
2
-4
Hallar KM
Solución
KM = π M = π -2
2
2
-4
PROGRAMACION LINEAL
=>
πM=
-2 π
π
π
2
2
-4 π
Rpta.
Dra. Margoth Bonilla
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Ejemplos 3 : Sea:
4
11
M = -9 3
8
7
2
5
15
-36
-99
-27
-72
-63
-18
=>M=
El escalar -9 se distribuye sobre los elementos de la
;
matriz.
-45 -135
B) MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ
COLUMNA.
Definición: Sean las matrices fila " A " y columna" B " :
b11
b21
b31
A[ a11 a12 a13 ...... an] y
B=
.
.
.
bn1
=> A x B = [ a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + ...... + a1n bn1 ]
n
=> A x B =
i=1
n
a1i bi1 =
aibi i
i=1
Observaciones:
1.- El producto de una matriz fila por una matriz columna resulta ser un escalar o
número real.
2.- El producto de un vector fila por un vector columna es una suma de productos
binarios de los elementos de ambos vectores y tienen la forma" ai bi "o bien: El primero
de la fila por el primero de la columna, más el producto del 2do. de la fila por el 2°. de
la columna.... el
iésimo de la fila por el iésimo de la columna.
n
3.- A la expresión
aibi se le denomina también producto escalar.
i=1
PROGRAMACION LINEAL
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Ejemplo: Si :
5
M = [4
6
10 ]
y
N=
7
13
Obtener el producto de matríces.
Solución: (1) De acuerdo a la definición del producto de una vector fila por un la
columna:
MxN=[4
6
10 ] x
5
b1
7
b2
13
b3
a1 a2 a3
(2) Realizando el producto de los elementos de la fila por los de la columna.
M x N = [a1, b1,
+
a2 b2
+
a3 b3 ]
1° de la fila 1° de la fila
1° de la fila
por el 1° de por el 1° de
por el 1° de
la columna
la columna
la columna
(3) Reemplazando los productos numéricos correspondientes:
M x N = [ 4 x 5 + 6 x 7 + 10 x 13 ] = [ 20 + 42 + 130 ] = [ 192 ]
(4) Finalmente :
El producto de un vector fila por un vector columna es un escalar.
M x N = 192
C) MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES:
Definición .- El producto de una matriz A = [ aij ]mxn por otra matriz B = [ bjk]nxp es
igual a otra matriz C = [ Cik ]m x p , donde Cik es el producto escalar de la iésima fila de
A por la k - ésima columna de B.
Esquema: Sea: [ aij ]m x n [ bjk ]n x p = [ Cik ]m x p
- La multiplicación entre matrices será definido sólo entre aquellos pares cuyo
multiplicando es de orden "m x n " y el multiplicador de orden" n x p "en caso contrario
la definición no es viable.
[ aij ] m x
n
[ bjk]n x p
=
[ Cik ]m x p
Equivalentemente : El producto de dos matrices ( A x B ) sólo es posible cuando el
PROGRAMACION LINEAL
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número de columnas del multiplicando (A) es igual que el número de filas del
multiplicador ( B),
Los elementos de C, Cik se obtienen mediante la regla siguiente:
c
o
l
Cik = ( Fila i de A ) x u
m
n
a
j
de B
b1
b2
b3
Análogamente:
Cik= [ a1 a2 a3 ...... an] x
.
=
ai.bj
.
.
bn
Ejemplo 1 : Ejecutar la multiplicación de matrices A x B
Siendo:
3
A= 7
4
8
11
13
2x3
y
2
B= 6
12
5
9
14
3x2
Solución :
(1) Mediante la definición de multiplicación de matrices: A x B = C
3
AxB= 7
4
8
11
13
2
6
12
2x3
5
9 =
14
3x2
c11
c12
c 21
c 22
c11 162
II
III
IV
2x2
(2) Se obtienen los elementos Cij
C11 : =
3
7
4
8
11
13
x
2
6
12
5
9
14
=
C11 = 3 x 2 + 4 x 6 + 11 x 12 = 162
C12 : =
3
7
4
8
11
13
x
2
6
12
5
9
14
I
=
III
C12 = 3 x 5 + 4 x 9 + 11 x 14 = 205
COMPLETAR
PROGRAMACION LINEAL
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3
7
C21 : =
4
8
11
13
x
2
6
12
5
9 =
14
2
6
12
5
9
14
I
III
II
C 21 218
IV
C21=7xi+8x6 + 13x12=218
3
7
C21 : =
4
8
11
13
x
I
II
IV
=
III
C 22
289
C22 = [ 7 x 5 + 8 x 9 + 13 x 14 ] = 289
(3) Concluyendo, la matriz producto será:
162
205
246
289
AxB=
Ejemplo 2 : Ejecutar la multiplicación de las matrices:
1
2
9
10
3
3
4
11
12
2
5
6
13
14
7
8
15
16
x
5
1
Solución: (1) De acuerdo a la definición dada:
A 4x4 X B 4x 1
= C 4x 1
1
2
9
10
3
C11
3
4
11
12
2
C 21
5
6
13
14
x
5
=
C 31
7
8
15
16
4x4
1
4x1
C 41 4x1
(2) Obtenemos los elementos C11, C21, C31 y C41
C11 = [ 1 2
9
10 ].
PROGRAMACION LINEAL
3
2
5
1
=1 x 3 + 2 x 2 + 9 x 5 + 10 x 1= 62
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C11 = 62
C21 = [ 3 4
11
12 ].
13
14 ].
3
2
5
1
= 3 x 3 + 4 x 2 + 11 x 5 + 12 x 1 = 84
C21 = 84
C31 = [ 5 6
C31 = 106
C41 = [ 7 8
15 16 ].
3
2
5
1
= 5 x 3 + 6 x 2 + 13 x 5 + 14 x 1 = 106
3
2
5
1
= 7 x 3 + 8 x 2 + 15 x 5 + 16 x 1 = 128
C41 = 128
(3) Concluyendo:
1
2
9
10
3
4
11
12
5
6
13
14
7
8
15
16
3
x
2
62
=
5
4x4
1
84
106
4x1
128
4x1
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
1.- Si A y B son matrices:
AxB BxA
2,- Si A y B son matrices:
AxB=BxA
A = B ó A x B = B x A =1
3.- Si A, B y C son matrices:
(A + B ) x C = A x C + B x C
Cx (A + B) = C x A +C x B
4.- Si A, B y C son matrices: A x B x C = A x ( B x C) = (A x B) x C
5,- Si A es una matriz:
0 x A = 0 ; 0 es un escalar
6.- Si A y B son matrices:
Si A x B = 0 ≠>
A=0 ó B=0
7,- Si A, B y C son matrices:
AB = AC ≠>
B=C
Ejemplo 1 : Sean:
2
3
4
6
4
6
x
y F=
5 7
10
9
10
Ejecutar las multiplicaciones según la definición:
9
E=
2
3
5
7
E=
4
6
10
9
x
PROGRAMACION LINEAL
2
3
5
7
x
8+30
12+27
=
38 39
=
20+70 30+63
90 93
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18
39
E=
................(I)
90
4
93
6
23
F=
x
10
9
5 7
38
54
65
93
8+30
12+ 42
=
F=
38
54
90
93
4
6
10
9
=
20+70 30+63
................(II)
De ( I ) y ( II ) verificamos que el ser E ≠ F
2
3
5
7
4
6
10
9
≠
x
2
3
5
7
x
La multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir que el orden de los factores
matrices si altera el producto.
Ejemplo 2 : Calcular:
1
3
2
3
5
2
11
4
x
2
7
Solución: (1) Calculando cada potenciación:
1
3
2
1
3
=
2
7
2
1x1+3 x2
7
2
7
2
7
1+6
3+21
=
2 x1+7 x2
3
3
1x3+3x7
=
1
1
x
2
2x3+7x7
7
24
16
55
2+14
6+49
x
............... (I)
(2°) En relación al segundo sumando:
PROGRAMACION LINEAL
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3
5
4
3
2
5
=
2
3
5
2
11
2
x
11
2
11
( 3°) Calculando el cuadrado se logra:
3
5
2
11
2
3
5
2
11
=
3
5
2
11
x
3
5
2
11
3x3+5x2
3x5+5x11
2x3+11x2
2x5+11x11
=
4
9+10 15+55
=
19
70
28
131
19
70
28
131
6+22 10+121
=
(4°) Entonces.:
3
5
2
11
4
=
19
70
28
131
x
(5°).- Ejecutando la multiplicación de matrices:
19x19+70x28
19x70+70x131
=
361+1960
1330+9170
532+3668
1960+1716
=
28x19+131+28
28x70+131x131
(5°) Luego la cuarta potencia será:
3
5
4
2321 10500
=
2
11
............ (II)
4200 19121
(7°) Ejecutando la multiplicación de matrices en el segundo miembro:
I
7 x 2321 + 24 x 4200
7 x 10500 + 24 x 19121
=
16 x 2321 + 55 x 4200
16x 10500+55x 19121
16247 + 100800
73500 + 458904
37136 + 231000
168000 + 1051655
=
Finalmente:
PROGRAMACION LINEAL
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1
3
2
3
5
x
2
4
117047
532404
2681136
1219655
=
7
2
11
III. POTENCIACION DE MATRICES
Definición: Si " A " es una matriz cuadrada
A0 = 1
; A2 = A x A
A3=A x A x A; ...;
An = A x A x A...A
N factores
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION :
1°) Si M es una matriz cuadrada:
M x Mn = M1+n ; n
N
2°) Si M es una matriz cuadrada:
Mm x Mn = Mn x Mm ; m, n
N
Ejemplo 1 : Calcular:
M=
3
7
10
5
2
1
4
3
5
2
Solución: ( 1°) Mediante la definición de potenciación :
M=
3
7
10
5
2
1
4
3
5
2
3
= 7
10
5
2
1
(2°) Ejecutando la multiplicación: .
1
3x3+5x7+4x10
3x5+5x2+4x1
M= 7x3+2x7+3x10
7x5+2x2+3x1
10x3+1x7+5x10
10x5+1x2+5x1
4
3
5
3
= 7
10
5
2
1
4
3
5
3x4+5x3+4x5
7X4+2x3-3x5
10x4+1x3+5x5
. (3°)Finalmente:
M=
3
7
10
5
2
1
PROGRAMACION LINEAL
4
3
5
2
34
= 65
87
29
42
57
47
49
68
Dra. Margoth Bonilla
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Ejemplo 2: Calcular:
-7
11
2
2 2
2
3 3
7 3
2
+
-3
10
Solución: (1°) Ejecute las potenciaciones de cada sumando:
-7
11
2
-7
11
=
-3
=
10
-3
(-7) (-7) + (11) (-3)
(-3) (-7) + (10) (-3)
-7
11
-3
10
-7
11
-3
10
x
10
(-7)(11)+(11) (10)
(-3) (11)+(10) (10)
2
16
33
-9
67
+
=
49 -33
21 – 30
-77-110
-33 +100
......................( I )
En el segundo sumando:
2 2
2
2
2 2
2
=
3 3
=
7 3
2 2
2
3 3
7 3
x
3 3
7 3
(2 2 ) (2 2 )+( 2 )(3 3 )
(2 2 )( 2 )+( 2 )(7 3 )
(3 3 )(2 2 )+(7 3 )(3 3 )
(3 3 )( 2 )+(7 3 )(7 3 )
2 2
2
2
8+3 6
4+7 6
=
3 3
7 3
...................... (II)
6 6 +63
3 6 +147
(2°) Realizando la suma de matrices ( I ) y ( II )
16
33
8+3 6
4+7 6
63+6 6 +
147+3 6
=
-9
67
16+8+3 6
33+ 4+7 6
-9+63+6 6 + 67+147+3 6
PROGRAMACION LINEAL
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(3°) Finalmente:
-7
2
11
2 2
2
3 3
7 3
2
+
-3
10
=
24+3 6
37+7 6
54+6 6
214+3 6
Ejemplo 3: Calcular:
-3
1
5
7
5
A=
Solución: (1°) Podemos plantear el cálculo de la potencia del modo siguiente:
M5= M2 x M3...................................... (I)
(2°) Luego obtenemos M2 :
-3
2
1
M2 =
-3
1
=
5
7
16
4
5
M2 =
-3
1
x
7
9+7
-3+7
-15+49
5+49
-48+20
16+28
-102+270
34+378
=
5
7
…………………………….( II )
34
54
(3°) Obtenemos M3 con;
16
M3 = M2 x M
4
M3 =
-3
1
x
34
=
54
5
M2
-28
7
M
44
M3 =
.................................................... (III)
168
312
(4°) Sustituyendo ( II ) y ( III ) en ( I ) :
M3 =
16
4
34
54
PROGRAMACION LINEAL
x
-28
44
168
312
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M2
M3
16x(-28)+4x168
16x44+4x 312
34(-28)+54x168
34x44+54x312
3
M=
-448+672
704+1248
-952+9072
1496+16848
=
TALLER:Hallar
M
5
M = ¿?
MENORES Y COFACTORES DE UNA MATRIZ
Definición '.- En una matriz cuadrada, de orden ' n ' ; se denomina menor ' Mij , o
determinante, a la matriz cuadrada de orden" n - 1 " la cual se obtiene
eliminando los elementos de la Fila i y de la Columna j, por consiguiente:
a) El determinante: det ( Mij ) se denomina Menor Complementario aij de la matriz
M
b) Se define" cofactor del elemento aij " al producto que se representa por Aij, siendo
"
Aij =(-1)1+1 . det (Mij)
o
A = ( -1 ) 1+ 1 . ( Mij )
Donde:
Aij : es el cofactor
det ( Mij ,) : es el menor, o menor complementario.
Ejemplo 1 : Sea la matriz A tal que:
A=
al1
al2
al3
a21
a22
a23
a31
a32
a33
. El menor del elemento a" resulta de suprimir la 1 ra. fila y 1 ra. columna; dicho
designado por M l1 será:
al1
al2
al3
M l1 =
a21
a22
a31
a32
a23
=
a33
a22
a23
a32
a33
* Cofactor del elemento a l1 es A l1 ; mediante la definición:
A l1=(-1) 1 + 1
a22
a23
a32
a33
PROGRAMACION LINEAL
=
a22
a23
a32
a33
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* Cofactor del elemento a12 es A12 mediante la definición:
A l2 = (-1) 1 + 2
a21
a23
a31
a33
= -
a21
a23
a31
a33
Ejemplo 2 : Hallar el menor del elemento al1 y a21 de la matriz cuadrada siguiente:
17
21
19
M=
13
Solución (1°) Según la definición de menor de al1 resulta de eliminar la fila 1 y la
columna
1, es decir:
13
(2°)
17
= 19
M11
= 19
Menor de a11 =
21
19
El menor de a21 resulta de eliminar los elementos de la fila 2 y la columna 1.
13
17
= 17
M21
= 17
Menor de a21 =
21
19
Ejemplo 3: Hallar el menor de los elementos a34 ,a14 y a33 de la matriz cuadrada
siguiente:
5
11
8
10
3
13
-4
21
7
17
6
40
6
21
-9
49
Solución :( 1°) De acuerdo a la definición; eliminemos la 3ra. fila y 4ta. columna.
5
11
8
10
3
13
-4
21
7
17
6
40
6
21
-9
49
Menor de a34 =
=
5
3
6
11
13
21
8
-4
-9
(2°) En relación al menor de a14' eliminemos la 1ra. fila y 4ta. columna.
Menor de a14 =
5
11
8
10
3
13
-4
21
=
7
PROGRAMACION LINEAL
17
6
40
3
7
6
13
17
21
-4
6
-9
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6
21
-9
49
(3°) Para obtener el menor e a33 eliminemos la 3ra. fila y 4ta. columna:
Menor de a33 =
5
11
8
10
3
13
-4
21
=
7
17
6
40
6
21
-9
49
5
3
6
11
13
21
10
21
49
MATRIZ DE LOS COFACTORES
.Definición: Sea" M " una matriz cuadrada, de orden" n " , tal que Aij es el cofactor
elemento aij ; denominaremos Matriz de los cofactores a la siguiente:
A11
A21
A31
Cofact ( M ) =
.
.
An1
A12
A22
A32
.
.
.
An2
----------------------A1n
----------------------A2n
----------------------A3N
.
-----------------------Ann
Ejemplo 1 : Sea la matriz
M
=
13
7
11
10
Para obtener la matriz de los cofactores de M aplicamos la definición:
Cofact ( M ) =
.
.
A11
A21
A12
A22
---------(1)
Donde los cofactores : A11 , A21 , A12 Y A22 se obtienen a su vez de eliminar las filas y
columnas correspondientes; así:
TALLER: Verifique si los cofactores de la siguiente matriz.
A11
13
11
7
10
Son:
=
Cofact ( M ) =
10
-7
-11
13
PROGRAMACION LINEAL
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NOTA: En toda matriz cuadrada: el producto de los elementos de la diagonal principal
es “ + “ y el producto de los elementos de la diagonal secundaria es *-*
Ejemplo 2 : Hallar el cofactor de los elementos a11 ; a32 de la matriz:
1
15
23
31
3
13
21
29
5
11
19
27
7
9
17
25
Solucion .(1° )De acuerdo a la definición debemos de establecer que:
Cofactor de a11 = A11 = ( -1 )1+1 M11
( 2°) Luego:
A11 = ( -1 )1+1
A11 =
1
15
23
31
3
13
21
29
5
11
19
27
7
9
17
25
13
21
29
11
19
27
9
17
25
( Eliminando la fila 1 y columna 1 )
( 3° ) Además: Cofactor de a32 = A32 ( -1 ) 3+2 M32 ( Eliminando fila 3 y columna 2 )
Luego:
A32 = ( -1 )3+2
1
15
23
31
3
13
21
29
5
11
19
27
7
9
17
25
=(-1)5
1
23
31
3
21
29
7
17
25
Luego de eliminar la 3ra
fila y 2da columna.
A32 = -
1
23
31
3
21
29
7
17
25
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
55
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
LA MATRIZ ADJUNTA
Definición: La Matriz Adjunta de “M” es la matriz transpuesta de la matriz de los
cofactores de M.
Si M es una matriz cuadrada
Ejemplo: Obtener la matriz adjunta de:
M=
Adjunta ( M ) = Cofact ( M )]t
13
11
7
10
Solucion: (1) Utilizando el resultado del ejemplo anterior
10
Cofact M = -11
-7
13
(2) Utilizando la definición de la matriz adjunta
Adjunta ( M ) = Cofact ( M )]t
10
-7
-11
13
t
(3) Finalmente efectuando la transpuesta
10
Adj (M) =
-7
11
13
Ejemplo 2 : Hallar la matriz adjunta de :
2
M = 3
7
1
4
1
10
11
13
Solución (1°) De acuerdo a la definición de matriz adjunta: Si M es una matriz
cuadrada:
Adjunta ( M ) = Cofact ( M )]t
(2°) Obtenemos la matriz de cofactores de M
Cof (M)
=
PROGRAMACION LINEAL
Ml1
Ml2
Ml3
M21
M22
M23
M31
M32
M33
Dra. Margoth Bonilla
56
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
( 3°) Luego:
4
11
3
1+1
11
1+2
(-1)
(-1)
1
13
1
10
2+1
13
2
10
13
1
10
3+1
13
2
10
2
1
7
1
2
1
3
4
1+3
(-1)
4
1
(-1)
7
3+2
(-1)
7
1+3
(-1)
1
4
(-1)
7
2+2
(-1)
3
1+3
(-1)
11
3
11
(4°) Desarrollando lo indicado en cada elemento de la matriz de cofactores:
M l1 =
Cof (M)
1
[52-11]
(-1) [52-11]
(-1)
[13-10]
1 [26-70]
1
[11-40]
(-1) [22-30]
=
41
38
-25
-3
-44
5
-29
8
5
1
[3-28]
(-1)[2-7]
1
[8-3]
(5°) Obtenemos la transpuesta de la matriz de cofactores, es decir transformando las
filas en
columnas luego:
(Cof M)t
41
38
-25
-3
-44
5
-29
8
5
(Cof M)t
41
-3
-29
38
-44
8
-25
5
5
Es decir la 1ra. fila en 1ra. columna; la 2a. fila en 2a. columna y la 3ra. fila en 3ra.
columna.
(6°) Finalmente luego de considerar nuevamente Adjunta (M) = [ Cof (M) ] t
41
-3 -29
Adjunta de M =
38
-44
8
-25
5
5
TALLER. Ejemplo 3: Hallar la matriz adjunta de :
3
2
4
A=
PROGRAMACION LINEAL
7
5
5
6
8
9
Dra. Margoth Bonilla
57
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
LA MATRIZ INVERSA
Definición :Sea" M" matriz cuadrada, tal que det (M)
M1, la cual se establece mediante la siguiente regla:
M-1=
1
det(M)
x=[Adj (M)] y def (M)
o, la matriz inversa de M es
0
Ejemplo 1 : Calcular la matriz inversa de la siguiente:
13
11
7
10
M=
Solución: (1) Aprovechando el resultado del ejemplo 1
10
-11
-7
13
Adj (M) =
(2) Obtenemos el determinante de la matriz M
13
11
= 13 x 10 –7 x 11
det (M) = def
7
10
det (M) = 53
(3) Finalmente se tendrá; de acuerdo a la definición de matriz inversa:
M-1=
1
det(M)
x [Adj (M)]
Reemplazando valores
10 -11
M-1=
1
x
53
10
53
-11
53
10
53
-11
53
M-1=
-7
13
Ejemplo 2 : Hallar la matriz inversa de :
(B) =
-2
-13
5
-17
Solución: (12) Mediante la definición de matriz inversa recordemos que ésta es:
B-1=
1
PROGRAMACION LINEAL
x [Adj (B)
, (B)
0
(1)
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58
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[B]
(2°) Obtengamos [ B ] o determinante de B, luego :
-2
-13
34 – ( -65) = 34 +65 = 99
B=
5
-17
[B] = 99............................(ll)
( 3° ) Obtengamos Adj (B) que es la matriz transpuesta de los cofactores de B, es decir:
Adj B = [Cofact (B)]t
-2
t
-13
Adj B Cofact
-17
(-5)
t
=
5
-17
-17
-17
(-5)
13
-2
t
=
-(-13) -2
13
Adj B=
----------------------------------------------(lll)
-5
-2
(4°) Finalmente de ( II ) Y ( III ) sustituidos en ( I )
-17 13
B -1 =
1
x
99
-5
-2
Ejemplo 3 : Hallar la matriz inversa de :
3
4
-6
M = -5
2
-3
-1
-1
10
-17
99
13
99
-5
99
-2
99
B-1=
Solución ( 1°) Para obtener la matriz inversa utilizamos la siguiente regla establecida:
Si A es una matriz cuadrada, la matriz inversa A -1 es igual a:
A-1 =
1
[A]
Adj (A ;(A)
0
(2°) Obtengamos [A] o determinante de A I
PROGRAMACION LINEAL
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3
4
-6
-5
2
-3 = (3) (2) (10) + 4 (-3) (-1) + (5) (-1) (-6) –1 (-1) (2)(6)- (-1)
-1
-1
10
(-3) (2) - (-5) (4) (10)
= 60 + 12 – 30 – 12 – 9 + 200
Luego: [A] = 221
(3°) Obtengamos la matriz adjunta de A: Adj (A) para ello recordaremos que: Adj (A) =
( Cof A)’ o
transpuesta de los cofactores; el mismo que se logra mediante las supresiones
necesarias.
2
-3
-5
-3
-5
2
-1
10
-1
10
-1
-1
4
-6
3
-6
3
4
-
-
-1
10
4
-6
-1
10
-1
-1
3
-6
3
4
-5
-3
-5
2
2
-3
(4°) Desarrollando los determinantes de 2 x 2 en la matriz de cofactores:
-(-5) (10) – (-(-1 (-3))
(2)(10) - (-1)(-3)
-(4)(10)
Cof A
10
Cof A
(3) (10) - (-1) (-6)
-(3)(-1) – (-(-1)(4))
- (3)(-3) - (-(-5)(-6))
(3)(2) – (-5)(4)
- ((6) (-1))
(4)(-3) - (2)(-6)
(-5)(-1) – (-1)(2)
-3
50 + 3
5
+2
-40 + 6
30 - 6
3
-4
-12 + 12
9
6 + 20
+ 30
7
Cof A= -34
0
53
7
24
-1
39
26
(5°) Obtengamos la matriz transpuesta de Cof A
( Cof ) (A)t =
PROGRAMACION LINEAL
7
53
7
-34
24
-1
-24
39
26
t
= Adj A
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Para ello transformaremos las filas en columnas:
( Adj ) A) =
7
-34
-24
53
24
39
7
-1
26
(6°) Finalmente la matriz inversa de A será:
A=
1
A
A-1
Adj A =
1
x
221
7
221
53
221
7
221
=
2
7
-34
-24
53
24
39
7
-1
26
24
221
3
17
2
17
13
24
221
1
221
TALLER: ESCRIBA UNA MATRIZ DE ORDEN 3X3 Y HALLE SU INVERSA.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA MATRIZ INVERSA
Sea “M” una matriz y M-1 la matriz inversa correspondiente. La propiedad fundamental
es que:
M x M-1=1 ó M-1 x M =1
Donde: 1 es la matriz Identidad.
Ejemplo: Demostrar que las matrices A y B son inversas la una de la otra, siendo:
13
11
A=
y B=
7
10
10
53
7
53
11
53
13
53
Solución: (1) Deberá cumplir la propiedad fundamental: A x B = 1
13
11
x
7
10
10
53
7
53
11
53
13
53
= l : veamos
Ejecutando la multiplicación:
PROGRAMACION LINEAL
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130
53
70
53
53
53
0
7
53
70
53
-
0
143
53
77
53
1
0
0
1
143
53
130
53
+
+
=l
=
53
53
Entonces, finalmente:
13
11
x
7
10
10
53
7
53
11
53
13
53
1
0
0
1
=
Por lo tanto A y B son inversas, l.q.q.d.
TEOREMA ( Relativo a la equivalencia de un sistema de ecuaciones lineales y una
ecuación matricial ).
Sea el sistema de ' m ' ecuaciones lineales con' n incógnitas lineales:
all xl + al2 X2 + ------- aln xn = bl
a2l xl + a22 X2 + ------- a2n xn = b2
a3l xl + a32 X2 + ------- a3n xn = b3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 xl + am2 X2 + -------amn xn = bm
Dicho sistema es equivalente a la ecuación matricial
all
a2l
a3l
aml
al2
aln
a22
a2n
a32
a3n
am2
amn
.
.
.
Matriz de los coeficientes
X1
X2
X3
Xn
.
Matriz de las
Incógnitas
bl
b2
b3
bm
mx1
Matriz de los
términos
Independientes
Ejemplo: Sea el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ( m = n )
PROGRAMACION LINEAL
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13x l
17xl
+ 5x2
+
= 23--------------(l)
21x2 = 59--------------(ll)
Es equivalente a la ecuación matricial
13
5
x1
23
=
17
21
x2
59
Corolario:
Sea el sistema de m ecuaciones lineales con" n " incógnitas:
all
a2l
a3l
.
.
.
aml x1
xl
x1
x1
.
.
.
+
al2 x2 ------------- + aln x2= bl
a22 x2 ------------ + a2nxl2= b2
a32 x2 ------------ + a3nxl2= b3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am2 x2 + am3x3 +…………..= amn xn = bn
La matriz de las incógnitas es equivalente a :
x1
x2
x3
.
all
a2l
a3l
=
.
xn
nx1
al2
a22
a32
al3----------- a1n
a23----------- a2n
a33 -----------a3n
.
.
.
.
.
.
aml
Matriz de las
Incógnitas
am2
amn-------------amn
bl
b2
b3
x
mxn b n mx1
Matriz inversa de los Coeficientes Matriz de los términos
independientes.
Ejemplo 1 : Sea el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas ( m = n )
2x l
5xl
7x l
+ 9x2 +
x3 = 21--------------(l)
+ 4x2 + x3 = 19--------------(ll)
+ 11x2 +6x3 = 24--------------(lll)
2
5
7
9
4
11
Se verifica que:
-1
x1
x2
x3
Matriz de las
Incógnitas
=
1
1
6
Matriz inversa de los
Coeficientes
x
21
19
24
Matriz de los términos
independientes.
Ejemplo 2 : Resolver el siguiente sistema por el método de la equivalencia matricial
establecida en el corolario:
PROGRAMACION LINEAL
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13x
7x
+ 11y
= 37--------------(l)
10y
= 24--------------(ll)
+
Solución: (1) Según el corolario:
[Matriz de las Incógnitas]
=[ Matriz inversa de ]
los Coeficientes
[Matriz de los términos]
independientes.
(2) Según los datos:
x
13
11
-1
37
x
y
17
------------(l)
10
24
(3) Aprovechando que la matriz inversa de la matriz:
13
11
17
10
fue calculando en el ejemplo de matriz inversa
13
11
-1
=
7
11
53
13
53
10
53
7
53
10
(ll)
(4) Sustituyendo (ll) en (l)
x
=
y
10
53
7
53
11
53
13
53
37
x
24 2x1
2x2
(5) Ejecutando la multiplicación de matrices:
x
=
y
370
53
259
53
-
264
53
312
53
=
2x1
106
53
53
53
2
=
1
(6) Finalmente igualando, o, identificando:
x=2,y=1
DETERMINANTES ( Ligera Idea)
PROGRAMACION LINEAL
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Definición .- El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz
cuadrada origina un único valor real o complejo.
También se define un determinante como el desarrollo de una matriz cuadrada.
DETERMINANTE DE 2 x 2 :
Definición .- Es aquel determinante de la forma:
a
a
El valor de una matriz cuadrada se obtiene, así:
all
al2
a22
a21
=
-
ll
l2
a21
a22
all x a22 – a21 x al2
+
. Ejemplo:
13
7
20
=
13 x 12-20 x 7 = 156 - 140
=
16
12
DETERMINANTES DE 3 x 3
Definición: Es aquel determinante de la forma:
all
a2l
a3l
al2
a22
a32
al3
a23
a33
Para hallar su valor se aplica la , Regla de Sarrus ", y se obtiene el siguiente resultado.
all
a2l
a3l
al2
a22
a32
al3
a23
a33
all a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31-a13 a22 a31 -all a23 a32- al2 a21 a33
Ejemplo: Calcular el valor del determinante siguiente:
10
6
3
5
12
7
4
8
11
El valor se calcula del modo siguiente:
Solución ( 1°) De acuerdo a la definición
10
6
3
5
12
7
4
8
11
( 2°)
Ejecutando en el 2° miembro:
= 10 x 12 x 11 + 6 x 7 x 4 + 5 x 8 x 3 – 4 x 12 x 3 – 8 x 7 x 6 x 11
PROGRAMACION LINEAL
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= 1320 + 168 + 120 – 144 – 560 - 330
= 1608 – 746 = 862
10
6
3
5
12
7
4
8
11
= 862
NOTA: Para mayor información sobre determinantes, consulte el capitulo
correspondiente del libro ALGEBRA de la “COLECCIÓN GONI”
RANGO DE UNA MATRIZ
Definición: Sea una matriz de orden m < n ; el rango de A es el orden de la Sub-Matriz
cuadrada mas grande contenido en A, cuyo determinante es no nulo y
representado por:
rango (A) = r (A)
SUB-MATRICES CUADRADAS:
Definición: Sea A una matriz de orden m x n; se denominan Sub- Matrices cuadradas
de Orden k * k a todas aquellas matrices cuadradas que están contenidas en A.
Consecuencias:
(i)
Para obtener el rango de A, es suficiente que entre los elementos del
conjunto de submatrices cuadradas de mayor orden se encuentre uno que
tenga determinante distinto de cero.
En caso contrario se prosigue con las sub-matrices cuadradas de orden
inferior.
(ii)
A partir de la definición de rango de una matriz A de orden m x n, r (A) se
verifica que: r (A) m i n {m, n}
Ejemplo 1: Hallar las sub-matrices cuadradas de:
M=
5
9
1
4
7
8
Solución:
(1°) De acuerdo a la definición de sub-matriz, obtengamos todas aquellas matrices
cuadradas
de orden 2 x 2, luego:
5
9
1
4
,
5
9
7
8
y
1
4
7
8
( 2°) También son sub-matrices de M, aquellas matrices cuadradas de orden 1 x 1
[5]
[9]
[1]
[4]
[7]
[8]
PROGRAMACION LINEAL
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Ejemplo 2: Hallar las sub-matrices cuadradas de la matriz:
1
9
2
3
11
4
5
7
13
15
8
10
A=
4X3
Solución:( 1°) Las sub-matrices cuadradas contenidas en A serán las de orden 3 x 3:
1
9
2
3 11
4
1
;
5 13 8
9
2
3 11
4
;
7 15 10
1 9 2
3
11 4
5 13 8 ;
5
13 8
7 15 10
7
15 10
(2°) Las sub_matrices de orden 2 x 2:
(3°)
1
3
9
11
1
3
2
4
1
5
9
13
1
5
2
8
1
7
9
15
1
7
2
10
3
5
11
13
3
5
4
8
3
7
11
15
3
7
4
10
5
7
13
15
5
7
8
10
9
11
2
4
9
13
2
8
9
15
2
10
11
13
4
8
13
15
8
10
11
15
4
10
Las sub-matrices de orden 1 x 1:
[1]
[3]
[5]
[7]
[9]
[11]
[13]
[15]
[2]
[4]
[8]
[10]
2
4
5
6
8
7
Ejemplo 3: Hallar el rango de la matriz:
A=
3x2
Solución: (1°) De acuerdo a la definición:
Obtengamos las sub-matrices mayores, y el valor de los determinantes de mayor orden
son de ( 2 x 2 ):
2
-11
PROGRAMACION LINEAL
= 2 x 6 – (11 ) (-5 )= 12 + 55 = 67
0
Dra. Margoth Bonilla
67
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-5
6
2
11
8
7
5
6
8
7
= (2) ( 7) – (8 ) (11 )= 14 - 88 = -74
0
= (-5) ( 7) – (6 ) (8 )= -35 - 48 = -83
0
(2°) De acuerdo a la definición, basta que una de las matrices sea distinto de cero para
determinar el rango de la matriz.
(3|°) Finalmente
:. r (A) = 2 (Debido a que las sub-matrices cuadradas son de orden 2 x 2 )
Ejemplo 4 : Hallar el rango de la matriz:
10 1
2
3
2
6
2
3
7
4
5
11 4 x 3
Complete la solución: ( 1 °) Mediante la definición de rango, bastará ubicar una submatriz de orden
3 x 3 de modo que el determinante sea
definición:
o; el cual de inmediato permitirá aplicar la
(2°) Ejecutando la anterior, conforme a una sub-matriz cualquiera de orden 3 x 3.
10 1
2
3
2
6
2
3
7 3x3
(3°) Calcule el determinante
= 10x2x7 + 3x3x2 + 1x6x2 – 2x2x2 – 3x6x10 – 3x1x7
= 1 40 + 18 + 12 -8 - 180 – 21
= -39
0
(4°) La sub-matriz de 3 x 3 seleccionada es
0 , el orden sería :. r ( A ) = 3 .
Ejemplo 5 : Determinar el rango de la matriz:
PROGRAMACION LINEAL
12 16
8
-2 -2
0
Dra. Margoth Bonilla
68
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7
8
2
Solución: (1|) Obtengamos las sub-matrices de orden 3 x 3 y calculemos el valor
determinante respectivo:
12
16
8
1
-2 –6
-2
-2
= 12(-2)(0) + 16(-6)(-2) + 1(-2)(8) -(-2)(-2)(8) - 1(2)(-6)(12) 0
0
192
16
-144
0
-(1) (16) (0) = 192 = 0
(2|°) Por ser esta sub-matriz con determinante cero; conformemos los otros y el valor
de cada determinante, hasta lograr una que sea distinto de cero.
12
1
7
16
-2
8
8
6
2
= - 48
12
2
7
16
-2
8
8
0
2
3
10
2
5
1
2
7
4
1
-2
7
-2
-2
8
6
0
2
Ejemplo 2 :
Hallar el rango' de la matríz
2
2
0
1 4x3
Solución: (1°) Como A es de orden 4.x 3 por definición se tendrá:
r(A)
min { 4, 3} ó r (A)
3
Es decir el orden deberá resultar 3 ó menor a éste.
(2°) Formamos una sub-matriz de orden 3 x 3 : S1
3
1
S1 =
10
2
2
7
2
2
0 3x3
( 3° ) Calculamos el determinante de S1
S1 = 3(2) (0) + 10 (7) (2) + 1 (2) (2) -2(2) (2) - 7 (2) (3) - 10 (1) (0)
S1 =
0 + 140
+ 4
- 8
- 42
0
S1= 94 0
( 4° ) Elegimos el orden 3 de la matriz cuadrada cuyo determinante es diferente de cero.
:. r ( A ) = 3
Ejemplo 3 : TALLER: Halle el rango de la siguiente matriz
5
PROGRAMACION LINEAL
6
0
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69
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A=
10
12
0
Comentarios:
(1°) Las matrices nulas tienen rango cero:
Ejemplo: Sea:
A=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3x3
Las sub-matrices de orden 2 x 2 son nulas; las sub-matrices de orden 1 x 1, también son
nulas.
r(A)=0
( 2°) Las matrices no nulas tienen rango mayor que cero
Si [aijl m x n es no nula
Si [aijl m x n es no nula
0 < r (A)
0 < r (A)
min {m,n}
n
Ejmplo 1 : Sea:
A=
Ejemplo 2: sea:
A=
2
3
5
7
5
2
6
2
1
4
8
2
13
11
15
12
7
9
6
2
1
0
2
3
3
7
2
9
3
11
7
0 < r (A)
min {3,5}
3x5
0 < r (A 0)
{4}
4x4
TRANSFORMACION ELEMENTALES
Definición: Se denomina de este modo a toda operación elemental que se realiza entre
las filas o columnas de una matriz A.
Las siguientes Son transformaciones elementales
(1°) Al intercambio o permuta de 2 filas o 2 columnas
SIMBOLOGIA: La fila i permutada con la fila j : fi x fj .
La columna i permutada con la columna j:
Ci x Cj
Ejemplo: Sea la matriz A
A=
PROGRAMACION LINEAL
5
4
11
13
21
28
4
17
=
=
1
2
Dra. Margoth Bonilla
70
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
La permuta C2 x C4
será
3
17
C2
32
21
C4
4
5
3
13
11
17
C2
28
21
32
17
4
21
C4
5
4
3
4
17
21
C2
21
28
32
11
13
17
C4
( 2° ) Multiplicación de una fila o columna por un escalar K no nula,
SIMBOLOGIA: La fila i por el escalar K: K i la columna j por el escalar K : KCJ
Ejemplo: Sea la matriz
2
7
5
3
4
1
11
9
13
=9
2
63
5
2
3
36
1
11
81
13
: 15 C3
2
7
5
3
4
1
165
135
195
( 3° ) A una fila o columna se le suma el múltiplo de otra fila o columna:
SIMBOLOGIA : La fila i incrementada en K veces la fila j : fi + k f i
La, columna i incrementada en K veces la columná j : Ci + K Cj
MATRICES EQUIVALENTES
Definición: Una matriz [ aij ] m x n es equivalente [ bij ] m x n si una de ella se deduce
de la otra como consecuencia de transformaciones elementales de línea. .
NOTACION: Si A y B son equivalentes
A~B
Ejemplo: Sea la matriz A y B, verificar que estos son equivalentes:
2
15
0
87
A= 7
9
y
B=
1
-36
Solución: ( 12) Ejecutando en A transformaciones elementales sucesivas
2
15
f2-3f1
0
87
1
-36
f1-2f2
1
-36
Se verifica que;
A~B
Debido a que la matriz B se obtuvo de la matriz A.
PROGRAMACION LINEAL
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71
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MATRIZ ESCALONADA
Definición: Una matriz [ aij ] m x n es escalonada si posee las condiciones siguientes:
a) Las primeras" k" filas son no nulas y las restantes ( m - k ) filas son nulas.
b) El primer elemento no nulo de cada una de las primeras" k " filas es la unidad.
e) En cada una de las" k "filas, el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila a
fila.
Ejemplo 1:
0
1
7
9 Es escalonada pues cumple con la definición;
0
0
1
4 en efecto:
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
. 7
1
0
9
4
1
k = 3, 3 filas primeras no nulas
m - k = 0, filas nulas.
Además el primer elemento no nulo de cada fila es la unidad.
En cada fila el número de ceros inicia de uno y crece en cada fila,
Se dice que una fila o columna es nula si y sólo si todos sus elementos son
nulos,
Se dice que una fila o columna es no nula si por lo menos uno de sus elementos
es distinto de cero.
Ejemplo 2: La matriz es escalonada pues cumple con la definición.
1.
19
14
17
k = 3 son no nulas
0
1
13
19
M= 0
0
0
1
0
0
0
0
m - k = 5 - 3 = 2 son nulas
0
0
0
0
5x4
Propiedades: Cualquier matriz de orden M x N se puede transformar a una matriz
escalonada.
REPASO:
A las matrices se designan con letras mayúsculas.
A los elementos de una matriz se simbolizan por “aij”.
El orden de una matriz depende del número de filas y columnas que tenga.
Las matrices son de las siguientes clases: Cuadrada, nula, diagonal, escalar,
identidad, fila o vector fila, columna o vector columna, triangular superior
y triangular inferior.
La matriz transpuesta de una matriz dada se obtiene transformando las
filas en columnas .
Matriz adjunta es la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores.
Dos matrices son equivalentes si tienen el mismo rango.
GLOSARIO
PROGRAMACION LINEAL
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72
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-
Matriz.- Es un arreglo rectangular de elementos de conjunto de números
reales.
Matriz cuadrada.- Es aquella que tiene igual número de filas y columnas.
Algebra de matrices.- Operaciones que se pueden realizar con los elementos
de las matrices.
Determinante.- Desarrollo de una matriz cuadrada.
GUÌA DE TRABAJO # 2
NOTA: EN VISTA QUE LA UNIDAD ABARCA VARIOS SUBTEMAS, SE
ENVIARA EJERCICIOS PROPUESTOS QUE CONLLEVEN AL TRABAJO
PRESENCIAL EQUIVALENTE A 8 HORAS QUE CORRESPONDE A CADA
SEMANA, DE LA SIGUIENTE BIBLIOGRAFIA.
BIBLIOGRAFIA
ING. GOÑI Juan, BASE MATEMÀTICA, Págs. 256 – 304.
HAEUSSLER Ernest, MATEMATICAS PARA ADM., ECON., CCSS Y DE
LA VIDA, Octava edición, Págs.220 – 291.
LIAL Margaret, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y
ECONOMIA, Séptima edición, Págs. 287 – 307.
PROGRAMACION LINEAL
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73
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
CUARTA UNIDAD
OBJETIVO:
Representar geométricamente la solución de una desigualdad lineal con dos
variables y extender esto a un sistema de desigualdades lineales.
PROGRAMACIÓN LINEAL: EL MÉTODO GRÁFICO
Muchos problemas de negocios, ciencias y economía implican encontrar el valor óptimo
de una función (por ejemplo, el valor máximo de la función de ganancia o el valor
mínimo de la función de costo) sujeta a varias restricciones (como costos de
transporte, leyes de protección del medio ambiente, disponibilidad de pide interés, etc.)
La programación lineal trata situaciones donde la función por optimizar, llamada la
función objetivo, es lineal y las restricciones están dadas por desigualdades lineales.
Los problemas de programación lineal que contienen variables pueden resolverse con el
método gráfico, que se explica en el ejemplo 1.
EJEMPLO 1 Encuentre en seguida los valores máximo y mínimo de la función
objetivo
z = 2x + 5y, sujeta a las siguientes restricciones.
3x + 2y
6
- 2x + 4y
8
x+y
x
l
O, y
O
Primero trace la gráfica de la región factible del sistema de desigualdades (figura 11).
Los puntos en esta región o sobre sus fronteras son los únicos, que satisfacen todas las
restricciones. Sin embargo, cada uno de esos puntos puede producir un valor diferente
de la función objetivo. Por ejemplo, los puntos (0.5, l) y (1,’0) en la región factible
conduce a los valores.
z = 2(.5) + 5(1) = 6 y z = 2(1) + 5(0) = 2.
Tenemos que encontrar los puntos que producen los valores máximo y mínimo de z.
PROGRAMACION LINEAL
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74
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
FIGURA 11
Para encontrar el valor máximo, considere varios valores posibles de z. Por ejemplo,
cuando z = 0, entonces la función objetivo es 0 = 2x + 5y, cuya gráfica es una línea
recta. De la misma manera, cuando z es 5, 10
y
15, la función objetivo es,
respectivamente,
5 = 2x + 5y,
10 = 2x + 5y,
15 = 2x + 5y.
La gráfica de esas cuatros rectas, está trazada en la figura 1.2 (todas las rectas son
paralelas porque tienen la misma pendiente). La figura muestra que z no puede tomar el
valor 15 porque la gráfica para z = 15 cae enteramente fuera de la región factible. El
valor máximo posible de z se obtendrá de una recta paralela a las otras y entre las rectas
que representan la función objetivo cuando z = 10 y z = 15. El valor de z será tan grande
como sea posible y todas las restricciones se cumplirán si esta recta toca justamente la
región factible. Esto ocurre en el punto A.
Figura 1.2
El punto A es la intersección de las gráficas de 3x + 2y = 6 y -2x + 4y = 8. Sus
coordenadas pueden encontrarse algebraicamente o gráficamente (usando una
calculadora graficadora).
PROGRAMACION LINEAL
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75
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[1]
Suponga
que
la
función
objetivo en el ejemplo 1 se cambia
a z = 5x + 2y.
(a) Dibuje las gráficas de la
función objetivo cuando z = O,
z = 5 Y z = 10 sobre la región de
soluciones factibles dada en la
Respuestas:
(a) y
figura
11.
(b) xDe la gráfica, decida qué
z=O de
z=5xz=lO
valores
y y maximizarán la
(b) (2,
O)
función
objetivo.
Figura 1.3
Método algebraico
Resolviendo el sistema
3x + 2y = 6
-2x + 4y = 8,
Se obtiene x = 1/2 y y = 9/4. Por tanto, A tiene coordenadas (1/2, 9/4) = (0.5, 2.25).
Método gráfico
Resuelva las dos ecuaciones para y,
y = -1.5x + 3
y = .5x + 2
Trace la gráfica de ambas ecuaciones sobre la misma pantalla y use el 1oca1izador de
intersecciones
El valor de z para
en elencontrar
punto A es
que las coordenadas del punto den sección A son (.5, 2.25).
z = 2x + 5y = 2(.5) + 5(2.25) = 12.25.
El valor máximo posible de z es entonces 12.25. De la misma manera, el valor mínimo de
z ocurre en el punto B, que tiene coordenadas (1, 0). El valor mínimo de z es 2(1) + 5(0) =
2. [1]
PROGRAMACION LINEAL
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76
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
Los puntos como el A y el B en el ejemplo 1 se llaman puntos de esquina, Un punto de
esquina es un punto en la región factible
En que las rectas límite o de frontera de dos restricciones se intersecan. La región factible en
la figura 11 es acotada porque la región está encerrada por líneas de frontera por todos
lados. Los problemas de programación lineal con regiones acotadas siempre tienen solución.
Sin embargo, si el ejemplo 1 no incluyese la restricción 3x + 2y
6, la región factible sería
no acotada, y no habría manera de maximizar el valor de la función objetivo.
Es posible extraer algunas conclusiones generales del método de solución del ejemplo 1. La
figura.13 muestra varias regiones factibles y las rectas que resultan de varios valores de z ( la
figura 13 muestra la situación en que las rectas están en orden de izquierda a derecha cuando
z crece). En el inciso (a) de la figura, la función objetivo toma su valor mínimo en el punto
de esquina Q y su valor máximo en P. El mínimo está de nuevo en Q en el inciso (b), pero el
máximo ocurre en P1 o P2, o en cualquier punto sobre el segmento de recta que los conecte.
Finalmente, en el inciso (c), el valor mínimo ocurre en Q, pero la función objetivo no tiene
valor máximo porque la región factible no está acotada.
FIGURA 13
El análisis precedente sugiere que el teorema del punto de esquina es correcto.
TEOREMA DEL PUNTO DE ESQUINA
Si la región factible está acotada, entonces la función objetivo tiene un valor máximo y un
valor mínimo y cada uno ocurre en uno o más puntos de esquina.
Si la región factible no está acotada, la función objetivo puede no tener un máximo o un
mínimo. Pero si un valor máximo o un valor mínimo existe, ocurrirá en uno o más puntos
de
esquina.
PROGRAMACION
LINEAL
Dra. Margoth Bonilla 77
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
Este teorema simplifica el trabajo de encontrar un valor óptimo: Primero, trace la
gráfica de la región factible y encuentre todos los puntos de esquina. Luego pruebe
cada punto en la función objetivo. Finalmente, identifique el punto de esquina que
produce la solución óptima.
2. a) identifique los
puntos de esquina en la
gráfica.
Con el teorema, el problema en el ejemplo 1 podría
haberse resuelto identificando los cinco puntos de
esquina de la figura1.1: (0, 1), (0, 2), (0.5, 2.25), (2, 0)
y (1, 0). Luego, al sustituir cada uno de esos puntos en
la función objetivo z = 2x + 5y se identificarían los
puntos de esquina que producen los valores máximo y
mínimo de z.
Punto de esquina
b). Qué puntos de esquina
minimizarían z= 2x + 3y?
Respuestas:
(a) (0,4), (1,1), (4,0)
(b) (1,1,)
Valor de z = 2x + 5y
(0,1)
2(0) + 5(1) = 5
(0,2)
2(0) + 5(2) = 10
(.5, 2.25)
2(.5) + 5(2.25) = 12.25
(máximo)
(2, 0)
2(2) + 5(0) = 4
(1, 0)
2(1) + 5(0) = 2 (máximo)
De esos resultados, el punto de esquina (0.5, 2.25) da
el valor máximo de 12.25 y el punto de esquina (1, O)
da el valor mínimo de 2. Ésos son los mismos valores
que se encontraron antes. {2}
lineal por medio del método gráfico.
A continuación se da un resumen de los pasos necesarios para resolver un problema de
programación lineal por medio del método gráfico.
RESOLUCION GRÁFICA DE UN PROBLEMA DE' PROGRAMACIÓN LINEAL
1. Escriba la función objetivo y todas las restricciones necesarias
2. Haga la gráfica de Ja región factible.
3. Determine las coordenadas de cada uno de los puntos de esquina.
4. Encuentre el valor de la función objetivo en cada punto de esquina
5. Si la región factible es acotada, la solución es dada por el punto esquina que produce el valor óptimo de la función
objetivo.
6. Si la región factible es una región no acotada en el primer cuadrante y ambos coeficientes de la función objetivo son
PROGRAMACION
LINEAL
Dra.de
Margoth
positivos,
* entonces el valor
mínimo de la función objetivo ocurre en un punto
esquina yBonilla
no se tiene78
un valor
máximo.
1.
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
[3]
Use
la
región
de
EJEMPLO 2
soluciones factibles en el
Dibuje la región factible para el siguiente conjunto de
dibujo para encontrar lo
restricciones:
siguiente.
3y - 2x
0
Y + 8x
52
y-2x:
x
52
3.
Luego encuentre los valores máximo y mínimo de la función
objetivo z = 5x + 2y
La gráfica en la figura l.4(a) muestra que la región factible está
a) Los valores de xy y que
maximizan z= 2x-y
b) El valor máximo de z= 2x-y
c) Los valores de xy y que
minimizan z= 4x+3y.
d) El valor mínimo de z= 4x+3y
Respuestas:
a). (5,2)
b). 8
c) ( 1,1)
d) 7
acotada. Los puntos de esquina se encuentran al resolver sistemas
de dos ecuaciones en forma algebraica con los métodos del capítulo
anterior gráficamente con el localizador de intersecciones en una
calculadora graficadora. La figura.4(b) muestra las gráficas de
calculadora de las primeras tres desigualdades. Con el método
gráfico, los puntos de esquina sobre la recta x = 3 se encuentran por
observación.
FIGURA 1.4
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
79
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
Use los puntos de esquina de la gráfica para encontrar los valores máximo y mínimo de
la función objetivo.
Punto de esquina
Valor de z = 5x + 2y
(3,2)
5(3) + 2(2) = 19 (máximo)
(6,4)
5(6) + 2(4) = 38
(5, 12)
5(5) + 2(12) = 49 (máximo)
(3,8)
5(3) + 2(8) = 31
El valor mínimo de z = 5x + 2y es 19 en el punto de esquina (3, 2), El valor es 49 en (5, 12). .
[3]
EJEMPLO 3 Resuelva el siguiente problema de programación lineal, Minimice z = x + 2y
sujeta a:
x+y
10
3x + 2y
6
x
0.
0, y
La región factible se muestra en la figura, los puntos de esquina son (0, 3), (0, 10), (10, 0) Y
(2, 0). Estos puntos de esquina dan los siguientes valores de z.
Punto de esquina
Valor de z = x + 2y
(0,3)
0 + 2(3) = 6
(0,10)
0 + 2(10) = 20
(10, O)
10 + 2(0) = 10
(2, O)
2 + 2(0) = 2 (mínimo)
PROGRAMACION LINEAL
El valor mínimo de z es 2; éste se presenta en (2, O). . m
Dra. Margoth Bonilla
80
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Administración. Una compañía está considerando dos
planes seguros con los tipos de cobertura y costos que se
muestran en la siguiente tabla.
Póliza A
Póliza B
Incendio y robo.
$10,000
$15,000
Responsabilidad civil
$180,000
$120,000
Costo
$50
$40
Por ejemplo, esto significa que cuesta $50 una unidad del plan, que consiste en un
seguro por $10,000 por fuego y robo y por $180,000 por responsabilidad civil.)
La compañía quiere adquirir por lo menos un seguro de $300,000 por robo e
incendio, y uno de por lo menos, $3.000,000 por responsabilidad civil con esos
planes. : ¿Cuántas unidades debe la compañía comprar de cada plan para minimizar
los costos de la compra? ¿Cuál es El costo mínimo?
(a) Suponga que el costo del plan o póliza A se reduce a $25 ¿Cuántas unidades
deben ahora comprarse de cada plan para minimizar los gastos de la compra?
¿Cuál es el costo mínimo?
2. Administración Hotnews Magazine publica una edición
estadounidense y una
canadiense cada semana. Se tienen 30,000 subscriptores en Estados Unidos y 20.000 en
Canadá. Otras copias se venden en los quioscos de periódicos. Los costos de correo y
envío promedian $80 por mil copias en Estados Unidos y $60 por mil copias en Canadá.
Las en cuestas muestran que pueden venderse no más de 120,000 copias de cada
edición (incluidas las subscripciones) y que el número de copias de edición canadiense
no debe exceder de dos veces el número de copias de la edición estadounidense. El
editor puede gastar cuando más $8400 al mes en correo y embarque. Si la ganancia es
de $200 por cada mil copias en la edición estadounidense y de $150 por cada mil copias
en la edición canadiense, ¿cuántas copias de cada versión deben imprimirse para
obtener una ganancia máxima. ¿Cuál es esa ganancia?
3. Administración El proceso de manufactura requiere que las refinerías fabriquen por
lo menos 2 galones de gasolina por cada galón de aceite. Para satisfacer la demanda de
invierno aceite, por lo menos 3 millones de galones al día deben producirse. La
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
81
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demanda de gasolina no es de más de 6.4 millones de galones por día. Toma 0.25 horas
enviar cada millón de galones de gasolina y 1 hora enviar cada millón de galones de
aceite desde la refinería. No hay más de 4.65 horas disponibles para los envíos. Si la
refinería vende la gasolina $1.25 por galón y el aceite a $1 por galón, ¿Cuanto de cada
artículo debe producirse para maximizar el ingreso? Encuentre el ingreso máximo.
4 Ciencias Naturales Marina Mateos tiene una deficiencia alimenticia y se le aconseja
tomar por lo menos 2400 mg de 100 mg de hierro, 2100 mg de vitamina B-1 y 1500 mg
de vitamina B-2. Una píldora Maxivite contiene 40 mg de hierro, 10 mg de B-l y 5 mg
de B-2, y cuesta 6
. Una píldora Healthovite proporciona 10 mg de hierro, 15 mg de
B-l y 15 mg de B-2, y cuesta 8
. ¿Qué combinación de píldoras Maxivite y
Healthovite satisfará el requerimiento a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?
5. Administración Un taller mecánico fabrica dos tipos de tornillos. Los tornillos
requieren tiempo en tres grupos de máquinas, pero el tiempo requerido en cada grupo
difiere, como se muestra en la siguiente tabla.
GRUPO DE MÁQUINAS
I
II
III
Tipo 1
.1 min. . 1 min. .1 min.
Tipo 2
.1 min. .4 min. .02 min.
TORNILLOS
Los programas de producción se elaboran diariamente. En un día hay 240, 720 y 160
minutos disponibles, respectivamente, en esas máquinas. El tornillo tipo 1 se vende a 10
y el tipo 2 a 12
. ¿Cuántos de cada tipo de tornillo deben fabricarse por día para
maximizar los ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo?
6. Administración La compañía Miers produce pequeños motores para varios
fabricantes. La compañía recibe pedidos de su motor Topflight de dos plantas
ensambladoras. La planta 1 necesita por lo menos 50 motores y la planta II necesita por
lo menos 27 motores. La compañía puede enviar cuando más 85 motores a esas dos
plantas ensambladoras. Cuesta $20 por motor el envío a la planta 1 y $35 por motor el
envío a la planta II. La planta 1 da a Miers $15 de descuento en sus productos por cada
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
82
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
motor que compra, mientras que la planta II da descuentos similares de $10. Miers
estima que necesita por lo menos $1110 en descuentos para cubrir los productos que
planea comprar a las dos plantas. ¿Cuántos motores deben enviarse a cada planta para
minimizar los costos de envío? ¿Cuál es el costo mínimo?
7. Administración Un país pequeño puede cultivar sólo dos cosechas para exportación,
café y cacao. El país tiene 500,000 hectáreas de tierra disponibles para las cosechas.
Contratos a largo plazo requieren que por lo menos 100,000 hectáreas se dediquen a
café y por lo menos 200,000 a cacao. El cacao debe procesarse localmente y los cuellos
de botella de la producción limitan el cacao a 270,000 hectáreas. El café requiere dos
trabajadores por hectárea y el cacao requiere cinco.
Están disponibles hasta 1, 750,000 trabajadores para trabajar en esas cosechas. El café
produce una ganancia de $220 por hectárea y el cacao una ganancia de $310 por
hectárea. ¿Cuántas hectáreas debe dedicar el país a cada cultivo para maximizar las
ganancias? Encuentre la ganancia máxima.
8. Administración Se dispone de 60 libras de chocolate y de 100 libras de mentas para
hacer cajas de 5 libras de dulce. Una caja regular tiene 4 libras de chocolates y 1 libra de
mentas y se vende en $10. Una caja de lujo tiene 2 libras de chocolates y 3 libras de
mentas y se vende a $16. ¿Cuántas cajas de cada tipo deben hacerse para maximizar el
ingreso?
9. Administración Un fabricante de tarjetas de felicitación tiene 370 cajas de una
tarjeta particular en el almacén I y 290 cajas de la misma tarjeta en el almacén II. Una
tienda de tarjetas en San José ordena 350 cajas de la tarjeta y otra tienda en Memphis
ordena 300 cajas. Los costos de envío por caja a esas tiendas desde los dos almacenes se
muestran en la siguiente tabla.
DESTINO
San José
ALMACÉN
Memphis
I
$.25
$.22
II
$.23
$.21
¿Cuántas cajas deben enviarse a cada ciudad desde cada almacén para minimizar los
costos de envío? ¿Cuál es el costo mínimo? (Sugerencia: use x, 350 - x, y y 300 - y
como las variables.)
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
83
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10. Administración El administrador de un fondo de pensiones decide invertir cuando
más $40 millones en bonos federales que pagan 8% de interés anual y en fondos
mutualistas que pagan 12% de interés anual. Planea invertir por lo menos $20 millones
en bonos y por lo menos $15 millones en fondos mutualistas. Los bonos tienen un cargo
inicial de $300 por millón de dólares, mientras que el cargo de los fondos mutualistas es
de $100 por millón. El administrador de los fondos no debe gastar más de $8400 en
cargos. ¿Cuánto debe invertir en cada tipo de documento para maximizar el interés
anual? ¿Cuál es el interés anual máximo?
EL MÉTODO SIMPLEX: MAXIMIZACIÓN
Para los problemas de programación lineal con más de dos variables o con dos variables
y muchas restricciones, el método gráfico suele ser muy ineficiente, por lo que se usa el
método simplex. En 1947, George B. Danzig desarrolló el método simplex, que se
presenta aquí, para la Fuerza Aérea de Estados Unidos. Este método se utilizó con éxito
durante el puente aéreo de Berlín en 1948-49 para maximizar la cantidad de carga
entregada bajo restricciones muy severas y hoy en día se utiliza ampliamente en
diversos ramos industriales.
Como el método simplex se usa para problemas con muchas variables, no suele
ser conveniente usar letras como x, y, z o w como nombres de las variables. Más bien,
se usan los símbolos x1, x2, x3, etc. En el método simplex, todas las restricciones deben
expresarse en la forma lineal.
a1x1 + a2x2 + a3x3 +...
b,
donde x1, x2, x3,. . . son las variables, a1, a2, a3,.. . son los coeficientes y b es una
constante.
Veremos primero el método simplex para problemas de programación lineal en
forma estándar de maximización.
FORMA ESTÁNDAR DE MAXIMIZACION
Un problema de programación lineal está en forma estándar de maximización si
1.la función objetivo debe ser maximizada;
2. todas las variables son no negativas (xi
3. todas las restricciones contienen
0, i = 1,2,3,...);
;
4. las constantes á la derecha en las restricciones son. todas no negativas (b
PROGRAMACION LINEAL
0).
Dra. Margoth Bonilla
84
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
Los problemas que no cumplen todas esas condiciones se considerarán en las secciones
anteriores. La "mecánica" del método simplex se muestra en los ejemplos 1-5. Aunque
los procedimientos a seguir se aclararán, así como el hecho de que conducen a una
solución óptima, las razones por las que se usan esos procedimientos tal vez no sean
inmediatamente evidentes. Los ejemplos posteriores darán esas razones y explicarán la
conexión entre el método simplex y el método gráfico tratado.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA El primer paso es convertir cada restricción,
dada por una desigualdad lineal, en una ecuación lineal. Esto se hace agregando una
variable no negativa, llamada variable de holgura, a cada restricción. Por ejemplo.
convierta la desigualdad xl + x2
10 en una ecuación, sumándole una variable de
holgura x3 para obtener.
xl + x2 x3=10, donde x3
La desigualdad xl + x2
0.
10 dice que la suma xl + x2 es menor que o tal vez igual a10.
La variable x3 "absorbe cualquier holgura" y representa la cantidad por la que x l + x2
deja de ser igual a 10. Por ejemplo, si xl + x2 es igual a 8, entonces) x3 es 2.
Si xl + x2 = 10, el valor de x3 es 0.
P R E CA U C I Ó N Una variable de holgura diferente debe usarse para cada
restricción.
EJEMPLO 1 Replantee el siguiente problema de programación lineal introduciendo
variables de holgura.
Maximice z = 2.x1 + 3x2 + x3
sujeta a:
xl + x2 + 4x3
100
xl + 2.x2 + x3
150
3xI + 2.x2 + x3
con
xl
0, x2
0, x3
320
0.
1 Reescriba el siguiente conjunto de restricciones como ecuaciones añadiendo variables
de holgura no negativas.
xl
+ x2 + x3
2x1 + 4x2
12
15
x2 + 3x3
10
Respuesta:
xl + x2 + x3 + x4
= 12
2x1 + 4x2 + x5
= 15
PROGRAMACION LINEAL
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85
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x2 + 3x3 + x6 = 10
Reescriba las tres restricciones como ecuaciones mediante la introducción de variables
no negativas de holgura x4 , x5 y x6, una para cada restricción. El problema puede
replantearse entonces como I
Maximice z = 2.x1 + 3x2 + x3
sujeta a:
con
xl + x2 + 4x3 + x4
= 100
xl + 2.x2 + x3 +
x5
= 150
3x1 + 2.x2 + x3
+ x6
= 320
xl 0, x2
0, x3 0, x4
0, x5 0, x6
0. 1
Agregar variables de holgura a las restricciones convierte a un problema de
programación lineal en un sistema de ecuaciones lineales. Esas ecuaciones deben tener
todas las variables a la izquierda del signo de igual y todas las constantes a la derecha.
Todas las ecuaciones del ejemplo 1 satisfacen esta condición excepto la función
objetivo, z = 2.x1 + 3x2 + x3, que puede escribirse con todas las variables a la izquierda
como.
-2 x1 - 3x2 - x3 + z = 0.
Ahora, las ecuaciones del ejemplo 1 (con las restricciones enumeradas primero) pueden
escribirse como la siguiente matriz aumentada.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
1
4
1
0
0
0
100
1
2
1
0
1
0
0
150
3
2
1
0
0
1
0
320
-2
-3
-1
0
0
0
1
0
Indicadores
2 Establezca la tabla inicial del simplex para el siguiente problema de.programación
lineal:
Maximice
z = 2x1 + 3x2
sujeta a
:x1 + 2x2
85
2x1 + x2
92
x1 + 4x2
104
con
x1
PROGRAMACION LINEAL
0, x2
0
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86
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Respuesta:
x1
x2
x3
x4
x5
z
1
2
1
0
0
0
85
2
1
0
1
0
0
92
1
4
0
0
1
0
104
-2
-3
0
0
0
1
0
Indicadores
Esta matriz es la tabla inicial del simplex. Excepto por los últimos elementos, el 1 y el
0 en el extremo derecho, los números en el último renglón de una tabla simplex se
llaman indicadores.
Esta tabla simplex representa un sistema de 4 ecuaciones lineales con 7 variables.
Como hay más variables que ecuaciones, el sistema es dependiente y tiene un número
infinito de soluciones. Nuestra meta es encontrar una solución en la que todas las
variables sean no negativas y z sea tan grande como sea posible. Esto se hará mediante
operaciones sobre renglones para reemplazar el sistema dado por otro equivalente,
donde ciertas variables se eliminan de algunas de las ecuaciones. El proceso se repite
hasta que la solución óptima pueda leerse en la matriz, como se explica a continuación.
SELECCIÓN DEL PIVOTE Recuerde cómo las operaciones sobre renglones se usan
para eliminar las variables en el método de Gauss-Jordan. Una entrada particular
diferente de cero en la matriz se escoge y se cambia a 1; luego todas las demás entradas
en esa columna se cambian a ceros. Un proceso similar se usa en el método simplex. La
entrada o elemento escogido se llama el pivote. El procedimiento para. seleccionar el
pivote apropiado en el método simplex se explica en el siguiente ejemplo. La razón por
la que este procedimiento se usa se verá en el ejemplo posterior.
SUGERENCIA TECNOLÓGICA Una calculadora graficadora proporciona un método
eficiente para efectuar las operaciones sobre renglones en el análisis que sigue; anote
entonces la tabla simplex inicial del ejemplo 1 en su calculadora y lleve a cabo sobre
ella las diversas operaciones conforme lea los siguientes ejemplos. Debido a su tamaño
esta tabla simplex no cabrá en la pantalla de calculadora. Entonces verá algo como la
figura 8.20(a), que muestra sólo la mitad izquierda de la tabla. Use las teclas de flecha
izquierda y derecha para barrer toda la matriz y obtener su otra mitad, como en la figura
PROGRAMACION LINEAL
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8.20 (b). Advierta que la calculadora no pone una línea vertical antes de la última
columna, como la hacemos al trabajar a mano.
EJEMPLO 2 Determine el pivote en la tabla simplex para el problema en el
ejemplo 1.
Vea los indicadores (el último renglón de la tabla) y escoja el más negativo.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
1
4
1
0
0
0
100
1
2
1
0
1
0
0
150
3
2
1
0
0
1
0
320
-2
-3
-1
0
0
0
1
0
Indicador más negativo
El indicador más negativo identifica la variable que va a ser eliminada de todas excepto
de una de las ecuaciones (renglones), en este caso x2' La columna que contiene el
indicador más negativo se llama la columna pivote. Ahora, para cada elemento positivo
en la columna pivote, divida el número en la columna derecha mas alejada del mismo
renglón entre el número positivo correspondiente en la columna pivote
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
1
4
1
0
0
0
100
100/1 = 100
1
2
1
0
1
0
0
150
150/2 = 75
3
2
1
0
0
1
0
320
320/2=160
-2
-3
-1
0
0
0
1
Cocientes
El menor
Indicadores
El renglón con el cociente más pequeño (en este caso, el segundo renglón) se llama el
renglón pivote. El elemento en el renglón pivote y columna pivote es el pivote
Columna
pivote
Pivote
Renglón pivote
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
1
4
1
0
0
0
100
1
2
1
0
1
0
0
150
3
2
1
0
0
1
0
320
-2
-3
-1
0
0
0
1
0
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
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Indicadores
3 Encuentre el pivote para la siguiente tabla.
x1
x2
x3
x4
x5
z
0
1
1
0
0
0
50
-2
3
0
1
0
0
78
2
4
0
0
1
0
65
-5
-3
0
0
0
1
0
Respuesta:
2 (en la primera columna)
PRECAUCION:
En algunas tablas simplex, la columna pivote puede contener ceros o elementos
negativos. Sólo los elementos positivos en la columna pivote deben usarse para formar
los cocientes y determinar el renglón pivote. Si no hay elementos positivos en la
columna pivote (de modo que no puede escogerse un renglón pivote), entonces no
existe una solución que maximice. 3
PIVOTEO Una vez seleccionado el pivote, se usan operaciones sobre renglones para
reemplazar la tabla simplex inicial por otra tabla simplex donde la variable de la
columna pivote se elimina de todas excepto de una de las ecuaciones. Como esta nueva
tabla se obtiene por operaciones sobre renglones, representa un sistema equivalente de
ecuaciones (es decir, un sistema con las mismas soluciones que el sistema original).
Este proceso, que se llama pivoteo, se explica en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 3 Use el pivote indicado 2, para efectuar el pivoteo sobre la tabla simplex
del ejemplo
1
R2
2
PROGRAMACION LINEAL
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
1
2
1
4
1
0
0
0
100
1
1
2
0
1
2
0
0
75
3
2
1
0
0
1
0
320
Dra. Margoth Bonilla
89
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-2
-3
-1
0
0
0
1
Ahora use operaciones sobre renglones para hacer el elemento en el renglón uno,
columna dos igual a 0
x1
1
2
x2
0
x3
7
2
x4
1
x5
1
2
x6
z
- R2 + R1
0
0
25
1
2
1
1
2
0
1
2
0
0
75
3
2
1
0
0
1
0
320
-2
-3
-1
0
0
0
1
0
Cambie el 2 en el renglón tres, columna dos a 0 por medio de un
proceso similar.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
7
2
1
-
1
2
0
0
25
1
1
2
0
1
2
0
0
75
2
0
0
0
-1
1
0
170
-2
-3
-1
0
0
0
1
0
x5
z
1
2
1
2
4 Para la tabla simplex abajo
(a) encuentre el pivote
(b) Efectué el pivoteo y escriba la nueva tabla.
x1
x2
x3
x4
z
1
2
6
1
0
0
16
1
3
0
0
1
0
25
-1
-4
-3
0
0
1
0
x1
x2
x3
x4
x5
z
1
2
1
3
1
2
0
0
8
1
2
0
-9
3
2
1
0
1
1
0
9
2
0
1
32
- 2R2 + R3
Respuestas:
(a)
(b)
-
PROGRAMACION LINEAL
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Finalmente, sume 3 veces el renglón dos al último renglón para cambiar el indicador –3
a 0.
-
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
2
0
7
2
1
-
1
2
0
0
25
1
2
1
1
2
0
1
2
0
0
75
2
0
0
0
-1
1
0
170
1
2
0
1
2
0
3
2
0
1
225
3R2 + R4
Indicadores
El pivoteo está ahora completo porque la variable x2 de la columna pivote se ha
eliminado de todas las ecuaciones excepto de la representada por el renglón pivote. La
tabla simplex inicial se ha reemplazado por una nueva tabla simplex, que representa un
sistema equivalente de ecuaciones. .
PRECAUCIÓN Durante el pivoteo, no intercambie renglones de la matriz. Haga el
elemento pivote igual a 1 multiplicando el renglón pivote por una constante apropiada,
como en el ejemplo 3.
Cuando por lo menos uno de los indicadores en el último renglón de una tabla simplex
es negativo (como es el caso con la tabla obtenida en el ejemplo 3), el método simplex
requiere que se seleccione un nuevo pivote y que el pivoteo se efectúe de nuevo. Este
procedimiento se repite hasta que se obtiene una tabla simplex sin indicadores negativos
en el último renglón o se alcanza una tabla en la que ningún renglón pivote puede
escogerse.
EJEMPLO 4 En la tabla simplex obtenida en el ejemplo 3, seleccione un nuevo pivote
y efectúe el pivoteo. Localice primero la columna pivote encontrando el indicador más
negativo el último renglón. Luego localice el renglón pivote calculando los cocientes
necesarios y encontrando el más pequeño, como se muestra en el siguiente grafico.
x1
Renglón pivote
1
2
PROGRAMACION LINEAL
x2
x3
x4
x5
x6
0
7
2
1
-
1
2
0
z
0
25
Cocientes
25
1 / 2 = 50 El menor
75
Dra. Margoth Bonilla 1 / 291= 150
17/02 = 85
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
1
2
1
1
2
0
1
2
0
0
75
2
0
0
0
-1
1
0
170
0
1
2
0
3
2
0
1
225
-
1
2
Columna pivote
El pivote es entonces el número 1/2 en el renglón uno. Comience el pivoteo
multiplicando cada elemento en el renglón uno por 2. Continúe luego como se indica
abajo para obtener la siguiente tabla simplex.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
0
7
2
-1
0
0
50
0
1
-3
-1
1
0
0
50
0
0
-14
-4
1
1
0
70
0
0
4
1
1
0
1
250
Como no hay indicadores negativos en el último renglón,
2R1
1
- 2 R1 + R 2
-2R1 + R3
1
2 R1 + R4
no es necesario ningún
pivoteo adicional y llamaremos a ésta la tabla simplex final.
LECTURA DE LA SOLUCIÓN El siguiente ejemplo muestra cómo leer una solución
óptima del problema de programación lineal original en la tabla simplex final.
EJ EM PLO 5 Resuelva el problema de programación lineal presentado en el ejemplo l
Vea la tabla simplex final para este problema, que se obtuvo en el ejemplo 4.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
z
1
0
7
2
-1
0
0
50
0
1
-3
-1
1
0
0
50
0
0
-14
-4
1
1
0
70
0
0
4
1
1
0
1
250
El último renglón de esta matriz representa la ecuación.
4x3 + x 4 + x 5 + z = 250, o equivalentemente, z = 250 – 4x3 - x4 – x5
Si x3, x4 Y x5 son todas 0, entonces el valor de z es 250. Si cualquiera de x3, x4 o x5 es
positiva, entonces z tendrá un valor menor que 250 (¿por qué?). En consecuencia, como
queremos una solución para este sistema en el que todas las variables sean no negativas
y z sea tan grande como sea posible, debemos tener.
x3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.
Cuando estos valores se sustituyen en la primera ecuación (representada por el primer
renglón de la tabla simplex final), el resultado es
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
92
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xl + 7 . 0 + 2. 0 - 1. 0 = 50, es decir, x1 = 50
De la misma manera, sustituyendo 0 en x1, x2 y x3 en las últimas tres ecuaciones
representadas por la tabla simplex final, se ve que
x2 = 50, x6 = 70,
z = 250.
Por lo tanto, el valor máximo de z = 2x1 + 3x2 + x3 ocurre cuando
x1 = 50,
x2 = 50,
x3 = 0
En cuyo caso z = 2 (50) + 3 (50) + 0 = 250. Los valores de las variables de holgura no
son importantes al establecer la solución del problema original.
APLICACIONES DE LA MAXIMIZACIÒN
Se consideran las aplicaciones de la programación lineal que se valen del método
simples. Sin embargo, se hará un ligero cambio en la notación.
Probablemente habrá notado que la columna que representa z en una tabla simples
nunca cambia durante el pivoteo. Además, el valor de z en la solución factible básica
asociada con la tabla es el número en la esquina inferior derecha. En consecuencia, la
columna z es innecesaria y se omitirá desde ahora en todas las tablas simples.
Ejemplo. Un agricultor tiene 100 acres de tierra disponibles que quiere sembrar con
papas, maíz y col. Le cuesta $ 400 producir un acre de papas, $ 160 producir un acre de
maíz y $ 280 producir un acre de col. Dispone de un máximo de $ 20,000. Gana $ 120
por acre de papas, $ 40 por acre de maíz y $ por acre de col. ¿Cuantos acres de cada
cultivo debe plantar para maximizar su ganancia?
Comenzando detallando la información, tenemos:
Cosecha
Número de
Costo por
Ganancia
Acres
Acre
por acre
Papas
X1
$ 400
$ 120
Maíz
X2
160
40
Col
X3
280
60
100
$ 20,000
Máximo
Disponible
Si el número de acres asignado a cada uno de los tres cultivos se representa por x1, x2 y
x3, respectivamente, entonces las restricciones pueden expresarse como:
X1
+
x2
400x1 + 160x2
PROGRAMACION LINEAL
+
x3
+ 280x3
≤
≤
100
20,000
Número de acres
Costos de producción
Dra. Margoth Bonilla
93
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
Formando ecuaciones, utilizando variables de holgura y resolviendo el sistema
aplicando se tiene que; la solución máxima es: x1 = 50,
x5 = 0,
x2 = 0,
x3 = 0,
x4 = 50,
z = 6000
Por lo tanto, el agricultor tendrá una ganancia máxima de $ 6000 si siembra 50 acres de
papa y nada de papas ni col, entonces, 50 acres se dejan sin sembrar (representado por
x4, que es la variable de holgura para las papas). El agricultor gasta sus $ 20,000 en la
forma más eficaz y no tiene más dinero para sembrar los 50 acres. Si tuviese más
dinero, sembraría más cosechas.
EJERCICIO PROPUESTO:
Un criador de gatos tiene las siguientes de alimento para gatos: 90 unidades de atún, 80
unidades de hígado y 50 unidades de pollo. Para criar un gato siamés se requiere: 2
unidades de atún, 1 de hígado y 1 de pollo por día, mientras que para un gato persa se
requiere 1, 2 y 1 unidades, respectivamente, por día. Si un gato siamés se vende en $ 12
y un gato persa se vende en $ 10, ¿cuántos de cada uno deben criarse para obtener un
ingreso total máximo? ¿Cuánto es el ingreso total máximo?
EL METODO SIMPLEX: DUALIDAD Y MINIMIZACIÒN
Aquí, se trata problemas de programación lineal que satisfagan las siguientes
condiciones:
1. La función objetivo debe ser minimizada
2. Todos los coeficientes de la función objetivo son no negativos.
3. Todas las restricciones implican ≥.
4. Todas las variables son no negativas.
El método de resolver problemas de minimización presentado aquí se basa en una
interesante conexión entre problemas de maximización y minimización; cualquier
solución de un problema de maximización produce la solución de un problema asociado
de minimización o viceversa. Cada uno de los problemas asociados se llama el dual del
otro. Así entonces, los duales nos permiten resolver problemas minimización como el
ejemplo anterior descrito por el método simplex que se presentó anteriormente.
Al tratar problemas de minimización, usamos variables diferentes, el procedimiento
para su resolución es idéntico a la maximización.
REPASO:
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
94
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
Puntos de esquina es el punto de corte entre líneas de frontera y las líneas
límite.
La maximización o minimización mediante el método simplex consiste en
encontrar el valor máximo o mínimo utilizando variables de holgura.
Para maximizar, debe existir en las restricciones el símbolo ≤.
Para minimizar, debe existir en las restricciones el símbolo ≥.
Variables de holgura, son aquellas que son diferentes a las variables que se
encuentran en las restricciones.
Para maximizar una función objetivo, se introduce variables de holgura
para cada restricción.
Selección del pivote es el valor más negativo que exista en la función
objetivo.
GLOSARIO
-
Región factible.- es el espacio comprendido entre las líneas de frontera.
Maximizar.- es encontrar el valor máximo.
Minimizar.- es encontrar el valor mínimo.
Variable.- Es un símbolo que puede tomar diferentes valores.
Pivote.- Es el eje de una matriz.
Dualidad.- Es la asociación entre problemas de maximización y
minimización.
GUÌA DE TRABAJO # 3
Esta guía es un trabajo que debe ser realizado máximo por cuatro personas. Lo
importante no es que repita o copie información, sino que cree sus propias
producciones tomando como base sus conocimientos previos.
1. Realizar 5 ejercicios de maximización utilizando el método grafico,
2. Realizar 5 ejercicios de maximización utilizando el método simplex.
3. Realizar 5 ejercicios obre dualidad.
NOTA: LOS EJERCICIOS PROPUESTOS SERAN ENTREGADOS EN LA
PRIMERA PRESENCIAL CORRESPONDIENTE A LA UNIDAD.
TIEMPO APROXIMADO PARA LA REALIZACIÓN Y SU CUMPLIMIENTO DE
LA GUÍA DE TRABAJO, OCHO HORAS
RECOMENDACIÒN.- La guía será entregada en la OCTAVA semana presencial, al
mismo tiempo se receptara la prueba final, la misma que representara el 40 % para la
aprobación del presente modulo.
BIBLIOGRAFIA
HAEUSSLER Ernest, MATEMATICAS PARA ADM., ECON., CCSS Y DE
LA VIDA, Octava edición, Págs.333 - 372
LIAL Margaret, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y
ECONOMIA, Séptima edición, Págs. 300 - 353
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
95
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
GRACIAS, POR CUMPLIR LO SOLICITADO PARA LA
APROBACIÓN DEL PRESENTE MÓDULO.
SIGA ADELANTE
INDICE
A
Algebra de matrices
Aplicaciones de la maximización
35
91
C
Clases de Matrices
26
E
Ejercicios resueltos (inecuaciones)
El método simplex: dualidad y minimización
13
92
F
Forma estándar de maximización
82
I
Inecuaciones de primer grado
Inecuaciones de segundo grado
Índice
L
La Matriz
12
16
94
21
M
Matriz adjunta.
Matrices equivalentes.
Matriz escalonada
Matriz inversa
Menores y cofactores de una matriz
Método simplex
54
69
70
56
50
82
N
Notación Abreviada de una Matriz
23
O
Orden de una matriz
23
P
Problemas propuestos (programación lineal)
Programación lineal: El método grafico
76
72
PROGRAMACION LINEAL
Dra. Margoth Bonilla
96
UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
Propiedad fundamental de la matriz inversa.
59
R
Rango de una matriz.
Reglas (inecuaciones)
Relación de identidad entre matrices
Resolución grafica (programación lineal)
64
11
26
76
S
Selección de Pivote
Sistema de ecuaciones lineales con dos variables
T
Taller (matrices).
Teorema del punto de esquina
Transpuesta de una matriz
Transformación elementales
PROGRAMACION LINEAL
85
5
59
75
31
68
Dra. Margoth Bonilla
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