movimiento en dos dimensiones

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
1
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
El movimiento no puede estar limitado a una carretera recta ni a un caída o vuelo vertical, es decir, a una sola dimensión. Cuando caminamos, conducimos o navegamos, nos
movemos libremente por una superficie, es decir nos movemos en dos dimensiones. La
utilización de números positivos y negativos para designar la dirección del movimiento
es adecuado para el movimiento en una dimensión pero no lo es para el movimiento en
dos dimensiones. En esta unidad vamos a utilizar una nueva herramienta para describir
el movimiento en dos dimensiones: el vector.
MAGNITUDES VECTORIALES Y ESCALARES.
El movimiento en dos dimensiones presenta múltiples posibilidades: Uno puede dirigirse hacia el norte, hacia el sur, hacia el este, hacia el oeste, o hacia cualquier dirección
intermedia. Una pelota se puede lanzar en dirección vertical, en dirección horizontal o
con cualquier ángulo. Podemos movernos describiendo un circulo o cualquier otra trayectoria curvilínea. Para describir estos movimientos no solamente ha de contestar cuestiones como “¿a qué distancia?” y “¿con qué velocidad? “sino también “¿en qué dirección?”.
En la unidad anterior determinamos la posición mediante un solo número que medía la
distancia a un punto que se tomaba como origen, con signo positivo o negativo para
especificar una de las dos posibles direcciones en una dimensión. Para determinar la
posición en dos dimensiones podemos también utilizar la distancia a un origen, pero
además necesitamos otro número, que es el que mide un ángulo relativo a otro eje. Una
magnitud que para su completa determinación necesita dos números (módulo y dirección) se denomina vector. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha.;
su longitud representa el módulo o valor de la magnitud, y la orientación representa la
dirección del vector. En dos dimensiones la posición es una magnitud vectorial, así como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Las magnitudes vectoriales se representa mediante letras negritas (en la escritura manual indicaremos el carácter vectorial trazando una pequeña flecha sobre el símbolo).
Por el contrario una magnitud escalar es aquella que queda completamente especificada
por un solo número. Como ejemplos de magnitudes escalares podemos citar el tiempo,
la masa y la temperatura..
SUMA DE VECTORES
Para indicar la posición de un objeto se utiliza un vector. La figura muestra un vector r1
que indica la posición de un objeto situado a 2 m del origen y en una dirección que forma un ángulo de 300 con la horizontal. ¿Cuál será la posición del objeto si se desplaza
1m hacia la derecha? La nueva posición viene determinada por el vector r2, que se obtiene sumando a r1 el vector ∆r que es de 1m de largo, dirección horizontal y hacia la
derecha. Para realizar la suma situamos el origen del vector ∆r en el extremo del vector
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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r 1; el extremo de ∆r será el extremo del vector suma (r2) y su origen el mismo que la
del vector inicial.
∆r
r1
,
r2
De esta manera definimos la suma de dos vectores cualesquiera. Para sumar dos vectores se sitúan cabeza con cola, y el vector suma es un vector trazado desde la cola del
primero hasta la cabeza del segundo. Simbólicamente se escribe
r2 = r 1+∆r
EJEMPLO.
Determina el vector r2 de la figura siguiente:
∆ r =1,0
r1 = 2,0m
r2
Razonamiento:
El problema se reduce a calcular un cateto lado de un triángulo rectángulo del cual conocemos la hipotenusa y el otro cateto. Para ello aplicaremos el teorema de Pitágoras
Cálculo:
r22 = r12 + ∆r 2
r2 = r121 + ∆r 2
r2 =
(2,0m )2 + (1,0m )2
r2 = 2,2 m
La suma de tres o más vectores es una simple extensión de la suma de dos. Para sumar
A + B + C, primero se suma A y B y luego al vector A + B se le suma el C.
EJERCICIOS Suma de vectores
1. Un vector A tiene una longitud de 3,0 unidades y forma un ángulo de 450 sobre la
horizontal. Otro vector B es de 2,0 unidades de longitud y forma un ángulo de 300
por debajo de la horizontal. Calcular gráficamente el vector suma A + B.
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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2. Tres vectores A, B y C tienen la misma longitud L y forman un triángulo, tal como
se muestra en la figura. Determinar la magnitud y dirección de los vectores: a) A+B
y b)A+B+C
B
A
C
DIFERENCIA DE VECTORES
A partir de la suma de vectores se deduce la diferencia de vectores
Si r2 = r 1+∆r , ∆r= r2 - r 1
El vector diferencia de dos vectores se obtiene colocando en un mismo punto los orígenes de los vectores que se van a restar, y uniendo sus extremos por un segmento que
será la dirección y la magnitud del vector diferencia, cuyo extremo será el del vector
minuendo.
EJEMPLO Diferencia de vectores
Dos vectores A y B de longitudes 4 unidades y 3 unidades respectivamente forman un
ángulo de 900. Determinar el A - B
Razonamiento:
El vector que se ha de determinar es uno de los lados del triángulo que resulta al unir los dos extremos de los dos vectores,
A
A-B
del cual conocemos dos lados (la longitud de los vectores A y
B) y el ángulo que forman ambos vectores. Como este ángulo
es de 900 el triángulo es un rectángulo, del cual conocemos los
dos catetos, y el lado a determinar es la hipotenusa. Mediante
B
el teorema de Pitagoras calcularemos la hipotenusa que es la
dirección y la longitud del vector A- B. El extremo de este vector será el del vector minuendo(A)
Cálculo:
A− B =
A2 + B 2
A − B = 4 2 − 32 = 5 unidades
EJERCICIO
3.Del ejercicio2 calcular el vector A - B. Del ejercicio2 calcular A+B-C
VECTOR POSICIÓN Y VECTOR DESPLAZAMIENTO
En el movimiento en dos dimensiones la posición se determina mediante un vector trazado desde un origen arbitrario a la posición considerada. Este vector se designa por r
(vector posición) .
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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Cuando un móvil puntual pasa de una posición inicial(r0) a otra posición final(r), su
desplazamiento (∆r) se define como el vector
cuyo origen coincide con la posición inicial y
su extremo con la posición final .Este vector
es la diferencia entre el vector de posición
final y el vector de posición inicial, es decir.
∆r = r - r0
EJERCICIOS
4. Un hombre camina 5 m hacia el norte y luego 6 m hacia el este. ¿Cuál será el desplazamiento?
5. Si caminas hacia el oeste 220m , entonces giras 450 hacia el norte y caminas 50 m.
¿A que distancia y que dirección te encontrarás al final del recorrido respecto al
punto de partida?
6. ¿Puede tener el desplazamiento de una partícula un módulo menor que la longitud
del camino recorrido por ella? ¿y al contrario?
7. ¿En que caso el desplazamiento de una partícula es nulo y el camino recorrido no es
nulo?
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
Si dos móviles parten del mismo punto y en la misma
dirección, pero uno con doble rapidez que el otro, en un
mismo tiempo realizarán vectores desplazamientos
iguales excepto que uno será el doble de largo que el
otro. Si el desplazamiento del móvil más lento es ∆r el
del móvil con doble rapidez será 2∆r.
Cuando un vector se multiplica por un escalar solo
cambia la longitud del vector. En el caso de que el
vector sea negativo además de la longitud cambiará
el sentido
EJERCICIOS
8. Dos vectores A y B tienen la misma longitud A y forman un ángulo recto. ¿Cuál es la
longitud o módulo del vector A + 2B?
9. Dos vectores A y B tienen la misma longitud A. El vector A está dispuesto horizontalmente hacia la derecha, mientras B forma un ángulo de 300 con la horizontal. Calcular el módulo de A - 2B.
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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SUMA DE VECTORES A PARTIR DE SUS COMPONENTES
considerar vector suma o vector resultante de otros. En la figura un vector r es vector
resultante de dos vectores rx en la dirección del eje x y ry en la dirección del eje y
Y
r
º
ry
ϕ
rx
r = r x + ry
X
rx y ry se denominan vectores componentes del vector r . Las cantidades rx y ry son
las llamadas componentes del vector r., que son las proyecciones de r sobre los ejes x e
y.
Los vectores componentes a menudo se expresan como el producto del valor del vector
componente multiplicado por un vector unitario .Este vector unitario tiene de módulo la
unidad y de dirección uno de los ejes. El vector unitario con dirección del eje X se representa por i, y el vector unitario con dirección Y se representa por j. Un vector r se
puede expresar en función de los vectores unitarios de la siguiente manera:
r = rxi + ryj
Las componentes de un vector se pueden calcular a partir del módulo del vector y el
ángulo mediante las fórmulas
rx = rcosϕ ry = rsenϕ
Recíprocamente se pueden calcular el módulo y el ángulo del vector a partir de las componentes a partir de las fórmulas
r
r = rx2 + ry2
tangϕ = x
ry
Vamos a sumar vectores a partir de las componentes. Si observamos la figura vemos
que las componentes del vector suma de dos vectores (A + B) es igual a la suma de las
componentes de los vectores sumando.
By
B
Cx = Ax + Bx
Ay
A
Ax
Cy = Ay + By
C
Bx
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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El vector suma de varios vectores se obtiene sumando las respectivas componentes de
los vectores sumando.
EJEMPLO Suma de vectores a partir de sus componentes
Y
A
4m
α=600
0
X
β=45
De los vectores A y B de la figura
determinar:
a) sus componente x e y.
b) el vector A + B
c) el vector A -B
5m
B
Razonamiento:
Las componentes de cada vector se obtienen determinando sus proyecciones sobre los
ejes X e Y. Cada componente se calcula multiplicando la longitud del vector por el
coseno que forma con el correspondiente eje.
Bx =Bcosβ By=Bcos(900-β)=Bsenβ
Ax =Acosα Ay=Acos90-α)=Asenα
Los vectores A + B y A -B los obtenemos sumando y restando las componentes
(A + B)x = Ax + Bx
(A + B)y = Ay + By
(A -B)x = Ax- - Bx
(A - B)y = Ay - By
Cálculo:
a) Ax = 4,0m.cos 600 = 2,0 m
Ay = 4,0m sen600 = 3,4 m
Bx =5,0mcos450 = 3,5 m
By = 5,0msen450= 3,5 m
b) (A +B)x= 2,0 m + 3,5 m = 5,5 m
(A +B)y= 3,4 m + 3,5 m = 6,5 m
c) (A -B)x= 2,0 m - 3,5 m = -1,5 m
(A -B)y= 3,4 m - 3,5 m = -0,1 m
EJERCICIOS
10.Calculas las componentes del vector A de la figura para los siguientes valores: a)
A=5,0m ϕ=300, b) A=2,5 m/s ϕ=600 .Expresar los resultados en función de los vectores unitarios
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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y
A
ϕ
x
11.Hallar el módulo dirección y sentido del los vectores cuyas componentes son: a) Ax=
4 m y Ay= 2 m b)Bx =-3m/s y By =4 m/s.
12.Hallar las componentes de los vectores A + B y 2A -B. Expresándolas en función de
los vectores unitarios Siendo las componentes A y B las mismas de la cuestión 11.
13.Hallar el módulo dirección y sentido de los vectores de la cuestión anterior.
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
VECTOR VELOCIDAD
En la vida cotidiana cuando utilizamos el término velocidad nos referimos generalmente
a la rapidez. El velocímetro de un coche nos indica si el movimiento es rápido o lento,
pero nunca nos dirá hacia donde nos movemos. En Física la velocidad al igual que el
desplazamiento es una magnitud vectorial por lo que tiene un módulo una dirección y
un sentido.
La velocidad media se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el
tiempo invertido, es decir:
v med =
∆r r f + ri
=
∆t t f − t i
Y
Pi ti
∆s
ri
∆r
rf
O
Pf tf
X
En la figura vemos que el vector desplazamiento no coincide con la distancia recorrida.
Solo coincidirían si la trayectoria fuera rectilínea.
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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EJERCICIO
14.¿Qué tienen en común el vector velocidad y el vector desplazamiento?
Si los intervalos de tiempo se van haciendo más pequeños el módulo del desplazamiento
se aproxima a la distancia recorrida( la cuerda se aproxima al arco) y la dirección del
vector desplazamiento tiende a la dirección tangente a la curva en el punto Pi. La velocidad instantánea se define como el límite al que tiende la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo ∆t tiende a cero.
∆r
v = lim
∆t → 0 ∆t
La dirección de la velocidad instantánea será la de la tangente a la trayectoria , el sentido será el de avance de la partícula y el módulo será la rapidez instantánea.
EJEMPLO Un vuelo de Sevilla a Barcelona con escala en Madrid
Un avión parte de Sevilla en vuelo a Barcelona con parada en Madrid. Volando 600 noreste el avión recorre 500 km y aterriza en Madrid habiendo invertido en el vuelo 40
min. Después de permanecer en tierra 30 min el avión despega hacia Barcelona que está
600 km en un dirección 450.El avión llega a Barcelona 55 min después de salir de Madrid. Calcular la velocidad media del avión en el vuelo Sevilla-Barcelona.
Razonamiento:
Lo primero que hay que hacer es dibujar el diagrama vectorial escogiendo previamente
un sistema de referencia. Pueden ser unos ejes cartesianos oeste - este y norte - sur. con
el origen en Sevilla. A continuación dibujamos los vectores para cada uno de los desplazamiento (∆rSM y ∆rMB). El desplazamiento de Sevilla a Barcelona es igual a la suma
del desplazamiento de Sevilla a Madrid y el desplazamiento de Madrid a Barcelona.
N
Y
Barcelona
∆rSB= ∆rSM + ∆rMB
∆rMB=600km
ϕ= 450
Madrid
∆rSB
∆rSM =500km
β=600
X
O
E
Sevilla
S
Calculamos las componentes de estos desplazamientos utilizando vectores unitarios.
∆rSMx =∆rSMcosβ
∆rSMy=∆rSMsenβ ∆rSM= ∆rSMx i +∆rSMyj
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
∆rMBx =∆rMBcosϕ
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∆rMBy=∆rMBsenϕ ∆rMB= ∆rMBx i +∆rMByj
∆rSB= (∆rSMx +∆rMBx) i + (∆rSMy + ∆rMBy)j
Para calcular la velocidad media dividiremos el desplazamiento por el tiempo total invertido en ir desde Sevilla a Barcelona
Cálculo:
∆rSB=(500km.cos600 + 600kmcos450)i + (500kmsen600 + 600kmsen450)j = 674kmi +
857kmj
∆t = 40 min + 30 min + 55 min = 125 min ×
vm =
1h
= 2,1h
60min
674 kmi + 857 kmj
km
km
= 321 i + 408
j
2,1h
h
h
EJERCICIOS
15.Un coche marcha dirección norte a 60 km/h durante 10 min, luego gira hacia el este
y va a 70 km/h. durante 6,0 min. Finalmente va hacia el sudeste a 50 km/h durante
6,0 min. Dibuja el diagrama vectorial y determina : a)el desplazamiento del coche y
b) su velocidad media de la carrera.
16.Un biólogo que estudia el movimiento de bacterias advierte que la posición de una
bacteria esr1 = 2,2 i + 3,7 j µm(1µm=10-6 m). Después de 6,2 s la bacteria se encuentra en r2=4,6i +1,9j. ¿Cuál ha sido la velocidad media?. Expresa el resultado
mediante vectores unitarios y calcula el módulo de la velocidad.
VECTOR ACELERACION
Así como la velocidad mide el cambio de posición (desplazamiento) por unidad de
tiempo, la aceleración mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Este cambio
de velocidad no se deberá solamente a un cambio de módulo sino también a un cambio
de dirección. La aceleración media se define:
∆v
am =
∆t
la aceleración instantánea será
a = lim
∆t → 0
∆v
∆t
EJEMPLO El cometa Halley
La figura muestra parte de la órbita del cometa Halley descrita dentro el sistema solar
en los años 1985-1986.En Noviembre de 1985 se estaba moviendo aproximadamente a
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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31km/h, con un ángulo de 340respecto al eje orbital, como muestra la figura. El cometa
comienza su mayor aproximación al Sol en Febrero y en Marzo se mueve con una velocidad aproximadamente de 43 km/h y con un ángulo de 1290 respecto al eje orbital. Calcular la aceleración media del cometa durante el intervalo de tiempo de NoviembreMarzo.
Razonamiento:
Considerando un sistema de coordenadas cartesiana con el eje y en la dirección del eje
orbital calculamos las componentes de los vectores velocidad en los dos instantes.
vNx= vNcos(900-ϕ) = vNsenϕ
vNy = vNcosϕ
v N = vNxi + vNyj
De igual manera se calcula el vector vM .
Para determinar la aceleración media calculamos ∆v =vM - vN y lo dividimos por el
tiempo transcurrido(4 meses =120 dias).
Cálculo:
vNx= (31km/s)sen340=17,3km/s
vNy=(31km/s)sen560 =25,7km/s
vN=(17,3i + 25,7j) km/s
Mediante cálculos análogos
vM=(33,4i - 27,1j) km/s
∆v = vM - vN = (33,4i -27,1j)km/s - (17,3i + 25,7j) km/s =(16,1i - 52,8j) km/s
a=
16,1i − 52,8 jkm / s
= (1,5x10-6i - 5,1x10-6j) km/s2
120 x 24 x 3600s
EJERCICIOS
17.Un protón entra en un acelerador de partículas en la dirección x a 3,8.105m/s.Emerge
0,94µs más tarde a 7,6.106m/s formando un ángulo de 250 respecto al eje
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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x.Deteminar la aceleración media en función de los vectores unitarios, así como el
módulo y la dirección del vector
18.Un objeto sufre una aceleración (2,3i + 3,6j )m/s2 durante 10 segundos. Si al final de
este tiempo la velocidad es de (33i + 15j) m/s, ¿Cuál era la velocidad al principio de
los 10s?
RELACIÓN ENTRE EL VECTOR ACELERACIÓN Y EL VECTOR VELOCIDAD
Así como el vector velocidad tiene igual dirección y sentido que el vector desplazamiento (v = ∆r/∆t, el vector aceleración tiene igual
dirección y sentido que el vector incremento
velocidad( a =∆v/∆t).
EJEMPLO Volando con viento
Un avión está volando hacia el este a 250 m/s cuando encuentre un viento cruzado que le origina una
aceleración hacia el sur de 1,2 m/s2.¿Cuál será el
valor de la velocidad al cabo de un minuto?
Razonamiento:
El sistema referencia será de tal manera que el eje Y
estará en la dirección Norte y el eje X en la dirección
este. Con este sistema de referencia escribiremos los vectores velocidad
y aceleración en función de los vectores unitarios. La velocidad que nos piden se calcula teniendo en cuente que ∆ v = a∆t. Y que v = v0 + ∆ v
Cálculo:
v0 =250i m/s a =-1,2jm/s2
∆ v =-1,2jm/s2.60s=-72jm/s
v = 250i m/s -72jm/s
El módulo del vector será
v = v x2 + v y2 =
(250m / s) 2 + ( −72m / s) 2 =260 m/s
la dirección ϕ = arctg
EJERCICIOS
−72m / s
= −16 0
250m / s
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
12
19.Una patinadora sobre hielo se desliza a una velocidad de 2,8 m/s y sufre un aceleración de valor 1,1m/2 durante 2,0 s. Al final de este tiempo la patinadora se mueve a
5,0 m/s ¿Cuál será el ángulo entre el vector aceleración y el vector velocidad inicial?
20.Si en la cuestión anterior la aceleración ha sido perpendicular a la velocidad inicial,
¿cuál sería la velocidad final de la patinadora?
21.Un objeto se mueve en la dirección del eje X a 1,3 m/s cuando es sometido a una
aceleración a =0,52j m/s2.¿Cuál es su velocidad después de 4,4s con esta aceleración?
ACELERACION CONSTANTE
Cuando la aceleración es constante (no varia ni su módulo ni su dirección) las componentes individuales del
vector aceleración deben permanecer constantes. Experimentalmente se comprueba que la componente de la
aceleración en una dirección no afecta al movimiento en
un dirección perpendicular (ver figura). Por tanto, si la
aceleración es constante, las componentes del movimiento deben seguir las ecuaciones del movimiento en
una dimensión. Utilizando notación vectorial podemos
escribir:
v = v0 + at
r = r0 + v0t +
1
2
at2
La pelota lanzada horizontalmente avanza con
movimiento uniforme en la dirección horizontal
(en intervalos de tiempos iguales hace avances
iguales ) y cae verticalmente de igual manera
que si hubiese sido dejada caer
En dos dimensiones cada una de estas ecuaciones vectoriales representa un par de ecuaciones escalares.
vy= vy0 + ayt
vx = vx0 + axt
x = x0 + vx0t +
1
2
ax t 2
y = y0 + vy0t +
1
2
ayt2
EJEMPLO Volando en una nave espacial
Una nave espacial se mueve en línea recta a una velocidad de 6,2km/s y en un
determinado instante se pone en marcha uno de sus cohetes y le comunica una
aceleración de 0,36 km/s2 con una dirección de 600 respecto a la dirección de su
velocidad inicial. Si el cohete funciona durante 22s ,¿cuál será su desplazamiento neto
durante este tiempo?.
Razonamiento:
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
13
Para calcular el desplazamiento tenemos que calcular la posición final alcanzada por la
nave después de haber actuado el cohete. Lo primey
ro que tenemos que hacer es escoger un adecuado
sistema de ejes de coordenadas . Una elección razoa
nable podría ser aquel cuyo eje x coincida con la
velocidad inicial de la nave, de esta manera vx0= v0
y vy0 = 0. A continuación calculamos las componenϕ =600
tes de la aceleración . ax=acosϕ ay=asenϕ El origen
del sistema se toma el punto donde la nave empieza
x
a acelerar, así x0=0 e y0 =0
Para calcular la posición al final de la actuación de
la aceleración utilizamos las ecuaciones:
x = x0 + vx0t +
y = y0 + vy0t +
1
2
1
2
axt2
ayt2
Cálculo:
ax=acosϕ =0,36km/s2.cos600 =0,18 km/s2
ay=asenϕ =0,36km/s2.sen600 =0,31 km/s2
a = 0,18i + 0,31j
x = (6,2km/s)(22s) +
y=
1
2
1
2
(0,18km/s2)(22s)2 =180km
(0,31 km/s(22s)2 =75km
Como la posición o inicial es 0,0 el vector desplazamiento
∆r =180 km i + 75 km j
∆r =
(180km) 2 + (75km) 2 =195 km
El desplazamiento total no da la trayectoria.
Puesto que la velocidad está cambiando continuamente la trayectoria es curva.
EJERCICIOS
22.Un velero está navegando a 7,3 m/s y de repente una ráfaga de viento le origina una
aceleración de 0,82m/s2 que forma un ángulo de 750 con la dirección original del
movimiento. Si la aceleración dura 8,7s, ¿cuál ser el desplazamiento total del velero
durante el tiempo que dura la ráfaga de viento?
23.Un objeto se está moviendo en la dirección del eje x a 4,5m/s cuando una aceleración
actúa aplicada en la dirección y durante 18s. Si durante este tiempo se mueve igual
distancia en las dirección x que en la dirección y, ¿cuál es el módulo de la aceleración?
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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MOVIMIENTO DE LOS PROYECTILES
Un proyectil es un objeto que se lanza al aire y se mueve predominante bajo la acción
de la gravedad. Como ejemplos de proyectiles podemos citar un balón, un chorro de
agua, fuegos artificiales, un cohete, etc.
Para el estudio de los proyectiles haremos las siguientes simplificaciones: a) la aceleración de la gravedad es constante y vertical al considerar que la superficie de la Tierra
plana b) el rozamiento del aire será despreciable.
Para describir el movimiento de los proyectiles consideraremos que tiene lugar en un
plano y escogeremos un sistema de ejes de coordenadas con el eje Y vertical, y el eje X
horizontal y en la dirección de la componente horizontal de la velocidad inicial del proyectil. Como solo actúa la gravedad, en este sistema de referencia ax =0 y ay=-g. Así,
las ecuaciones del movimiento de un proyectil serán
vx = vx 0
v y = v y 0 − gt
x = x0 + v x 0t
y = y0 + v y 0 − 21 gt 2
Las ecuaciones primera y tercera nos indican que el movimiento horizontal del proyectil no esta afectado por la gravedad, y el movimiento horizontal no está afectado por el
vertical
EJEMPLO Lanzamiento de una roca desde una precipicio
Desde el borde de un precipicio de 120 m de altura se lanza una roca con una velocidad
horizontal de 14 m/s. ¿A que distancia del pie del precipicio llegará la roca al suelo?
Razonamiento
Tomamos como origen la base del precipicio. Puesto que no hay componente horizontal
de la aceleración, la componente horizontal de la velocidad es constante. La respuesta
que nos piden es el desplazamiento horizontal realizado por la roca en su caída al suelo.
Este desplazamiento será igual a la componente horizontal de la velocidad multiplicada
por el tiempo de caída. Este tiempo se calcula a partir del movimiento vertical de caída.
Puesto que vy0 =0 y el origen se toma en la base del precipicio, el tiempo buscado es el
que tarda la roca en pasar de la posición y0=120m a y =0m, que se calcula a partir de la
ecuación y = y0 + vyot - 21 gt2. Conociendo el tiempo de caída, el desplazamiento horizontal será igual al producto de este tiempo por la componente horizontal de la velocidad, ∆x =vxt
Cálculo
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
0 m = 120 m t -
∆x = 14
1
2
9,8
m 2
t
s2
t=
15
2 x (120m)
= 4,95 s
m
9,8 2
s
m
.4,95 s= 69 m
s
EJERCICIOS
24.Un carpintero trabajando en el tejado de una casa a 9,4 m, lanza una herramienta con
una velocidad inicial horizontal de 7,2 m/s:
a)¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?
b)¿A qué distancia de la pared hace el impacto?
25.Un avión de rescate se dirige hacia un naufrago en un bote salvavidas con intención
de lanzarle un paquete de primeros auxilios. Si el avión vuela a 500km/h y a una altura de 500 m, ¿a qué distancia del bote ha de dejar caer el paquete para que caiga en
el bote?
TRAYECTORIA DE UN PROYECTIL
A veces es interesante describir el camino o trayectoria de un proyectil sin tener en
cuenta el tiempo. La trayectoria de los proyectiles es curva pero ..¿qué tipo de curva?
Para determinar la trayectoria consideraremos un proyectil lanzado desde el origen de
coordenadas (x0=0 y0=0), con una velocidad inicial v0 formando un ángulo θ sobre la
horizontal
x = v0cosθ t
y = v0senθ t - 21 gt2
Despejando el tiempo en la primera ecuación
x
v 0 cosθ
y sustituyendo en la segunda nos da
t=
2
 x  1 x 
y = v 0 s sen θ 
 − 2

 v 0 cosθ 
 v 0 cosθ 
o
g
y = xtangθ − 2
x 2 (trayectoria del proyectil)
2v 0 cos2 θ
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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EJEMPLO Fuera del pozo
Un operario está en el fondo de un pozo de
2,6 m de profundidad y a 3.1 m del lado
del pozo. Lanza un martillo estando su
mano a 1,0 m del suelo del pozo, con un
ángulo de 350 sobre la horizontal. ¿ Cuál es
la velocidad mínima con que debe lanzar el
martillo para que pase por el borde del pozo tal como se muestra en la figura? ¿A
que distancia del borde cae el martillo en el suelo?
Razonamiento:
A partir de la ecuación de la trayectoria calculamos la velocidad inicial para que el punto del borde pertenezca a la trayectoria. Como origen se toma el punto donde se lanza el
martillo. Para la segunda pregunta tenemos que calcular el valor de x para y = (2,6m 1,0m) distinto de 3,1m.
Cálculo:
v0 =
gx 2
2 cos 2 θ ( xtangθ − y )
(9,8m / s 2 )( 3,1m)
= 1m / s
(2)(cos 2 350 )(( 3,1m)(tang 350 ) − 1,6m)
2
=
Sustituimos este valor y el valor de y =1,6 en el ecuación de la trayectoria y calculamos
el valor de y
y = xtangθ −
g
x2
2
2v cos θ
2
0
1,6 = xtang 350 −
(9,8m / s 2 )
x2
2
2
0
2(11m / s) cos 35
Despejando la x da dos valores 3,1m y 8,7m. El que nos piden es 8,7m - 3,1m=5,6m
EJERCICIOS
26.Un atrevido motorista salta sobre un pozo de 48 m de ancho tal como se indica la
figura. ¿Con que velocidad mínima ha de lanzarse el motorista para conseguir su
objetivo? Si el motorista se lanza con una velocidad un 50% mayor de esta mínima,
¿a donde llegará?
27.En un circo una persona es lanzada mediante un cañón a 35 km/h con una inclinación de 400 . Si la boca del cañón está a 1,0 m del suelo y la persona cae en una red
situada a 2,0 m, ¿cuanto tiempo ha estado en el aire?
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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28.Un niño se encuentra en el lado izquierdo de una casa y a 5,0 m. Quiere lanzar una
pelota a un amigo que se encuentra al otro lado de la casa y también a 5,0 m. ¿Con que
velocidad mínima ha de lanzar la pelota para que pasa justo por la parte alta del tejado
de la casa? ¿Con que ángulo debe ser lanzada? Suponer que la pelota se lanza y se recoge a 1,0m
Figura del ejercicio 26
Figura del ejercicio 28
ALCANCE DE UN PROYECTIL
Para determinar el alcance horizontal de un proyectil en la ecuación de la trayectoria se
hace la y cero y se despeja la x.
0 = xtangθ −
g
x2
2v cos2 θ
2
0
sacando x factor común
0 = x (tangθ −
g
x )
2v cos2 θ
2
0
x=0 es una de las soluciones, la otra es
2v 02
2v 2
cos2 θtangθ = 0 sen θ cosθ
g
g
como 2senθcosθ = sen2θ
x=
x=
v 02
sen 2θ
g
Esta ecuación relaciona el alcance con el ángulo
de lanzamiento . Cuando θ0 es cero o 1800 el
alcance es cero. Como el seno de un ángulo θ es
igual que el de su suplementario (1800-θ) un
mismo alcance se puede conseguir con dos ángulos menores de 450 (por ejemplo 300 y 600, 400 y
700). Vemos que el alcance máximo se consigue
para un ángulo de 450.
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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EJEMPLO Un cohete sonda
Un cohete sonda para el estudio de la atmósfera se lanza en un desierto con una velocidad de 4,6 km/s. Si no puede caer a una distancia superior a 50 km del punto de lanzamiento, ¿cuál es la máxima desviación vertical permitida al cohete.
Razonamiento:
Conociendo el alcance horizontal máximo y la velocidad de lanzamiento podemos calcular el correspondiente ángulo de lanzamiento mediante la ecuación del alcance
x=
v 02
sen 2θ
g
sen 2θ =
gx
v 02
Como dará dos ángulos cogeremos el mayor porque es el que da la mayor altura.
Calculo:
(9,8m / s 2 )(50.105 m)
= 0,0232
(4,610
. 3 m / s2 )
Hay dos soluciones 2θ = 1,330 y 2 θ =1800-1,330. La respuesta que nos piden es el
segundo ángulo 0,670 respecto a la vertical.
sen 2θ =
EJERCICIOS
29.Como ingeniero te piden que diseñes una fuente para un parque público. Los surtidores de agua salen de orificios colocados en un circulo de tamaño despreciable, ha de
caer en un canal circular de radio 1,7m.Si el agua sale a una velocidad de 4,3m/s,¿cuál
debería ser el ángulo de los orificios? Escoger el ángulo que da la máxima altura.
30.Si θ es el ángulo de lanzamiento de un proyectil y h es la altura máxima. Demostrar
que el alcance máximo horizontal es igual a 4h/tangθ.
31.Una fuente circular tiene los surtidores dispuestos en círculos y dirigidos hacia el
centro con un ángulo inicial de inclinación de 450. Cada surtidor tiene una altura máxima de 2,2 m. a) Si todos los surtidores convergen en el centro, ¿cuál es el radio de la
fuente? b)si el ángulo inicial de uno de los surtidores se inclina 100 más abajo, ¿a que
distancia del centro caerá?
32. Se suelta una bomba desde un avión de bombardeo que vuela a una altura de 4.000
m con una velocidad de 900 km/h. Calcular: a) El tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. b) La velocidad con que llega al suelo. c) La posición de la bomba 10 s
después de ser soltada. d) El desplazamiento horizontal de la bomba cuando llega al
suelo. Solución: a)t =28,57s b) α=-48,230 c)x=2500m y=3510 m d)xm=7142,5 m
33.Desde un acantilado de 50 m sobre el nivel del mar se dispara horizontalmente un
proyectil contra un barco situado a 5 km de la costa. Calcular: a) ¿Cuánto tiempo tarda
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I
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el proyectil en dar en el blanco? b) ¿Con qué velocidad se debe disparar el proyectil?c)¿Con qué velocidad llega el proyectil al blanco? Solución: a)t=3,19 s b) x=1567,39
m c) v= 1567,7 m/s
34. Un jugador de golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60' con respecto al horizonte y con una velocidad de 60m/s. Calcular: a) La velocidad de la pelota en
el punto más alto de la trayectoria. b) La altura máxima alcanzada. e) El alcance máximo. Solución: a)vx=30m/s b) y=135,83m c)xm =318m
35.Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30' con la horizontal y cae en la
terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10
m, calcular la velocidad con que se lanzó. Solución: v0=29 m/s
36.Un jabalí embiste directamente a un cazador con una velocidad constante de 8 m/s.
En el instante en que el jabalí se encuentra a 50 m el cazador dispara una flecha con un
ángulo de elevación de 30'. ¿Con qué velocidad debe disparar para dar en el blanco?
Solución:v0=19,66m/s
37. Se dispara un proyectil con una velocidad de 500 m/s, formando un ángulo de 450
con la horizontal. Calcular: a) ¿Qué distancia horizontal alcanza? b) ¿A qué altura
máxima se eleva? c) ¿Qué velocidad tiene cuando alcanza dicha altura? Solución: a)
25.510 m;
b) 6.377,55 m;250,√2 m/s.
38.Un avión vuela a 800 m de altura, y deja caer una bomba 1.000 m antes de sobrevolar el objetivo haciendo blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión?Solución:281,9
km/h.
39.Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa
que tarda en tocar el agua 4 s en un punto que dista 60 m de (a base del acantilado.
Calcular: a) ¿Qué altura tiene el acantilado? b)¿Con qué velocidad se lanzó el proyectil?
c)¿Con qué velocidad llega al agua? Solución: a) 78,4 m; b) 15 m/s; e) 41,9 m/s.
40.Se dispara un proyectil con una velocidad de 200 m/s y un ángulo de elevación de
600. ¿En qué instantes y en qué posición la velocidad del proyectil forma un ángulo de
450 con la horizontal? Solución: t1=7,46 s; t2 = 27,87s; x1=746 m; y1 = 1019,4 m;x2
2.787 m; y2 = 1019,4 m.
41.Un avión vuela a 500 m con una velocidad de 360 km/h. En el suelo se halla una
batería antiaérea. Calcular la velocidad con que debe disparar la batería para abatir al
avión 8 s después de pasar éste por la vertical de la batería. Tomar g = 10 m/s2. Solución: 134,2 m/s con un ángulo de elevación de 45,70.