El modelo cinético molecular para un gas ideal

El modelo cinético molecular para un gas ideal
En 1662, Robert Boyle encontró que el volumen de un gas a temperatura constante es
proporcional al inverso de la presión – ley de Boyle
1
(1)
V∝
P
En 1787, Jacques Alexandre Charles encontró que el volumen de un gas es proporcional
a su temperatura
En 1802, Joseph Louis Gay-Lussac determinó la taja de expansión del gas con la
temperatura – ley de Charles-Gay-Lussac
(2)
V ∝T
En 1811, Amadeo Avogadro propuso la siguiente hipótesis para explicar estas leyes: con
las mismas condiciones de presión y temperatura en un volumen igual de gas se
encuentra una cantidad igual de moléculas – ley de Avogadro
De 1811 hasta 1858, la ley de Avogadro fue rechazada por los químicos (Avogradro
murió en 1856) - fue el italiano Stanislao Cannizzaro que mostró en 1858 que la ley de
Avogadro permite de determinar sistemáticamente de manera correcta la masa molecular
de los elementos químicos y sus formulas
El número de Avogadro N A – es el número de átomo en 0.012kg de carbono 12
(isótopo más común estable) - N A = 6.022 ×1023
La masa molecular M = masa de un mol
(3)
M = N Am
1
La ley de Avogadro permite de poner junto las leyes de Boyle y Charles-Gay-Lussac – la
ley de los gas es perfectos
(4)
PV = nRT
Donde n es la cantidad de mol (la cantidad de moléculas = n ⋅ N A ) y R es la constante de
los gases perfectos
J
(5)
R = 8.3145
mol ⋅ K
O
L ⋅ atm
(6)
R = 0.08206
mol ⋅ K
R
La razón
es una constante = la constante de Boltzmann
NA
R
J
(7)
= k = 1.381×10 −23
NA
moleculas ⋅ K
La ley de los gases perfectos toma la forma
(8)
PV = nN AkT = NkT
Donde N es la cantidad de moléculas
Se puede interpretar esta ley con el modelo cinético-molecular
Este modelo representa un gas ideal en un recipiente con un gran número de partículas que
rebotan contra la pared del recipiente
•
Un recipiente de volumen V contiene un N muy grande de moléculas idénticas cada
con masa m
•
Las moléculas son partículas puntuales con tamaño pequeño en comparación con la
distancia entre moléculas y dimensión del recipiente
•
Las moléculas son en constante movimiento è siguiendo la ley de Newton y las
colisiones con las paredes del recipiente son elásticas
•
La presión del gas corresponde al los choques constante de las moléculas contra las
paredes siguiendo la ley de conservación de la cantidad de movimiento - durante un
choque se cambia la dirección de la componente ⊥ a la pared de la cantidad de
movimiento de las moléculas pero no su componente P
2
Consideramos vx = la magnitud de la componente x de la velocidad de una molécula y
asumimos vx la misma para todas
El cambio de velocidad causado por el choque elástico es −v x
è El cambio de cantidad de movimiento: mvx − ( −mv x ) = 2mvx
En el intervalo de tiempo dt una molécula se encuentra a una distancia v x dt de la pared
El número de moléculas que chocan contra la pared en un área A durante el intervalo de
tiempo dt es igual al número de moléculas dentro del volumen cilíndrico V = Avx dt
Asumiendo la densidad de volumen N V uniforma el número de moléculas esta igual a
N
Av x dt
V
En promedio, la mitad de las moléculas ya chocaran contra la pared, por lo tanto el número de
1N
choques durante el intervalo de tiempo dt debe ser igual a
Avx dt
2V
El cambio total de cantidad de movimiento dp x para el sistema total de moléculas durante el
intervalo de tiempo dt es:
(9)
dp x =
1N
NAm 2
Avx dt ⋅ 2mvx =
v x dt
2V
V
Y la razón de cambio de la componente dPx es igual a la fuerza
dp
NAm 2
(10)
F= x =
vx
dt
V
3
Por definición de la presión
P=
(11)
F Nm 2
=
vx
A
V
IMPORTANTE - la componente vx no es realmente igual para todas las moléculas – pero
se puede agrupar las moléculas en diferentes valores y sumar ⇒ ( vx2 ) medio
Además, vx tiene una relación simple con la velocidad total promedio vmedio :
(v )
2
medio
= (v 2x ) medio + (v y2 )medio + (vz2 ) medio
Y con no hay ninguna diferencia entre las direcciones x, y, z ⇒ ( v 2 ) medio = 3 ( vx2 ) medio
Usando esta realción
VP =
(12)
1
2 1

2
2
Nm ( v )
= N  m (v )
medio
medio 
3
3 2

1
m ( v2 )
= K tr , molecula es la energía cinética media de una molécula multiplicando
medio
2
por el número total de molécula NKtrmolecula
= K tr es la energía cinética aleatoria total
,
Donde
La relación se cambia a
PV =
(13)
2
Ktr
3
Comparando con la ecuación de estado de un gas ideal PV = nRT
⇒ Ktr =
(14)
Dividiendo por N ( N = nN A )
(1.15)
3
nRT
2
Ktr
1
3 n
3 R 
3
= Ktrmolecula
= m ( v 2 ) medio =
RT = 
 T = kT
,
N
2
2N
2  NA 
2
Donde k es la constante de Boltzmann
4
Encontramos que la energía cinética aleatoria de las moléculas solamente depende de la
temperatura del gas
1
3
m (v2 )
= kT
medio
2
2
(16)
La energía cinética traslacional media por mol ( M = N A m)
(17)
NA
1
1
3
m ( v 2 ) = M ( v 2 ) = RT
med
med
2
2
2
Sobre la base molecular: N = N A n y R = N Ak
PV = nRT = NkT
(18)
La rapidez eficaz de una molécula vrms (root mean square) la raíz de la media de los
cuadrados
(19)
vrms =
(v )
2
med
=
3kT
=
m
3RT
M
A una temperatura dada T las moléculas con diferente masa m tiene la misma energía
cinemática media ⇒ pero diferente rapidez
g
se mueve más rápidamente que O2 con masa
mol
g
g
32
y H 2 que es más ligero M = 2
es aún más rápida
mol
mol
Ejemplo: N 2 del aire con masa M = 28
⇒ esto explica porque no se queda en la atmósfera: una porción apreciable rebasa la rapidez
m
de escape de la tierra 1.12 × 104
s
En realidad, choques de las moléculas con pared del recipiente no son elástico – las
moléculas adhieren durante un tiempo curto y luego salen con rapidez característica de T
5
Choques entre moléculas
La hipótesis de un gas perfecto = no hay interacciones entre las moléculas – pero en realidad
las moléculas se chocan una con otras - ¿Con que frecuencia chocan con otras? y ¿Cuanto
viajan en promedio entre dos choques?
Consideremos N moléculas en volumen V , asumiendo que son esferas rígidas de radio r
Supongamos que solamente una se mueve è chocara con otra cuando la distancia es 2r
Consideramos un cilindro con radio 2r con eje paralelo a la dirección de movimiento de la
molécula è esta molécula choca con otra cuyo centro esta dentro de este cilindro
Durante el tiempo dt la molécula viaja a una distancia vdt è el volumen del cilindro es por lo
tanto Vcil = 4π r 2vdt
Asumiendo una densidad homogénea ρ = N V , el número de moléculas que tiene su centro
N
dentro del cilindro será dN = ρVcil = 4π r 2vdt
V
El número de choques por segundo es:
(20)
dN
N
= 4π r 2 v
dt
V
6
Si tomamos en cuenta que todas las moléculas se mueven ⇒ la probabilidad de choques
aumenta por un factor 2 :
(21)
dN
N
= 4π 2r 2 v
dt
V
El tiempo medio entre dos choques = tiempo libre medio:
(22)
t medio =
V
4π 2r 2vN
Y la trayectoria libre media:
(23)
λ = vt medio =
V
4π 2r 2 N
Es inversamente proporcional al número de moléculas y inversamente proporcional al
área transversal è cuantas más moléculas + mayor su tamaño más alta la probabilidad
de colisiones
Para un gas ideal PV = NkT ⇒
(1.24)
V kT
=
N
P
λ = vt medio =
kT
4π 2 r 2 P
Aumenta con la temperatura y disminuya con la presión
Las condiciones para que se aplique las leyes de los gases perfectos son:
• Alta temperatura
• Baja presión
7
La ecuación de van der Waals
Cuando no se aplique las condiciones de los gases perfectos se debe tomar en cuenta las
interacciones entre moléculas – la ecuación de va der Waals (desarrollada en el siglo XIX
por J. D. van der Waals) consiste a introducir correcciones a la ecuación de los gases
ideales para tomar en cuenta el volumen de las moléculas y las fuerzas de atracción en

n2 
(25)
p
+
a

 (V − nb ) = nRt
V2 

Donde a y b son constantes empíricas que depende del gas
Si
•
Si b es el volumen de un mol de moléculas, entonces el volumen total será nb - la
corrección toma en cuenta que el volumen real donde se mueve las moléculas es
reducido por el volumen total de las moléculas V − nb
•
La constante a depende de las fuerzas de atracción intermoleculares – hace que la
presión del gas será reducida – el efecto es proporcional al número de las moléculas
por unidad de volumen en una capa cerca de la pared (interacción con la pared) y al
número de moléculas por unidad de volumen en la siguiente capa más allá de la pared
n n n2
è (interacción entre moléculas) = ⋅ = 2
V V V
n
es pequeño la distancia entre las moléculas es grande y la corrección es insignificante
V
3
J ⋅ m3
−5 m
Ej. Para CO2 - a = 0.364
y b = 4.27 ×10
mol 2
mol
Un mol de gas ideal a T = 0 o C y P = 1 atm ocupa un volumen de 0.0224m3 ⇒ Según la
ecuación de van der Walls la corrección es solamente del orden de 0.5%
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