10. Aplicaciones lineales

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA
ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA
NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
B. SUCESIONES
B.1 Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven
para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o
números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los
numeros racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient)
entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales
tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de
2) , o el 3,141592... (el número ) que poseen infinitos decimales pero no pueden
expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la
unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta
real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos
números de R.
En ocasiones expresamos a uno de estos conjuntos con un asterisco, para indicar que se
trata de todo él excepto el 0. Por ejemplo, por N* nos referimos a los números naturales
excepto el 0:
N*= {1,2,3,4,5,...}
B.2 Sucesiones de número reales.
Se llama sucesión de números reales, a una agrupación infinita de elementos del
conjunto R (conjunto de los números reales),
A cada uno de estos números se le llama término (primer término, segundo, etc.). De
una manera matemática una sucesión se suele definir como una aplicación de N * en R,
dada por:
1
es decir, para n=1 tenemos el primer término, para n=2 el segundo, ...
A las sucesiones se las suele representar por su término general, que es un término
genérico dependiente de n, tal que al ir dando a n los sucesivas valores de N* vamos
obteniendo todos los términos de ella. Por ejemplo, la sucesión:
es la formada por:
una sucesión que vamos a tomar para nuestros ejemplos. En concreto, en esta sucesión
hay dos aspectos destacables, observémosla más detenidamente dibujándola sobre la
recta real:
Por una parte, podemos notar que todos sus infinitos términos se encuentran
comprendidos entre 0 y 1. Esto es,
cuando esto sucede se dice que la sucesión está acotada (superiormente por el 1, e
inferiormente por el 0). En caso de que esto no fuera así, se hablaría de una sucesión noacotada (bien superiormente, bien inferiormente, o incluso puede ser no-acotada en
ambos lados).
El segundo aspecto destacable es que cada término es inferior al que le antecede (los
términos se encuentran colocados sobre la recta real de derecha a izquierda) lo cual
indica que la sucesión es decreciente. En caso opuesto como sucede con la sucesión (2,
4, 6, 8, 10, ...) se dice que la sucesión es creciente.
B.3 Límite de una sucesión.
Si nos fijamos nuevamente en la sucesión (1/n) representada gráficamente, podemos
comprobar que los términos son cada vez más pequeños, en otras palabras, los términos
convergen hacia 0.
Esta convergencia a 0 de una sucesión se define matemáticamente de una forma muy
precisa:
2
* Sucesión convergente a 0:
Dada una sucesión de números reales {xn} decimos que esta sucesión "converge al
número 0" (también se dice que la sucesión "tiene por límite 0") si:
(esta rigurosa definición se debe a Cauchy)
En este caso se suele expresar en la forma:
Por ejemplo, la sucesión:
converge a 0, lo cual gráficamente significa que sus términos se aproximan
paulatinamente hacia el 0, al que llegarían solamente para n= .
Para nuestro ejemplo tenemos:
Lo cual matemáticamente significa: que para cualquier valor real positivo (todo lo
pequeño que queramos) , siempre podemos hallar un valor entero p, tal que a partir de
él en adelante todos los términos de la sucesión son menores que .
Por ejemplo, tomemos un  suficientemente pequeño, digamos =0.001, entonces
existe una valor entero p, a partir del cual los siguientes términos son menores que ese
pequeño . En nuestro caso este p es 1001, pues veamos:
Etcétera, tal como lo hemos indicado en el diagrama siguiente:
3
y esto sucede para cualquier valor  que tomemos, por ejemplo para =0,000001 (algo
más pequeño) podemos encontrar el p que ahora vale p=1000001 (algo más grande). En
realidad este valor de p puede hallarse por la expresión:
(por los corchetes nos referimos a la parte entera de un número, así por ejemplo [3,14]=3 ) una
expresión que ha sido obtenida de considerar la condición:
y hallar el n más pequeño que cumpla esta desigualdad, a cuyo valor se le llama p. Una
vez obtenido este p tenemos:
* Sucesión convergente a x:
Dada una sucesión de números reales {xn} decimos que esta sucesión "converge al
número x" (también se dice que la sucesión "tiene por límite x") si:
Otra forma de decirlo es que la sucesión {xn-x}converge a 0:
Por ejemplo la sucesión:
converge hacia el número 2:
4
* Sucesión divergentes (convergente a infinito):
Toda sucesión que es creciente y está acotada superiormente es convergente a un
número x. De forma similar, toda sucesión que es decreciente y está acotada
inferiormente es convergente a un número x.
Ahora vamos a ocuparnos de aquellas sucesiones que siendo crecientes o decrecientes
(llamadas "monótonas") no están acotadas. Para ello necesitamos aclarar lo que se llama
"entorno del infinito":
Un número x decimos que pertenece al "entorno del infinito", lo cual se expresa:
si para cualquier número positivo, A, todo lo grande que uno desee, x es mayor que A:
De forma análoga, un número x se dice que pertenece al "entorno del infinito
negativo",
, si para cualquier número positivo, A, todo lo grande que uno
desee, tenemos que x es menor que (-A):
Así definidos los entornos del infinito, el concepto de límite de una sucesión puede ser
generalizado.
* Sucesión convergente a infinito:
Es decir, los términos de la sucesión (para valores de n altos) pertenecen al entorno de
infinito. Como ejemplo considérese la sucesión de números pares:
(2 n) = 2, 4, 6, 8, 10, ...., 10000000, .......
* Sucesión convergente a -infinito:
Es decir, los términos de la sucesión (para valores de n altos) pertenecen al entorno de
infinito negativo. Como ejemplo considérese la sucesión de números pares negativos:
(-2 n) = -2, -4, -6, -8, -10, ...., -10000000, .......
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Existe un tercer caso, de sucesiones alternas, con términos positivos y negativos
alternándose, como por ejemplo la sucesión de término general (-2)n, cuyos términos
son: -2, 4, -8, 16, -32, 64, .... En este caso decimos que la sucesión tiene por límite
infinito, , (sin especificar el signo). Para hacer el estudio de este tipo de sucesiones
alternas se suele considerar el valor absoluto de sus términos.
B.4 El número e.
Consideremos una sucesión muy útil y práctica en los trabajos científicos, se trata de
la sucesión cuyo término general es:
Esta sucesión está acotada superiormente (ningún termino puede ser superior a 3), por
otra parte es creciente como puede apreciarse en la siguiente tabla.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1+1/n)n
2
2,25
2,370371
2,441406
2,488320
2,521626
2,546501
2,581176
2,593743
es decir, se trata de una sucesión monótona creciente y acotada, por lo tanto es
convergente hacia un cierto número. A este número que es su límite se le llama número
e (en honor de Euler):
El número e es un número irracional, una aproximación de su valor se obtiene
introduciendo en la expresión de arriba un valor grande de n, entonces aparece:
e = 2,71828182.....
Pero el número e además puede ser expresado en la forma:
siendo (xn) una sucesión tal que
positivo o negativo.
, o sea, tiene por límite infinito, ya sea
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B.5 Propiedades de límites de sucesiones.
Consideremos dos sucesiones convergentes a ciertos límites x e y:
entonces es fácil demostrar que se cumplen las siguientes propiedades:
a) Límite de una suma:
-- Excepto para el caso +
+(-
) --
b) Límite de una resta:
-- Excepto para el caso
-
--
,
× 0 --
c) Límite de un producto:
- Excepto para los casos 0 ×
d) Límite de un cociente:
- Excepto para los casos 0/0,
/
--
e) Límite de expresiones exponenciales:
-- Excepto para los casos
f) Límite de exponenciales:
Para cualquier número positivo a:
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--
g) Límite de logaritmo:
-- Sin excepciones siempre que x>0 --
B.6 Cálculo de límites de sucesiones
En general para calcular el límite de una sucesión {xn} sustituiremos en n el valor +
, pero si al hacer esto nos encontramos con alguna indeterminación del tipo
,
- ,
/ , 0/0, entonces deberemos tratar de modificar la forma del término
general antes de realizar esta sustitución. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Hallemos el límite de la sucesión
Solución: Si sustituimos directamente n por , nos encontramos con la
indeterminación / , y en estos casos lo que se suele hacer es dividir numerador y
denominador por la mayor potencia del denominador:
Ejemplo 2: Hallemos el límite de la sucesión
Solución: Si sustituimos directamente n por , nos encontramos con la
indeterminación - , en estos casos se procura dejar el término general en forma de
un cociente, en concreto:
o sea, 0.
Ejemplo 3: Hallemos el límite de la sucesión
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Solución: Si sustituimos directamente n por
exponente, en principio tenemos:
, tanto en el paréntesis como en el
lo que nos lleva a una indeterminación en la forma
transformar en una forma del número e:
, la cual siempre se puede
Ahora teniendo en cuenta lo anteriormente dicho, que para una sucesión {xn}
tendiendo a infinito (positivo o negativo) se tiene:
en nuestro caso tenemos:
por lo tanto el límite será:
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Ejemplo 4: Hallemos el límite de la sucesión
Solución: Si sustituimos directamente n por
º. Pero en este caso podemos realizarlo así:
, nos queda la forma indeterminada
En realidad, el resultado de este límite se puede generalizar para el caso de la raíz nésima de una suma de números elevados a n, de tal manera que en el ( ) se tiene la
equivalencia:
donde k es el mayor de estos números elevados a n.
B.7 Criterios de convergencia para límites especiales.
En algunas ocasiones deben tenerse en cuenta ciertos criterios para asegurar que una
sucesión es o no convergente, y en el primer caso poder conocer su límite. El más
utilizado de ellos es el llamado "criterio de Stolz" (debido a Otto Stolz):.
* Criterio de Stolz.
Sean dos sucesiones {an} y {bn}, siendo {bn} monótona (creciente o decreciente),
tales que se cumple una de estas dos cosas:
1) Las dos sucesiones convergen a 0.
2) La sucesión {bn} es divergente, es decir lim{bn}=.
En este caso si:
entonces también tendrá por límite L:
Ejemplo 5: Hallemos el límite de la sucesión
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Solución: La sucesión del denominador, al menos, es divergente (tiende a infinito) por
tanto podemos utilizar el criterio de Stolz:
Si llamamos,
podemos expresar:
Ejemplo 6: Hallemos el límite de la sucesión
Solución: En este caso, tanto la sucesión {an} como la {bn} convergen a 0, por lo que
podemos aplicar el criterio de Stolz:
por lo que el límite será:
* Otros criterios de convergencia para sucesiones:
- Criterio de la media aritmética:
- Criterio de la media geométrica:
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- Criterio de la raíz:
Ejemplo 7: Hallemos el límite de la sucesión,
Solución: En el numerador tenemos una suma de n términos, y en el denominador
tenemos a "n", por lo tanto se trata de un "media aritmética", según este criterio su
límite es simplemente:
Ejemplo 8: Hallemos el límite de la sucesión,
Solución: utilizamos el criterio de la raíz, entonces tenemos:
B.8 Equivalencia "límites de sucesiones límites de funciones en
".
En principio para las indeterminaciones 0/0 ó / no puede aplicarse la regla de
L'Hôpital, que está definida sólo para límites de funciones (se estudia en el tema
correspondiente), sin embargo hay que remarcar el siguiente concepto que en muchas
ocasiones facilita obtener límites de sucesiones con estos tipos de indeterminaciones:
<<Si
>>.
existe, entonces también existe
, y ambos límites coinciden
Esto significa que que nosotros sí podemos utilizar la la regla de L'Hôpital o el
concepto de infinitos equivalentes utilizando las técnicas descritas en el tema de límites
de funciones.
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Es también necesario recordar algunas equivalencias para realizar sustituciones a la
hora de hacer ciertos límites:
El alumno puede practicar intentando resolver los siguientes ejercicios:
Sección 1:
Hallar cada uno de estos límites de sucesiones:
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Sección 2:
Hallar estos dos límites de sucesiones del tipo
del número e:
, pasándolos a la forma adecuada
Sección 3:
Hallar estos dos límites especiales por el criterio de Stolz:
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