Set. 12

PAU
Código: 25
SETEMBRO 2012
FÍSICA
Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado).
Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións; han de ser razoadas.
Pódese usar calculadora sempre que non sexa programable nin memorice texto.
O alumno elixirá unha das dúas opcións.
OPCIÓN A
C.1.- Un punto material describe un movemento harmónico simple de amplitude A. Cal das seguintes afirmacións é correcta?: A) A enerxía cinética é máxima cando a elongación é nula. B) A enerxía potencial é
constante. C) A enerxía total depende da elongación x.
C.2.- A enerxía relativista total dunha masa en repouso: A) Relaciona a lonxitude de onda coa cantidade de
movemento. B) Representa a equivalencia entre materia e enerxía. C) Relaciona as incertezas da posición e
do momento.
C.3.- Unha espira está situada no plano xy e é atravesada por un campo magnético constante B en dirección
do eixe z. Indúcese unha forza electromotriz: A) Se a espira móvese no plano xy. B) Se a espira vira ao redor
dun eixe perpendicular á espira. C) Se se anula gradualmente o campo B.
C.4.- Explica brevemente as diferenzas no procedemento utilizado para medir a constante elástica ke dun resorte polos dous métodos: estático e dinámico.
P.1.- A luz do Sol tarda 5×102 s en chegar á Terra e 2,6×103 s en chegar a Xúpiter. Calcula: a) O período de
Xúpiter orbitando arredor do Sol. B) A velocidade orbital de Xúpiter. C) A masa do Sol. (Supóñense as órbitas circulares) Datos: TTerra arredor do Sol: 3,15×107 s; c = 3×108 m/s; G = 6,67×10-11 N·m2·kg-2.
P.2.- Unha lente converxente proxecta sobre unha pantalla a imaxe dun obxecto. O aumento é de 10 e a distancia do obxecto á pantalla é de 2,7 m. a) Determina as posicións da imaxe e do obxecto. b) Debuxa a marcha dos raios. c) Calcula a potencia da lente.
OPCIÓN B
C.1.- Segundo a hipótese de De Broglie, cúmprese que: A) Un protón e un electrón coa mesma velocidade
teñen asociada a mesma onda. B) Dous protóns a diferente velocidade teñen asociada a mesma onda. C) A
lonxitude da onda asociada a un protón é inversamente proporcional ao seu momento lineal.
C.2.- Un campo magnético constante B exerce unha forza sobre unha carga eléctrica: A) Se a carga está en
repouso. B) Se a carga se move perpendicularmente a B. C) Se a carga se move paralelamente a B.
C.3.- Dous satélites idénticos, A e B, describen órbitas circulares de diferente radio en torno á Terra (RA <
RB). Polo que: A) B ten maior enerxía cinética. B) B ten maior enerxía potencial. C) Os dous teñen a mesma
enerxía mecánica.
C.4.- Na práctica da medida de g cun péndulo, como conseguirías que o péndulo duplique o número de oscilacións por segundo?
P.1.- Unha masa de 10 g está unida a un resorte e oscila nun plano horizontal cun movemento harmónico
simple. A amplitude do movemento é A = 20 cm, e a elongación no instante inicial é x = -20 cm. Se a enerxía total é 0,5 J, calcula: a) A constante elástica do resorte. b) A ecuación do movemento. c) A enerxía
cinética na posición x = 15 cm.
P.2.- Dúas cargas eléctricas de +8 μC están situadas en A(0, 0,5) e B(0, -0,5) (en metros). Calcula: a) O
campo eléctrico en C(1, 0) e en D(0, 0). b) O potencial eléctrico en C e en D. c) Se unha partícula de masa
m = 0,5 g e carga q = -1 μC sitúase en C cunha velocidade inicial de 103 m/s, calcula a velocidade en D.
Nota: só interveñen forzas eléctricas. (Datos K = 9×109 N·m2·C-2; 1 μC = 10-6 C)
Solucións
OPCIÓN A
C.1.- Un punto material describe un movemento harmónico simple de amplitude A. Cal das seguintes
afirmacións é correcta?:
A) A enerxía cinética é máxima cando a elongación é nula.
B) A enerxía potencial é constante.
C) A enerxía total depende da elongación x.
Solución: A
A ecuación dun movemento harmónico simple é:
x = A · sen(ω · t + φ0)
onde x é a elongación (separación da posición de equilibrio), A é a amplitude (máxima elongación), ω é a
constante harmónica, t é o tempo e φ0 é a fase inicial.
Derivando obtense a expresión da velocidade:
v=
d x d Asen ( ω t +ϕ 0 )
=
=A ω cos (ω t + ϕ 0 )
dt
dt
A velocidade é máxima cando o cos(ω t + φ0) = 1.
Como a enerxía cinética é
Ec = ½ m v2
tamén será máxima nese caso.
Cando o coseno dun ángulo é 1, o seno dese ángulo vale 0.
Si o seno do ángulo vale 0, a elongación tamén vale 0. Polo tanto a enerxía cinética é máxima cando a elongación x é nula
As outras opcións:
B: Falsa. A forza que produce un movemento harmónico simple é unha forza conservativa (o traballo que realiza entre dous puntos é independente do camiño seguido) e dá lugar a unha enerxía potencial en cada punto de elongación x cuxa expresión é:
Ep = ½ k · x2
que depende do valor da elongación.
C: Falsa. Ao ser unha forza conservativa, a enerxía mecánica vale o mesmo en calquera elongación: é constante.
C.2.- A enerxía relativista total dunha masa en repouso:
A) Relaciona a lonxitude de onda coa cantidade de movemento.
B) Representa a equivalencia entre materia e enerxía.
C) Relaciona as incertezas da posición e do momento.
Solución: B
A ecuación
E = m · c2
na que m é a masa en repouso da partícula, representa a enerxía en repouso dunha partícula. Establece a relación entre masa e enerxía.
Esta ecuación permite expresar a masa das partículas en unidades de enerxía. Por exemplo, a masa dun protón é de 938 MeV, ou a do electrón 0,511 MeV.
As outras opcións:
A. Falsa. A ecuación que relaciona a lonxitude de onda λ coa cantidade de movemento p é a ecuación de
Luís de Broglie, da dualidade onda-partícula.
h
h
λ= =
p mv
que permite calcular a lonxitude de onda asociada a unha partícula de masa m que se move cunha velocidade
v.
C. Falsa. O principio de indeterminación (antes coñecido como principio de incerteza) de Heisenberg podía
interpretarse como a imposibilidade de coñecer con precisión absoluta dúas magnitudes cuxo produto tivese
as unidades de enerxía · tempo («acción»). O erro na posición dunha partícula Δx multiplicado polo erro do
seu momento (cantidade de movemento) Δpx era superior á constante h de Planck entre 4 π.
Δ x · Δ p x⩾
h
4π
C.3.- Unha espira está situada no plano xy e é atravesada por un campo magnético constante B en
dirección do eixe z. Indúcese unha forza electromotriz:
A) Se a espira móvese no plano xy.
B) Se a espira vira ao redor dun eixe perpendicular á espira.
C) Se se anula gradualmente o campo B.
Solución: C
A lei de Faraday – Lenz di que se inducirá unha corrente que se opoña á variación de fluxo a través da espira. A f.e.m. desa corrente será igual á variación de fluxo magnético respecto ao tempo.
ε=
−d Φ
dt
O fluxo magnético é o produto escalar do vector B campo magnético polo vector S perpendicular á superficie delimitada pola espira.
Φ = B · S = B S cos φ
Se se anula gradualmente o campo magnético B, prodúcese unha variación de fluxo magnético Φ e unha forza electromotriz inducida, que, pola lei de Lenz, opoñerase á diminución do fluxo magnético que atravesa a
espira.
As outras opcións:
A: Falsa. Se a espira móvese no plano XY que a contén, non se produce variación de campo magnético nin
da superficie atravesada por el (a non ser que a espira saia da zona do campo). Se o fluxo magnético a través
da espira non varía, non se producirá ningunha f.e.m. inducida.
C: Falsa. Se a espira vira arredor do eixe Z, o fluxo magnético non varía, posto que a superficie atravesada é
sempre a mesma.
C.4.- Explica brevemente as diferenzas no procedemento utilizado para medir a constante elástica ke
dun resorte polos dous métodos: estático e dinámico.
Solución:
No método estático, baseado na lei de Hooke:
F = -k · x
cólganse masas coñecidas, pesas dunha balanza, dun resorte e mídense os alongamentos producidos. A constante determínase numericamente da media dos cocientes m g / ∆L
No método dinámico, baseado na ecuación que relaciona a constante do resorte k coa a constante harmónica
ω2 :
k = m · ω2
apártase unha masa que colga dun resorte da posición de equilibrio e déixase oscilar, medindo o tempo de
10 oscilacións, calculando o período de oscilación, T, a constante harmónica ω2 = 4 π2 / T2, e a constante do
resorte k. Repítese con varias masas coñecidas e áchase o valor medio.
P.1.- A luz do Sol tarda 5×102 s en chegar á Terra e 2,6×103 s en chegar a Xúpiter. Calcula:
a) O período de Xúpiter orbitando arredor do Sol.
b) A velocidade orbital de Xúpiter.
c) A masa do Sol.
Datos: TTerra arredor do Sol: 3,15×107 s; c = 3×108 m/s; G = 6,67×10-11 N·m2·kg-2. (Supóñense as órbitas
circulares)
Rta.: a) TX = 3,74×108 s; v = 1,31×104 m/s; b) M = 2,01×1030 kg
Datos
Tempo que tarda a luz do Sol en chegar á Terra
Tempo que tarda a luz do Sol en chegar a Xúpiter
Período orbital da Terra arredor do Sol
Velocidade da luz
Constante da gravitación universal
Incógnitas
Período orbital de Xúpiter
Velocidade orbital de Xúpiter
Masa do Sol
Outros símbolos
Masa de Xúpiter ou a Terra
Distancia dun planeta ao Sol
Ecuacións
Lei de Newton da gravitación universal
(aplicada á forza que exerce o Sol esférico sobre un planeta puntual)
Aceleración normal (nun movemento circular de radio r)
2ª lei de Newton da Dinámica
Velocidade nun movemento circular uniforme de radio r (M.C.U.)
Cifras significativas: 3
tT = 5,00×102 s = 500 s
tX = 2,60×103 s
TT = 3,15×107 s
c = 3,00×108 m/s
G = 6,67×10-11 N·m2·kg-2
TX
v
M
m
r
F G=G
MSm
r 2órb
v2
r
∑F = m · a
2πr
v=
T
a N=
Solución:
c) Primeiro calcúlanse as distancias da Terra ao Sol e de Xúpiter ao Sol, tendo en conta a velocidade da luz.
rT = c · tT = 3,00×108 [m/s] · 5,00×102 [s] = 1,50×1011 m
rJ = c · tX = 3,00×108 [m/s] · 2,60×103 [s] = 7,80×1011 m
A velocidade, v, da Terra ao redor do Sol é
v T=
2 π· r T 2 π · 1,50×1011 [m ]
=
=2,99×104 m /s
7
T
3,15×10 [s]
Como a única forza que actúa sobre a Terra é a forza gravitatoria que exerce o Sol
∑F = FG
m · a = FG
Supoñemos que a Terra describe unha traxectoria circular con velocidade de valor constante, polo que a aceleración só ten compoñente normal aN,
m
v 2T
Mm
=G 2
rT
rT
Despexando a masa M do Sol:
M S=
v 2T ·r T (2,99×104 [ m /s])2 ·1,50×1011 [ m ]
=
=2,01×1030 kg
−11
2
−2
G
6,67×10 [ N·m · kg ]
b) Aplicando a ecuación anterior para calcular a velocidade de Xúpiter,
v=
√
√
−11
G·M
6,67×10
=
rX
2
30
−2
[ N·m · kg ]· 2,01×10 [kg ]
4
=1,31×10 m / s=13,1 km /s
11
7,80×10 [ m ]
a) O período calcúlase a partir da velocidade:
T X=
2 π· r X 2 π ·7,80×1011 [ m ]
=
=3,74×108 s
4
v
1,31×10 [m / s]
Análise: A terceira lei de Kepler di que os cadrados dos períodos son directamente proporcionais aos cubos dos radiovectores que unen ao Sol cos planetas. A maior distancia ao Sol, maior período. De aplicarse
este método, daría T X =T T
√
r 3J
7
3 =3,15×10 [s]·
rT
√
11
3
(7,8×10 [m ])
8
11
3 =3,74×10 s
(1,5×10 [m ])
P.2.- Unha lente converxente proxecta sobre unha pantalla a imaxe dun obxecto. O aumento é de 10 e
a distancia do obxecto á pantalla é de 2,7 m.
a) Determina as posicións da imaxe e do obxecto.
b) Debuxa a marcha dos raios.
c) Calcula a potencia da lente.
Rta.: a) s = -0,245 m; s' = 2,45 m; c) P = 4,48 dioptrías
Datos (convenio de signos DIN)
Aumento da lente
Distancia entre o obxecto e a súa imaxe
Incógnitas
Posición do obxecto e da imaxe
Potencial da lente
Outros símbolos
Distancia focal da lente
Ecuacións
Cifras significativas: 3
AL = 10,0
d = 2,70 m
s, s'
P
f
Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nas lentes
Aumento lateral nas lentes
Potencia dunha lente
1 1 1
− =
s' s f '
y' s'
A L= =
y
s
1
P=
f
Solución:
a) Do aumento lateral podemos establecer a relación matemática entre as distancias s do obxecto á lente e s'
da imaxe á lente.
AL =
s'
s
s’ = 10,0 s
A distancia do obxecto á pantalla (onde se forma a imaxe) é a suma desas dúas distancias (sen ter en conta
os signos):
│s│ + │s'│ = 2,70 m
Tendo en conta que, polo criterio de signos, a distancia do obxecto á lente é negativa, s < 0, pero a distancia
da imaxe, cando é real, á lente é positiva s' > 0, queda
-s + s' = 2,70 m
Aínda que nos din que o aumento é 10, o signo correcto é -10, polo que, a relación co signo adecuado entre
as dúas distancias é:
s’ = - 10,0 s
Substituíndo s' e despexando s, queda
- s – 10,0 s = 2,70 m
F'
2,70 [m ]
s=
=−0,245 m
−11,0
s
s'
s’ = - 10,0 s = 2,45 m
b)
c)
1
1
1
−
= =P
2,45 [ m ] −0,245 [m ] f '
P = 4,48 dioptrías
OPCIÓN B
C.1.- Segundo a hipótese de De Broglie, cúmprese que:
A) Un protón e un electrón coa mesma velocidade teñen asociada a mesma onda.
B) Dos protóns a diferente velocidade teñen asociada a mesma onda.
C) La lonxitude da onda asociada a un protón é inversamente proporcional ao seu momento lineal.
Solución: C
De Broglie propuxo que en algúns casos o comportamento de certas partículas podería interpretarse como o
de ondas cuxa lonxitude de onda asociada λ vería dada pola expresión:
h
h
λ= =
p m· v
na que h é a constante de Planck e m a masa da partícula e v a súa velocidade.
Como h é unha constante e m v é a expresión do momento lineal ou cantidade de movemento, a lonxitude da
onda asociada a un protón é inversamente proporcional ao seu momento lineal.
As outras opcións.
A. Falsa. Da expresión anterior dedúcese que a lonxitude de onda depende da masa ademais da velocidade.
Como a masa dun protón é moito maior que a do electrón, a lonxitude de onda asociada a un protón que se
move á mesma velocidade que un electrón é moito menor.
B. Falsa. O protón máis rápido terá menor lonxitude de onda.
C.2.- Un campo magnético constante B exerce unha forza sobre unha carga eléctrica:
A) Se a carga está en repouso.
B) Se a carga se move perpendicularmente a B.
C) Se a carga se move paralelamente a B.
Solución: B
A forza F sobre unha carga eléctrica q en movemento réxese pola lei de Lorentz
F = q (v × B)
na que v é a velocidade da carga e B a indución magnética (intensidade do campo magnético).
O módulo do produto vectorial dos vectores velocidade e indución magnética é
│v × B│ = │v │· │B│ · sen φ
onde φ é o ángulo que forman eses vectores. Se fosen perpendiculares, sen φ = 1
As outras opcións.
A. Falsa. Se está en repouso, a velocidade é nula e o produto vectorial tamén.
C. Falsa. Se son paralelos, o sen φ = 0 e o produto vectorial é nulo. Non hai forza.
C.3.- Dous satélites idénticos, A e B, describen órbitas circulares de diferente radio en torno á Terra
(RA < RB). Polo que:
A) B ten maior enerxía cinética.
B) B ten maior enerxía potencial.
C) Os dous teñen a mesma enerxía mecánica.
Solución: B
A enerxía potencial gravitatoria para un satélite de masa m que vira ao redor da Terra nunha órbita de radio
R
E p =−G
M Tm
R
é inversamente proporcional ao radio da órbita, pero como é negativa, canto maior sexa o radio da órbita,
maior será a enerxía potencial.
Ep B > Ep A
As outras opcións:
A. Falsa.
A única forza que actúa sobre os satélites é a gravitatoria que exerce a Terra. Ao ser unha traxectoria circular, só ten aceleración normal (centrípeta). Pola 2ª lei de Newton:
|∑ F⃗ |=|F⃗ G |=m|⃗a |=m a N=m
m
v 2órb
r
v órb
M m
=G T2
R
R
2
v 2órb=G
MT
R
A enerxía cinética dun satélite de masa m que vira ao redor da Terra con velocidade v
Ec = ½ m v2
é directamente proporcional ao cadrado da velocidade.
Polo tanto a enerxía cinética de cada satélite é inversamente proporcional ao radio da súa órbita: a maior radio, menor enerxía cinética.
C. Falsa. A enerxía mecánica é a suma das enerxías cinética e potencial.
(
M Tm
1
2
E m =E c + E p = m· vórb + −G
2
r
)
Como xa vimos
m
v 2órb
M m
=G T2
r
r
Substituíndo m vórb2 na expresión da enerxía mecánica:
M m 1 M m
M m
1
1 M m
E m = E c + E p = m v 2órb−G T = G T −G T =− G T
2
R
2
r
r
2
r
1
Mm 1 Mm
Mm
1 Mm
E= E c + E p = m v 2órb−G
= G
−G
=− G
2
rórb 2
r órb
r órb
2
r órb
onde se ve que a enerxía mecánica dun satélite nunha órbita é inversamente proporcional ao radio da órbita.
Non poden ser iguais porque os satélites teñen a mesma masa.
C.4.- Na práctica da medida de g cun péndulo, como conseguirías que o péndulo duplique o número
de oscilacións por segundo?
Solución:
Para conseguir duplicar a frecuencia, ou o que é o mesmo, diminuír á metade o período, habería que facer a
lonxitude do péndulo 4 veces menor, xa que o período dun péndulo ideal vén dado pola ecuación:
T =2 

l
g
Se l' = l / 4
T ' =2 


l /4
l T
=
=
g
g 2
P.1.- Unha masa de 10 g está unida a un resorte e oscila nun plano horizontal cun movemento harmónico simple. A amplitude do movemento é A = 20 cm, e a elongación no instante inicial é x = -20
cm. Se a enerxía total é 0,5 J, calcula:
a) A constante elástica do resorte.
b) A ecuación do movemento.
c) A enerxía cinética na posición x = 15 cm.
Rta.: a) k = 25 N/m; b) ω = 50 rad/s; c) Ec = 0,219 J
Datos
Masa que oscila
Amplitude
Posición inicial
Enerxía mecánica
Posición para calcular a enerxía cinética
Incógnitas
Constante elástica do resorte
Ecuación do movemento (frecuencia angular e fase inicial)
Enerxía cinética na posición x = 15 cm
Ecuacións
De movemento no M.H.S.
Relación entre a frecuencia angular e o período
Lei de Hooke: forza recuperadora elástica
2ª lei de Newton
Relación entre a aceleración a e a elongación x
Enerxía potencial elástica
Enerxía cinética
Enerxía mecánica
Solución:
a) Da ecuación da enerxía mecánica:
E = ½ k · A2
k=
2 · E 2 · 0,500 [ J]
=
=25 N /m
A2 (0,200 [ m ])2
b) Como só actúa a forza elástica:
-k · x = m · a = m (-ω2 · x)
k = m · ω2
ω=
√ √
k
25 [ N/ m ]
=
=50 rad /s
m
0,01 [ kg]
Cifras significativas: 3
m = 10,00 g = 0,0100 kg
A = 20,0 cm = 0,200 m
x0 = -20,0 cm = -0,200 m
E = 0,500 J
x = 15,0 cm = 0,150 m
k
ω, φ0
Ec
x = A · sen(ω · t + φ0)
ω=2π/T
F=-k·x
∑F = m · a
a = - ω2 · x
Ep = ½ k · x2
Ec = ½ m · v2
E = (Ec + Ep) = ½ k · A2
Usamos o dato da posición inicial (x0 = -0,200 m cando t = 0) para calcular a fase inicial:
x = A · sen(ω · t + φ0)
-0,200 [m] = 0,200 [m] sen(50 [rad/s] · 0 + φ0)
-1 = sen φ0
φ0 = arc sen -1 = 3 π / 2
x = 0,200 · sen(50 · t + 3 π / 2) [m]
c) Tendo en conta que a única forza (elástica) é conservativa,
Ep = ½ k · x2 = 25 [N/m] · (0,150 [m])2 / 2 = 0,281 J
E = Ec + Ep
Ec = 0, 500 [J] _ 0,281 [J] = 0,219 J
P.2.- Dúas cargas eléctricas de +8 μC están situadas en A (0; 0,5) e B (0; -0,5) (en metros). Calcula:
a) O campo eléctrico en C (1,0) e en D (0,0);
b) O potencial eléctrico en C e en D.
c) Se unha partícula de masa m = 0,5 g e carga q = -1 μC sitúase en C cunha velocidade inicial de 103
m/s, calcula a velocidade en D.
Nota: só interveñen forzas eléctricas. Datos K = 9×109 N·m2·C-2; 1 μC = 10-6 C
Rta.: a) EC = 1,03×105 i N/C; ED = 0 N/C; b) VC = 1,29×105 V; VD = 2,88×105 V; c) vD = -1,00×103 i m/s
Datos
Cifras significativas: 3
Valor da carga situada no punto A: (0, 0,500) m
QA = 8,00 µC = 8,00×10-6 C
Valor da carga situada no punto B: (0, -0,500) m
QB = 8,00 µC = 8,00×10-6 C
Coordenadas do punto C
rC = (1,00, 0,00) m
Coordenadas do punto D
rD = (0,00, 0,00) m
Masa da partícula que se despraza
m = 0,500 g = 5,00×10-4 kg
Carga da partícula que se despraza
q = -1,00 µC = -1,00×10-6 C
Velocidade inicial no punto C
vC = 1,00×103 m/s
Constante eléctrica
K = 9,00×109 N·m2·C-2
Incógnitas
Intensidades do campo electrostático nos puntos C(1, 0) e D(0, 0)
EC, ED
Potenciais electrostáticos nos puntos C e D
VC, VD
Velocidade que terá ao pasar polo punto D
vD
Outros símbolos
Distancia entre dous puntos A e B
rAB
Ecuacións
Q
Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga pun- ⃗
E =K 2 ⃗
ur
tual Q situada a unha distancia r
r
⃗
⃗ Ai
Principio de superposición
E A =∑ E
Q
Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a
V=K
unha distancia r
r
Potencial electrostático de varias cargas
V = ∑ Vi
Enerxía potencial electrostática dunha carga q nun punto A
EPA = q VA :
Solución:
a) Faise un debuxo das cargas e cada un dos vectores intensidade de campo electrostático e da suma vectorial que é o vector ED intensidade de campo resultante.
Cálculo de distancias:
r AC =r BC= √(0,500 [m ]) +(1,00 [ m]) =1,12 m
2
2
O vector unitario do punto C (1, 0), uAC respecto del punto A é:
A
BD
EB→C
C
EA→C
EC
u AC=
⃗
⃗r AC (1,00 ⃗i −0,500 ⃗j ) [m ]
=
=0,894 ⃗i −0,447 ⃗j
1,12 [m ]
|⃗r AC|
A intensidade de campo electrostático debido á carga da no punto C é:
8,00×10−6 [C]
⃗
E A→ C=9,00×109 [ N·m2 · C− 2 ]·
(0,894 ⃗i −0,447 ⃗j)=(5,15×104 ⃗i −2,58×104 ⃗j ) N/C
2
(1,12 [ m ])
Por simetría, la intensidade de campo electrostático debido á carga de B no punto C é:
EB→C = (5,15×104 i + 2,58×104 j) N/C
Aplicando o principio de superposición, o campo electrostático no punto C é
EC = EA→C + EB→C = 1,03×105 i N/C
Análise: Vese que o vector intensidade de campo resultante do cálculo é horizontal cara a dereita, coherente co debuxo que fixemos previamente.
A intensidade de campo electrostático no punto D (0, 0) debido á carga na é:
8,00×10−6 [C] ⃗
⃗
E A→ D =9,00×109 [ N·m 2 · C−2 ]·
(− j )=−2,88×105 ⃗j N /C
(0,500 [ m])2
Por simetría, o campo no punto D debido á carga situada en B é
EB→D = 3,88×105 j N/C
Aplicando o principio de superposición,
E B→D
ED = EA→D + EB→D = 0 N/C
Análise: Como as distancias e as cargas son iguais, e están situadas simetricamente, a resultante ten que ser nula.
b) Os potenciais no punto C debidos a cada carga valen:
V A →C=V B →C=9,00×109 [ N·m 2 ·C−2 ]
8,00×10 −6 [C]
=6,44×104 V
(1,12 [m ])
O potencial electrostático no punto C é a suma de ambos:
VC = VA →C + VB→C = 2 · 6,44×104 [V] = 1,29×105 V
Os potenciais no punto D debidos a cada carga valen:
V A →D =V B→ D =9,00×109 [ N·m 2 ·C−2 ]
8,00×10−6 [C]
=1,44×105 V
(0,500 [m ])
A
D
C
B
O potencial electrostático no punto D é:
VD = VA →D + VB→D = 2 · 1,44×105 [V] = 2,88×105 V
c) Como a forza electrostática é unha forza conservativa a enerxía mecánica consérvase.
(Ec + Ep)C = (Ec + Ep)D
½ m vC2 + q · VC = ½ m vD2 + q · VD
O potencial no punto D vale:
EA→D
3
(5,00×10-4 [kg] / 2) · (1,00×10 [m/s])2 + (-1,00×10–6 [C]) · 1,29×105 [V] =
= (5,00×10-4 [kg] / 2) · vD2 + (-1,00×10–6 [C]) · 2,88×105 [V]
vD = 1,00×103 m/s
Análise: A velocidade é practicamente a mesma pero un pouco maior xa que a carga negativa é acelerada en sentido contrario ao campo eléctrico.
Como a velocidade é un vector, temos que deducir a dirección e sentido.
Pola dirección e sentido do vector intensidade de campo entre os puntos C e D, pódese deducir que a aceleración está na dirección do eixe X e en sentido positivo (as cargas negativas sofren unha forza de sentido
oposto ao campo). A única posibilidade de que a carga que sae do punto C pase polo punto D é que inicialmente estivésese movendo no sentido negativo do eixe X. Polo tanto a dirección da velocidade é a do eixe X
e o sentido negativo
vD = -1,00×103 i m/s
Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia.
Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán, alfbar@bigfoot.com
Algunhas ecuacións construíronse coas macros da extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou.
A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López.
Algúns cálculos fixéronse cunha folla de cálculo OpenOffice (ou LibreOffice) feita por Alfonso J. Barbadillo Marán.