restart:with(plots): Series de Taylor. En esta parte se va a aproximar

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restart:with(plots):
Series de Taylor. En esta parte se va a aproximar la función seno con series de Taylor truncadas
Se definen tres series de Taylor truncadas
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seno1:=x->x;
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seno5:=x->x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!;
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seno10:=x->(sum((-1)^(k)*x^(2*k+1)/(2*k+1)!,k=0..9));
Se crean gráficas como objetos, para después desplegarlas con la función display de Maple
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grafica1:=plot(seno1(x),x=-4..4,color=BLUE):
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grafica5:=plot(seno5(x),x=-5.5..5.5,color=RED):
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grafica10:=plot(seno10(x),x=-3*Pi..3*Pi,color=YELLOW):
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graficaSeno:=plot(sin(x),x=-4*Pi..4*Pi,color=GREEN):
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display(grafica1,grafica5,grafica10,graficaSeno);
En el tiro parabólico el alcance de ángulos complementarios es el mismo. Establecemos una
velocidad inicial v 0 y el tiempo del movimiento como función de theta
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v0:=30; g:=9.81; tfinal:=theta->2*v0*sin(theta)/g;
Establecemos tanto x como y como funciones del tiempo
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x:=t->v0*cos(theta)*t; y:=t->v0*sin(theta)*t-g*t^2/2;
Se define un ángulo y se crean gráficas para desplegarse después
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theta:=Pi/8;grafPiPart8:=plot([x(t),y(t),t=0..tfinal(theta)],color=blue,scaling=CONSTRAINED):
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theta:=3*Pi/8:graf3PiPart8:=plot([x(t),y(t),t=0..tfinal(theta)],color=red,scaling=CONSTRAINED):
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display(grafPiPart8,graf3PiPart8,scaling=CONSTRAINED);
Se hace lo mismo con otro par de ángulos complementarios y con Pi/4
radianes
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theta:=Pi/3;grafPiPart3:=plot([x(t),y(t),t=0..tfinal(theta)],color=magenta,scaling=CONSTRAINED):
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theta:=Pi/6;grafPiPart6:=plot([x(t),y(t),t=0..tfinal(theta)],color=green,scaling=CONSTRAINED):
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theta:=Pi/4;grafPiPart4:=plot([x(t),y(t),t=0..tfinal(theta)],color=brown,scaling=CONSTRAINED):
Se muestran las gráficas
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display(grafPiPart8,grafPiPart6,grafPiPart4,grafPiPart3,graf3PiPart8,scaling=CONSTRAINED);
Ejemplo del mono y el cazador. Se establece la altura inicial del mono y la distancia horizontal
que separa al mono de la escopeta
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h:=5; L:=8;
El problema establece que ángulo de disparo est dado por
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theta:=arctan(h/L);
Se define una velocidad de disparo
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v0:=15;
El vector posición del dardo es
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xDardo:=t->v0*cos(theta)*t;yDardo:=t->v0*sin(theta)*t-g*t**2/2;
Mientras que el vector posición del mono es
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xMono:=t->L;yMono:=t->h-g*t**2/2;
El tiempo en el que el mono y el dardo hacen contacto es
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tau:=v0->L/(v0*cos(theta));
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grafDardoV015:=plot([xDardo(t),yDardo(t),t=0..tau(v0)],color=red,scaling=CONSTRAINED):
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grafMonoV015:=plot([xMono(t),yMono(t),t=0..tau(v0)],color=red,scaling=CONSTRAINED):
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display(grafMonoV015,grafDardoV015);
Disminuyendo la velocidad se tiene que
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v0:=10;
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grafDardoV010:=plot([xDardo(t),yDardo(t),t=0..tau(v0)],color=red,scaling=CONSTRAINED):
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grafMonoV010:=plot([xMono(t),yMono(t),t=0..tau(v0)],color=red,scaling=CONSTRAINED):
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display(grafDardoV010,grafMonoV010);
Con una velocidad más pequeña el dardo le pega al mono después de que el mono haya superado
la altura inicial del dardo
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v0:=8;
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grafDardoV08:=plot([xDardo(t),yDardo(t),t=0..tau(v0)],color=red,scaling=CONSTRAINED):
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grafMonoV08:=plot([xMono(t),yMono(t),t=0..tau(v0)],color=red,scaling=CONSTRAINED):
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display(grafMonoV08,grafDardoV08);
Comparación entre del tiro parabólico con fricción y sin fricción
El valor de x como función del tiempo es: x (t) = x 0 + mv 0 cos(theta)/b + (mv 0 cos (theta)/b)
exp(-bt/m)
Mientras que el valor de y como función del tiempo es: y(t) = y 0 + mv 0 sen(theta)/b +m 2g/b 2
+ (mv 0 sen(theta)/b + m 2g/b 2) exp(-bt/m) - mgt/b
Se define el ángulo de disparo
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theta:=Pi/4;
Se define la razón de la constante b partido M y la velocidad inicial
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bPartM:=0.5; v0:=15;
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yFriccion:=t->(v0*sin(theta)/bPartM+ g/(bPartM^2))*(1-exp(-bPartM*t))-g*t/bPartM;
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xFriccion:=t->(v0*cos(theta)/bPartM)*(1-exp(-bPartM*t));
Se crea la gráfica para la trayectoria con fricción: nota que el tiempo de recorrido es menor que
para aquella sin fricción
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grafFriccion:=plot([xFriccion(t),yFriccion(t),t=0..0.87*tfinal(theta)],color=red):
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grafPiPart4:=plot([x(t),y(t),t=0..tfinal(theta)],color=brown):
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display(grafFriccion,grafPiPart4,scaling=CONSTRAINED);
Después de que alcanza su punto máximo la trayectoria se hace “más vertical” esto se debe a
que la velocidad en x decrece conforme avanza el tiempo y la velocidad en y tiende a una velocidad
terminal constante distinta de 0
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diff(xFriccion(t),t);
Aqu copia y pega el resultado anterior para definir la siguiente función
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vXFriccion:=t->7.500000000*2^(1/2)*exp(-0.5*t);
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plot(vXFriccion(t),t=0..10);
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diff(yFriccion(t),t);
Aqu tambin copia y pega el resultado anterior para definir la siguiente función
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vYFriccion:=t->.5*(15.00000000*2^(1/2)+39.24000000)*exp(-.5*t)-19.62000000;
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plot(vYFriccion(t),t=0..10);
Cuando b tiende a 0 el movimiento con fricción tiende al movimiento sin fricción
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bPartM:=0.01;
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grafFriccion:=plot([xFriccion(t),yFriccion(t),t=0..tfinal(theta)]):
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display(grafFriccion,grafPiPart4,scaling=CONSTRAINED);