Probabilidad.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
Grado 11
Taller # 13
Nivel II
TALLER # 13. COMBINACIONES Y
PROBABILIDAD
RESEÑA HISTORICA
El concepto de Probabilidad ha evolucionado en el transcurso del tiempo. La probabilidad nació en el
juego y es jugando como mejor se aprende la probabilidad. A los algebristas del siglo XVI, Pacioli,
Cardano, Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los
juegos de azar. Los fundamentos del cálculo de probabilidades surgen alrededor del año 1650, cuando
sugerido por los juegos de dados, de cartas, del lanzamiento de una moneda, se planteó el debate de
determinar la probabilidad de ganar la partida. Fermat y Pascal, dieron en 1654 la primera definición de
probabilidad. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equi-probabilidad, se admitía que la probabilidad
de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre el número de casos favorables y el de casos
posibles. El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de
probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer
caso particular estudiado por De Moivre, del teorema central del límite. En 1809 Gauss inició el estudio
de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el
desarrollo de esta teoría.
A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austriaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia,
la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su
obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de
probabilidad a las ciencias naturales.
MARCO TEORICO
Probabilidad de eventos
Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una manera más o menos
estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos
aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones
prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.
Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes
criterios:
1.
2.
3.
La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende
del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de
subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más
comunes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos
previos, y no en resultados estadísticos.
La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias
relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la
más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no
valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento
para poder obtenerlo.)
La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número
de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que
componen el espacio muestral:
1
En otras palabras se define como número de casos favorables sobre número de casos posibles. Es
la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito
indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Recordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución tenían las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren simultáneamente, entonces
la frecuencia relativa de su unión es la suma de las frecuencias relativas de cada uno.
C) 427445
D) 321000
COMBINACIONES
5. De un grupo de 13 ingenieros con doctorados
se desea formar un comité de cinco para
enviarlos a un congreso en la Universidad de
Cambridge, Inglaterra. Determine de cuantas
maneras es factible elegir el comité si se desea
que este incluya a por lo menos tres de los siete
mejores del grupo.
A) 746
B) 756
C) 220
D) 320
Resuelva el numeral 1 y 2 teniendo en cuenta el
siguiente enunciado:
De un grupo de 11 edecanes debe escogerse un
comité de cuatro para que asistan a una
exposición. Determine de cuantas maneras se
puede hacer la selección si, además, existe el
requisito de que:
1. Una de los 11 tiene que formar parte del
comité.
A) 720
B) 520
C) 200
D) 120
6. Se tienen tres monedas de 10 pesos, siete de 5
y dos de 20. ¿De cuantas maneras se pueden
distribuir entre 12 niños, para que cada pequeño
reciba una moneda?
A) 220
B) 792
C) 7920
D) 7650
2. Dos señoritas específicas no deben formar
parte de comité.
A) 3024
B) 220
C) 126
D) 346
7. ¿De cuantas maneras se pueden distribuir 12
juguetes entre tres niños, de tal manera que cada
pequeño reciba cuatro juguetes?
A) 495
B) 1980
C) 30220
D) 34650
Resuelva el numeral 3 y 4 teniendo en cuenta el
siguiente enunciado:
En una urna hay 50 esferas, de las cuales ocho
están marcadas con premios. Una persona extrae
de la urna un puñado de cinco esferas.
Determine de cuantas maneras se pueden sacar
si:
8. ¿De cuantas maneras se pueden repartir las 28
fichas del dominó entre cuatro jugadores
(Obviamente, se supone que cada jugador recibe
siete fichas?.
A) 3.6x10^10
B) 3.5x10^4
C) 2.3x10^11
D) 4.7x10^14
3. Exactamente dos esferas están marcadas.
A) 3857280
B) 321440
C) 640400
D) 322000
4. Por lo menos dos esferas están marcadas.
A) 372652
B) 332657
2
C) 1260
D) 18144
5. De nueve comerciales de refrescos que
elaboró Coca Cola este mes, se desea
seleccionar únicamente tres para participar en
el concurso de publicidad. ¿De cuantas maneras
se pueden seleccionar?
A) 504
B) 84
C) 345
D) 650
Resuelva el numeral 9 y 10 teniendo en cuenta
el siguiente enunciado:
La mamá de Caperucita Roja, que tenía una
gran canasta con 12 guayabas, ocho duraznos,
seis manzanas y cinco peras, le encargó a su hija
seleccionar cuatro guayabas, tres duraznos, dos
manzanas y dos peras para llevárselas en una
cesta a la abuela.
9. calcule el numero de formas como caperucita
podría seleccionar frutas para la abuela, de
acuerdo con las indicaciones de la mamá.
A) 415800
B) 4158000
C) 41580
D) 4000000
16. En un club de fútbol, que consta de 15
jugadores uno de ellos se ha lesionado; por esta
razón, el entrenador debe volver a armar el
primer equipo, que consta de 11 jugadores.
¿Cuántas opciones tiene para ello?
A) 364
B) 1.4x10^10
C) 36400
D) 2345
10. Determine las selecciones posibles si la niña
no hace caso a las indicaciones de la madre y
simplemente elige 11 frutas al azar. En ambos
casos, considere que las frutas del mismo tipo
son distinguibles unas de otras.
A) 84672315
B) 44352165
C) 3.4x10^15
D) 34000000
17. En un curso de admisión hay 10 alumnos.
¿Cuántos equipos de seis alumnos se pueden
formar?
A) 151200
B) 210
C) 21100
D) 210000
11. De un inventario de 20 productos, un cliente
selecciona cuatro. ¿De cuantas formas los pudo
escoger?
A) 484
B) 4845
C) 116280
D) 48450
18. El entrenador de la selección de fútbol que
va a representar a Colombia en la copa América
convocó a 27 jugadores. Si solo debe llevar 22,
¿cuántos equipos puede formar (suponga que
todos juegan en cualquier posición)?
A) 702
B) 46865
C) 80730
D) 72340
12. ¿Cuantos helados diferentes de tres sabores
se pueden hacer con 25 sabores?
A) 13800
B) 1380
C) 2300
D) 4500
19. De 30 camionetas tienes que escoger tres
para transportar discos compactos. ¿De cuantas
formas lo puede hacer?
A) 24360
B) 23000
C) 40080
D) 4060
13. Para el 15 de septiembre se compraron 20
luces pirotécnicas de diferentes colores: 5 son
verdes, 10 blancas, 3 rojas y 2 doradas. Si se
desea lanzarlas, ¿de cuantas maneras se podría
ver los colores en el cielo?
A) 184756
B) 46345234
C) 15504456
D) 465585120
20. Se emitieron 25 reportes regulatorios y se
deben clasificar en cuatro grandes categorías.
¿De cuántas maneras se puede clasificar?
A) 12000
B) 12400
C) 12650
14. Para integrar un álbum fotográfico, hay
cuatro fotografías, tres postales y dos mapas.
¿De cuantas maneras se pueden intercambiar
tales elementos para colocarlos en el álbum?
A) 181440
B) 12600
D) 4
25
Resuelva el numeral 21 y 22 teniendo en cuenta
el siguiente enunciado:
3
Las barajas o naipes ordinarios, constan de 52
cartas, divididas en cuatro palos de 13 cartas
cada una. Los palos son: picas, diamantes,
corazones y tréboles. Las cartas de cada palo
tienen un número (de menor a mayor valor: 2,
3,.....9, 10, J, Q, K y A). En el juego de poker
participan cuatro jugadores, quienes por
separado reciben una mano (conjunto) de cinco
cartas al azar. En el juego de bridge, cada uno
de los cuatro participantes recibe una mano de
13 cartas.
A)
B)
C)
D)
21. ¿Cuántas manos de poker son posibles?
A) 6.3x10^11
B) 2598960
C) 3.9x10^21
D) 2598800
29. ¿De cuántas maneras se logra dividir 12
personas en: Tres grupos de cinco, cuatro y tres?
A) 646646
B) 27720
C) 92378
D) 37200
22.
A)
B)
C)
D)
28. ¿De cuántas maneras se logra dividir 12
personas en: Dos grupos de siete y cinco?
A) 729
B) 6188
C) 3991680
D) 19958400
¿Cuántas de bridge?
6.3x10^11
2598960
3.9x10^21
4.1x10^12
30. Encuentre el número de formas en que
puede dividirse una baraja ordinaria de 52
naipes por la mitad, de manera tal que en cada
una de las mitades queden dos ases.
A) 1.9x10^14
B) 2.0x10^37
C) 1.2x10^38
D) 1.4x10^23
Resuelva los numerales 23 al 26 teniendo en
cuenta el siguiente enunciado.
Calcule de cuantas maneras se puede repartir a
un jugador de bridge:
23.
A)
B)
C)
D)
Un as.
2.7x10^11
3.7x10^12
6.9x10^10
3.9x10^21
24.
A)
B)
C)
D)
Dos ases.
2.3x10^12
2.3x10^12
1.3x10^11
2.6x10^6
12300
12870
128700
33649
Resuelva los numerales 31 al 37 teniendo en
cuenta el siguiente enunciado.
En el concurso de lotería llamado Melate, el
juego consiste en que se extraen al azar seis
esferas (sin reposición) de un conjunto de 44
numeradas del 1 al 44. Posteriormente, se saca
una séptima que contiene el número adicional.
Un participante escoge seis números del 1 al
44 y gana el primer premio si sus números
coinciden con los seis de las esferas ganadoras.
Además, se otorgan otros premios: por ejemplo,
el segundo lugar se lo reparten los concursantes
que acierten cinco más el adicional.
25. Tres ases.
A) 8000000
B) 9000000
C) 9.0x10^10
D) 6.7x10^12
31. ¿Cuántas combinaciones diferentes de seis
números ganadores puede haber?
A) 5.0x10^9
B) 3838380
C) 4.3x10^12
D) 7059052
26. Los cuatro ases.
A) 1.6x10^9
B) 1.6x10^6
C) 6.0x10^14
D) 6.0x10^12
32. ¿De cuántas maneras es posible adivinar
cinco de los seis números ganadores más el
adicional?
A) 8
B) 10
C) 6
D) 4
27. En un grupo de 23 alumnos hay 13 hombres
y 10 mujeres. Se va a elegir un comité formado
por dos mujeres y tres hombres. ¿Cuántos
comités se pueden formar?
4
33. ¿De cuántas maneras se acertarían cinco de
los seis números ganadores, sin el adicional?
A) 322
B) 222
C) 453
D) 122
3. Del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se
escogen tres números sin reemplazo. Calcule la
probabilidad de que todos sean pares.
A) 0.0678
B) 0.0345
C) 0.0476
D) 0.0450
34. ¿De cuántas maneras se obtendrían cuatro
de los seis ganadores, más el adicional?
A) 555
B) 235
C) 345
D) 655
4. Del conjunto {1, 2, 3,…..,11} se saca un
número. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
impar o divisible entre tres?
A) 0.456
B) 0.345
C) 0.667
D) 0.636
35. ¿De cuántas maneras se lograría cuatro de
los seis ganadores, sin el adicional?
A) 10200
B) 9990
C) 6450
D) 32000
Resuelva el numeral 5 y 6 teniendo en cuenta el
siguiente enunciado:
5. De una baraja común se extrae una carta.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un as?
A) 0.0332
B) 0.0778
C) 0.0769
D) 0.0456
36. ¿De cuántas formas caerían tres de los seis
números ganadores, más el adicional?
A) 222
B) 12300
C) 13320
D) 4534
6.
A)
B)
C)
D)
37. ¿De cuántas maneras ocurriría que el
concursante no acierte a ninguno de los seis
números ganadores, ni tampoco el adicional?
A) 3224560
B) 2347680
C) 1200000
D) 2324784
¿cual la de obtener un corazón o un as?
0.405
0.307
0.602
0.967
Resuelva el numeral 7 y 8 teniendo en cuenta el
siguiente enunciado:
Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad
que las caras que muestren:
PROBALIDADES
1. En un frutero hay cinco guayabas, seis
ciruelas, siete duraznos y ocho limones (en total,
26 frutas). Una niña toma 10 frutas al azar para
llevárselas a su abuela. Determine la
probabilidad de que la abuela reciba una
guayaba, dos ciruelas, tres duraznos y cuatro
limones. Suponemos que las frutas del mismo
tipo son distinguibles entre sí.
A) 0.035
B) 0.231
C) 0.340
D) 0.010
7.
A)
B)
C)
D)
Sumen seis?
0.139
0.151
0.456
0.937
8.
A)
B)
C)
D)
El valor absoluto de la diferencia sea uno?
0.324
0.277
0.435
0.456
2. En un grupo de personas que se reúnen para
conversar en ingles, hay cinco mujeres y tres
hombres. Si se escoge por lista un comité de
cuatro al azar, calcule la probabilidad de que
sean consideradas por lo menos dos mujeres.
A) 0.390
B) 0.929
C) 0.900
D) 0.647
Resuelva el numeral 9 y 10 teniendo en cuenta
el siguiente enunciado:
De una urna, con cinco bolas blancas y cuatro
negras, se sacan cuatro sin reposición. Señale la
probabilidad de obtener:
5
9.
A)
B)
C)
D)
De una urna, que contiene cinco bolas blancas y
cinco negras, se sacan tres sin reposición. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener:
Dos bolas blancas
0.234
0.356
0.476
0.789
16. Dos bolas blancas?
A) 0.5436
B) 0.4167
C) 0.4235
D) 0.2456
10. Por lo menos una bola blanca
A) 0.798
B) 0.988
C) 0.923
D) 0.992
17.
A)
B)
C)
D)
Resuelva los numerales 11 al 13 teniendo en
cuenta el siguiente enunciado:
De urna, que contiene tres bolas blancas, dos
negras y cuatro verdes se sacan tres sin
reposición. Explique la probabilidad de obtener:
11.
A)
B)
C)
D)
Bolas de tres colores
0.456
0.678
0.286
0.789
12.
A)
B)
C)
D)
Bolas de un color
0.346
0.658
0.347
0.060
Resuelva los numerales 18 y 19 teniendo en
cuenta el siguiente enunciado:
En una lotería hay 10 boletos, entre los cuales
tres están premiados. Si se compran tres boletas,
calcule la probabilidad de que entre ellos se
encuentre:
13. Dos bolas blancas
A) 0.1241
B) 0.2345
C) 0.2143
D) 0.567
18.
A)
B)
C)
D)
Exactamente un boleto ganador
0.4525
0.6758
0.7890
0.5250
19.
A)
B)
C)
D)
Por lo menos un boleto ganador
0.4356
0.5070
0.7083
0.8906
20. Se seleccionarán de tres subgerencias a tres
personas que serán comisionadas para asistir la
próxima semana a un congreso en la ciudad de
Nuevo León. Si hay ocho empleados en la
subgerencia de mercadeo nacional, cuatro en la
subgerencia de logística y cinco en la de
desarrollo exterior, determine la probabilidad de
que vaya una persona de cada subgerencia.
A) 0.4537
B) 0.2353
C) 0.6789
D) 1.2346
Resuelva los numerales 14 y 15 teniendo en
cuenta el siguiente enunciado:
En una lotería hay 100 boletos, de ellos cinco
tienen premio. Indique la probabilidad de que si
compran cinco boletos:
14. Dos tengan premio
A) 0.0228
B) 0.0184
C) 0.0334
D) 0.0567
15.
A)
B)
C)
D)
Bolas de ambos colores?
0.7345
0.4587
0.8333
0.7898
21. Se planea jugar un torneo de dobles contra
otro club. Las reglas mencionan que, en el
enfrentamiento, la pareja que participará será
escogida al azar. Si en mi club hay dos
jugadores buenos y tres malos, ¿cuál es la
probabilidad que para el partido sean elegidos
los dos buenos?
A) 0.1
B) 0.2
C) 0.3
D) 0.4
Por lo menos uno tenga premio
0.2304
0.4507
0.8906
0.0624
Resuelva los numerales 16 y 17 teniendo en
cuenta el siguiente enunciado:
6
22. En una pecera hay 12 peces, de los cuales 8
están
enfermos.
Si
seleccionamos
aleatoriamente tres, sin reemplazo, ¿cuál es la
probabilidad de que los tres estén enfermos?
A) 0.4536
B) 0.2545
C) 0.6789
D) 0.9876
23. El director de personal ha elegido ocho
candidatos para cubrir cuatro puestos. De éstos,
cinco son hombres y tres mujeres. Si, de
hecho, cada candidato tiene
las mismas
probabilidades de ser elegido, ¿cuál es la
probabilidad de que ninguna mujer sea
contratada?
A) 0.2345
B) 0.7654
C) 0.0714
D) 0.7820
24. Una baraja ordinaria contiene 52 cartas (ò
naipes) divididas en cuatro palos: tréboles
(negros), picas (negras), diamantes (rojos) y
corazones (rojos). Cada palo consta de 13
cartas, las cuales (de menor a mayor valor) son:
2, 3, 4,……., 10, J, Q, K y A. Una J se conoce
como jota o sota; Q es la reina y K el rey. Si de
una baraja ordinaria se sacan dos cartas al azar,
halle la probabilidad de que estas sean una reina
y una sota.
A) 0.0987
B) 0.0456
C) 0.0234
D) 0.0120
25. En una urna hay 20 bolas; doce son blancas
y ocho negras. Se sacan, dos veces, dos bolas
sin reemplazo. ¿Cuántas probabilidades hay de
que la segunda vez sean dos bolas del mismo
color, si se sabe que en la primera ocasión
salieron dos de colores diferentes?
A) 0.5967
B) 0.6730
C) 0.7823
D) 0.4967
7