Conductores

MATERIALES DESDE LA PERSPECTIVA ELÉCTRICA
Los medios, desde el punto de vista eléctrico, se pueden clasificar en 4 grupos o
categorías diferentes
{1.- Dieléctricos (aislantes) 2.- Semiconductores 3.- Conductores 4.- Superconductores}
Los grupos no son cerrados y la pertenencia de un material a un determinado
grupo depende de distintos factores externos como la temperatura (T), la presión (p), el
nivel de impurezas (NI), el campo eléctrico al que está sometido (E), la densidad de
flujo magnético al que está sometido (B), etc. Así:
⎧
"Si" es un aislante, pero {Si + NI} es un semiconductor
⎪⎪
6
⎨Aire es un aislante, pero {Aire / E > 3 ⋅10 V/m} es un conductor
⎪
⎪⎩"Hg" es un conductor, pero {Hg 0 T < 4 K} es un superconductor
1.- Caracterización de conductores
En este apartado vamos a tratar de los medios conductores los cuales, para
nuestros propósitos, se pueden caracterizar por dos propiedades claves.
1.1.- Constitución
Idealmente (T = 0 K) los átomos que forman los medios conductores (agregado
macroscópico ≡ cristal) se agrupan de modo que un electrón (o más) de cada átomo está
débilmente ligado al núcleo del átomo al que pertenece por lo cual cualquier causa que
actúe sobre él libera a dicho electrón. Este conjunto de electrones (uno o más electrones
por átomo), llamados electrones de conducción pululan por el medio conductor de tal
G
G
modo que se mueven con velocidades aleatorias vae,i ≡ vTe, i que son el resultado por un
lado de la interacción {e − ↔ e− y e− ↔ ⊕} , es decir mediante fuerzas internas, con los
distintos elementos que componen el medio y por otro lado de la interacción con entes
externos al medio conductor, mediante fuerzas externas. La primera causa externa de
interacción, y a la cual ningún trozo de material escapa, es la temperatura, pues el cero
absoluto es inalcanzable, ya que incluso las más pequeñas temperaturas confieren al
conductor una energía térmica suficiente para liberar a los electrones ligados débilmente
(ionización) y al mismo tiempo proporcionándoles energía cinética, es decir la energía
térmica (ET) proporciona energía para liberar al electrón (Wion) y además les da energía
cinética (Ec).
ET = Wion + Ec / Ecα k T donde k ( cte de Boltzman ) = 1,38 ⋅10−23 J/K
Si el medio no está sometido a ningún otro agente externo (a excepción de la
temperatura) podemos decir que un conductor es un cuerpo eléctricamente neutro que se
puede asemejar a un conjunto de electrones {ek− } , llamados electrones de conducción
G
que se mueven con velocidades aleatorias vae, k a través de un fondo de iones positivos
fijos. Si nos fijásemos en un elemento cualquiera de volumen del conductor ΔV , en un
instante cualquiera de tiempo t, comprobaríamos que es eléctricamente neutro, es decir
la suma de las cargas positivas y negativas que pertenecen al ΔV en el instante t es nula,
Δq = 0 y la velocidad media del conjunto de electrones de conducción que pertenecen
∑
N
G
en ese instante a nuestro elemento de volumen es asimismo cero va =
G
vae,k
k =1
N
N el nº de electrones de conducción pertenecientes al elemento de volumen ΔV .
siendo
1.2.- Respuesta de un conductor en presencia de un campo eléctrico
G
Si a nuestro conductor se le somete a un campo eléctrico E , entonces aparecen
fuerzas tanto sobre los iones fijos positivos (en el sentido del campo), las cuales se
compensarán con la reacción de la estructura, como sobre los electrones de conducción
en los cuales la fuerza eléctrica no puede compensarse (libertad de movimientos) y dará
G
G
lugar a una aceleración en sentido contrario al campo eléctrico F = qe ( < 0 ) ⋅ E , la cual
G
hace que los electrones adquieran una velocidad vk− , contraria al campo eléctrico, y que
G
G
G
se superpone a la velocidad aleatoria vke = vae,k + vk− . Debido a la interacción con el resto
de elementos del conductor aparecen fuerzas disipativas que hacen que la velocidad de
cada electrón de conducción (también llamado portador de carga libres) no crezca de
manera continua y de modo que en promedio todos los electrones de conducción
G G
adquieren una misma componente de la velocidad paralela al campo u = vk− y de
sentido contrario a él llamada velocidad de arrastre o velocidad de conjunto y que es
la responsable de lo que conocemos como corriente eléctrica, la cual puede ser
transitoria (si dura solo un tiempo determinado, en general muy pequeño) como
permanente (si se mantiene en el tiempo).
2.- Definiciones
2.1.- Conductor aislado: aquel que no forma parte de un circuito.
2.2.- Conductor cargado o electrizado: aquel que, por diversos motivos, no tiene las
cargas positivas y negativas compensadas por lo que no es eléctricamente neutro.
2.3.- Conductor en equilibrio electrostático: cuando los electrones de conducción del
G G
conductor no presentan velocidad de conjunto o de arrastre u = vk− = 0 .
3.- Propiedades de los conductores en equilibrio
3.1.- Campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio.
El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo.
Si "c " es un conductor en equilibrio elesctrostático ⇒ Ei = 0 .
La demostración se realiza por reducción al absurdo, es decir suponer lo
contrario y ver que llegamos a contradecir la hipótesis de partida. En efecto si el campo
eléctrico fuese distinto de cero existiría velocidad de arrastre en los portadores de carga
y por tanto no estaría en equilibrio en contra de la hipótesis
de partida.
G
Hipótesis ≡ Conductor en equilibrio ⇒ u = 0
G
G
Supongamos que Ei ≠ 0 ⇒ u ≠ 0 en contra de la hipótesis
El conductor no estaría en equilibrio ⇒ la suposición debe ser falsa
G
Lo contrario de la suposición es lo verdadero ⇒ Ei = 0
3.2.- Potencial eléctrico de un conductor en equilibrio electrostático.
Un conductor en equilibrio electrostático es un volumen equipotencial siendo su
superficie una superficie equipotencial.
G
G
∀P ∈ Cond ⇒ Ei = −∇ϕ = 0 ⇒ ϕ ( P ) = constante
Todos los puntos del conductor, incluida su superficie, están al mismo potencial
eléctrico por lo que forman una equipotencial.
3.3.- Procesos en carga o en presencia de un campo eléctrico
¿Qué procesos tienen lugar en el interior de un conductor aislado cuando se le carga (Q)
G
o se le somete a un campo eléctrico E0 ?
G
Tanto en un caso como en otro en un primer momento el E0 o el campo creado
por la carga que se le ha dado actúa con una fuerza sobre los electrones de conducción
moviéndolos en el sentido contrario al campo los cuales se irán acumulando en una zona
del conductor que quedará cargado negativamente pues estos no pueden abandonar la
estructura del material, este exceso de carga negativa en una zona hace que en otros
lugares surjan zonas con carga positiva. Este desequilibrio de carga (zona con carga
G
positiva y zona con carga negativa) genera un campo eléctrico adicional E * , que se
opone al original, y que irá creciendo a medida que más y más carga negativa es
arrastrada por el primero. Este proceso continua hasta que los campos se compensen
exactamente y se llegue al equilibrio al cesar el movimiento de conjunto o de arrastre de
los portadores de carga libres.
Esta redistribución de electrones, ¿cuánto tarda en llevarse a cabo? Es u proceso
rapidísimo y se mide mediante un parámetro τ llamado tiempo de relajación y que
aparece en la expresión de evolución de la densidad de carga ρ ( t ) = ρ 0 (1 − e − t /τ ) ,
siendo ρ0 la densidad de carga en el equilibrio. El valor de τ para el cobre es τ ≅ 10-19 s.
3.4.- Distribución de la carga en un conductor cargado, aislado y en equilibrio.
¿Cómo queda distribuida la carga con la que electrizamos o cargamos un conductor
aislado una vez alcanzado el equilibrio?
Para responder a esta pregunta vamos a aplicar el teorema de Gauss sobre una
superficie cerrada, localizada toda ella en el interior del conductor aislado y una vez
alcanzado el equilibrio, y tan próxima por todos los sitios a la superficie del conductor
como queramos. Como en todos los puntos de dicha superficie el campo eléctrico es
cero por estar en el interior del conductor en equilibrio el flujo será a su vez cero y
G G
qenc , SC
E
dS
⋅
=
0
=
⇒ qenc , SC = 0
v∫
ε0
SC
Esto nos dice que no hay carga en el interior del conductor, por tanto, ¿dónde
está la carga con la que hemos electrizado a nuestro conductor? La carga solo puede
estar en la superficie del conductor; lo que implica que puede describirse mediante una
densidad superficial de carga σ en cada uno de los puntos de la superficie conductora.
En realidad la carga se distribuye sobre una capa de conductor de espesor insignificante
(del orden de 3 o 4 espesores atómicos).
Como conclusión podemos afirmar: en promedio el nº de portadores de carga
libres es igual al nº de iones positivos en cualquier región del conductor en equilibrio,
mientras que en la superficie estos números no son iguales si el conductor está
cargado.
3.5.- Campo eléctrico en el exterior y en las cercanías (muy cerca de su superficie)
de un conductor cargado, aislado y en equilibrio electrostático.
Nuestro conductor cargado anterior es tal que el campo eléctrico en el interior es nulo,
pero, al estar cargado el conductor, en cada punto de la superficie conductora habrá una
densidad superficial de carga σ que creará un campo eléctrico en el exterior, ¿Cuánto
valdrá y cómo estará dirigido este campo eléctrico fuera del medio conductor pero en
sus proximidades?
Dirección: El campo eléctrico exterior y en puntos extremadamente próximos a
la superficie es perpendicular a la superficie en cada uno de sus puntos debido a que el
conductor es un volumen equipotencial, siendo su superficie límite una equipotencial, y
sabemos que el vector gradiente de potencial, que es el campo eléctrico, siempre es, en
cada punto perpendicular a las superficies equipotenciales.
Módulo: Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie cilíndrica cuyo eje sea
perpendicular al conductor y cuyas bases sean tan pequeñas como queramos, de modo
que una esté en el volumen conductor y la otra fuera pero muy próxima a la superficie
conductora; en estas circunstancias tenemos:
G G
G G
G G
G G
E
⋅
dS
=
E
⋅
dS
+
E
⋅
dS
+
E
v∫
∫
∫
∫ ⋅ dS
SC
Bext
Bint
SL
En Bint el campo eléctrico es nulo, en SL el vector campo eléctrico es cero en los puntos
del conductor y es perpendicular al vector superficie elemental en todos los puntos de la
zona exterior, y en la base exterior, al ser de un tamaño muy pequeño el campo eléctrico
es aproximadamente uniforme sobre la base y además es paralelo al vector superficie de
la base, en consecuencia
G G
G G
E
⋅
dS
=
E
v∫
∫ ⋅ dS = ∫ E dS = E ∫ dS = E Bext = E B
SC
Bext
Bext
Bext
La carga encerrada por la superficie cilíndrica será la situada sobre la superficie
del conductor cortada por la superficie cilíndrica que tendrá por valor, al tener la misma
área que la base del cilindro qenc , SC = σ B ; igualando el flujo del campo eléctrico a la
carga encerrada dividido por la permitividad del vacío resulta:
E B = σ B / ε0 ⇒ E = σ / ε0
En la práctica el campo eléctrico cambia progresivamente desde un valor cero en
el interior a un valor σ / ε 0 fuera sobre una distancia de 3 o 4 espesores atómicos.
4.- Cavidades en conductores
4.1.- Definición
Entendemos por cavidades en conductores cualquier espacio vacío totalmente
contenido en el volumen conductor.
4.2.- Distribución de cargas en conductores con cavidades
Sea un conductor aislado con una cavidad al cual le comunicamos una carga Q,
¿Cómo se distribuye dicha carga Q?
Sabemos que la carga se distribuye en superficie con densidad σ (P) en cada uno
de los puntos de la superficie. En este caso tenemos dos superficies, una la superficie Se,
superficie de separación (interface) del conductor con el mundo exterior, y la otra es la
superficie de separación entre la cavidad y el conductor donde está inmersa, Scav. Por
otro lado sabemos que alcanzado el equilibrio, proceso rapidísimo, tenemos Eint = 0 .
G
Hay que hacerse las siguientes preguntas, ¿Cuánto vale el campo en la cavidad EH ?;
¿existe carga en la superficie Scav?
Para responder a estas preguntas vamos a aplicar el teorema de Gauss sobre una
superficie cerrada SC totalmente contenida en el volumen conductor pero que todos sus
puntos están tan cerca de Scav como queramos. Como el campo eléctrico en cada uno de
los puntos de SC es cero el flujo a su través es nulo y por tanto la carga encerrada por
SC es nula.
0=
∫
G G qenc , SC
E ⋅ dS =
⇒ qenc , SC = 0
ε0
SC
Pero podemos pensar que dicha carga es nula debido a que hay dos zonas con
G
cargas iguales y opuestas que generan un campo eléctrico EH en la cavidad que nace en
la zona positiva y muere en la negativa. Vamos a demostrar que esto no es cierto y que
no existe ese hipotético campo en la cavidad y en consecuencia la carga sobre Scav es, en
efecto, cero. Para verlo elegimos una curva cerrada de modo que una parte esté en el
G
conductor y otra parte esté en la cavidad siguiendo una línea de campo del supuesto EH
existente en la cavidad. Como el campo electrostático es conservativo la circulación
sobre una línea cerrada es nula, y teniendo en cuenta que en todos los puntos de la línea
situada en el conductor el campo eléctrico es nulo y en todos los puntos de la línea en la
zona de la cavidad el hipotético campo es paralelo al elemento infinitesimal de línea, se
concluye que EH dl sería positivo para cada punto, y se puede escribir
G
G
G G
G
G
0 = E ⋅ dl =
Econd ⋅ dl +
EH ⋅ dl =
EH ⋅ dl ; como dl es positivo el único
v∫
LC
∫
LinCond
∫
LinCav
∫
LinCav
G
modo en que puede cumplirse la igualdad anterior es que el campo eléctrico EH en la
cavidad sea nulo, por tanto concluimos:
a.- No puede existir carga en las superficies de separación entre las cavidades y los
conductores a los que pertenecen, qScav = 0
b.- El campo eléctrico en conductores en equilibrio y aislados así como en sus cavidades
es nulo Eint ,cond = EH = 0 .
4.3.- Procesos en conductores con cavidades ante campos eléctricos externos
G
Someter a un conductor con cavidad a un campo eléctrico externo E0 , es igual
que electrizarlo o cargarlo por lo que las conclusiones del apartado anterior se aplican
en este caso de modo similar. El campo eléctrico externo generará una redistribución de
los portadores de carga libres del conductor, de modo que surge una densidad de carga
superficial σ sobre la superficie externa del conductor Se que crea un campo eléctrico
G
E * que es tal que anula al campo exterior tanto en el volumen del conductor como en
su cavidad. El campo eléctrico en cualquier punto interior a la superficie de separación
G
G
G
G
entre el conductor y su exterior Se es nulo Eint ,cond = EH = E0 + E* = 0 .
Concluimos: Las cavidades al igual que los conductores aislados en equilibrio
donde están inmersas son impermeables a los campos electrostáticos externos.
4.4.- Cargas en el interior de cavidades. Fenómenos de influencia total.
¿Qué procesos ocurren cuando colocamos carga Q en la cavidad de un conductor
sin contacto eléctrico con la masa conductora, es decir la situamos, por ejemplo, sobre
soportes aislados del conductor principal?
G
Esta carga crea un campo eléctrico en el espacio E , dicho campo al penetrar en
el conductor mueve a los portadores negativos de carga hacía la Scav si Q es positiva (o
en sentido contrario si Q es negativa) por lo que en dicha superficie aparece una carga
neta q’ y en consecuencia en la superficie externa del conductor aparece otra carga neta
G
q’’ de signo contrario. Estas distribuciones de carga {q ' , q ''} crean otro campo E * que
se opone al anterior dentro de la masa conductora y tal que, una vez en equilibrio, el
G
G G
campo resultante en dicha masa conductora es nulo Eint ,cond = E + E* = 0 .
¿Cuánto valen q’ y q’’?
Aplicamos el teorema de Gauss sobre superficie cerrada SC contenida toda ella
en la masa conductora y tan cerca de Scav como queramos. El flujo sobre SC es nulo ya
que el valor del campo eléctrico en todos sus puntos es cero, y por otro lado la carga
encerrada es la localizada en la cavidad y la localizada en Scav, por lo que
G G qenc , SC
0 = E ⋅ dS =
⇒ qenc , SC = Q + q ' = 0 ⇒ q ' = −Q
v∫
ε0
SC
Como el conductor era eléctricamente neutro la suma de las cargas en Scav y Se
debe ser cero y en consecuencia
q '+ q '' = 0 ⇒ q '' = −q ' = Q
A este fenómeno se le denomina fenómeno de influencia total ya que aparecen
distribuciones de carga en Scav y Se con cargas iguales y opuestas y de valor idéntico a la
carga en la cavidad. En estas circunstancias tenemos un campo eléctrico en la cavidad
G
G
EH y en el exterior al conductor Eext pero no habrá campo en el volumen conductor una
G
vez alcanzado el equilibrio Eint ,cond = 0 .
5.- Pantallas eléctricas
¿Qué le sucede al sistema anterior cuando unimos el conductor a Tierra? En
primer lugar hay que preguntarse qué entendemos por Tierra o Masa (eléctrica).
Concepto de Tierra o Masa. Con esta idea nos referimos al planeta Tierra desde
una perspectiva eléctrica. Al planeta se le puede contemplar como un gran conductor
que puede ceder o captar muy fácilmente carga eléctrica sin variar apreciablemente su
potencial eléctrico y como todo conductor aislado es una equipotencial se puede elegir
al planeta como origen de potenciales siempre que un sistema sea conectado a Tierra,
por lo que en cualquier problema donde intervenga la Masa (eléctrica) se le asignará un
potencial cero ϕT = ϕ = 0 .
Pasamos ahora a responder la pregunta inicial. Teníamos un campo eléctrico en
el exterior del conductor y por tanto una distribución de potenciales eléctricos. Al unir
el conductor a masa, las cargas libres pueden fluir entre el conductor y Tierra ya que
hay un campo eléctrico que puede moverlas (diferencia de potencial entre el conductor
y la referencia Tierra) Δϕ = ϕcond − ϕT = ϕcond . Como lo más fácil es mover electrones es
lógico pensar que sean estos los que pasen ya sea de Tierra al conductor o del conductor
a Tierra (según sea la situación) pero de igual modo pueden razonar con carga positiva.
¿Hasta cuándo pasará carga entre el conductor y Tierra? Lo hará mientras exista alguna
diferencia de potencial, y como la Tierra puede captar carga sin variar su potencial, esto
sucederá cuando la carga en la superficie conductora se anule y en consecuencia habrá
igualado su potencial con la Tierra, potencial cero. Esto conduce a que toda la región
exterior al conductor esté a un potencial cero, siendo cero el campo eléctrico en dicha
región. En estas condiciones se dice que la cavidad está apantallada (Efecto Pantalla).
En resumen:
Para la cavidad es como si no existiesen campos electrostáticos externos y
para el exterior es como si no existiesen campos procedentes de la cavidad.
En esto se basan los aislamientos eléctricos de los equipos eléctricos y los de los
edificios para prevenir interferencias electromagnéticas.
6.- Efecto punta
Tenemos que responder por último a la pregunta de cómo se distribuye la carga
sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio, es decir, ¿cómo es σ (P), en
los distintos puntos de la superficie?
Si el conductor es esférico la densidad superficial de carga debe ser uniforme ya
que todos los puntos de la superficie esférica son equivalentes y además si σ no fuese
uniforme en el centro del conductor habría campo eléctrico y sabemos que no es posible
en un conductor en equilibrio. Así en un conductor esférico de radio R y carga Q
Q
σ=
y es igual en cualquier punto de la superficie .
4π R 2
Para ver cómo es la densidad superficial de carga en los distintos puntos de un
conductor de forma arbitraria comentar primero que en todo punto de una superficie se
puede trazar una superficie esférica tangente de radio dado y que es variable en función
del punto considerado, a este valor se le llama radio de curvatura en el punto. Para
abordar el problema sean dos esferas conductoras sin influencia entre ellas de radios R1
y R2 y cargas Q1 y Q2 respectivamente y tal que están al mismo potencial ϕ1 = ϕ 2 = ϕ ; si
las unimos con un hilo conductor, ¿qué sucede? Nada pues están al mismo potencial y
no hay campo eléctrico que pueda mover cargas en uno u otro sentido, por tanto:
kQ
kQ
σ 4 π R12 σ 2 4 π R22
1
ϕ1 = 1 = ϕ2 = 2 = ϕ ⇒ 1
=
⇒ σ 1 R1 = σ 2 R2 ⇒ σ α
R1
R2
R1
R2
R
lo que nos dice que la densidad superficial da carga es inversamente proporcional al
radio de curvatura, por lo que allí donde el radio de curvatura sea menor mayor será la
densidad superficial de carga y como en las proximidades del conductor el campo era
proporcional a la densidad superficial de carga más intenso será el campo eléctrico en
las zonas de menor radio de curvatura. A este hecho se le conoce como Efecto Punta.
σ
1
E=
yσ α
⇒ Epuntas >> Ellanos
R
ε0
Estos campos pueden llegar a ser muy intensos y producir diferentes hechos que
pueden ser perjudiciales o bien utilizados con distintos fines. Así
a) en la atmósfera terrestre las tormentas acumulan carga que hace que en las
puntas haya tal densidad que genera un campo eléctrico tan intenso capaz de
ionizar el aire y volverle conductor (rayos o chispas eléctricas). Este campo
necesario para esto es de unos Eruptura(aire) = 3 ⋅106 V/m
b) Emisiones de campo con aplicaciones tales como microscopio de efecto de
campo, pantallas de dispositivos de video, sensores de campo magnético, etc.
7.- Capacidad de un conductor
Consideremos un conductor electrizado con carga Q, aislado y ocupando una
región del espacio. Esta carga se distribuye en su superficie con densidad de carga que
depende del punto σ ( P ) de modo que el campo eléctrico en su interior sea nulo, y todo
el volumen conductor estará a potencial constante y que se calculará por la circulación
G
del campo eléctrico exterior al conductor Eext desde el infinito hasta un punto cualquiera
de dicho conductor.
P
∫
G
G
ϕ ( P ) = − E ⋅ dl = ϕcond ∀P ∈ Conductor
∞
Si la carga del conductor se hace n veces mayor, pasando a ser Q1 = n Q, ¿cómo
cambian las cosas?
La distribución geométrica del conductor no cambia por lo que las relaciones de
las densidades superficiales de carga en los distintos puntos se mantienen, quedando en
todos los puntos multiplicadas por el mismo factor n, σ 1 ( P ) = n σ ( P ) y en consecuencia
el campo eléctrico en el exterior, que depende linealmente de la densidad superficial de
G
G
carga, se multiplicará por el mismo factor n, pasando a ser E1,ext = n Eext , y por tanto la
circulación desde el infinito hasta el punto P del conductor, su potencial eléctrico, queda
multiplicado por el mismo factor n.
P
Q ⇒ σ ( P)
G
G
G
⇒ Eext / ϕ ( P ) = − Eext ⋅ dl
∫
∞
P
Q1 = n Q ⇒ σ 1 ( P ) = n σ ( P )
G
G
G
G
⇒ E1, ext = n Eext ⇒ ϕ1 ( P ) = − E1,ext ⋅ dl = n ϕ ( P )
∫
∞
Lo anterior nos dice que la carga y el potencial de un conductor son magnitudes
directamente proporcionales, es decir Q α ϕ . La constante de proporcionalidad se llama
capacidad del conductor que se expresa con la letra C, así Qcond = C ϕcond ≡ Q = C ϕ . La
constante C depende de la geometría del conductor. Esta constante se mide en unidades
de [C ] = [Q ] / [ϕ ] = Culombio /Voltio = Faradio [ F] . Debido a que el faradio es muy
grande se suelen utilizar submúltiplos de él como son el microfaradio (1 μF = 10-6 F), el
nanofaradio (1 nF = 10-9 F) y el picofaradio (1 pF = 10-12 F).
8.- Condensadores. Capacidad de un condensador
Un condensador es un conjunto de dos conductores aislados entre sí y sometidos
a influencia total; es decir que cada uno de los dos conductores que forman el sistema
tienen cargas iguales y de signos opuestos de manera que siguiendo un tubo de líneas de
campo eléctrico entre ambos conductores delimitan zonas en los conductores que tienen
las mismas cargas pero de signos opuestos. Esto nos dice que todas las líneas de campo
que nacen en el conductor con carga positiva mueren en el otro con carga negativa. Con
idéntica filosofía que en el caso del conductor, se define la capacidad del condensador
como la constante de proporcionalidad entre la carga positiva de uno de los conductores,
a cada conductor se le denomina placa del condensador, y la diferencia de potencial
entre ambos conductores.
G
⎧ {+Q , − Q} ⇒ {σ ( P ) , σ ' ( P ')} ⇒ Eext ,ctores /
⎪ϕ
P'
P'
⎪ −
G
G
G
G
⎨
⎪ dϕ = − Eext , ctores ⋅ dl Δϕ = ϕ + − ϕ − = Eext , ctores ⋅ dl
⎪ϕ
P
P
⎩ +
⎧ {+Q1 = n Q , − Q1 = −n Q} ⇒ {σ 1 ( P ) = n σ ( P ) , σ 1′ ( P') = − n σ ' ( P' )}
⎪
P'
⎪
G
G
G
⎨ G
*
*
⎪ E1, ext, ctores = n Eext , ctores ⇒ Δϕ * = ϕ+ − ϕ− = E1, ext , ctores ⋅ dl = n Δϕ
⎪⎩
P
∫
∫
∫
∫
Se desprende que Q α Δϕ , y la constante de proporcionalidad, definida positiva
es la capacidad del condensador C Q = C Δϕ , que depende de las geometrías de ambos
conductores, la separación entre ellos y el medio interpuesto entre ellos.
Como ejemplo vamos a calcular la capacidad de un condensador de placas plano
paralelas, supuestas estas muy grandes, área S, teóricamente infinitas, cargadas con
cargas {+Q , -Q,}, densidades de carga {+ σ , - σ} y separadas una distancia d.
Ya vimos esta distribución de carga que creaba un campo eléctrico uniforme
entre ambas zonas de carga de valor
G σ G
G
E = u siendo u un vector unitario
ε0
perpendicular a las placas y dirigido
desde la placa positiva hacia la negativa.
Su circulación entre las dos placas nos
dará la diferencia de potencial entre
ellas, así si elegimos un eje r con origen
en la placa positiva y perpendicular a
ellas tenemos
G G
dϕ = − E ⋅ dr ⇒
ϕ−
∫
ϕ+
d
dϕ = −
∫
σ G
G
u ⋅ dr u
ε0
0
ε
σ
Δϕ = ϕ + − ϕ − = d ⇒ σ = 0 Δϕ
d
ε0
Q ε0
S
Q
S
= Δϕ ⇒ Q = ε 0 Δ ϕ ⇒ C =
= ε 0 [1]
d
S d
d
d
Δϕ
Hemos de hacer algún comentario a la expresión [1], en primer lugar decir que si
el medio entre placas no es el vacío, hay que sustituir la permitividad del vacío (ε0) por
la permitividad del medio interpuesto ε, y en segundo lugar [1] es una idealización por
lo que cualquier condensador real, al no poder tener placas infinitas, presenta un campo
eléctrico en los bordes mayor que el supuesto y no necesariamente uniforme, esto lleva
a que los valores reales de las capacidades sean algo mayores que los suministrados por
la expresión [1] y se aproximen ambos valores tanto más cuanto menor es la distancia
entre las placas. Salvo que indiquemos lo contrario siempre utilizaremos la expresión
[1] cuando hablemos de la capacidad de un condensador de placas plano paralelas.
σ=
ε0
Δϕ ⇒