Propiedades de las raíces

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Propiedades de las raíces
Las raíces, al igual que las potencias, tienen sus propiedades. De hecho, aunque quizás no lo hayas
visto así en el instituto, las raíces son un tipo especial de potencias. Vamos a explicar primero las
propiedades como si no supieses esto último, y luego veremos cómo se convierte una raíz en
potencia, para finalmente darnos cuenta de que las propiedades de las potencias y las raíces son las
mismas.
Producto de potencias con el mismo índice
Recordemos en primer lugar, para los despistados, que el índice de una raíz es el número que se
coloca encima de la √ . Si se coloca un tres, es una raíz cúbica, por ejemplo. Si no se pone nada, se
entiende que es un 2, una raíz cuadrada.
Si tenemos una multiplicación de raíces con el mismo índice, podemos agrupar todo el producto en
una sola raíz:
3 15· 3 6=3 15· 6
¡OJO! Esto sólo puede hacerse si tenemos un producto. NUNCA si lo que hay es una suma o una
resta. Grábate esto a fuego en la cabeza, porque es uno de los errores más frecuentes.
Cociente de raíces con el mismo índice
Igual que pasaba con el producto, dos raíces que se estén dividiendo pueden agruparse en una sola
raíz si el índice de ambas es el mismo:
4 20 / 4 18=4 20 /18
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Raíz de una raíz
Si tenemos varias raíces una dentro de otra, se pueden agrupar en una sola raíz cuyo índice es igual
al producto de todos los índices de cada una de las raíces que había antes:
   20=  20
3 4 5
60
Esto se puede hacer con cualquier número de raíces “encajadas”. Pero de nuevo UNA
ADVERTENCIA: si además de la raíz hay alguna otra operación que esté fuera de la raíz
“encajada”, lo que acabas de ver NO SE PUEDE HACER.
3 6
  53≠  53
18
(Si la rayita de la raíz sexta hubiese llegado hasta el 3, entonces sí podríamos aplicar la propiedad,
porque no habría nada fuera de la raíz encajada).
Exponentes dentro de raíces
Si tenemos un exponente dentro de una raíz, da el mismo resultado que si el exponente estuviera
fuera de la raíz. Esto suena un poco raro, casi a “chanchulleo”, así que vamos con un ejemplo para
demostrarlo:
 94 = 6561=81
Pero por otro lado, si operáramos con el exponente fuera, haríamos primero la raíz cuadrada de 9,
que es 3. Nos quedaría entonces 34, que da exactamente (hazlo si no te lo crees) 81.
Esto quiere decir que cuando tengamos exponentes y raíces, podemos operar el exponente dentro o
fuera de la raíz, según más nos convenga.
¡ATENCIÓN! (por si lo estabas echando en falta): sólo podemos aplicar esta propiedad si el
exponente está afectando a TODO lo que hay dentro de la raíz, como pasaba en el caso de las raíces
dentro de raíces1.
3 34 1≠3 314
1
Porque, como veremos dentro de poco, RAÍCES Y POTENCIAS SON LO MISMO. Perdón por ser tan pesado, pero
es la mejor manera de meter estas grandes verdades dentro de la cabeza.
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Sacar factores fuera de una raíz
Si dentro de una raíz tenemos un exponente que es mayor que el índice de la raíz, podemos sacar
números fuera de ésta. Veámoslo más claro con un ejemplo:
3 28
Pero ese 28 también lo podemos escribir de la siguiente manera:
3 28 =3 23 · 23 · 2 2
Y usando la primera propiedad de las raíces (sólo que al revés), podemos escribir:
3 28 =3 23 · 23 · 2 2=3 2 3 · 3 23 · 3 22
Pero la raíz cúbica de 2 al cubo es 2 (si de nuevo no te lo crees, hazlo con la calculadora), por lo
que:
3 2 3 · 3 23 · 3 22=2· 2 · 3 2 2
O lo que es lo mismo, organizamos la potencia de dentro en “grupitos” de exponente igual al índice
de la raíz. Por cada uno de los grupos que podamos formar, sacamos una base. Las potencias que
nos queden inferiores al índice de la raíz se quedan dentro.
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Las raíces también son potencias
Por si no lo habíamos dicho antes, que quede claro. Antes de que sigas leyendo: si aún no has visto
esta parte en el instituto, o si al leerla ves que te lías, déjala a un lado. Con lo que hemos visto hasta
ahora, tendrás suficiente. Pero si las has visto en el instituto, o si estás dispuesto a aprender una
verdad que te facilitará mucho las cosas con las raíces, sigue leyendo.
Las raíces se pueden escribir como potencias de exponente fraccionario. Es decir:
3 4 5=4 5/ 3
La fracción del exponente lleva como numerador el anterior exponente del número, y como
denominador, el índice de la raíz. Algo tan sencillo hace que todas las propiedades que hemos visto
para las raíces puedan explicarse a partir de las propiedades de las potencias que ya te sabes, con lo
cual todo ocupa mucho menos espacio en la memoria. Vamos a demostrarlo.
Producto de potencias con el mismo índice
Habíamos dicho que si tenemos una multiplicación de raíces con el mismo índice, podemos agrupar
todo el producto en una sola raíz. Hagamos lo mismo pero con exponentes fraccionarios. Recuerda
que una de las propiedades nos permitía multiplicar las bases de dos potencias con distinta base
pero igual exponente:
3 15· 3 6=3 15· 6
151/3·61/3=(15·6)1/3
Para el cociente de raíces con el mismo índice (que ahora se traduce como mismo exponente) se
haría lo mismo.
Raíz de una raíz
Vamos a ver el ejemplo que poníamos para este caso, sólo que cambiando las raíces por exponentes
fraccionarios:
[(201/5)1/4]1/3
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Pero esto es la propiedad “potencia de una potencia”. Recuerda que lo que hacíamos era multiplicar
los exponentes. Nos da entonces 201/60, que, si lo pasas de nuevo a raíz, coincide con el resultado
original.
Exponentes dentro de raíces
Si todo lo anterior te quedó claro, esto es todavía más fácil.
 94 =94 / 2
4
  9 =91/ 2 4=9 4/ 2
Sacar factores fuera de una raíz
Y si entendiste este último paso, lo que queda es una nimiedad. Porque una vez colocada una raíz
como un exponente fraccionario, éste puede simplificarse como cualquier fracción (en el ejemplo
anterior 94/2 = 92) o, si el numerador es mayor que el denominador, puede separarse en dos
fracciones:
28/3 = 22·22/3
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