Leyes de Kirchoff El puente de Wheatstone

Leyes de Kirchoff
El puente de Wheatstone
30 de marzo de 2007
Objetivos
Aprender el manejo de un multı́metro para medir resistencias, voltajes, y corrientes.
Comprobar las leyes de Kirchoff.
Medir el valor de varias resistencias desconocidas.
Medir la resistividad del material de un alambre.
Material
Figura 1: Montaje del puente de Wheatstone.
1 multı́metro digital.
1 fuente de alimentación de corriente continua.
1 tablero de resistencias (hilos).
1 tablero de resistencia variable (hilo con una regleta corredera).
5 resistencias de 10 Ω, 100 Ω, 1 KΩ, 10 KΩ y 100 KΩ.
5 resistencias de valor desconocido.
1 caja para conectar resistencias.
Cables.
1
Teorı́a
En circuitos eléctricos con ramificaciones, en condiciones estacionarias, la primera ley de
Kirchoff establece que, en cada nudo del circuito
X
Ii = 0,
(1)
i
donde Ii son los valores de las corrientes que llegan o salen del punto de unión. Normalmente se
toman como positivas aquellas corrientes que llegan al punto de unión y negativas las que salen
de él. La segunda ley de Kirchoff establece que, en cualquier circuito cerrado de una red,
X
Vi −
X
Ij Rj = 0,
(2)
j
i
donde Vi son las fuentes de potencial a lo largo del circuito cerrado, Rj las resistencias, e Ij las
intensidades que pasan por ellas. Aplicando esta segunda ley al circuito de la figura 2, obtenemos
la ley de Ohm:
V = IR.
(3)
R
A
I
V
Figura 2: Circuito VR con un amperı́metro.
Igualmente, aplicandola al circuito de la figura 3 se obtiene la regla de suma de resistencias
en serie
V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2 )
⇒
R = R 1 + R2 ,
(4)
R1
R2
I
V
Figura 3: Resistencias en serie.
2
Y aplicando la primera ley de Kirchoff al nodo marcado con un cı́rculo en la figura 4, y la
segunda ley a los circuitos cerrados que pasan por la fuente de voltaje y por cada una de las
resistencias, obtenemos la regla para resistencias en paralelo:
V
= I 1 R1
V
= I 2 R2
V
V
I = I 1 + I2 =
+
=V
R1 R2
I1
I
I2
1
1
+
R1 R2
=
⇒
1
1
1
=
+
R
R1 R2
(5)
R1
R2
V
Figura 4: Resistencias en paralelo.
V
Rx
R
A
R1
R2
l1
l2
Figura 5: Circuito del puente de Wheatstone.
En el puente de Wheatstone (figura 5), aplicando la segunda ley de Kirchoff a dos circuitos
cerrados que pasan por las resistencias superiores y por las inferiores (y en ambos por la fuente)
V = Isup (Rx + R) = Vx + VR
V = Iinf (R1 + R2 ) = V1 + V2
3
Cuando la intensidad que pasa por el amperı́metro es igual a cero, el potencial en sus dos
extremos debe ser el mismo, de modo que Vx = V1 :
Vx
V1
=
V
V
⇒
Rx
R1
=
Rx + R
R1 + R 2
⇒
Rx = R
R1
l1
=R .
R2
l2
(6)
En la última igualdad se ha usado que la resistencia de un hilo viene dada por
R=ρ
l
A
(7)
donde l es la longitud, A = π(d/2)2 es la sección (área), d es el diámetro, y ρ es la resistividad
del material del hilo.
Experimentos
1. Colóquese el multı́metro en la posición “R” para medir resistencias. Póngase una de las
resistencias conocidas en la caja de conexiones y conéctense sus extremos con cables a los
bornes del multı́metro. Ajústese la escala del multı́metro al menor valor posible que sea
superior al de la resistencia a medir, y obténgase el valor de ésta, que deberı́a ser parecido
al nominal. Repı́tase con todas las resistencias conocidas y desconocidas.
2. Colóquese el multı́metro en las posiciónes “V” y “DC” para medir voltajes de corriente
continua. Conéctense sus bornes con los de la fuente de voltaje. Ajústese la escala del
multı́metro al valor en que tenga la máxima sensibilidad, sin superar el valor a medir.
Obténgase el voltaje de la fuente, que deberı́a ser parecido al nominal.
3. Colóquese el multı́metro en las posiciónes “I” y “DC” para medir intensidades de corriente
continua. Conéctese el multı́metro, la fuente de voltaje, y una de las resistencias conocidas,
como en la figura 2. Ajústese la escala del multı́metro para obtener la máxima sensibilidad y
mı́dase la intensidad de corriente que pasa por el circuito. Mediante la ecuación 3, calcúlese
la resistencia, que deberı́a ser parecida a la nominal y a la obtenida directamente con el
multı́metro. Repı́tase con todas las resistencias conocidas y desconocidas. La diferencia
entre los valores nominales y medidos nos dará una estimación de los errores de medida.
4. Móntese el circuito de la figura 5, donde Rx es una de las resistencias de valor desconocido
y R una de las de valor conocido. Ajústense, mediante la regleta del tablero de resistencia
variable, los valores de R1 y R2 de modo que la intensidad que mida el multı́metro sea nula.
Puesto que los valores más exactos se obtienen cuando la regleta se encuentra cerca de su
posición central, ajústese el valor de R de modo que se verifique esta condición. Mediante
la ecuación (6), obtener de esta forma los valores de todas las resistencias desconocidas, y
compararlos con los obtenidos en los apartados anteriores.
5. Procediendo como en el primer apartado, obténganse los valores de los siguientes conjuntos
de resistencias:
R1 en serie con R13
R1 en serie con R13 en serie con R16
R1 en paralelo con R13
R1 en paralelo con R13 en paralelo con R16
(R1 en serie con R13 ) en paralelo con R16
Comparar estos resultados con los esperados usando las ecuaciones (3) y (4) y los valores
de Ri obtenidos en el primer apartado.
4
6. Procediendo como en el primer apartado, obténganse los valores de las resistencias de cada
uno de los alambres del tablero de resistencias. Usando un calibre y una cinta métrica,
mı́danse sus diámetros y longitudes, y estı́mense los errores de estas medidas. Mediante la
ecuación 7, hallar la resistividad de cada hilo, poniendo atención a los cambios de unidades.
Propagando los errores de la longitud, del diámetro, y de la resistencia, obtener el error
de la resistividad de cada hilo. A partir de las medidas de la resistividad de los distintos
hilos, obtener un valor final de la resistividad del material “konstantan”, y una estimación
de su error. De forma similar, obtener la resistividad del material “messing”.
Medidas
Etiqueta
10 Ω
100 Ω
1 KΩ
10 KΩ
100 KΩ
R1
R3
R8
R13
R16
R ± ∆R (Ω)
Cuadro 1: Resistencias medidas con el multı́metro en modo resistencia.
V ± ∆V (V) =
Etiqueta I ± ∆I (A)
10 Ω
100 Ω
1 KΩ
10 KΩ
100 KΩ
R1
R3
R8
R13
R16
R ± ∆R (Ω)
Cuadro 2: Voltaje e intensidades medidas con el circuito VR, y resistencias obtenidas a partir de
ellas. El cálculo del error de las resistencias puede posponerse al informe final. Todos los demás
valores y errores deben completarse durante la toma de datos.
5
Longitud (l1 + l2 ) = l ± ∆l (cm) =
Etiqueta R ± ∆R (Ω) l1 ± ∆l1 (cm)
R1
R3
R8
R13
R16
Rx ± ∆Rx (Ω)
Cuadro 3: Longitudes l1 medidas con el puente de Wheatstone, y resistencias obtenidas a partir
de ellas. El valor y error de las resistencias conocidas R se obtiene de los valores nominales
y/o de los medidos en los apartados anteriores. El cálculo del error de las resistencias puede
posponerse al informe final.
Combinación
R1-R13
R1-R13-R16
R1|R13
R1|R13|R16
(R1-R13)|R16
R ± ∆R medida (Ω)
R ± ∆R calculada (Ω)
Cuadro 4: Combinaciones de resistencias medidas y calculadas a partir de las ecuaciones (3)
y (4). Los signos (-) y (|) indican “en serie” y “en paralelo”, respectivamente. El error de las
resistencias calculadas puede posponerse al informe final.
Hilo
l ± ∆l (cm) d ± ∆d (mm)
Konstantan 1.0
Konstantan 0.7
Konstantan 0.5
Konstantan 0.35
Messing 0.5
Resistividad del konstantan ρ ± ∆ρ (Ωm) =
R ± ∆R (Ω)
ρ ± ∆ρ (Ωm)
Cuadro 5: Resistividades de diversos hilos obtenidas mediante la ecuación (7), a partir de su
longitud, diámetro, y resistencia. El error de las resistividades puede posponerse al informe final.
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