Figuras planas -1- 5.- FIGURAS PLANAS • Líneas curvas y rectas 1

Figuras planas
5.- FIGURAS PLANAS
Al finalizar el sexto curso de Educación Primaria, los estudiantes deben describir figuras
geométricas usando el vocabulario apropiado; usar instrumentos de dibujo (regla,
compás, escuadra, transportador de ángulos) para construir figuras geométricas, medir
longitudes y ángulos, construir curvas, dividir un segmento en partes iguales y en partes
proporcionales, construir triángulos y cuadriláteros sencillos así como polígonos regulares
de hasta 12 lados; decidir cuándo hay semejanza entre figuras y usarla para determinar
distancias; construir polígonos semejantes en casos sencillos, hacer traslaciones y obtener
los ejes de simetría de polígonos regulares y otras figuras; aplicar el teorema de Pitágoras
para resolver problemas geométricos en los que se deban calcular distancias.
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Líneas curvas y rectas
Ángulos
Circunferencia y círculo
Curvas
Proporcionalidad de segmentos
Polígonos
Semejanza, traslación y simetría
Teorema de Pitágoras
Líneas curvas y rectas
1.- Para trazar una línea ondulada se traza primero una línea recta y se divide en partes iguales
(¿cómo lo puedes hacer con regla y compás?). Haciendo después centro en cada segundo
punto de división y con una abertura de compás igual a la distancia entre ellos, se van trazando
semicircunferencias.
Con un radio de un centímetro traza una línea ondulada compuesta por 4 semicircunferencias.
2.- Para dibujar una espiral, traza una línea recta y sobre ella señala dos puntos separados 2
centímetros. Después, haciendo centro en ellos alternativamente se van trazado
semicircunferencias.
3.- Dibuja una línea quebrada cuyos segmentos midan 2 cm, 3’5 cm, 3 cm y 4 cm.
4.- ¿En qué se diferencia la semirrecta del segmento rectilíneo?
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Figuras planas
5.- Sumar segmentos.- Traza un segmento de 2 cm, otro de 3 cm y otro de 6 cm y súmalos.
(Llévalos unos a continuación de otros sobre una semirrecta. El segmento determinado por el
origen del primero y el extremo del último es el segmento suma).
6.- Restar segmentos.- Traza un segmento de 12 cm y otro de 7 cm y réstalos. (Sobre el mayor
lleva el menor; la diferencia de sus longitudes es el segmento resta).
7.- Multiplicar un segmento por un número.- Traza un segmento de 3 cm y multiplícalo por 5.
(Se traza una semirrecta y se lleva sobre ella cinco veces).
8.- Dividir un segmento.- Traza un segmento de 15 cm y divídelo en 5 partes. Utiliza la regla y
el compás.
9.- Dibuja una línea mixta tal que el trozo recto mida 3,5 cm y la curva tenga un radio de 2,5
centímetros.
10.- Dibuja segmentos de distinta longitud; calcula a ojo su longitud en centímetros y
comprueba tu cálculo con una regla graduada.
11.- Usa instrumentos de dibujo para construir la siguiente cenefa:
12.- Traza una recta; después, con regla y escuadra, traza 5 perpendiculares a ella.
13.- Con una regla y una escuadra, traza una perpendicular a una recta desde un punto fuera
de ella.
14.- Con los mismos instrumentos, traza una perpendicular a un punto situado en la recta.
15.- Traza seis paralelas con regla y escuadra, y después, con los mismos instrumentos, traza 6
perpendiculares a ellas.
16.- Usando instrumentos de dibujo, construye la siguiente cenefa:
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Ángulos
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Figuras planas
1.- Dibuja un ángulo de 60º y con el compás traza otro igual.
2.- Dobla una cuartilla en forma de triángulo y con el transportador mide sus ángulos.
3.- Toma una pirámide y mide todos sus ángulos con el transportador.
4.- Sumar ángulos.- Sumar un ángulo de 35o con otro de 60o y otro de 75o. Usa el transportador
de ángulos e instrumentos de dibujo.
5.- Restar ángulos.- Construye un ángulo igual a la diferencia entre un ángulo de 125o y un
ángulo de 60o.
6.- Multiplicar ángulos.- Multiplica un ángulo de 50o por 3. Comprueba que equivale a sumarlo
consigo mismo tres veces.
7.- Dividir ángulos.- Divide un ángulo de 140o por 5.
Primer método.- Basta hacer la división aritmética y con el transportador se van señalando
divisiones iguales al número de grados que indique el cociente. Se unen después los puntos de
división con los vértices del ángulo y quedará dividido.
Segundo método.- Haz las operaciones anteriores empleando el compás en vez del
transportador. Se trazan dos arcos de igual radio en los ángulos y con el compás se aprecia la
longitud de los mismos. La división se hace por tanteo.
8.- Traza en una cartulina los siguientes ángulos: 45o, 60o, 90o, 120o. Anota en ellos su medida y
recórtalos con las tijeras.
9.- Dibuja un trapecio y traza las bisectrices de sus ángulos.
10.- Dibuja un segmento y en su extremos traza una perpendicular.
11.- Un ángulo mide 45o, 6’ y 45”. ¿Cuánto vale su complementario? ¿Y su suplementario?
12.- Un ángulo de 24o ha sido multiplicado por 3. ¿Cuánto vale ahora? ¿Cuánto le falta para
valer un ángulo llano?
13.- Traza un ángulo de 86o. Divídelo en dos con una bisectriz. Traza las bisectrices de los dos
ángulos resultantes. ¿Cuántos grados mide cada uno?
14.- Dos rectas que se cortan forman 4 ángulos. Si uno de ellos mide 75 o, ¿cuánto medirán los
otros tres?
15.- Una oblicua cae sobre una recta horizontal con una inclinación de 26o. Determina el
número de grados de los ángulos adyacentes que se forman.
16.- Un ángulo mide 64o, 30’ y 50”. ¿Cuánto medirá su complementario?
17.- Tres ángulos consecutivos valen 40o 28’, 23o 52’ 40” y 59o 45’ 16”. ¿Cuánto valdrá el
ángulo suplementario de los mismos?
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Circunferencia y círculo
1.-Señala tres puntos que no estén situados en línea recta y traza una circunferencia que pase
por ellos.
2.- ¿Cuántos segundos tiene una circunferencia?
3.- ¿Cuántos grados mide una semicircunferencia? Otra semicircunferencia trazada con un
radio doble, ¿cuántos grados medirá?
4.- Dados tres puntos, traza una circunferencia que pase por ellos
5.- Dada una circunferencia, busca el centro.
6.- Dibuja una circunferencia y traza en ella un arco de 145o, y en el círculo correspondiente
traza un sector de 75o y un segmento de 85o.
7.- Escribe el número de grados, minutos y segundos que tiene una circunferencia.
8.- Utiliza instrumentos de dibujo para construir la siguiente cenefa:
9.- Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio y en ella inscribe un triángulo.
10.- Si dos circunferencias son secantes, ¿qué relación hay entre la suma de los radios y la
distancia entre los centros? ¿Y si las circunferencias son tangentes?
11.- Traza una circunferencia de 2 cm de radio y, desde un punto situado a 5 cm del centro,
traza dos tangentes a ella.
12.- Inscribe un triángulo equilátero en una circunferencia de 2 cm de radio.
13.- Dos circunferencias iguales, ¿cuántas posiciones relativas pueden tener? Dibújalas. ¿Y si
fueran desiguales? Dibújalas.
14.- Los radios de dos circunferencias son 1 y 2 cm. Indica la posición relativa cuando la
distancia entre los centros sea: a) 0,5 cm; b) 1 cm; c) 3 cm; d) 3,5 cm y 0 cm.
15.- Dibuja la siguiente cenefa:
16.- Dibuja una circunferencia de 3,4 cm de radio. Traza en ella un radio, un diámetro, una
cuerda, una secante y una tangente. Anota la medida de cada línea en milímetros.
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Curvas
1.- Traza en el suelo una elipse cuyos focos disten un metro.
2.- Traza un óvalo cuyos centros disten 4 cm.
3.- ¿Por cuántos arcos está formado un óvalo? ¿Cómo son entre sí?
4.- ¿Cómo se llama la distancia entre los focos de una elipse?
5.- Traza en el patio del colegio una elipse, un óvalo y un ovoide, siguiendo las instrucciones
que se muestran a continuación. Para el trazado del óvalo y el ovoide, construye un compás
grande con dos ramas de madera.
Trazado de una elipse.- Para trazar una elipse se señalan dos puntos A y B, los cuales serán los
focos. A estos puntos se une un hilo o cuerda de longitud igual al eje mayor, y con un lápiz o
punzón se mete en el espacio comprendido entre los dos focos y la cuerda, se va marcando la
elipse, procurando que el citado hilo o cuerda esté siempre tirante.
Trazado de un ovoide.- Para trazar un ovoide se comienza por dibujar una circunferencia y
sobre ella dos diámetros perpendiculares AB y CD, prolongando uno de ellos AB hasta un
punto M. Se unen los puntos C y D con el M por medio de líneas rectas prolongadas y se trazan
después, tomando como centros los puntos C y D, los arcos CE y DF. Finalmente, tomando
como centro el punto M, se traza el arco EF y quedará construido el ovoide.
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Figuras planas
Trazado de un óvalo.- Para trazar un óvalo, sobre una recta, en la cual estarán los centros A y
B, se dibujan dos circunferencias tangentes y de igual radio. Después, tomando como centro el
punto de tangencia M, se traza una nueva circunferencia con el mismo radio que las
anteriores. Se une el centro de las exteriores y el punto de intersección con la central, hasta
que se corten. Finalmente, haciendo centro en los puntos C y D, se trazan dos arcos que
completan el óvalo.
6.- Realiza el ejercicio anterior en tu cuaderno. Para el trazado de la elipse, aprisiona con dos
dedos contra el papel las puntas de un hilo fuerte.
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Proporcionalidad de segmentos
1.- Utilizando regla y compás, traza un segmento de 8 cm y divídelo en 6 partes iguales.
2.- Divide un segmento de 6 cm en partes proporcionales a tres segmentos de 3, 2 y 4 cm. Haz
después, para cada segmento, la siguiente proporción:
9 (suma de segmentos) 2 (uno de los segmentos)
26

x
 1,33 cm
6 (segmentoentero)
x
9
Es decir, que al segmento de 2 centímetros le corresponden 1,33 cm en el segmento dividido.
Compruébalo con la regla. Comprueba igualmente que la razón o cociente de 2 y 1,33 es la
misma que entre los otros segmentos (3 y 4) y la parte que les corresponda.
3.- Divide un segmento de 10 cm en partes proporcionales a otros dos de 6 y 9 cm, haciendo
las comprobaciones que se indican en el ejercicio anterior.
4.- Realiza el siguiente ejercicio de simetría:
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Polígonos
1.- ¿Cuántos lados tiene un decágono?
2.- ¿Cómo se llama un polígono que tiene lados desiguales y ángulos iguales?
3.- La diagonal de un polígono ¿equivale a dos radios? ¿Por qué?
4.- Traza un pentágono regular y construye otro igual.
5.- Traza un hexágono regular y construye otro semejante de doble tamaño.
6.- Traza un pentágono irregular y construye otro semejante a un tercio de su tamaño.
7.- Construye en cartulina los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 12 lados.
Recórtalos, pon sus nombres y traza su apotema y mídela. Mide un lado, halla su perímetro y
escribe el resultado.
8.- Traza tres segmentos de 2’5, 3 y 4 cm; con ellos construye un triángulo.
9.- Dibuja un triángulo cuya altura no caiga sobre la base.
10.- ¿Cómo se llama un triángulo que tiene exactamente dos lados iguales?
11.- ¿Cuántos ángulos agudos tiene un triángulo obtusángulo?
12.- Construye un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 4 y 3 cm y el ángulo
comprendido vale 50o.
13.- Construye un triángulo sabiendo que uno de sus lados mide 3,5 cm y los ángulos contiguos
a él miden 65o y 50o.
14.- Dibuja la siguiente cenefa:
15.- Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2,5 y 4 cm.
16.- Construye un triángulo rectángulo en el que un cateto mide 3,5 cm y la hipotenusa 5 cm.
17.- ¿Cuándo son proporcionales dos triángulos?
18.- Construye un triángulo rectángulo conociendo: a) los dos catetos; b) un cateto y un ángulo
agudo; c) un cateto y la hipotenusa; d) un ángulo agudo y la hipotenusa. Utiliza los siguientes
algoritmos:
Conociendo los dos catetos.- Sobre un ángulo recto se lleva la longitud de los catetos y
uniendo los extremos quedará construido.
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Figuras planas
Conociendo un cateto y un ángulo agudo.- Sobre uno de los lados de un ángulo recto se lleva
la medida del cateto conocido y sobre el extremo del mismo se traza el ángulo agudo.
Prolongando convenientemente el otro lado, quedará construido el triángulo.
Conociendo un cateto y la hipotenusa.- Se traza un ángulo recto y sobre uno de sus lados se
lleva el cateto conocido. Después, haciendo centro en el extremo de este cateto, y con una
abertura de compás igual a la hipotenusa, se traza un arco que corte al otro lado del ángulo
recto. Uniendo el punto de corte con el extremo del cateto conocido, quedará construido el
triángulo.
Conociendo un ángulo agudo y la hipotenusa.- Se traza un ángulo igual al conocido. Sobre uno
de sus lados se lleva la longitud de la hipotenusa, y desde el extremo de ella se traza una
perpendicular al otro lado.
19.- Un palo de 0,30 metros colocado perpendicularmente sobre el suelo proyecta una sombra
de 0,18 metros. ¿Qué altura tendrá una torre que está a su lado, sabiendo que su sombra mide
en aquel mismo momento 12 metros?
20.- La sombra de un árbol mide 7 m y la de un gnomon de 25 cm colocado a su lado mide 20
cm. ¿Cuál es la altura del árbol?
21.- Dibuja la siguiente cenefa:
22.- Construye un cuadrado de 4 cm de lado.
23.- ¿Cómo se llama el cuadrilátero que tiene los lados contiguos desiguales y los ángulos
rectos? ¿Cómo se llama el cuadrilátero que tiene dos lados paralelos?
24.- Dibuja un romboide. ¿Cuál es la característica del trapezoide?
25.- Construye un cuadrado sabiendo que un lado mide 3 cm.
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26.- Construye un cuadrilátero rectángulo, sabiendo que uno de sus lados mide 4 cm y el otro
6/12 del anterior.
27.- Construye un rombo sabiendo que uno de sus lados mide 2,5 cm y uno de sus ángulos vale
45o.
28.- Uno de los ángulos de un rombo mide 65o 30’. ¿Cuánto medirán los restantes?
29.- Dibuja la siguiente cenefa:
30.- Define: a) semirrecta, b) divergentes, c)90o, d)Bisectriz, e) Complementarios, f) 360o, g)
Sector circular, h) Radios vectores, i) Figuras equivalentes, j) Apotema, k) Hipotenusa, l)
gnomon, m) Trapezoide.
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Semejanza, traslación y simetría
1.- Dibuja un cuadrado de lado 3 cm y después otro cuadrado cuyos lados sean el doble. ¿Son
semejantes?
2.- Dibuja un cuadrado de lado 4 cm y después trasládalo 4 unidades hacia la derecha y 3 hacia
arriba. Traslada la figura obtenida dos unidades a la izquierda y 4 hacia abajo. ¿Cuál es el
resultado?
3.- Dibuja un hexágono regular de lado 2 cm y señala su centro. Une el centro con cada uno de
los vértices y prolonga las rectas. Sobre cada recta señala el punto situado a 3 cm del vértice
correspondiente y une todos los puntos obtenidos. El hexágono obtenido ¿es semejante al
original? Compara la longitud de sus lados con los del hexágono original.
4.- Con ayuda de un espejo averigua cuántos ejes de simetría tiene cada una de las letras del
abecedario:
A B C DE F GHl
J K LM N O P Q R
S T U V WX Y Z
5.- Averigua cuántos ejes de simetría tiene: a) un triángulo equilátero, b) un cuadrado, c) un
rectángulo, d) un hexágono regular.
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Teorema de Pitágoras
Observando la figura siguiente en la que se muestra un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 e
hipotenusa 5, se aprecia que el cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la suma de
los cuadrados construidos sobre los catetos. Simbólicamente se escribe así:
H 2  A 2  B2
Siendo H la hipotenusa, A y B los catetos.
Algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras son las siguientes:
1)
Cálculo de la hipotenusa
H  A 2  B2
2)
Cálculo de un cateto
A  H 2  B2
3)
Hallar la diagonal de un rectángulo conociendo sus lados
La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. Por tanto, D  AB2  BC2
4)
Hallar la altura de un triángulo equilátero conociendo su lado
Al trazar la altura, el triángulo queda descompuesto en dos triángulos rectángulos, en los
que conocemos la hipotenusa (igual al lado del triángulo) y un cateto (igual a la mitad del
L
lado). Por tanto, la altura del triángulo se calcula mediante: H  L2   
2
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1.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 4 metros respectivamente. ¿Cuánto
medirá su hipotenusa?
2.- La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo miden respectivamente 4 y 3 metros.
¿Cuánto medirá el otro cateto?
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3.- La diagonal de un rectángulo mide 8 metros y uno de sus lados 5 metros. ¿Cuánto medirá el
otro lado? ¿Cuál será la superficie del rectángulo?
4.- El lado de un triángulo equilátero mide 5 metros. ¿Cuál es su área?
5.- La base de un triángulo isósceles mide 16 metros y uno de sus lados iguales 24 metros.
¿Cuánto mide su altura y cuál es su área?
6.- Un cuadrado de 6 metros de lado está inscrito en una circunferencia. Halla la longitud de
ésta y el área del círculo comprendido.
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