Teorı́a de Galois. Curso 2015-16 Hoja 5. 1. Sea E/F cuerpo de descomposición de un polinomio de F [X]. Sea p(X) ∈ F [X] irreducible. Demuestra que si p(X) se descompone en E[X] entonces Gal(E/F ) actúa transitivamente sobre X = {α ∈ E | p(α) = 0}. 2. Halla una cadena de extensiones de cuerpos que demuestre que X 4 − 10X 2 + 1 = 0 es resoluble por radicales (X 4 − 10X 2 + 1 ∈ Q[X]). 3. Sean F, F1 y E cuerpos tales que F ⊆ F1 ⊆ E y F1 /F es el cuerpo de descomposición de un polinomio de F [X]. Demuestra que Gal(E/F1 ) E Gal(E/F ) y que Gal(E/F )/Gal(E/F1 ) es isomorfo a un subgrupo de Gal(F1 /F ). 4. Se considera el polinomio X 3 − 2 ∈ Q[X]. Se considera la siguiente cadena de extensiones puras √ 3 F = Q ⊆ F1 = Q( 2) ⊆ E = F1 (ω). ¿Es Gal(E/F1 ) E Gal(E/F )? √ 5. Se considera la extensión radical Q( 12 5)/Q. Demuestra que existe una una cadena de extensiones √ 12 Q ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ · · · ⊆ Ft = Q( 5), cada una de ellas pura de tipo un número primo. 6. Sea E/F una extensión radical con F ⊂ E. Demuestra que existe una una cadena de extensiones F ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ · · · ⊆ Ft = E, tal que cada Fi−1 ⊆ Fi (i = 1, . . . , t) es pura de tipo un número primo. 7. Sean E1 /F y E2 /F extensiones radicales. Demuestra que E1 E2 /F es radical. 8. Sea F ⊆ F1 ⊆ E extensiones de cuerpos. Sea σ ∈ Gal(E/F ). El cuerpo σF1 := {σ(α) | α ∈ F1 } se llama cuerpo conjugado de F1 (con respecto a E/F ). Demuestra lo siguiente: (i) para todo σ ∈ Gal(E/F ), Gal(E/σF1 ) = σGal(E/F1 )σ −1 ; (ii) Si F1 tiene un único cuerpo conjugado entonces Gal(E/F1 ) E Gal(E/F ). √ 9. Halla los cuerpos conjugados de Q( 3 2) del ejercicio 4.