Sin título de diapositiva - Departamento de Informática y Automática
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CONTROL MULTIVARIABLE Fernando Morilla García Natividad Duro Carralero Dpto. de Informática y Automática fmorilla@dia.uned.es Contenido Tema 1: Introducción al control multivariable Tema 2 : Medidas de interacción Tema 3 : Control descentralizado Tema 4 : Control centralizado Contenido Tema 2 : Medidas de interacción – Matriz de Ganancias Relativas RGA – Matriz de Ganancias Relativas Generalizada GRGA – Descomposición en Valores Singulares SVD – Número de Condición γ CLASIFICACIÓN DE VARIABLES variables no controladas perturbaciones PROCESO variables manipuladas variables controladas METODOLOGÍA Selección de las variables controladas Selección de las variables manipuladas Selección de la configuración de control – Control Centralizado – Control Descentralizado Selección del tipo de controlador Contenido Tema 2 : Medidas de interacción – Matriz de Ganancias Relativas RGA – Matriz de Ganancias Relativas Generalizada GRGA – Descomposición en Valores Singulares SVD – Número de Condición γ Ganancia en estado estacionario (kij) n-1 ctes PROCESO (n x m) yi uj En ausencia de perturbaciones Con n-1 entradas fijas ¿Qué cambio experimenta la salida yi si la entrada uj ha cambiado Δuj? Δyi = kij Δuj Ganancias en lazo abierto del sistema en estado estacionario Matriz de ganancias en estado estacionario (K) U 1 (s) G P11 (s) Y 1 (s) + SSGM + ⎛ k11 K = ⎜⎜ ⎝ k 21 G P21 (s) G P12 (s) + U 2 (s) G P22 (s) Y1(s ) = G Y2 (s ) = G P 11 P 21 + ( s )U 1 ( s ) + G ( s )U 1 ( s ) + G k12 ⎞ ⎟⎟ k 22 ⎠ Y 2 (s) ∂yi kij = ∂u j uk ; ∀k ≠ j P 12 P 22 ( s )U ( s )U 2 (s ) 2 (s ) k ij = lims − >0 GPij (s) Ganancia en estado estacionario (k’ij) yi uj PROCESO (n x m) n-1 entradas m-1 salidas CONTROLADOR (2(m-1) x (n-1)) m-1 ctes En ausencia de perturbaciones Con m-1 salidas perfectamente controladas ¿Qué cambio experimenta la salida yi si la entrada uj ha cambiado Δuj? Δyi = k’ij Δuj Ganancia relativa (λij) ganancia con todos los lazos abiertos ganancia con las demás salidas bajo control perfecto λij = ∂yi ∂u j uk ; ∀k ≠ j ∂yi ∂u j yl ; ∀l ≠ i = kij k 'ij Matriz de ganancias relativas (Λ) U 1 (s) G P11 (s) Y 1 (s) + RGA + ⎛ λ11 λ12 ⎞ ⎟⎟ Λ = ⎜⎜ ⎝ λ21 λ22 ⎠ G P21 (s) G P12 (s) + U 2 (s) G P22 (s) + λij = Y 2 (s) ∂yi ∂u j uk ; ∀k ≠ j ∂ yi ∂u j yl ; ∀l ≠ i Matriz de ganancias relativas (2x2) ⎛ k11 K = ⎜⎜ ⎝ k 21 ⎛ λ11 Λ = ⎜⎜ ⎝ λ21 k12 ⎞ ⎟⎟ k 22 ⎠ k11k 22 ⎛ ⎜ λ12 ⎞ ⎜ k11k 22 − k12 k 21 ⎟⎟ = λ22 ⎠ ⎜ − k12 k 21 ⎜k k −k k ⎝ 11 22 12 21 − k12 k 21 ⎞ ⎟ k11k 22 − k12 k 21 ⎟ k11k 22 ⎟ k11k 22 − k12 k 21 ⎟⎠ Matriz de ganancias relativas (nxn) ⎛ k11 ⎜ ⎜ . K =⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜k ⎝ n1 . . . . . . . . . ( ) Λ=Kx K k1n ⎞ ⎟ . ⎟ . ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ k nn ⎠ −1 T En matlab: rga = k .* (inv(k))’ Propiedades de la RGA (nxn) ⎛ λ11 ⎜ ⎜ . Λ=⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜λ ⎝ n1 . . . . . . . . n ∑λ j =1 ji . =1 λ1n ⎞ ⎟ . ⎟ . ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ λnn ⎠ n ∑λ i =1 ji =1 Ejemplos de RGA Λ 2x2 Λ 3x3 ⎛ λ11 1 − λ11 ⎞ ⎟⎟ = f (λ11 ) = ⎜⎜ λ11 ⎠ ⎝1 − λ11 λ11 λ12 1 − λ11 − λ12 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ λ21 λ22 1 − λ21 − λ22 ⎟ ⎜1 − λ − λ 1 − λ − λ ⎟ 1 + λ + λ + λ + λ 11 21 12 22 11 12 21 22 ⎠ ⎝ = g(λ11 , λ12 , λ21 , λ22 ) Proceso nxn se calculan (n-1)2 RGA = matriz identidad ⎛ k11 ⎜ ⎜0 K =⎜ 0 ⎜ ⎜ . ⎜0 ⎝ ⎛ k11 ⎜ ⎜ k 21 K = ⎜ k31 ⎜ ⎜ . ⎜k ⎝ n1 k12 k13 k 22 k 23 0 k33 . . 0 0 . k1n ⎞ ⎟ . k2n ⎟ . k3n ⎟ ⎟ . . ⎟ ⎟ . k nn ⎠ 0 0 . k 22 0 . k32 . kn 2 k33 . . . kn3 . 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ k nn ⎟⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 Λ = ⎜0 ⎜ ⎜. ⎜0 ⎝ 0 0 . 0⎞ ⎟ 1 0 . 0⎟ 0 1 . 0⎟ ⎟ . . . .⎟ 0 0 . 1 ⎟⎠ Análisis de las interacciones k’ij = kij /λij λij es una medida del grado de interacción que los demás lazos de control tienen sobre el posible lazo uj - yi λij=1 ⇒ ausencia de interacción entre el lazo analizado y los demás. (kij= k’ij ) λij=0 ⇒ – La entrada uj no afecta directamente a la salida yi (kij= 0) – La entrada uj afecta mucho a la salida yi cuando los demás lazos están cerrados (k’ij >>>> ) λij=∞ ⇒ La entrada uj no afecta a la salida yi cuando los demás lazos están cerrados (k’ij = 0 ) λij<0 ⇒ se produce un cambio de signo en la ganancia cuando los demás lazos se cierran (caso peor ) Reglas de emparejamiento Emparejar con cada salida aquella entrada que presente ganancia relativa más cercana a la unidad Evitar emparejamientos que lleven asociado una ganancia relativa negativa Comprobar que los emparejamientos elegidos no provocan inestabilidad PROCESO DE MEZCLA 2 manipuladas: 2 controladas: caudales m1 y m2 caudal total (F) y la concentración (x) ¿Con qué variable manipulada se debe controlar el caudal total? ¿y la concentración? RGA del proceso de mezcla Modelo F = m1 + m2 en estado estacionario ∂F ∂m1 m2 ; ∂ (m1 + m2 ) =1 = ∂m1 m ∂F ∂ (m1 + m2 ) = ∂m1 x ∂m1 x 2 ⎛ m1 ⎞ ∂⎜ ⎟ 1 x ⎠ ⎝ = = x ∂m1 λ11 = m1 x= m1 + m2 ∂F ∂m1 m ∂F ∂m1 2 x 1 = =x 1 x x ⎛ λ11 1 − λ11 ⎞ ⎛ x 1 − x ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ Λ = ⎜⎜ λ11 ⎠ ⎝1 − x x ⎠ ⎝1 − λ11 RGA del proceso de mezcla F = m1 + m2 ⎛ ∂F ⎜ ⎜ ∂m1 K =⎜ ⎜ ∂x ⎜ ∂m1 ⎝ m2 m2 ( ) Λ=Kx K −1 T ; m1 x= m1 + m2 ⎞ ⎟ ⎛ 1 ⎟ ⎜ m1 m2 ⎟=⎜ ∂x ⎟ ⎜ 2 ( ) + m m 2 ⎝ 1 ⎟ ∂m2 m 1 ⎠ ∂F ∂m2 ⎛ m1 ⎜ m1 + m2 ⎜ = ⎜ m2 ⎜m +m 2 ⎝ 1 1 ⎞ ⎟ − m1 ⎟ (m1 + m2 )2 ⎟⎠ m2 ⎞ ⎟ m1 + m2 ⎟ ⎛ x 1 − x ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ m1 ⎟ ⎝1 − x x ⎠ m1 + m2 ⎟⎠ Interacciones y emparejamiento en el proceso de mezcla m1 m2 F ⎛ x 1− x ⎞ ⎟⎟ Λ = ⎜⎜ x ⎝1 − x x ⎠ El grado de interacción y por tanto el emparejamiento dependerá del valor de consigna para la concentración x. – Si x>0.5 se debe utilizar m1 para controlar el caudal total y m2 para controlar la concentración – Pero si x<0.5 se debe utilizar m2 para controlar el caudal total y m1 para controlar la concentración En definitiva, siempre se debe utilizar el mayor de los caudales para controlar el caudal total y el menor para controlar la concentración Columna rectificadora: vista como proceso (4x4) 4 manipuladas: V caudal de destilado caudal de reflujo caudal de fondo caudal de vapor 1 n plato condensador producto de cabeza L acumulador reflujo destilado F f alimentación D 2 perturbaciones: caudal y composición de alimentación N producto de fondo calderín W 4 controladas: nivel en el acumulador, nivel en el fondo composición en cabeza y en fondo Columna rectificadora: vista como proceso (2x2) 2 manipuladas: caudal de reflujo caudal de vapor plato condensador producto de cabeza V 1 n L acumulador reflujo destilado F f alimentación PI D 2 perturbaciones: caudal y composición de alimentación N producto de fondo PI W 2 controladores de nivel: simples, más rápidos, interaccionan poco con los otros dos calderín 2 controladas: composición en cabeza y en fondo Ejemplo de columna rectificadora 2 perturbaciones: caudal y composición de alimentación Perturbaciones F Entradas L 2 manipuladas: caudal de reflujo caudal de vapor V ZF Salidas COLUMNA DESPROPANIZADORA TC 2 controladas: temperatura en cabeza y en fondo TF RGA de la columna rectificadora TC (s) = - 0.96 2.6 0.01 0.18 F(s) Z (s) L(s) + V(s) (23.7 s + 1)(11.8 s + 1) (17.9 s + 1)2 (21.3 s + 1)2 (21.3 s + 1)2 F TF (s) = - 0.57 0.02 L(s) + V(s) (19.7 s + 1)(9.3 s + 1) (24.3 s + 1)(8.1 s + 1) Modelo dinámico - 0.85 0.5 F(s) Z (s) (20.2 s + 1)(4.4 s + 1) (20.2 s + 1)(4.4 s + 1) F Hay poca interacción y los emparejamientos recomendados están en la diagonal: TC-L ; TF-V kCL k FV ⎛ ⎜ kCL k FV − k FL kCV ⎜ Λ= − k FL kCV ⎜ ⎜k k −k k FL CV ⎝ CL FV − k FL kCV kCL k FV − k FL kCV kCL k FV kCL k FV − k FL kCV ⎛ − 2.6 0.01 ⎞ ⎟⎟ K = ⎜⎜ ⎝ − 0.57 0.02 ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ = ⎛⎜ 1.1231 − 0.1231⎞⎟ ⎟ ⎜⎝ − 0.1231 1.1231 ⎟⎠ ⎟ ⎠ Ejemplos de RGA (3x3) Interacción débil (ej. 2.4) ⎛ S + 20 ⎜ 1 FTLA = 2 S+5 ⎜ S + S +1 ⎜ S+6 ⎝ S+ 4 S +10 S+3 ⎞ ⎟ S+2 ⎟ ⎟ S +15 ⎠ S +1 ⎛ 1.11 −0.09 −0.017 ⎞ ⎜ ⎟ RGA = ⎜ −0.11 1.14 −0.028 ⎟ ⎜ −0.0046 −0.041 1.045 ⎟ ⎝ ⎠ Gran interacción (ej. 2.5) ⎛ S+5 ⎜ 1 S+3 FTLA = 2 ⎜ S + S +1 ⎜ S −6 ⎝ S −6 S+ 4 S −5 ⎞ ⎟ S+2 ⎟ ⎟ S+7 ⎠ S +1 0.023 ⎞ ⎛ 0.478 0.498 ⎟ ⎜ RGA = ⎜ 0.279 0.413 0.307 ⎟ ⎟ ⎜ 0.242 0 . 088 0 . 670 ⎠ ⎝ MAYOR INTERACCIÓN Æ MÉTODOS AVANZADOS DE CONTROL Ejemplo de emparejamiento (5x5) Torre atmosférica de crudo (McAvoy, 1983) Posibles emparejamientos (120) Secuencia propuesta para los emparejamientos: T1-m1 ; T2-m5 ; T4-m3 ; T3-m2 ; T5-m4 m1 m2 m3 T 1 ⎛ 0.929 4.6 E −3 0.068 ⎜ 0.623 T 2 ⎜ 0.019 −1.36 Λ = T 3 ⎜ −0.042 1.09 0.748 ⎜ T 4 ⎜ 0.159 − 2.180 3.84 ⎜ 1.46 T 5 ⎝ −0.064 − 2.30 m4 − 2.04 E −3 0.059 − 0.079 − 0.869 1.89 m5 ⎞ ⎟ 1.66 ⎟ ⎟ − 0.718 ⎟ 0.043 ⎟ ⎟ 0.0137 ⎠ 1.17 E −3 Intercambio de calor: visto como (3x3) 2 perturbaciones: 3 manipuladas: velocidades (N1 y N2) de las bombas potencia (Q) calefactora temperatura del líquido frío a la entrada (T0) temperatura ambiente (Ta) Ta N1 Q F1 T0 N2 T2 T3 T1 3 controladas: temperatura líquido (T1) temperatura líquido calefactor (T2) caudal líquido frío (F1) Intercambio de calor: visto como (2x2) 2 perturbaciones: 2 manipuladas: velocidad (N2) de la bomba potencia (Q) calefactora temperatura del líquido frío a la entrada (T0) temperatura ambiente (Ta) PI Ta N1 Q F1 T0 N2 T2 T3 T1 2 controladas: temperatura líquido (T1) temperatura líquido calefactor (T2) 1 controlador de caudal, lazo N1 - F1: simple, más rápido, interacciona poco con los otros dos Modelo dinámico del intercambio de calor ⎛ 6000 s + 1 0.028 − 200 s ⎞ 850 s + 1 ⎞ ⎛ Modelo ⎟ ⎜ 0.021 e − 0.55 ⎟ ⎜ N ⎛ T1 ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ 1400 s + 1 638s + 1 1920 s + 1 ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ + ⎜ dinámico ⎜⎜ ⎟⎟ = N1 ⎜ ⎟ − 200 s ⎝ T2 ⎠ ⎜ − 0.19 e −80 s ⎜ ⎝ 250 s + 1 0.049 − 200 s ⎟⎝ Q ⎠ ⎜ − 0.32 e e ⎜ 1400 s + 1 ⎟ 824 s + 1 ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ Límite s Æ 0 Hay interacción, no severa, y los emparejamientos recomendados no están en la diagonal: T1-Q ; T2-N2 kT1N 2 kT2Q ⎛ ⎜ ⎜ kT1N 2 kT2Q − kT1Q kT2 N 2 Λ=⎜ − kT1Q kT2 N 2 ⎜ ⎜ kT N kT Q − k T Q kT N 1 2 2 ⎝ 1 2 2 ⎛ 0.021 0.028 ⎞ ⎟⎟ K = ⎜⎜ ⎝ − 0.19 0.049 ⎠ − kT1Q kT2 N 2 kT1N 2 kT2Q − kT1Q kT2 N 2 kT1N 2 kT2Q kT1N 2 kT2Q − kT1Q kT2 N 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎛ 0.16 0.84 ⎞ ⎟ = ⎜⎜ 0.84 0.16 ⎟⎟ ⎠ ⎟ ⎝ ⎟ ⎠ Modelo estático del intercambio de calor Modelo estático Balance energético en el intercambiador Balance energético en el calefactor Caracterización del intercambiador Caracterización de las bombas F1 ce (T1 − To ) = F2 ce (T2 − T3 ) Q = F2 ce (T2 − T3 ) + β (T2 − Ta ) (T3 − T0 ) − (T2 − T1 ) μ = F1 ce (T1 − To ) T −T ln 3 o T2 − T1 F1 = a1 N1 + b1 F2 = a2 N 2 + b2 Matriz K genérica del intercambio de calor ⎛ ∂T1 ⎜ ⎜ ∂N2 K =⎜ ⎜ ∂T2 ⎜ ∂N ⎝ 2 ∂T1 ∂N 2 Q = a2 βe ∂T1 ∂Q ∂T1 ∂Q ∂T2 ∂Q Q Q μ F2 ce ⎞ ⎛ ∂T1 ⎟ ⎜ ∂N2 Q N2 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ F c ∂T 1 ⎟ ⎜− 1 e ⎟ ⎜ β ∂N2 N2 ⎠ ⎝ Q ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ N2 ⎠ μ μ ⎡ F c (T0 β − β Ta − Q) e 1 e ( F1 ( F2 ce + μ ) − F2 μ ) − F1 F2 ce e F2 ce ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ μ μ 2 ⎡ ⎤ F c F c F2 ce F2 e 1 e ( F1 ce + β ) − F1 e 2 e ( F2 ce + β ) ⎢⎣ ⎥⎦ = N2 ∂T1 ∂Q N2 F1 c e ∂T1 1 − β β ∂Q F2 e μ μ ⎡ F2 e F1 ce ⎢⎣ F1 ce − e μ F2 ce ( F1 ce + β ) − F1 e μ ⎤ ⎥⎦ F2 ce ( F2 ce + β ) VENTAJA Æ EVALUAR NUMÉRICAMENTE CON DATOS EXPERIMENTALES RGA particularizada del intercambio de calor Punto de operación: T0 , T1 , T2 , T3 , Ta, F1 , F2 , Q Caracterización de las bombas: a1 , b1 , a2 , b2 Caracterización de las pérdidas y del intercambiador β,μ Cálculo de las derivadas parciales Formación de K Cálculo de la RGA ⎛ 0.17 0.83 ⎞ ⎟⎟ Λ = ⎜⎜ ⎝ 0.83 0.17 ⎠ Comparación del modelo estático y dinámico SSGM: ⎛ 0.021 0.028 K = ⎜⎜ ⎝ − 0.19 0.049 M. estático ⎞ ⎛ 0.015 0.024 ⎟⎟ K = ⎜⎜ ⎠ ⎝ − 0.11 0.037 ⎞ ⎟⎟ ⎠ M. dinámico RGA: ⎛ 0.16 0.84 ⎞ ⎟⎟ Λ = ⎜⎜ ⎝ 0.84 0.16 ⎠ M. estático ⎛ 0.17 0.83 ⎞ ⎟⎟ Λ = ⎜⎜ ⎝ 0.83 0.17 ⎠ M. dinámico Errores en la identificación Modelos obtenidos de experiencias reales Contenido Tema 2 : Medidas de interacción – Matriz de Ganancias Relativas RGA – Matriz de Ganancias Relativas Generalizada GRGA – Descomposición en Valores Singulares SVD – Número de Condición γ Matriz de ganancias en estado estacionario (mxn) y=Ku (mx1) (mxn) (nx1) MV’s MV’s CV’s Proceso estrecho MV’s CV’s Proceso cuadrado CV’s Proceso amplio m>n grados de libertad < 0 m=n grados de libertad =0 m<n grados de libertad >0 u = K+ y u = K-1 y la mejor alternativa única parte fija y otra parte û = L-1 y Matriz de ganancias relativas generalizada (mxn) ⎛ k11 ⎜ ⎜ . K =⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜k ⎝ m1 . . . . . . . . . ( ) Λ=Kx K ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ k mn ⎠ k1n . . . + T En matlab: grga = k .* (pinv(k))’ Propiedades de la GRGA (mxn) ⎛ λ11 ⎜ ⎜ . Λ=⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜λ ⎝ m1 . . . . . . . . m . λ1n ⎞ ⎟ . ⎟ . ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ λnn ⎠ si m ≥ n ; ∑ λ ji = 1 j =1 si m ≤ n ; n ∑λ i =1 ji =1 Selección a través de la GRGA (mxn) Proceso de hidroalquilización del tolueno (Cao, 1996): 5 variables controladas, 13 variables candidatas a ser manipuladas (ej. 2.8). 0.5907 0.1215 0.0034 ⎞ − 0.0755 ⎛ 0.1275 ⎜ ⎟ 0.0030 0.1294 0.0002 ⎟ − 0.0523 ⎜ 0.0656 ⎜ 0.2780 ⎟ 0.4055 0.0044 0.0463 − 0.0060 Cao propone utilizar también las sumas ⎜ ⎟ .3684 −0.0081 .0009 0si .0383 de las⎜ 0columnas de la 0GRGA m<n,−0.o0018 ⎟ ⎟ de sus⎜⎜ filas n>m, los .9017 para 0.2079seleccionar 0.0443 − 0.0599 si 0 − 0.1459 ⎟ ⎜ mejores 0.1683 0.emparejamientos 4042 0.1359 0.1376 0.0089 ⎟ T ⎜ ⎟ Λ = ⎜ 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ⎟ ⎜ 0.0014 − 0.0017 0.0013 0.0099 0.0000 ⎟ ⎜ ⎟ − 0.0451 0.0230 0.1873 − 0.0005 ⎟ ⎜ 0.0129 ⎜ 0.0374 − 0.1277 − 0.0359 0.1163 0.9516 ⎟ ⎜ ⎟ 0.0000 0.0268 0.0000 0.0000 ⎟ ⎜ 0.0000 ⎜ 0.0001 ⎟ 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 ⎜ ⎟ ⎜ 0.0002 ⎟ 0 . 0002 0 . 0001 0 . 0001 0 . 0000 ⎝ ⎠ ⎛ 0.77 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0.15 ⎟ ⎜ 0.73 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.40 ⎟ ⎜ 0.95 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.85 ⎟ T ⎜ ⎟ Λ = ⎜ 0.00 ⎟ Σ ⎜ 0.01 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.18 ⎟ ⎜ 0.94 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.03 ⎟ ⎜ 0.00 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.00 ⎟ ⎝ ⎠ 4ª 5ª 6ª 1ª 3ª 2ª Cautela en la selección a través de la GRGA (Skogestad, 1996) 2 variables manipuladas, 4 variables candidatas a ser controladas (ej. 2.9). Selección ⎛ − 2.57 3.27 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1.96 − 1.43 ⎟ Λ=⎜ 0.80 − 0.42 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.80 − 0.42 ⎟ ⎝ ⎠ Emparejamiento ⎛ − 9 10 ⎞ ⎟⎟ Λ1 = ⎜⎜ ⎝ 10 − 9 ⎠ y1-u2 y2-u1 ⎛ 0.70 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0.53 ⎟ Λ =⎜ ∑ 0.38 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.38 ⎟ ⎝ ⎠ 1ª 2ª 3ª Emparejamiento ⎛ −1 2 ⎞ ⎟⎟ Λ 2 = ⎜⎜ ⎝ 2 − 1⎠ y1-u2 y3-u1 Contenido Tema 2 : Medidas de interacción – Matriz de Ganancias Relativas RGA – Matriz de Ganancias Relativas Generalizada GRGA – Descomposición en Valores Singulares SVD – Número de Condición γ Descomposición en valores singulares (SVD) K = U Σ VT (mxn) (mxm) (mxn) (nxn) U es una matriz ortonormal mxm que representa el conjunto de vectores singulares por la izquierda. Es el sistema de coordenadas más apropiado para observar las variables controladas V es una matriz ortonormal nxn que representa el conjunto de vectores singulares por la derecha. Es el sistema de coordenadas más apropiado para observar las variables manipuladas Σ es una matriz diagonal de escalares llamados valores singulares, los cuales se organizan de forma descendente. Estos valores representan las ganancias en estado estacionario de un sistema multivariable ideal (cada entrada con su salida) Descomposición en valores singulares (SVD) Ejemplo: Proceso de mezcla Caso concreto (F=1, x=0.75) ⎡ 1 K = ⎢1 − x ⎢⎣ F 1 ⎤ −x⎥ F ⎥⎦ 1 ⎤ ⎡ 1 K=⎢ ⎥ ⎣0.25 − 0.75⎦ ⎡ 0.9510 - 0.3092 ⎤ U=⎢ ⎥ ⎣- 0.3092 − 0.9510⎦ 0 ⎤ ⎡1.4706 Σ=⎢ 0.6800⎥⎦ ⎣ 0 ⎡ 0.5941 - 0.8044⎤ V=⎢ ⎥ ⎣0.8044 0.5941 ⎦ Vectores singulares por la izquierda Valores singulares Vectores singulares por la derecha Distintos valores de F y x Æ Distintas situaciones de control Significado físico de la descomposición SVD Δm12 + Δm22 = 1 Ejemplo: Proceso de mezcla (F=1, x=0.75) U, orientación de los ejes σ, tamaño de esos ejes 1 1 Δm2 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 Δx 0.2 0.2 0 0 Δm1 ΔF -0.2 σ2 U2 -0.2 σ1 U1 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Plano de cambios en las entradas -1 -0.5 0 0.5 1 Plano de cambios en las salidas Mayor inclinación de la elipse Æ mayor interacción Mayor deformación de la elipse Æ mayor sensibilidad a las entradas Significado físico de la descomposición SVD ΔF2 + Δx2 = 1 Ejemplo: Proceso de mezcla (F=1, x=0.75) 1 1 Δm2 Δx 0.8 0.8 0.6 0.6 –1 σ2 V2 0.4 0.4 0.2 0.2 –1 σ1 V1 0 Δm1 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 ΔF 0 V, orientación de los ejes σ-1, tamaño de esos ejes -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Plano de cambios en las entradas -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Plano de cambios en las salidas Contenido Tema 2 : Medidas de interacción – Matriz de Ganancias Relativas RGA – Matriz de Ganancias Relativas Generalizada GRGA – Descomposición en Valores Singulares SVD – Número de Condición γ Análisis mediante el número de condición (γ) Cociente entre valores singulares (máximo y mínimo) γ = σ 1 σm Ejemplo: Proceso de mezcla (influencia del escalado) γ≅2 1 Δx 1 0.8 γ ≅ 10 Δx 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 ΔF El número de condición depende fuertemente del escalado ΔF -0.2 σ2 U2 0 σ2 U2 σ1 U1 -0.2 σ1 U1 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Plano de cambios en las salidas (F=1, x=0.75) -1 -0.5 0 0.5 1 Plano de cambios en las salidas (F=5, x=0.75) Número de condición (γ) u(ω) u(ω) PROCESO (1 x 1) PROCESO (n x m) y(ω) y (ω ) G ( jω ) u (ω ) = = G ( jω ) u (ω ) u (ω ) y(ω) y (ω ) 2 u (ω ) 2 = G ( jω ) u (ω ) 2 u (ω ) 2 = y12 + y22 + .... u12 + u 22 + .... Cociente entre valores singulares (máximo y mínimo) γ (ω ) = σ 1 (ω ) σ m (ω ) Dependiente de la frecuencia Medida de la controlabilidad entrada-salida Número de condición (γ) (Smith y Corripio, 1985) 2 variables manipuladas, 2 variables controladas (ej. 2.11). Número de condición 30 1 − 0.78s 1 − 0.22 s ⎞ ⎛ 1.5 ⋅ ⎜− 6⋅ ⎟ 1 0 . 25 1 0 . 25 s s + + ⎟ G(s) = ⎜ 1 0 . 86 s 1 0 . 09 + + ⎜⎜ − 5 ⋅ ⎟⎟ 7⋅ 1 + 0.25s 1 + 0.25s ⎠ ⎝ 25 20 15 ⎛ 1.2174 − 0.2174 ⎞ ⎟⎟ Λ = ⎜⎜ ⎝ − 0.2174 1.2174 ⎠ 10 5 0 -6 10 -4 10 -2 10 0 10 Poca interacción a baja frecuencia 2 10 4 10 6 10 Número de condición (γ) 3 variables manipuladas, 3 variables controladas (ej. 2.14). 6 ⎛ 119 ⎜ ⎜ 217 s + 1 ⎜ 0.00037 G ( s) = ⎜ ⎜ 500 s + 1 ⎜ ⎜ 930 ⎜ ⎝ 500 s + 1 153 337 s + 1 0.00076 33s + 1 − 21 ⎞ ⎟ 10s + 1 ⎟ ⎟ − 0.00005 ⎟ 10s + 1 ⎟ ⎟ − 1033 ⎟⎟ 47 s + 1 ⎠ 7 Número de condición x 10 6 5 El uso de − 667una sola técnica puede ocultar problemas o 4 s +1 166mostrar otros de una forma exagerada 3 ⎛ 3.7453 - 1.9752 - 0.7701⎞ ⎜ ⎟ Λ = ⎜ - 2.4481 3.0219 0.4262 ⎟ ⎜ - 0.2972 - 0.0467 1.3439 ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 -6 10 -4 10 -2 10 0 10 2 10 Posible problema de escalado en la entrada 4 10 6 10 Ejemplo de emparejamiento (5x5) Torre atmosférica de crudo (McAvoy, 1983) Secuencia propuesta con la RGA para los emparejamientos: T1-m1 ; T2-m5 ; T4-m3 ; T3-m2 ; T5-m4 m1 m2 m3 T 1 ⎛ 0.929 4.6 E −3 0.068 ⎜ 0.623 T 2 ⎜ 0.019 −1.36 Λ = T 3 ⎜ −0.042 1.09 0.748 ⎜ T 4 ⎜ 0.159 − 2.180 3.84 ⎜ 1.46 T 5 ⎝ −0.064 − 2.30 m4 − 2.04 E −3 0.059 − 0.079 − 0.869 1.89 m5 ⎞ ⎟ 1.66 ⎟ ⎟ − 0.718 ⎟ 0.043 ⎟ ⎟ 0.0137 ⎠ 1.17 E −3 Ejemplo de emparejamiento (5x5) Descomposición en valores singulares: ⎛ 0.0190 ⎜ ⎜ 0.8227 U = ⎜ 0.5679 ⎜ ⎜ 0.0160 ⎜ ⎝ −0.0077 −0.2047 0.9623 0.0437 0.0793 0.0872 −0.4062 −0.0961 −0.1590 0.5679 −0.7319 −0.0745 0.3907 −0.6379 −0.1885 −0.5983 ⎛ 0.0681 ⎜ ⎜ −0.0071 V = ⎜ −0.1602 ⎜ ⎜ −0.1886 ⎜ ⎝ −0.9665 ⎞ ⎟ 0.3798 ⎟ ⎟ −0.5661 ⎟ 0.5531 ⎟ ⎟ −0.4467 ⎠ −0.1726 ∑ −0.6163 0.7843 −0.0135 −0.5317 −0.3993 0.4699 −0.4956 −0.3875 0.0456 −0.2867 −0.2189 −0.8673 0.0985 0.1651 0.1573 ⎛ 0.5124 ⎜ ⎜ 0 =⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0.3654 0 0 0 0.1064 0 0 0 0.0539 0 0 0 ⎞ ⎟ −0.5806 ⎟ ⎟ 0.7593 ⎟ −0.2865 ⎟ ⎟ −0.0647 ⎠ 0.0132 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0.0161 ⎠ 0 Ejemplo de emparejamiento (5x5) Se buscan por columnas los valores de mayor peso en U y V: ⎛ 0.0190 ⎜ ⎜ 0.8227 U = ⎜ 0.5679 ⎜ ⎜ 0.0160 ⎜ ⎝ −0.0077 −0.2047 0.9623 0.0437 0.0793 0.0872 −0.4062 −0.0961 −0.1590 0.5679 −0.7319 −0.0745 0.3907 −0.6379 −0.1885 −0.5983 ⎛ 0.0681 ⎜ ⎜ −0.0071 V = ⎜ −0.1602 ⎜ ⎜ −0.1886 ⎜ ⎝ −0.9665 ⎞ ⎟ 0.3798 ⎟ ⎟ −0.5661 ⎟ 0.5531 ⎟ ⎟ −0.4467 ⎠ −0.1726 ∑ −0.6163 0.7843 −0.0135 −0.5317 −0.3993 0.4699 −0.4956 −0.3875 0.0456 −0.2867 −0.2189 −0.8673 0.0985 0.1651 0.1573 ⎛ 0.5124 ⎜ ⎜ 0 =⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0.3654 0 0 0 0.1064 0 0 0 0.0539 0 0 0 ⎞ ⎟ −0.5806 ⎟ ⎟ 0.7593 ⎟ −0.2865 ⎟ ⎟ −0.0647 ⎠ 0.0132 T2-m5 ; T4-m1 ; T1-m2 ; T5-m4 ; T3-m3 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0.0161 ⎠ 0 Ejemplo de emparejamiento (5x5) Si se marcan los emparejamientos SVD sobre la RGA: T1-m2 ; T2-m5 ; T3-m3 ; T4-m1 ; T5-m4 m1 m2 m3 T 1 ⎛ 0.929 4.6 E − 3 0.068 ⎜ 0.623 −1.36 T 2 ⎜ 0.019 Λ = T 3 ⎜ −0.042 1.09 0.748 ⎜ 3.84 − 2.180 T 4 ⎜ 0.159 ⎜ 1.46 − 2.30 T 5 ⎝ −0.064 m4 m5 − 2.04 E −3 1.17 E −3 0.059 − 0.079 − 0.869 1.89 ⎞ ⎟ 1.66 ⎟ ⎟ − 0.718 ⎟ 0.043 ⎟ ⎟ 0.0137 ⎠ A partir de la RGA los emparejamientos propuestos eran: T1-m1 ; T2-m5 ; T3-m2 ; T4-m3 ; T5-m4 Ejemplo de emparejamiento (5x5) A partir de la RGA los emparejamientos propuestos eran: T1-m1 ; T2-m5 ; T3-m2 ; T4-m3 ; T5-m4 ⎛ 0.0190 ⎜ ⎜ 0.8227 U = ⎜ 0.5679 ⎜ ⎜ 0.0160 ⎜ ⎝ −0.0077 −0.2047 0.9623 0.0437 0.0793 0.0872 −0.4062 −0.0961 −0.1590 0.5679 −0.7319 −0.0745 0.3907 −0.6379 −0.1885 −0.5983 ⎛ 0.0681 ⎜ ⎜ −0.0071 V = ⎜ −0.1602 ⎜ ⎜ −0.1886 ⎜ ⎝ −0.9665 ⎞ ⎟ 0.3798 ⎟ ⎟ −0.5661 ⎟ 0.5531 ⎟ ⎟ −0.4467 ⎠ −0.1726 ∑ −0.6163 0.7843 −0.0135 −0.5317 −0.3993 0.4699 −0.4956 −0.3875 0.0456 −0.2867 −0.2189 −0.8673 0.0985 0.1651 0.1573 ⎛ 0.5124 ⎜ ⎜ 0 =⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0.3654 0 0 0 0.1064 0 0 0 0.0539 0 0 0 ⎞ ⎟ −0.5806 ⎟ ⎟ 0.7593 ⎟ −0.2865 ⎟ ⎟ −0.0647 ⎠ 0.0132 T1-m2 ; T2-m5 ; T3-m3 ; T4-m1 ; T5-m4 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0.0161 ⎠ 0
