Sin título de diapositiva - Departamento de Informática y Automática

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CONTROL MULTIVARIABLE
Fernando Morilla García
Natividad Duro Carralero
Dpto. de Informática y Automática
fmorilla@dia.uned.es
Contenido
Tema 1: Introducción al control multivariable
„ Tema 2 : Medidas de interacción
„ Tema 3 : Control descentralizado
„ Tema 4 : Control centralizado
„
Contenido
„
Tema 2 : Medidas de interacción
– Matriz de Ganancias Relativas RGA
– Matriz de Ganancias Relativas Generalizada
GRGA
– Descomposición en Valores Singulares SVD
– Número de Condición γ
CLASIFICACIÓN DE VARIABLES
variables no
controladas
perturbaciones
PROCESO
variables
manipuladas
variables
controladas
METODOLOGÍA
Selección de las variables controladas
„ Selección de las variables manipuladas
„ Selección de la configuración de control
„
– Control Centralizado
– Control Descentralizado
„
Selección del tipo de controlador
Contenido
„
Tema 2 : Medidas de interacción
– Matriz de Ganancias Relativas RGA
– Matriz de Ganancias Relativas Generalizada
GRGA
– Descomposición en Valores Singulares SVD
– Número de Condición γ
Ganancia en estado estacionario (kij)
n-1
ctes
PROCESO
(n x m)
yi
uj
En ausencia de perturbaciones
Con n-1 entradas fijas
¿Qué cambio experimenta la salida yi si la entrada uj ha cambiado Δuj?
Δyi = kij Δuj
Ganancias en lazo abierto del sistema en estado estacionario
Matriz de ganancias en estado estacionario (K)
U 1 (s)
G P11 (s)
Y 1 (s)
+
SSGM
+
⎛ k11
K = ⎜⎜
⎝ k 21
G P21 (s)
G P12 (s)
+
U 2 (s)
G P22 (s)
Y1(s ) = G
Y2 (s ) = G
P 11
P 21
+
( s )U 1 ( s ) + G
( s )U 1 ( s ) + G
k12 ⎞
⎟⎟
k 22 ⎠
Y 2 (s)
∂yi
kij =
∂u j uk ; ∀k ≠ j
P 12
P 22
( s )U
( s )U
2
(s )
2
(s )
k ij = lims − >0 GPij (s)
Ganancia en estado estacionario (k’ij)
yi
uj
PROCESO
(n x m)
n-1
entradas
m-1
salidas
CONTROLADOR
(2(m-1) x (n-1))
m-1
ctes
En ausencia de perturbaciones
Con m-1 salidas perfectamente controladas
¿Qué cambio experimenta la salida yi si la entrada uj ha cambiado Δuj?
Δyi = k’ij Δuj
Ganancia relativa (λij)
ganancia con todos los lazos abiertos
ganancia con las demás salidas bajo control perfecto
λij =
∂yi
∂u j uk ; ∀k ≠ j
∂yi
∂u j yl ; ∀l ≠ i
=
kij
k 'ij
Matriz de ganancias relativas (Λ)
U 1 (s)
G P11 (s)
Y 1 (s)
+
RGA
+
⎛ λ11 λ12 ⎞
⎟⎟
Λ = ⎜⎜
⎝ λ21 λ22 ⎠
G P21 (s)
G P12 (s)
+
U 2 (s)
G P22 (s)
+
λij =
Y 2 (s)
∂yi
∂u j uk ; ∀k ≠ j
∂ yi
∂u j yl ; ∀l ≠ i
Matriz de ganancias relativas (2x2)
⎛ k11
K = ⎜⎜
⎝ k 21
⎛ λ11
Λ = ⎜⎜
⎝ λ21
k12 ⎞
⎟⎟
k 22 ⎠
k11k 22
⎛
⎜
λ12 ⎞ ⎜ k11k 22 − k12 k 21
⎟⎟ =
λ22 ⎠ ⎜ − k12 k 21
⎜k k −k k
⎝ 11 22 12 21
− k12 k 21 ⎞
⎟
k11k 22 − k12 k 21 ⎟
k11k 22
⎟
k11k 22 − k12 k 21 ⎟⎠
Matriz de ganancias relativas (nxn)
⎛ k11
⎜
⎜ .
K =⎜ .
⎜
⎜ .
⎜k
⎝ n1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
( )
Λ=Kx K
k1n ⎞
⎟
. ⎟
. ⎟
⎟
. ⎟
⎟
k nn ⎠
−1 T
En matlab: rga = k .* (inv(k))’
Propiedades de la RGA (nxn)
⎛ λ11
⎜
⎜ .
Λ=⎜ .
⎜
⎜ .
⎜λ
⎝ n1
.
.
.
.
.
.
.
.
n
∑λ
j =1
ji
.
=1
λ1n ⎞
⎟
. ⎟
. ⎟
⎟
. ⎟
⎟
λnn ⎠
n
∑λ
i =1
ji
=1
Ejemplos de RGA
Λ 2x2
Λ 3x3
⎛ λ11 1 − λ11 ⎞
⎟⎟ = f (λ11 )
= ⎜⎜
λ11 ⎠
⎝1 − λ11
λ11
λ12
1 − λ11 − λ12
⎛
⎞
⎜
⎟
=⎜
λ21
λ22
1 − λ21 − λ22
⎟
⎜1 − λ − λ 1 − λ − λ
⎟
1
+
λ
+
λ
+
λ
+
λ
11
21
12
22
11
12
21
22 ⎠
⎝
= g(λ11 , λ12 , λ21 , λ22 )
Proceso nxn se calculan (n-1)2
RGA = matriz identidad
⎛ k11
⎜
⎜0
K =⎜ 0
⎜
⎜ .
⎜0
⎝
⎛ k11
⎜
⎜ k 21
K = ⎜ k31
⎜
⎜ .
⎜k
⎝ n1
k12
k13
k 22
k 23
0
k33
.
.
0
0
. k1n ⎞
⎟
. k2n ⎟
. k3n ⎟
⎟
. . ⎟
⎟
. k nn ⎠
0
0
.
k 22
0
.
k32
.
kn 2
k33 .
.
.
kn3 .
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
k nn ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜0
Λ = ⎜0
⎜
⎜.
⎜0
⎝
0 0 . 0⎞
⎟
1 0 . 0⎟
0 1 . 0⎟
⎟
. . . .⎟
0 0 . 1 ⎟⎠
Análisis de las interacciones k’ij = kij /λij
λij es una medida del grado de interacción que los
demás lazos de control tienen sobre el posible lazo uj - yi
„
„
λij=1 ⇒ ausencia de interacción entre el lazo analizado
y los demás. (kij= k’ij )
λij=0 ⇒
– La entrada uj no afecta directamente a la salida yi (kij= 0)
– La entrada uj afecta mucho a la salida yi cuando los demás
lazos están cerrados
(k’ij >>>> )
„
„
λij=∞ ⇒ La entrada uj no afecta a la salida yi cuando
los demás lazos están cerrados
(k’ij = 0 )
λij<0 ⇒ se produce un cambio de signo en la ganancia
cuando los demás lazos se cierran (caso peor )
Reglas de emparejamiento
„
Emparejar con cada salida aquella entrada que
presente ganancia relativa más cercana a la
unidad
„
Evitar emparejamientos que lleven asociado
una ganancia relativa negativa
„
Comprobar que los emparejamientos elegidos
no provocan inestabilidad
PROCESO DE MEZCLA
2 manipuladas:
2 controladas:
caudales m1 y m2
caudal total (F) y la concentración (x)
¿Con qué variable manipulada se debe controlar el caudal total?
¿y la concentración?
RGA del proceso de mezcla
Modelo
F = m1 + m2
en estado estacionario
∂F
∂m1
m2
;
∂ (m1 + m2 )
=1
=
∂m1
m
∂F
∂ (m1 + m2 )
=
∂m1 x
∂m1
x
2
⎛ m1 ⎞
∂⎜ ⎟
1
x ⎠
⎝
=
=
x
∂m1
λ11 =
m1
x=
m1 + m2
∂F
∂m1 m
∂F
∂m1
2
x
1
= =x
1
x
x
⎛ λ11 1 − λ11 ⎞ ⎛ x 1 − x ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
Λ = ⎜⎜
λ11 ⎠ ⎝1 − x
x ⎠
⎝1 − λ11
RGA del proceso de mezcla
F = m1 + m2
⎛ ∂F
⎜
⎜ ∂m1
K =⎜
⎜ ∂x
⎜ ∂m1
⎝
m2
m2
( )
Λ=Kx K
−1 T
;
m1
x=
m1 + m2
⎞
⎟ ⎛
1
⎟ ⎜
m1
m2
⎟=⎜
∂x ⎟ ⎜
2
(
)
+
m
m
2
⎝ 1
⎟
∂m2 m
1 ⎠
∂F
∂m2
⎛ m1
⎜
m1 + m2
⎜
=
⎜ m2
⎜m +m
2
⎝ 1
1
⎞
⎟
− m1 ⎟
(m1 + m2 )2 ⎟⎠
m2 ⎞
⎟
m1 + m2 ⎟ ⎛ x 1 − x ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
m1 ⎟ ⎝1 − x
x ⎠
m1 + m2 ⎟⎠
Interacciones y emparejamiento en el proceso
de mezcla
m1
m2
F ⎛ x 1− x ⎞
⎟⎟
Λ = ⎜⎜
x ⎝1 − x
x ⎠
„
El grado de interacción y por tanto el emparejamiento
dependerá del valor de consigna para la concentración x.
– Si x>0.5 se debe utilizar m1 para controlar el caudal total y m2
para controlar la concentración
– Pero si x<0.5 se debe utilizar m2 para controlar el caudal total y
m1 para controlar la concentración
„
En definitiva, siempre se debe utilizar el mayor de los
caudales para controlar el caudal total y el menor para
controlar la concentración
Columna rectificadora: vista como
proceso (4x4)
4 manipuladas:
V
caudal de destilado
caudal de reflujo
caudal de fondo
caudal de vapor
1
n
plato
condensador
producto de
cabeza
L
acumulador
reflujo
destilado
F
f
alimentación
D
2 perturbaciones:
caudal y composición de alimentación
N
producto
de fondo
calderín
W
4 controladas:
nivel en el acumulador, nivel en el fondo
composición en cabeza y en fondo
Columna rectificadora: vista como
proceso (2x2)
2 manipuladas:
caudal de reflujo
caudal de vapor
plato
condensador
producto de
cabeza
V
1
n
L
acumulador
reflujo
destilado
F
f
alimentación
PI
D
2 perturbaciones:
caudal y composición de alimentación
N
producto
de fondo
PI
W
2 controladores de nivel:
simples, más rápidos,
interaccionan poco con los otros dos
calderín
2 controladas:
composición en cabeza y en fondo
Ejemplo de columna rectificadora
2 perturbaciones:
caudal y composición de alimentación
Perturbaciones
F
Entradas
L
2 manipuladas:
caudal de reflujo
caudal de vapor
V
ZF
Salidas
COLUMNA
DESPROPANIZADORA
TC
2 controladas:
temperatura en cabeza
y en fondo
TF
RGA de la columna rectificadora
TC (s) = -
0.96
2.6
0.01
0.18
F(s)
Z (s)
L(s) +
V(s)
(23.7 s + 1)(11.8 s + 1)
(17.9 s + 1)2
(21.3 s + 1)2
(21.3 s + 1)2 F
TF (s) = -
0.57
0.02
L(s) +
V(s) (19.7 s + 1)(9.3 s + 1)
(24.3 s + 1)(8.1 s + 1)
Modelo
dinámico
-
0.85
0.5
F(s) Z (s)
(20.2 s + 1)(4.4 s + 1)
(20.2 s + 1)(4.4 s + 1) F
Hay poca interacción y los emparejamientos
recomendados están en la diagonal: TC-L ; TF-V
kCL k FV
⎛
⎜
kCL k FV − k FL kCV
⎜
Λ=
− k FL kCV
⎜
⎜k k −k k
FL CV
⎝ CL FV
− k FL kCV
kCL k FV − k FL kCV
kCL k FV
kCL k FV − k FL kCV
⎛ − 2.6 0.01 ⎞
⎟⎟
K = ⎜⎜
⎝ − 0.57 0.02 ⎠
⎞
⎟
⎟ = ⎛⎜ 1.1231 − 0.1231⎞⎟
⎟ ⎜⎝ − 0.1231 1.1231 ⎟⎠
⎟
⎠
Ejemplos de RGA (3x3)
„
Interacción débil (ej. 2.4)
⎛ S + 20
⎜
1
FTLA = 2
S+5
⎜
S + S +1
⎜ S+6
⎝
„
S+ 4
S +10
S+3
⎞
⎟
S+2 ⎟
⎟
S +15 ⎠
S +1
⎛ 1.11 −0.09 −0.017 ⎞
⎜
⎟
RGA = ⎜ −0.11 1.14 −0.028 ⎟
⎜ −0.0046 −0.041 1.045 ⎟
⎝
⎠
Gran interacción (ej. 2.5)
⎛ S+5
⎜
1
S+3
FTLA = 2
⎜
S + S +1
⎜ S −6
⎝
S −6
S+ 4
S −5
⎞
⎟
S+2 ⎟
⎟
S+7 ⎠
S +1
0.023 ⎞
⎛ 0.478 0.498
⎟
⎜
RGA = ⎜ 0.279 0.413 0.307 ⎟
⎟
⎜ 0.242
0
.
088
0
.
670
⎠
⎝
MAYOR INTERACCIÓN Æ
MÉTODOS AVANZADOS DE CONTROL
Ejemplo de emparejamiento (5x5)
Torre atmosférica de crudo (McAvoy, 1983)
Posibles emparejamientos (120)
Secuencia propuesta para los emparejamientos:
T1-m1 ; T2-m5 ; T4-m3 ; T3-m2 ; T5-m4
m1
m2
m3
T 1 ⎛ 0.929 4.6 E −3 0.068
⎜
0.623
T 2 ⎜ 0.019
−1.36
Λ = T 3 ⎜ −0.042 1.09 0.748
⎜
T 4 ⎜ 0.159 − 2.180 3.84
⎜
1.46
T 5 ⎝ −0.064
− 2.30
m4
− 2.04 E −3
0.059
− 0.079
− 0.869
1.89
m5
⎞
⎟
1.66 ⎟
⎟
− 0.718
⎟
0.043 ⎟
⎟
0.0137 ⎠
1.17 E −3
Intercambio de calor: visto como (3x3)
2 perturbaciones:
3 manipuladas:
velocidades (N1 y N2) de las bombas
potencia (Q) calefactora
temperatura del líquido frío a la entrada (T0)
temperatura ambiente (Ta)
Ta
N1
Q
F1
T0
N2
T2
T3
T1
3 controladas:
temperatura líquido (T1)
temperatura líquido calefactor (T2)
caudal líquido frío (F1)
Intercambio de calor: visto como (2x2)
2 perturbaciones:
2 manipuladas:
velocidad (N2) de la bomba
potencia (Q) calefactora
temperatura del líquido frío a la entrada (T0)
temperatura ambiente (Ta)
PI
Ta
N1
Q
F1
T0
N2
T2
T3
T1
2 controladas:
temperatura líquido (T1)
temperatura líquido calefactor (T2)
1 controlador de caudal, lazo N1 - F1:
simple, más rápido,
interacciona poco con los otros dos
Modelo dinámico del intercambio de calor
⎛
6000 s + 1 0.028 − 200 s ⎞
850 s + 1 ⎞
⎛
Modelo
⎟
⎜ 0.021
e
− 0.55
⎟
⎜
N
⎛ T1 ⎞ ⎜
⎛
⎞
1400 s + 1 638s + 1
1920 s + 1 ⎟
⎟⎜ 2 ⎟ + ⎜
dinámico ⎜⎜ ⎟⎟ =
N1
⎜ ⎟
− 200 s
⎝ T2 ⎠ ⎜ − 0.19 e −80 s
⎜
⎝ 250 s + 1
0.049 − 200 s ⎟⎝ Q ⎠ ⎜ − 0.32 e
e
⎜ 1400 s + 1
⎟
824 s + 1
⎝
⎠
⎟
⎟
⎠
Límite s Æ 0
Hay interacción, no severa, y los emparejamientos
recomendados no están en la diagonal: T1-Q ; T2-N2
kT1N 2 kT2Q
⎛
⎜
⎜ kT1N 2 kT2Q − kT1Q kT2 N 2
Λ=⎜
− kT1Q kT2 N 2
⎜
⎜ kT N kT Q − k T Q kT N
1
2 2
⎝ 1 2 2
⎛ 0.021 0.028 ⎞
⎟⎟
K = ⎜⎜
⎝ − 0.19 0.049 ⎠
− kT1Q kT2 N 2
kT1N 2 kT2Q − kT1Q kT2 N 2
kT1N 2 kT2Q
kT1N 2 kT2Q − kT1Q kT2 N 2
⎞
⎟
⎟ ⎛ 0.16 0.84 ⎞
⎟ = ⎜⎜ 0.84 0.16 ⎟⎟
⎠
⎟ ⎝
⎟
⎠
Modelo estático del intercambio de calor
Modelo
estático
Balance energético en el intercambiador
Balance energético en el calefactor
Caracterización del intercambiador
Caracterización de las bombas
F1 ce (T1 − To ) = F2 ce (T2 − T3 )
Q = F2 ce (T2 − T3 ) + β (T2 − Ta )
(T3 − T0 ) − (T2 − T1 )
μ
= F1 ce (T1 − To )
T −T
ln 3 o
T2 − T1
F1 = a1 N1 + b1
F2 = a2 N 2 + b2
Matriz K genérica del intercambio de calor
⎛ ∂T1
⎜
⎜ ∂N2
K =⎜
⎜ ∂T2
⎜ ∂N
⎝ 2
∂T1
∂N 2
Q
= a2
βe
∂T1
∂Q
∂T1
∂Q
∂T2
∂Q
Q
Q
μ
F2 ce
⎞ ⎛
∂T1
⎟ ⎜
∂N2 Q
N2 ⎟
⎜
⎟ = ⎜ F c ∂T
1
⎟ ⎜− 1 e
⎟ ⎜
β
∂N2
N2
⎠ ⎝
Q
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
N2
⎠
μ
μ
⎡
F
c
(T0 β − β Ta − Q) e 1 e ( F1 ( F2 ce + μ ) − F2 μ ) − F1 F2 ce e F2 ce ⎤
⎢⎣
⎥⎦
μ
μ
2
⎡
⎤
F
c
F
c
F2 ce F2 e 1 e ( F1 ce + β ) − F1 e 2 e ( F2 ce + β )
⎢⎣
⎥⎦
=
N2
∂T1
∂Q N2
F1 c e ∂T1
1
−
β
β
∂Q
F2 e
μ
μ
⎡
F2 e F1 ce
⎢⎣
F1 ce
−
e
μ
F2 ce
( F1 ce + β ) − F1 e
μ
⎤
⎥⎦
F2 ce
( F2 ce + β )
VENTAJA Æ EVALUAR NUMÉRICAMENTE CON DATOS EXPERIMENTALES
RGA particularizada del intercambio de calor
Punto de operación:
T0 , T1 , T2 , T3 , Ta, F1 , F2 , Q
Caracterización de las bombas:
a1 , b1 , a2 , b2
Caracterización de las pérdidas y del intercambiador
β,μ
Cálculo de las derivadas parciales
Formación de K
Cálculo de la RGA
⎛ 0.17 0.83 ⎞
⎟⎟
Λ = ⎜⎜
⎝ 0.83 0.17 ⎠
Comparación del modelo estático y dinámico
SSGM:
⎛ 0.021 0.028
K = ⎜⎜
⎝ − 0.19 0.049
M. estático
⎞
⎛ 0.015 0.024
⎟⎟ K = ⎜⎜
⎠
⎝ − 0.11 0.037
⎞
⎟⎟
⎠
M. dinámico
RGA:
⎛ 0.16 0.84 ⎞
⎟⎟
Λ = ⎜⎜
⎝ 0.84 0.16 ⎠
M. estático
⎛ 0.17 0.83 ⎞
⎟⎟
Λ = ⎜⎜
⎝ 0.83 0.17 ⎠
M. dinámico
Errores en la identificación
Modelos obtenidos de experiencias reales
Contenido
„
Tema 2 : Medidas de interacción
– Matriz de Ganancias Relativas RGA
– Matriz de Ganancias Relativas Generalizada
GRGA
– Descomposición en Valores Singulares SVD
– Número de Condición γ
Matriz de ganancias en estado estacionario (mxn)
y=Ku
(mx1) (mxn) (nx1)
MV’s
MV’s
CV’s
Proceso
estrecho
MV’s
CV’s
Proceso
cuadrado
CV’s
Proceso
amplio
m>n
grados de libertad < 0
m=n
grados de libertad =0
m<n
grados de libertad >0
u = K+ y
u = K-1 y
la mejor alternativa
única
parte fija
y otra parte û = L-1 y
Matriz de ganancias relativas generalizada (mxn)
⎛ k11
⎜
⎜ .
K =⎜ .
⎜
⎜ .
⎜k
⎝ m1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
( )
Λ=Kx K
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
k mn ⎠
k1n
.
.
.
+ T
En matlab: grga = k .* (pinv(k))’
Propiedades de la GRGA (mxn)
⎛ λ11
⎜
⎜ .
Λ=⎜ .
⎜
⎜ .
⎜λ
⎝ m1
.
.
.
.
.
.
.
.
m
.
λ1n ⎞
⎟
. ⎟
. ⎟
⎟
. ⎟
⎟
λnn ⎠
si m ≥ n ; ∑ λ ji = 1
j =1
si m ≤ n ;
n
∑λ
i =1
ji
=1
Selección a través de la GRGA (mxn)
Proceso de hidroalquilización del tolueno (Cao, 1996): 5 variables
controladas, 13 variables candidatas a ser manipuladas (ej. 2.8).
0.5907
0.1215
0.0034 ⎞
− 0.0755
⎛ 0.1275
⎜
⎟
0.0030
0.1294
0.0002 ⎟
− 0.0523
⎜ 0.0656
⎜ 0.2780
⎟
0.4055
0.0044
0.0463
− 0.0060
Cao propone
utilizar
también
las
sumas
⎜
⎟
.3684 −0.0081
.0009
0si
.0383
de las⎜ 0columnas
de la 0GRGA
m<n,−0.o0018 ⎟
⎟
de sus⎜⎜ filas
n>m,
los
.9017 para
0.2079seleccionar
0.0443
− 0.0599 si 0
− 0.1459
⎟
⎜ mejores
0.1683
0.emparejamientos
4042
0.1359
0.1376
0.0089 ⎟
T
⎜
⎟
Λ = ⎜ 0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
⎟
⎜ 0.0014
− 0.0017
0.0013
0.0099
0.0000 ⎟
⎜
⎟
− 0.0451
0.0230
0.1873
− 0.0005 ⎟
⎜ 0.0129
⎜ 0.0374
− 0.1277
− 0.0359
0.1163
0.9516 ⎟
⎜
⎟
0.0000
0.0268
0.0000
0.0000 ⎟
⎜ 0.0000
⎜ 0.0001
⎟
0.0001
0.0000
0.0001
0.0000
⎜
⎟
⎜ 0.0002
⎟
0
.
0002
0
.
0001
0
.
0001
0
.
0000
⎝
⎠
⎛ 0.77 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0.15 ⎟
⎜ 0.73 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.40 ⎟
⎜ 0.95 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.85 ⎟
T
⎜
⎟
Λ = ⎜ 0.00 ⎟
Σ
⎜ 0.01 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.18 ⎟
⎜ 0.94 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.03 ⎟
⎜ 0.00 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.00 ⎟
⎝
⎠
4ª
5ª
6ª
1ª
3ª
2ª
Cautela en la selección a través de la GRGA
(Skogestad, 1996) 2 variables manipuladas, 4 variables
candidatas a ser controladas (ej. 2.9).
Selección
⎛ − 2.57 3.27 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1.96 − 1.43 ⎟
Λ=⎜
0.80 − 0.42 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.80 − 0.42 ⎟
⎝
⎠
Emparejamiento
⎛ − 9 10 ⎞
⎟⎟
Λ1 = ⎜⎜
⎝ 10 − 9 ⎠
y1-u2
y2-u1
⎛ 0.70 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0.53 ⎟
Λ =⎜
∑
0.38 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.38 ⎟
⎝
⎠
1ª
2ª
3ª
Emparejamiento
⎛ −1 2 ⎞
⎟⎟
Λ 2 = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
y1-u2
y3-u1
Contenido
„
Tema 2 : Medidas de interacción
– Matriz de Ganancias Relativas RGA
– Matriz de Ganancias Relativas Generalizada
GRGA
– Descomposición en Valores Singulares SVD
– Número de Condición γ
Descomposición en valores singulares (SVD)
K = U Σ VT
(mxn)
(mxm) (mxn) (nxn)
ƒ
U es una matriz ortonormal mxm que representa el conjunto de
vectores singulares por la izquierda. Es el sistema de coordenadas
más apropiado para observar las variables controladas
ƒ
V es una matriz ortonormal nxn que representa el conjunto de
vectores singulares por la derecha. Es el sistema de coordenadas
más apropiado para observar las variables manipuladas
ƒ Σ es una matriz diagonal de escalares llamados valores singulares,
los cuales se organizan de forma descendente. Estos valores
representan las ganancias en estado estacionario de un sistema
multivariable ideal (cada entrada con su salida)
Descomposición en valores singulares (SVD)
Ejemplo: Proceso de mezcla
Caso concreto (F=1, x=0.75)
⎡ 1
K = ⎢1 − x
⎢⎣ F
1 ⎤
−x⎥
F ⎥⎦
1 ⎤
⎡ 1
K=⎢
⎥
⎣0.25 − 0.75⎦
⎡ 0.9510 - 0.3092 ⎤
U=⎢
⎥
⎣- 0.3092 − 0.9510⎦
0 ⎤
⎡1.4706
Σ=⎢
0.6800⎥⎦
⎣ 0
⎡ 0.5941 - 0.8044⎤
V=⎢
⎥
⎣0.8044 0.5941 ⎦
Vectores singulares
por la izquierda
Valores singulares
Vectores singulares
por la derecha
Distintos valores de F y x Æ Distintas situaciones de control
Significado físico de la descomposición SVD
Δm12 + Δm22 = 1
Ejemplo: Proceso de mezcla (F=1, x=0.75)
U, orientación de los ejes
σ, tamaño de esos ejes
1
1
Δm2
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
Δx
0.2
0.2
0
0
Δm1
ΔF
-0.2
σ2 U2
-0.2
σ1 U1
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Plano de cambios en las entradas
-1
-0.5
0
0.5
1
Plano de cambios en las salidas
Mayor inclinación de la elipse Æ mayor interacción
Mayor deformación de la elipse Æ mayor sensibilidad a las entradas
Significado físico de la descomposición SVD
ΔF2 + Δx2 = 1
Ejemplo: Proceso de mezcla (F=1, x=0.75)
1
1
Δm2
Δx
0.8
0.8
0.6
0.6
–1
σ2 V2
0.4
0.4
0.2
0.2
–1
σ1 V1
0
Δm1
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
ΔF
0
V, orientación de los ejes
σ-1, tamaño de esos ejes
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Plano de cambios en las entradas
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Plano de cambios en las salidas
Contenido
„
Tema 2 : Medidas de interacción
– Matriz de Ganancias Relativas RGA
– Matriz de Ganancias Relativas Generalizada
GRGA
– Descomposición en Valores Singulares SVD
– Número de Condición γ
Análisis mediante el número de condición (γ)
Cociente entre valores singulares (máximo y mínimo) γ = σ 1
σm
Ejemplo: Proceso de mezcla (influencia del escalado)
γ≅2
1
Δx
1
0.8
γ ≅ 10
Δx
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
ΔF
El número de condición depende fuertemente del escalado
ΔF
-0.2
σ2 U2
0
σ2 U2
σ1 U1
-0.2
σ1 U1
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Plano de cambios en las salidas
(F=1, x=0.75)
-1
-0.5
0
0.5
1
Plano de cambios en las salidas
(F=5, x=0.75)
Número de condición (γ)
u(ω)
u(ω)
PROCESO
(1 x 1)
PROCESO
(n x m)
y(ω)
y (ω ) G ( jω ) u (ω )
=
= G ( jω )
u (ω )
u (ω )
y(ω)
y (ω ) 2
u (ω ) 2
=
G ( jω ) u (ω ) 2
u (ω ) 2
=
y12 + y22 + ....
u12 + u 22 + ....
Cociente entre valores singulares (máximo y mínimo) γ (ω ) = σ 1 (ω )
σ m (ω )
Dependiente de la frecuencia
Medida de la controlabilidad entrada-salida
Número de condición (γ)
(Smith y Corripio, 1985) 2 variables manipuladas, 2 variables
controladas (ej. 2.11).
Número de condición
30
1 − 0.78s
1 − 0.22 s ⎞
⎛
1.5 ⋅
⎜− 6⋅
⎟
1
0
.
25
1
0
.
25
s
s
+
+
⎟
G(s) = ⎜
1
0
.
86
s
1
0
.
09
+
+
⎜⎜ − 5 ⋅
⎟⎟
7⋅
1 + 0.25s
1 + 0.25s ⎠
⎝
25
20
15
⎛ 1.2174 − 0.2174 ⎞
⎟⎟
Λ = ⎜⎜
⎝ − 0.2174 1.2174 ⎠
10
5
0 -6
10
-4
10
-2
10
0
10
Poca interacción a baja frecuencia
2
10
4
10
6
10
Número de condición (γ)
3 variables manipuladas, 3 variables controladas (ej. 2.14).
6
⎛ 119
⎜
⎜ 217 s + 1
⎜
0.00037
G ( s) = ⎜
⎜ 500 s + 1
⎜
⎜ 930
⎜
⎝ 500 s + 1
153
337 s + 1
0.00076
33s + 1
− 21 ⎞
⎟
10s + 1 ⎟
⎟
− 0.00005 ⎟
10s + 1 ⎟
⎟
− 1033 ⎟⎟
47 s + 1 ⎠
7
Número de condición
x 10
6
5
El uso de
− 667una sola técnica puede ocultar problemas o
4
s +1
166mostrar
otros de una forma exagerada
3
⎛ 3.7453 - 1.9752 - 0.7701⎞
⎜
⎟
Λ = ⎜ - 2.4481 3.0219 0.4262 ⎟
⎜ - 0.2972 - 0.0467 1.3439 ⎟
⎝
⎠
2
1 -6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
10
Posible problema de escalado en la entrada
4
10
6
10
Ejemplo de emparejamiento (5x5)
Torre atmosférica de crudo (McAvoy, 1983)
Secuencia propuesta con la RGA para los
emparejamientos:
T1-m1 ; T2-m5 ; T4-m3 ; T3-m2 ; T5-m4
m1
m2
m3
T 1 ⎛ 0.929 4.6 E −3 0.068
⎜
0.623
T 2 ⎜ 0.019
−1.36
Λ = T 3 ⎜ −0.042 1.09 0.748
⎜
T 4 ⎜ 0.159 − 2.180 3.84
⎜
1.46
T 5 ⎝ −0.064
− 2.30
m4
− 2.04 E −3
0.059
− 0.079
− 0.869
1.89
m5
⎞
⎟
1.66 ⎟
⎟
− 0.718
⎟
0.043 ⎟
⎟
0.0137 ⎠
1.17 E −3
Ejemplo de emparejamiento (5x5)
Descomposición en valores singulares:
⎛ 0.0190
⎜
⎜ 0.8227
U = ⎜ 0.5679
⎜
⎜ 0.0160
⎜
⎝ −0.0077
−0.2047
0.9623
0.0437
0.0793
0.0872
−0.4062
−0.0961
−0.1590
0.5679
−0.7319
−0.0745
0.3907
−0.6379
−0.1885
−0.5983
⎛ 0.0681
⎜
⎜ −0.0071
V = ⎜ −0.1602
⎜
⎜ −0.1886
⎜
⎝ −0.9665
⎞
⎟
0.3798 ⎟
⎟
−0.5661
⎟
0.5531 ⎟
⎟
−0.4467 ⎠
−0.1726
∑
−0.6163
0.7843
−0.0135
−0.5317
−0.3993
0.4699
−0.4956
−0.3875
0.0456
−0.2867
−0.2189
−0.8673
0.0985
0.1651
0.1573
⎛ 0.5124
⎜
⎜ 0
=⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 0
0
0
0
0.3654
0
0
0
0.1064
0
0
0
0.0539
0
0
0
⎞
⎟
−0.5806 ⎟
⎟
0.7593
⎟
−0.2865 ⎟
⎟
−0.0647 ⎠
0.0132
⎞
⎟
0 ⎟
⎟
0
⎟
0 ⎟
⎟
0.0161 ⎠
0
Ejemplo de emparejamiento (5x5)
Se buscan por columnas los valores de mayor peso en U y V:
⎛ 0.0190
⎜
⎜ 0.8227
U = ⎜ 0.5679
⎜
⎜ 0.0160
⎜
⎝ −0.0077
−0.2047
0.9623
0.0437
0.0793
0.0872
−0.4062
−0.0961
−0.1590
0.5679
−0.7319
−0.0745
0.3907
−0.6379
−0.1885
−0.5983
⎛ 0.0681
⎜
⎜ −0.0071
V = ⎜ −0.1602
⎜
⎜ −0.1886
⎜
⎝ −0.9665
⎞
⎟
0.3798 ⎟
⎟
−0.5661
⎟
0.5531 ⎟
⎟
−0.4467 ⎠
−0.1726
∑
−0.6163
0.7843
−0.0135
−0.5317
−0.3993
0.4699
−0.4956
−0.3875
0.0456
−0.2867
−0.2189
−0.8673
0.0985
0.1651
0.1573
⎛ 0.5124
⎜
⎜ 0
=⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 0
0
0
0
0.3654
0
0
0
0.1064
0
0
0
0.0539
0
0
0
⎞
⎟
−0.5806 ⎟
⎟
0.7593
⎟
−0.2865 ⎟
⎟
−0.0647 ⎠
0.0132
T2-m5 ; T4-m1 ; T1-m2 ; T5-m4 ; T3-m3
⎞
⎟
0 ⎟
⎟
0
⎟
0 ⎟
⎟
0.0161 ⎠
0
Ejemplo de emparejamiento (5x5)
Si se marcan los emparejamientos SVD sobre la RGA:
T1-m2 ; T2-m5 ; T3-m3 ; T4-m1 ; T5-m4
m1
m2
m3
T 1 ⎛ 0.929 4.6 E − 3 0.068
⎜
0.623
−1.36
T 2 ⎜ 0.019
Λ = T 3 ⎜ −0.042
1.09
0.748
⎜
3.84
− 2.180
T 4 ⎜ 0.159
⎜
1.46
− 2.30
T 5 ⎝ −0.064
m4
m5
− 2.04 E −3
1.17 E −3
0.059
− 0.079
− 0.869
1.89
⎞
⎟
1.66 ⎟
⎟
− 0.718
⎟
0.043 ⎟
⎟
0.0137 ⎠
A partir de la RGA los emparejamientos propuestos eran:
T1-m1 ; T2-m5 ; T3-m2 ; T4-m3 ; T5-m4
Ejemplo de emparejamiento (5x5)
A partir de la RGA los emparejamientos propuestos eran:
T1-m1 ; T2-m5 ; T3-m2 ; T4-m3 ; T5-m4
⎛ 0.0190
⎜
⎜ 0.8227
U = ⎜ 0.5679
⎜
⎜ 0.0160
⎜
⎝ −0.0077
−0.2047
0.9623
0.0437
0.0793
0.0872
−0.4062
−0.0961
−0.1590
0.5679
−0.7319
−0.0745
0.3907
−0.6379
−0.1885
−0.5983
⎛ 0.0681
⎜
⎜ −0.0071
V = ⎜ −0.1602
⎜
⎜ −0.1886
⎜
⎝ −0.9665
⎞
⎟
0.3798 ⎟
⎟
−0.5661
⎟
0.5531 ⎟
⎟
−0.4467 ⎠
−0.1726
∑
−0.6163
0.7843
−0.0135
−0.5317
−0.3993
0.4699
−0.4956
−0.3875
0.0456
−0.2867
−0.2189
−0.8673
0.0985
0.1651
0.1573
⎛ 0.5124
⎜
⎜ 0
=⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 0
0
0
0
0.3654
0
0
0
0.1064
0
0
0
0.0539
0
0
0
⎞
⎟
−0.5806 ⎟
⎟
0.7593
⎟
−0.2865 ⎟
⎟
−0.0647 ⎠
0.0132
T1-m2 ; T2-m5 ; T3-m3 ; T4-m1 ; T5-m4
⎞
⎟
0 ⎟
⎟
0
⎟
0 ⎟
⎟
0.0161 ⎠
0
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