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UNIDAD 1
MATEMÁTICA
Unidad 1
Operaciones con
números reales y
polinomios
Objetivos de la unidad:
Realizarás operaciones con los números reales y la raíz cuadrada,
aplicarás sus propiedades para solucionar problemas de la vida
diaria, valorando el aporte de los demás.
Interpretarás la realidad, valorando el lenguaje algebraico de los
polinomios y propondrás soluciones a problemáticas económicas y
sociales, a través de los productos notables.
Octavo Grado - Matemática
55
Polinomios
estudiarás
Grado
Valor numérico
Operaciones
de
Números
reales
Suma
Resta
Multiplicación
se dividen en
entre ellos
Irracionales
Racionales
Productos
notables
estudiarás
Propiedades
Operaciones
de
Suma
Resta
Multiplicación
División
Descripción del Proyecto
En esta unidad profundizarás tus conocimientos sobre los conjuntos numéricos
y nociones de álgebra, iniciados en séptimo grado, que aplicarás en diferentes
situaciones cotidianas, por ejemplo, calculando áreas y volúmenes de figuras y cuerpos
geométricos.
Al finalizar la unidad trabajarás en un proyecto de la vida real, que está relacionado con
áreas y por lo tanto con polinomios.
56
Matemática - Octavo Grado
Lección 1
Primera Unidad
Números irracionales y reales
Motivación
R osa y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro, del borde
de un vaso.
Las medidas que tomaron son:
Longitud de la circunferencia = 24.66 cm
Diámetro = 7.85 cm
Ellas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo:
24.66
= 3.1414012.......
7.85
¿Qué número te recuerda el resultado?
Indicadores de logro:
Determinarás y explicarás el origen de los números
irracionales, valorando su unidad práctica.
Mostrarás seguridad al graficar los números irracionales en la
recta numérica.
Resolverás con perseverancia ejercicios aplicando los
números irracionales.
Determinarás y explicarás los números reales valorando su
utilidad en la vida cotidiana.
Ubicarás gráficamente con precisión los números reales en la
recta numérica.
Números Irracionales
Observa los siguientes números:
3 ÷1 =
3
3
5
2
5
= 3,
= 0.6 ,
= 0.625 ,
= 0.6666..., = 0.454545
1
5
8
3
11
a
Se han escrito en la forma con a y b números enteros
b
y b ≠ 0.
¿Cómo son los decimales que se obtienen?
Ahora encuentra con tu calculadora 2 y el valor de π
Seguramente obtuviste los resultados:
2 = 1.414213562…
π = 3.141592654…
¿Cómo son los decimales obtenidos?
Estos números no son decimales exactos ni periódicos,
como los anteriores, ya que algunos matemáticos han
calculado muchas cifras y observado que no tienen
período alguno. Por tanto no se pueden escribir de la
a
forma ya que no son números racionales. A estos
b
números les llamamos números irracionales y los
denotamos por Q’.
Entonces tienes que los números irracionales son los
números que tienen parte decimal no periódico y
también aquellos que no se pueden expresar como el
cociente de dos números enteros.
Octavo Grado - Matemática
57
UNIDAD 1
El número π (letra griega pi) se utiliza en algunas
fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes. Recordarás
que para calcular el perímetro de una circunferencia la
fórmula es:
C = π d ó C = 2 π r
El número π (pi) es la relación que hay entre la longitud
de una circunferencia (C) y su diámetro (d), es decir:
Longitud de la circunferencia
π=
= 3.14159265...
Longitud del diámeetro
c
En el ejemplo de motivación el valor de π, no es
d
exacto ya que las medidas son aproximadas.
Uno de los matemáticos de la antigüedad que estudió
los números irracionales fue Pitágoras y lo hizo
midiendo la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1.
Recordarás, que un triángulo es triángulo rectángulo,
cuando uno de sus ángulos mide 90º, es decir, cuando
tiene un ángulo recto.
Observa el cuadrado al trazar una diagonal, se forma un
triángulo rectángulo.
2
Ejemplo 1
Aplicando el número irracional π , encuentra la
longitud de la siguiente circunferencia que tiene 23 cm
de diámetro.
1
1
Es decir:
d2 = 12 + 12 = 2
23 cm
Aplicas teorema de Pitágoras
Luego d = 2 = 1.414213…
Solución:
C= π d
C = 3.14159265... (23cm) = 72.2566309… cm
Generalmente, medidas como la anterior no se expresan
con todos los decimales, sino con dos decimales.
El resultado aproximado es C = 72.26 cm
Punto de apoyo
Recuerda que para aproximar a las décimas, se
hace así:
Mayor o igual a 5, se aumenta 1 al decimal anterior.
7.55  7.6
Menor que 5, se deja igual el decimal anterior.
7.54  7.5
58
Matemática - Octavo Grado
¿Qué otros ejemplos de números irracionales puedes
escribir?
Utiliza una calculadora y encuentra 3 , 6 , y 7
Los resultados anteriores son del mismo tipo que el de
2 , por lo tanto, son números irracionales.
En general, si m es un número natural o cero y n es un
número natural n ≥ 2. Entonces:
n
Es un número natural o cero, si la raíz
es exacta.
m
Es un número irracional, si la raíz no
es exacta.
UNIDAD 1
Actividad
1
1.Determina cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. Si es necesario,
utiliza una calculadora.
2
12
a) c) − π e) − g) 36
3
3
d) 5 f) 7 h) 18
4 2.¿Cuál es la longitud que recorre la rueda de un carro al dar una vuelta completa, si se conoce que el
diámetro mide 22 cm?
b)
Representación de los números irracionales Q´
en la recta numérica
Al igual que los números racionales, los números irracionales también se pueden ubicar
en la recta numérica. Veamos como representar 2 .Necesitas utilizar una regla y un
compás.
Sobre la recta numérica, partiendo de cero, dibuja un triángulo rectángulo, cuyos lados
que forman el ángulo recto midan 1, el otro lado medirá 2 ; luego, con un compás
llevas la medida de 2 , a la recta numérica, a partir de cero.
10
0
1
21.4142
2
Actividad
Ubica en la recta numérica:
5
3
5
2
5
3, 5, 6 y 7
Propiedades de los números irracionales
4
En la recta numérica anterior representastes los números irracionales y te diste cuenta
3 así como los números racionales y los números enteros.
que siguen un orden lógico,
Notas que se cumple una
2 de las siguientes condiciones:
10
a <b , a >b ó a =b 1
8
Entonces decimos que el conjunto de los números irracionales es un conjunto
ordenado.
1 2 3 4
-1
6
41.5
33.5
59
29.5
Octavo Grado - Matemática
25.5
-4
21.5
-3
2
17.5
-2
4
UNIDAD 1
¿Cuántos números irracionales existen entre 2.236067977... y 2.236067978...?
Observa la recta numérica que construiste, notarás espacios donde encontrarás
algunos de estos números:
2.2360679771..., 2.2360679772..., 2.2360679773..., 2.2360679774..., 2.2360679775...
2.2360679776..., 2.2360679777..., 2.2360679778..., 2.2360679779..., 2.23606797791...
¿Qué puedes concluir?
Entre dos números irracionales diferentes, existe un número infinito de números
irracionales.
Por esta razón, se dice que los números irracionales es un conjunto numérico denso.
El conjunto de los números irracionales también cumple la propiedad de ser un
conjunto infinito.
3
Actividad
1. Entre cada pareja de números irracionales coloca al menos tres números irracionales que estén
contenidos entre ellos:
b) 5 ______ 6 18 _____ 20 2. Escribe entre cada pareja el símbolo >, < ó =, según corresponda:
c) π
a)
a) 5 _______
5 b)
20 _____7
c)
______ 12
7 ______ π
2
Los números reales
Son el conjunto numérico que resulta de unir los
números racionales y los números irracionales se
denota así:
Q  Q' = 
Q
Q'

El rectángulo anterior representa a los números reales.
60
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1
4
Actividad
1.Dado los siguientes números, determina cuáles números son racionales y cuáles irracionales:
3
1
a) –3.2515769 d) −5 g) 12 j) − m) 3 9 p) 0.80
5
3
1
b) 0.416666… e) 9 h) 0
k) 0.175 n) 2π q) 7
12
c) 0.7777…
f)
i) 33 l) 3 8 o) 0.666...
r) 7 3
s)
−
100
t)
u)
2
9
3
125
Propiedades de los números reales
Recuerda que Q  Q´ =  , representa los números reales.
Es decir, que la unión de ambos conjuntos numéricos, forman el conjunto de los
números reales.
Como Q es infinito y Q´ también es infinito, esto nos dice que los números Reales
son infinitos.
También observamos, que entre dos números irracionales, existe un número infinito
de números irracionales. Igual, entre dos racionales cualesquiera, existe un número
infinito de racionales. A partir de esto, decimos que los números reales son densos.
Y si comparamos dos números reales, a y b podemos obtener una de las siguientes
condiciones:
a < b, b < a ó a = b
Lo que significa que los números reales  , es un conjunto numérico ordenado.
Octavo Grado - Matemática
61
UNIDAD 1
Representación geométrica de los números reales 
Cuando estudiaste los números racionales, aprendiste que a cada uno de ellos le
corresponde un punto en la recta numérica.
¿Lo recuerdas?
Esto mismo sucede con los números irracionales desarrollado en las páginas anteriores.
Como el conjunto de los números reales  , resulta de unir los números racionales y
los números irracionales, a todo número real le corresponde también un punto en la
recta numérica.
Con base a lo anterior, podemos afirmar que a todo punto de la recta, le corresponde
un único número real, de ahí que también se le llama recta de los números reales.
Ahora, presentamos algunos números reales en la recta numérica:
- 1.5
-4
-3
-1 0
−1 —
1
2
—
-2
2.8 π
2
- 0.5
2
1
4
3
4
Tú puedes colocar otros, hazlo.
Para ubicar números en la recta, es conveniente que primero ubiquemos el origen
que se designó con el número cero. Los puntos de la recta a la derecha del origen se
identifican como los números reales positivos  + y los puntos que están a la izquierda
del origen son los números reales negativos  −. Observa:
−
+
0
Utilizando la recta numérica, coloca los números −2 y −8, observa:
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
−8 es menor que −2
−8 está ubicado a la izquierda de −2
Veamos este otro ejemplo, en la siguiente recta coloca los números −4.5 y 3.5
- 4.5
0
3.5
3.5 es mayor que −4.5
3.5 está ubicado a la derecha de −4.5
¿Qué puedes concluir?
Que al observar dos números en la recta numérica, el que se encuentra a la derecha de
otro, siempre será mayor.
62
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1
5
Actividad
1.Grafica una recta numérica y coloca los siguientes números reales.
3
1
7 , 1,
− 4,
,
6.5,
− 2,
,
5
8
2.Escribe el símbolo >, <, =, entre cada pareja de números.
a) 3.36
3. 63
1 2
c) −9
1 5
−15
b)
18 y 3.1
d) −8
e)
2
f)
4
2
2
π
3.Representa en la recta numérica diez números irracionales.
Resumen
El conjunto de los números reales, está formado por la unión de todos los números decimales
exactos, periódicos y no periódicos; es decir que todo número real puede analizarse por
medio de su parte decimal.
Los números reales se pueden representar en la recta numérica. A todo punto de la recta le
corresponde un único número real. Y a todo número real le corresponde un único punto de
la recta numérica.
Infinito
Q  Q´ = 
Propiedades de los números  Ordenado
Denso
Octavo Grado - Matemática
63
UNIDAD 1
Autocomprobación
Un ejemplo de número irracional es:
0.444…
Discreto
b) Tiene un primer elemento
c) Discontinuo
d) Ordenado
a)
11
c) 2.16666…
d) –1.6875
b)
Si b representa un número real y se tiene que
b > 0, de los siguientes números el que representa
a b es:
a)
b)
−1
0
4
El par de números reales que cumple con la
relación “<” entre el primero y el segundo es:
a)
3
c) −
5
3
d)
5
11
,
8
b)
3 .d.
2 .d.
2
Una propiedad de los números irracionales es:
3
2, − 4
c)
π,
d)
5, 25
1 .b.
a)
3
5
Soluciones
1
4 .a.
π Y LOS EGIPCIOS
Desde tiempos antiguos, los egipcios y
babilonios, sabían de la existencia de la relación
entre la longitud de una circunferencia cualquiera
y la longitud de su diámetro. Esta relación es
representada en la actualidad por π y se lee pi.
Pero, fueron los egipcios quienes alcanzaron una
mejor aproximación de π , que plasmaron en la
pirámide de Gizeh. La relación que existe entre la
mitad del perímetro de la base y la altura de esa
pirámide es el valor que ellos asignaban a π .
64
Matemática - Octavo Grado
Lección 2
Primera Unidad
Motivación
Operaciones con números reales
M
aría tiene ahorrado $35.65 y su papá le regala $42.75.
¿Cuánto tiene en total?
Solución:
Para resolver tienes que recordar la suma de números decimales.
Es decir 35.65 + 42.75
Al efectuar la operación se tiene: 35.65
+ 42.75
78.40 El total es $ 78.40
Indicadores de logro:
Resolverás problemas con seguridad utilizando operaciones
combinadas de números reales y signos de agrupación
Suma y resta de números reales
Con los números reales podemos realizar operaciones
de suma y resta. Los siguientes ejemplos ilustran.
Ejemplo 1
1
3
René compró el día lunes litro de leche y el martes
2
4
litro de leche. ¿Cuántos litros compró en total?
1 3
Efectúa: +
2 4
1 2 2 3 5
= y + =
2 4 4 4 4
5
R: En total René compró litros de leche.
4
Esto se debe a que
Ejemplo 2
Rosa tiene 2.5 litros de gaseosa y regala 2 litros.
¿Qué cantidad de gaseosa le queda?
Solución:
Solución:
1 3
+ , dibujamos la recta
2 4
1
numérica. Partimos de 0, nos desplazamos a la
2
3
derecha, partiendo de esta posición nos movemos
4
5
siempre a la derecha, llegamos a .
4
1
3
—
2 + —
4
La operación es 2.5 − 2.0, esto también puede
escribirse como: 2.5 + (−2.0)
Para encontrar la suma de
1
3
5
— +— =—
2
4
4
1 —
2 3 1 5 —
1 0 —
6 —
7 2
–—
—
4 4 —
4
4
4 4 4
Utilizando la recta numérica, nos movemos, a partir de
cero, 2.5 unidades hacia la derecha. Desde este punto,
nos movemos 2 unidades hacia la izquierda, llegando
a 0.5
Así es que 2.5 + (−2) = 0.5
2.5
- 0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Octavo Grado - Matemática
65
UNIDAD 1
Ejemplo 3
Ahora efectúa: −
Solución:
Propiedades de la suma
de números reales
2  4
+ − 
3  3
Utilizando la recta numérica: A partir de 0, nos
movemos 2 hacia la izquierda, desde este punto, nos
3
4
movemos   hacia la izquierda, llegando a −2. Los
 3
dos movimientos son a la izquierda porque ambos
1
Juana para su cumpleaños se come de su pastel y
8
3
reparte entre sus amigas los . ¿Qué cantidad del pastel
4
se comieron?
números son negativos.
4
-—
3
-2
2
-—
3
5
4 -1 2 1
-— -—
-— -—
3
3
3 3
Entonces: −
0
1 2
— —
3 3
1
2  4
+ −  =−2
3  3
Aplica las reglas de la suma y efectúa:
a) −15 + (− 23) =
5 7
− + 6 12
=
b)
a)
66
Si ambos signos son
positivos, la suma es
positiva
Efectúa: 2 + 0
Solución:
-1
b) Si ambos signos son
negativos, la suma es
1. Para sumar dos
negativa
números reales con el
2. Para dos números
mismo signo:
reales de signo
Se suman sus valores
diferentes:
absolutos.
Se determina el signo
de la suma:
Ejemplo 4
2 +0
Observa
Reglas para sumar.
3 1
La operación a realizar es + y al efectuarla se
4 8
3 1 7
obtiene + =
4 8 8
7
R: Se comieron del pastel.
8
Se restan sus valores
absolutos, el menor
del mayor.
El signo de la suma es
el signo del sumando
que tenga el valor
absoluto mayor.
Matemática - Octavo Grado
0
1
2
2
3
A partir de cero te mueves hacia la derecha hasta 2
y luego, no realizas ningún otro movimiento, porque
al agregar 0, no se efectúa desplazamiento, o sea que te
quedas en 2 . Es decir que 2 + 0 = 2
Ejemplo 5
Pedro tiene $0.69 y su hermano $0.25. ¿Cuánto tienen
en total?
Solución:
Pedro realiza la siguiente operación 0.69 + 0.25 = 0.94 y
su hermano 0.25 + 0.69 = 0.94
Observa que llegan a la misma respuesta, es decir que
tienen $0.94
UNIDAD 1
Ejemplo 6
A partir de los ejemplos anteriores podemos observar las
propiedades de la suma con números reales.
Siempre en la recta numérica efectúa 5 + (– 5)
Solución:
En general para todo a, b, y c ∈  se cumple:
5
-5
-1
0
1
2
3
4
5
6
Después de dibujar en la recta, partiendo de 0, te
desplazas 5 unidades hacia la derecha, partiendo de este
punto te desplazas 5 unidades a la izquierda, llegando a 0.
a+b ∈  a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c
a + 0 = 0 + a = a
Propiedad de cierre o clausura
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Propiedad del elemento
identidad de la suma es "0"
a +( − a) =(− a) + a = 0
Propiedad del inverso aditivo
Actividad
O sea que 5 + (– 5) = 0
1
Ejemplo 7
a) Verifica las propiedades conmutativa y asociativa utilizando
Marina tiene 12 libros en su biblioteca, su hermana le
regala 9 y su tía 7. ¿Cuántos libros tiene en total?
los siguientes números:
1 3 5
, y
2 4 8
2
b) Raúl está pintando su casa, el viernes pintó los el sábado
5
1 ¿Qué parte de la casa ha pintado?
3
c) Elba está ahorrando para comprar un pastel el día de su
cumpleaños; la primera semana ahorró $2.15; la segunda
$1.90 y la tercera $ 3.34. ¿Cuánto ha reunido en total? Utiliza
la propiedad asociativa para su resolución.
Ejemplo 8
Por la mañana Jorge jugó
a las chibolas y perdió 8.
Por la tarde, volvió a jugar
y perdió 4. ¿Cuántas
chibolas perdió en total?
Solución:
Si efectuamos la suma tenemos:
a) Al sumar primero los
que le regalaron:
12 + (9 + 7)
12 + 16
28
b) Al sumar en el orden
en que se los regalaron:
Solución:
(12 + 9) + 7
21 + 7
28
Si a ganar le asignamos un signo positivo, perder será
negativo porque es lo contrario.
Observa que llegamos al mismo resultado.
R: Marina tiene 28 libros en total.
La operación a efectuar es −8 – 4
− 8 − 4 = −12
R: Jorge perdió 12 chibolas en total.
Octavo Grado - Matemática
67
UNIDAD 1
Ejemplo 9
En general, la resta se define así:a − b = a + (− b)
Efectúa: −
2 3
– 5 10
Solución: −
Ejemplo 10
7
2 3
–
=−
10
5 10
Efectúa: –6 – (–8)
2
Solución:
La operación planteada es –6 – (–8) esto equivale a
sumar el opuesto de −8, que es 8.
Es decir: – 6 – (–8) = −6 + 8 = 2
Actividad
1.Resuelve las siguientes situaciones:
a) Un vehículo saliendo de San Salvador, viaja hacia el oriente, después de recorrer 86 km, gira para desplazarse hacia el poniente y
recorre 120 km. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra el vehículo?
b) Un grupo de jóvenes deciden escalar el volcán de Santa Ana. Primero, suben 30 m; después 25 m, luego descienden 12 m; después
suben 18 m y por último bajan 23 m. ¿A qué distancia del pie del volcán se encuentran los jóvenes?
Multiplicación de números reales
Desde los primeros años de estudio aprendiste
cómo multiplicar números positivos, ya sea enteros,
fraccionarios o decimales.
Ejemplo 11
Roxana compra 8
cuadernos, si cada uno
tiene un precio de $3.45,
¿cuánto tiene que pagar?
Solución:
La operación a realizar es 3.45 × 8
Al operar se tienen que 3.45 × 8 = 27.60.
R: Roxana tiene que pagar $27.60
Solución:
Deuda, se representa con signo negativo (–); por lo
tanto, para averiguar su deuda debes efectuar:
(–2.75) (7) ¿Cuál es el resultado?
(–2.75) (7) = – 19.25.
R: Doña María debe $19.25.
Ejemplo 13
2
5
Si se efectúa:  −   − 
 7  3
¿Qué resultado obtienes?
10
 7   3  21
Observa que los ejemplos anteriores aplica lo siguiente:
Solución:  − 5   − 2  =
a)
Ejemplo 12
A doña María, le llegan a comprar 7 de sus clientes y no
tiene cambio, entonces a cada uno le queda debiendo
$2.75 ¿Cuánto debe doña María?
68
Matemática - Octavo Grado
b)
El producto de dos
números reales que tienen
el mismo signo es positivo.
(+) × (+) = +
El producto de dos
números reales de distinto
signo es negativo.
(+) × (−) = −
(−) × (−) = +
(−) × (+) = −
UNIDAD 1
Propiedades del producto de números reales
La multiplicación así como la suma, cumple con ciertas propiedades. En general para a, b y c ∈ 
Propiedades
En simbolos
Ejemplos
Cierre o clausura
ab ∈ R
3 3 9
× =
4 5 20
Conmutativa
ab = ba
(−5)(2.3) = (2.3) (−5 )
− 11.5 = −11.5
Asociativa
a (b c) = (ab) c
Efectúa: (−2.4) (−7.3) (6)
[(−2.4) (−7.3)] (6) = (−2.4) [(−7.3)(6)]
(17.52)(6) = (−2.4) (−43.8)
105.12 = 105.12
Elemento identidad
(a) (1) = (1) (a) = a
3 × 1=3, 1 × 5=5, −4 × 1= −4
Elemento inverso
multiplicativo
1
1
(a) ( ) = ( ) (a) = 1,
a
a
con a ≠ 0
1
 1
3  = 1 , ( 5 ) = 1
 3
5
a (b + c) = ab + ac
Efectúa 5 (4 + 7) y (5 × 4) + (5 × 7)
5 (4 + 7) = (5 × 4) + (5 × 7)
5 × 11 = 20 + 35
55 = 55
Distributiva del producto
sobre la suma
División de números reales
Resuelve las siguientes situaciones:
Ejemplo 14
Ejemplo 15
Rocío, tiene la mitad de una sandía y la quiere repartir
en partes iguales, entre 6 de sus amigas. ¿Qué parte de la
sandía le tocará a cada una?
Cinco hermanos deben $755.76. Ellos pagarán partes
iguales ¿cuánto cancelará cada uno?
Solución:
1
÷6
2
Ahora recuerda cómo efectuar esta operación:
Plantea la operación:
1
1
1 1
÷6= × =
2
2 6 12
1
R: A cada una le tocará
de la sandía.
12
Solución:
La operación a realizar es −755.75 ÷ 5
Al efectuarla se obtiene que:
1
− 755.75 ÷ 5 = −755.75 × = − 151.15
5
R: Cada uno pagará $ 151.15
Octavo Grado - Matemática
69
UNIDAD 1
Ejemplo 16
Efectúa: a) – 24 ÷
Solución:
5
6
Observa
b) – 72.48 ÷ – 6.25
Al dividir 0 entre cualquier número real diferente
de cero el resultado es cero (0)
Al dividir cualquier número entre cero el resultado
es indeterminado o indefinido.
6
5
144
= – 24 × = −
5
6
5
−72.48
b)
=11.5968
−6.25
a) – 24 ÷
3
Observa
Efectúa las siguientes operaciones:
Que a y b son números reales y b ≠ 0. La operación
división se denota por a ÷ b y se define como a 1
b
 3  ÷  5    
8
4
b) 87 ÷ 2
a)
c) 146 ÷ 3
En los ejemplos anteriores se cumple:
a) El cociente de dos números
reales que tienen el mismo
signo es positivo.
b) El cociente de dos números
reales de distintos signo
es negativo.
(+) ÷ (+) = +
(−) ÷ (−) = +
(+) ÷ (−) = −
(−) ÷ (+) = −
Actividad
d) 0.876 ÷ 0.15
e) – 6.75 ÷ – 3
f) 123 ÷ − 4
Signos de agrupación
Como la suma y la multiplicación son operaciones
asociativas, cuando tenemos expresiones como esta:
3 + 5 + 2, están perfectamente determinadas y podemos
operar agrupando así: 3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10
Pero si tenemos la expresión 5 + 8 × 4 y efectuamos:
Primero la suma: Primero la multiplicación:
5 + 8 × 4 =
0
?
8
Partiendo de lo anterior tenemos que 0 ÷ 8 =?
13 × 4 = 52
¿Qué número multiplicado por 8 resulta cero? 8 × _ = 0
Solo 0, es decir que 0 ÷ 8 = 0 porque 8 × 0 = 0
0
Entonces: = 0
8
15
b) Qué sucede con 15 ÷ 0; o sea:
0
15
= x, entonces (0) (x) = 15 ¿Cuál es el valor de “x”?
Si
0
Como 0, multiplicado por cualquier número es 0,
entonces; no existe solución para 15
0
0
c) ¿A qué es igual ?
0
Para evitar confusiones, cuando hay más de una
operación se debe respetar la jerarquía de las
operaciones.
Casos de particular importancia
a) ¿A qué es igual
70
Matemática - Octavo Grado
5+8×4=
5 + 32 = 37
¿Cuál es el resultado correcto?
Observa
La jerarquía de las operaciones es: primero se efectúan
las multiplicaciones o divisiones, luego las sumas
o restas.
Cuando se quiere establecer el orden en que se tiene
que realizar las operaciones, utilizamos los signos de
agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }
UNIDAD 1
Ejemplo 17
Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12
Solución:
Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos con los interiores.
3 + [8 – (6 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12 = 3 + [8 – (24) + (11) + 7] – 12
= 3 + [8 – 24 + 11 + 7] – 12
= 3 + [2]−12
= 5 − 12
=−7
Ejemplo 18
Observa
Al suprimir los signos de agrupación
que están precedidos del signo
+, se dejan las cantidades con su
respectivo signo pero si están
precedidos por el signo "–" se cambia
el signo a dichas cantidades.
Efectúa: − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] −1}
Solución:
– {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] –1}= − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + 8 – 2 × 4] –1}
= – {8 + 4 – [30 + 2 + 8 – 8] –1}
= − {8 + 4− [32] −1}
= − {8 + 4− 32 −1}
= −{−21}
= 21
Actividad
4
Resumen
a) Un comité que organiza una fiesta necesita 3 globos por cada
una de las 8 mesas. Necesitan también 21 globos por cada una
de las 4 paredes del salón. Para otra decoración necesitan 15
globos y otra persona solicita 10 globos más. ¿Cuántos globos
necesitan en total?
Efectúa las siguientes operaciones:
b) 3 × 4 + {8 + 7 – [5 × 4 + 3 – 12 ÷ 2 + (4 – 2 × 5)]}
En esta lección estudiaste las operaciones aritméticas aplicadas
en los números reales y algunas de sus propiedades, así como la
utilización de los signos de agrupación.
Propiedades
Suma
Multiplicación
Cierre o clausura
Conmutativa
Asociativa
si
si
si
si
si
si
Propiedades
Suma
Multiplicación
Distributiva
Elemento identidad
Elemento inverso
no
0
si respecto a la suma
1
−a
1
a
c) – 4 + 7 – {6 × 2 + 8 + (4 × 5 – 9 + 3) – 15} + 2
Octavo Grado - Matemática
71
UNIDAD 1
Autocomprobación
Doña Berta tiene $2.20 y lo reparte entre sus 4
hijos. ¿Cuánto le toca a cada uno?
3
comparte con sus amigas los
hermanos
$ 0.54
b) $0.55
c) $0.054
d) 55
a)
2 1
y con sus vecinos. ¿Qué cantidad de
10 4
pastel se comieron?
5 10
5
b)
20
a)
Efectúa:
3+8–5×4+7–6÷3
–4
b) 4
c) 8.3
d) 0
4
2
del pastel, con sus
5
17
20
8
d)
10
c)
Efectúa: 40 − 15 ÷ 5 − (3 × 7 + 4 − 20)
24
b) 32
c) − 32
d) 0
a)
a)
1. b.
2. a.
2
El día de su cumpleaños, a Rosa le regalan un pastel,
Soluciones
1
3. c.
4. b.
SISTEMAS NUMÉRICO INDIO Y LAS OPERACIONES
Los modernos algoritmos de cálculo fueron
posibles gracias a la introducción de los
números árabes y la notación decimal
posicional. Los números árabes, basados en la
aritmética, fueron desarrollados por los grandes
matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta
y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación
posicional, dando diferente valor a un número
dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta
añadió el cero al sistema numérico indio.
Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta,
multiplicación y división, basadas en los
números arábigos.
72
Matemática - Octavo Grado
Lección 3
Primera Unidad
Polinomios
Motivación
a) Los elementos de un monomio son coeficientes y variables.
Monomio
−6 a5 b2 c3
0.14 m−1 n3
x2 y
Coeficiente
−6
0.14
1
Variables
a5 b 2 c 3
m−1 n3
x2 y
b) Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios.
2
Así: m 3 n 2 + 5m 2 n − m , − 8 x 3 + 27 y 3 son polinomios.
3
Indicadores de logro:
Identificarás, determinarás y explicarás el grado absoluto y
relativo de un polinomio con seguridad.
Resolverás problemas aplicando el valor numérico
con confianza.
Resolverás con seguridad sumas y restas de polinomios que
contienen signos de agrupación.
Grado absoluto y relativo de un monomio y de un polinomio
Identifica los elementos del monomio: 3x3y.
Ahora, determina el exponente de x y el de y.
Al sumar los exponentes de ambas variables
obtenemos 4. Este número define el grado absoluto
del monomio.
Los exponentes de las variables x e y determinan el
grado relativo respecto a cada una de ellas.
Entonces tenemos que el monomio 3x3y es de cuarto
grado absoluto y el grado relativo respecto a “x” es tercer
grado y respecto a “y” es de primer grado.
A continuación identificarás el grado absoluto y relativo
en polinomios.
Ejemplo 1
3x + 2x2y + 7x 3 y2
Solución:
Seguramente, lo primero que hiciste fue encontrar el
grado absoluto de cada término así.
3x + 2x2 y + 7x 3 y2
Grado 1 Grado 3 Grado 5
Diremos que el polinomio es de quinto grado.
Porque, el grado absoluto de un polinomio está dado por
el mayor grado absoluto de sus términos.
Para el grado relativo con respecto a sus variables,
tomarás el mayor valor de los exponentes de esa variable.
Así con respecto a x es de grado tres y con respecto a y es
de grado dos.
Octavo Grado - Matemática
73
UNIDAD 1
Ejemplo 2
Encuentra el grado absoluto y relativo del polinomio:
1
1
8x 6 − 7 x 5 + x 4 − x 3
2
3
Solución:
El grado absoluto es 6 y el relativo es 6 porque sólo hay
una variable, no especificamos respecto a que variable lo
hemos encontrado.
1
3x2 = 3(15)2 = 3(225) = 675
El área es de 675 cm2
Evaluar una expresión algebraica significa hallar el valor
numérico, mediante la sustitución del valor asignado a la
variable.
Observa
Actividad
Dados los siguientes polinomios, indica su grado absoluto y su
grado relativo con respecto a cada una de sus variables.
3x 5 − 4 x 3 + x − 8
b) 4 a 5b − 7a 4b 3 − 8ab 4
1
7
5
c) m 8 + m 7 n 5 − m 6 n 4
3
8
9
Escribe un ejemplo de:
a)
d) Polinomio cuyo grado absoluto sea 10.
La variable representa un valor numérico
cualquiera que pertenece a los números reales.
Ejemplo 3
Evaluar la expresión: –8x5y2 para x = – 3, y = 3?
Solución:
Al encontrar su valor numérico tenemos:
e) Binomio de primer grado absoluto.
(– 8)(–3)5 (3)2= (–8) (–243) (9) = 17496
f) Trinomio de cuarto grado absoluto y de tercer
Ejemplo 4
grado respecto a x.
Valor numérico
A Mario le interesa saber cuál es el área de una tira de
papel; si está dada por 3x2 y además el valor de x es
de 15 cm.
74
Para encontrar el área sustituimos el valor de x en la
expresión dada, Así:
Matemática - Octavo Grado
Encuentra el valor numérico de la expresión:
3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 para x = −2 , y = −1
Solución:
Sustituimos los valores asignados a las variables:
3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 = 3(–2)3 + 2(–2)2 (–1) – 3 (–2) (–1)2
= 3(-8) + 2 (4) (–1) – 3 (–2) (1)
= –24 – 8 + 6
= –26
UNIDAD 1
Ejemplo 5
Solución:
¿Podrías evaluar la siguiente expresión?
Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se
suman las longitudes de todos sus lados.
2a 2b 2 + 3ab − 7a Para a = −3 , b = 2
Entonces, en nuestro caso, tendríamos que:
Solución:
x + (2x) + (x + 1) + (x + 2) = (x + 2x + x + x) + (1 + 2)
2a 2b 2 + 3ab − 7a = 2( −3 )2 ( 2 )2 + 3( −3 )( 2 ) − 7( −3 )
= 72 − 18 + 21
= 75
= 5x + 3
Ejemplo 7
2
Actividad
Evalúa las siguientes expresiones para:
a = –2, b = 3, m = –1, n = 2, p = 4 y x = 1
Efectúa: (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4)
Solución:
Agrupa los términos semejantes:
(2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4) = (2x2 +3x2) + (3x – 5x) + 4
a) amp – 5bx
b) 3a2bx3 + 7m2np
c) 6b2m3 – 7n2px5
2ab − 8mn + 8 px
f)
9m 2 x 4 − 8a 2 p − 5b 3 m 5
Los siguientes ejemplos te ilustrarán la forma de sumar
polinomios.
Ejemplo 6
Encuentra una expresión algebraica para el perímetro de
la figura dada.
x
x+2
2x
= 5x2 – 2x + 4
2x 2 + 3x
3x 2 − 5x + 4
5x 2 − 2x + 4
Suma de polinomios
x +1
= 5x2 + (–2x) + 4
Otra forma puede ser escribir un polinomio debajo del
otro. Colocando los términos semejantes en la misma
columna. Así para el ejemplo anterior tenemos:
d) 7ab + 5m5n2 – 8px
e)
Ejemplo 8
1
1
5
1
3
1
Suma: m 3 + m 2 − m con m 3 − m 2 + m
2
4
6
6
8
3
Solución:
1 3 1 2 5
m + m − m
2
4
6
1 3 3 2 1
m − m + m
6
8
3
4 3 1 2 3
m − m − m
6
8
6
Para expresar el resultado debemos simplificar las
fracciones, y se obtiene:
2 3 1 2 1
m − m − m
3
8
2
Octavo Grado - Matemática
75
UNIDAD 1
Ejemplo 9
Suma los siguientes polinomios:
7a2 – 9a3 + 5a – 4; 8 + 2a3 – a; 3a3 + 2 – 6a – 4a2
Solución:
Al observar los polinomios dados, te das cuenta en cada uno que el orden de la parte
literal es diferente, entonces lo primero que debes hacer es ordenarlo, ya sea en forma
ascendente o descendente respecto al exponente.
En este caso, podrías ordenar en forma descendente respecto a la variable a es decir,
que el exponente de a vaya disminuyendo así:
– 9a3 + 7a2 + 5a – 4
2a3
3a3 – 4a2 – 6a + 2
– 4a3 + 3a2 – 2a + 6
Ejemplo 10
Suma 0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3; 0.19mn3 + 0.86m2n – 0.68m3n
Solución:
0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3
– 0.68m3n + 0.86m2n + 0.19mn3
– 0.43m3n + 0.46m2n + 0.89mn3
3
Actividad
Efectúa las siguientes sumas de polinomios:
a) 7x + 5x3 – 6x4; 5 + 3x3 + 4x + 8x4
b) a5 + 3a2 + 2a; 6a3 – 5a4 + 3a; a4 – 8a2 – 4a5 –2a3
c) 7b3 – c3; 7c3 – 9bc; 4b3 + 2b – 5bc
d) 8m4n + 3m2n3 – 7mn4; 6n5 – 7m4n + mn4 – 3m2n3
e)
76
–a +8
Matemática - Octavo Grado
4 3 3 2 5
3
7
2
y + x y − x y2 ; x2 y + x y2 − y
9
8
6
4
3
3
UNIDAD 1
Resta de polinomios
Observa los siguientes rectángulos:
2x + 1
x+3
x
x
A
B
Perímetro de A: 6x + 2
Perímetro de B: 4x + 6
Encuentra la diferencia del perímetro del rectángulo de la figura A y el rectángulo de la
figura B?
(6 x + 2) − ( 4 x + 6 )
Elimina los signos de agrupación y utiliza la ley de los signos, entonces obtienes:
6x + 2 - 4x - 6 = 2x - 4
Relaciónalo con la resta de números reales, puedes ver que es una suma del minuendo
con el inverso aditivo del sustraendo.
Ejemplo 11
De 8a5b – 5a4b2 resta 5a5b + 3a4b2
Solución:
(8a5b – 5a4b2) – (5a5b+3a4b2)
Elimina los paréntesis:
8a5b – 5a4b2 – 5a5b – 3a4b2 = 3a5b – 8a4b2
Utiliza el mismo proceso que en la suma, colocarlo uno debajo del otro, así:
8a5b – 5a4b2 →
–5a5b – 3a4b2 →
3a5b – 8a4b2 →
Minuendo.
Inverso aditivo del sustraendo .
Diferencia.
Ejemplo 12
Resta 13xy4 + 5x2y3 – 9x3y2 de 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2
Solución:
¿Cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?
El polinomio que está después de la palabra “de” indica el minuendo.
Ahora realizamos la operación:
6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2
–13xy4 – 5x2y3 + 9x3y2
–7xy4 – 12x2y3 + 14x3y2
Observa que a todos los términos del sustraendo se les cambia de signo.
Octavo Grado - Matemática
77
UNIDAD 1
Ejemplo 13
De:
3 6 1 5 5 4
7
3
3
m + m − m resta m 6 − m 5 − m 4
5
2
8
10
8
4
Solución:
4
3 6 1 5 5 4
m + m − m
5
2
8
7
3
3
− m6 + m5 + m4
10
8
4
1
7
1
− m6 + m5 + m4
10
8
8
Actividad
a) Resta
0.5 x 3 − 0.75 x 2 + 0.6 x de 0.83 x 3 − 0.55 x 2 + 0.16 x
a 4 − 15ab 3 + 20a 2b 2 − 18a 3b de a 4 − 5a 2b 2 − 18ab 3 − a 3b
3 3 1 2 5
1 3 3 2 2
c) De m − m + m resta m − m + m
4
2
6
2
4
3
m +1
− 8 x m +2 + 5 x m +3 resta 7 x m +1 − 6 x m +2 + 3 x m +3
d) De 3 x
b) Resta
Signos de agrupación en expresiones algebraicas
Escribe la siguiente expresión algebraica suprimiendo el
signo de agrupación: 4 x + 5 y + ( 3 x − 2 y ) . Observa que
el paréntesis está precedido por el signo +, entonces:
4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y
Al operar se tiene:
4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y
= 7x + 3 y
Ahora mira este otro ejemplo:
Observa
Si los signos de agrupación están precedidos por el
signo más, se suprime, dejando los términos con
su respectivo signo. Pero si el signo es menos, al
suprimirlo, los términos que estaban encerrados
cambian de signo.
¿Cómo simplificas ?
3 x +  5 x − 2 y − ( 3 x + 4 y ) − 9 x + y 
Suprime signos de agrupación:
3 x +  5 x − 2 y − ( 3 x + 4 y ) − 9 x + y  = 3 x + [ 5 x − 2 y − 3 x − 4 y − 9 x + y ]

= 3 x + 5 x − 2 y − 3 x − 4 y − 9 x + y 
= −4 x − 5 y
Primero suprimes el paréntesis y luego el corchete. Es decir de adentro hacia fuera.
78
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1
Ejemplo 14
Simplifica:
5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 )
Solución:
El signo de agrupación va precedido del signo +
5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 ) = 5a 3 + 8a 2 − 6 a 3 − 4
= −a 3 + 8a 2 − 4
Ejemplo 15
Simplifica: 2m + n − ( 5m − 6 n )
Solución:
El signo de agrupación está precedido del signo −:
2m + n − ( 5m − 6 n ) = 2m + n − 5m + 6 n
= −3m + 7 n
Actividad
5
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
{(
) (
) (
2
2
2
2
a) m + − 7 m − 5mn + −4 n + mn − − m − mn
{
}
b)
3 x − − x +  −5 y + ( − x + y ) − 3 y  + 6 x
c)
− [ −7a + 4 − ( 3a + 2 − 5a ) + 8 − a ] + 2a − 7
d)
8b − 3 + [ 4b − ( 9b − 6 ) + 5 − 2b ]
)}
Resumen
Tanto en monomios como en polinomios podemos encontrar el valor absoluto y relativo, lo mismo
que su valor numérico de acuerdo al valor asignado para cada variable, si hay signos de agrupación
se deben suprimir. Para suprimir signos de agrupación es importante tomar en cuenta el signo que
lo precede, si el signo es “+”, los términos que están contenidos no cambian su signo, pero si el signo
es “–”, entonces el signo de cada término cambia y para reducir la expresión se debe tomar en cuenta
que sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes.
Octavo Grado - Matemática
79
UNIDAD 1
Autocomprobación
Al evaluar la expresión 3m 3 n − 5m 2 n 3 + 2mn 2
para m = −2 y n = 3 lo que se obtiene es:
3
a)
−522
b) 522
c) −648
d) 630
(3x
2
7y4
b) 11 y 4
c) 11 y 7
d) 7 y 7
+ 7 x − 5) + ( 4 x − 6 + 6 x
3
2
x 3 − x +1
b) − x 3 + x − 1
c) 7 x − 13 x 3 − 11
d) 13 x 3 + 7 x 2 − 11
a)
3
) resulta:
4
Resta 6 a 5b − 8a 3b 2 − 7ab 3 + 2b 4 de
3b 4 + 6 a 3b 2 − 2a 5b + 5ab 3
−8a 5b + 14 a 3b 2 + 12ab 3 + b 4
b) −8a 5b + 14 a 3b 2 − 12ab 3 − b 4
a)
4 a 5b − 2a 3b 2 + 12ab 3 − 5b 4
d) −4 a 5b + 2a 3b 2 + 2ab 3 + 5b 4
c)
3. b.
Al efectuar
a)
1. c.
2
El grado absoluto y relativo respecto a x de la expresión
8 x 2 y 5 + 7 x 3 y 6 − 3 x 4 y 7 respectivamente es:
Soluciones
1
2. d.
4. a.
¿DE DÓNDE VIENE LA PALABRA ÁLGEBRA?
La palabra Álgebra procede del árabe y significa
restauración y reducción. De esta manera
se denominó a la forma extraña de escribir
matemáticamente con letras y números, puesto
que una misma magnitud puede añadirse o
sustraerse de una igualdad de dos cosas y por
otra parte, podemos reducir el número de cosas
siempre que sea posible.
Los babilonios escribían sus letras y signos con
unos punzones sobre tablas de barro que luego
cocían para que no se perdiera lo escrito. Algunas
de esas tablas se han encontrado recientemente
y nos han permitido saber lo listos que eran
nuestros antepasados de Babilonia.
80
Matemática - Octavo Grado
Lección 4
Primera Unidad
Potencia de exponentes enteros y
multiplicación de Polinomios
Motivación
Una señora tiene varias bolsas con naranjas, en la primera
tiene 2, en la segunda el doble de la primera, en la tercera el
doble de la segunda, en la cuarta el doble de la tercera y en
la quinta el doble de la cuarta, ¿cuántas naranjas tiene en la
quinta bolsa?
¿Qué planteamiento realizarías?
Podría ser el siguiente:
Primera = 2
Segunda = 2 × 2
Tercera = 2 × 2 × 2
Cuarta = 2 × 2 × 2 × 2
y en la quinta = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 que es 25= 32
R: Tiene 32 naranjas en la quinta bolsa.
Indicadores de logro:
Resolverás problemas aplicando las propiedades de los
exponentes enteros, con seguridad y confianza.
Demostrarás confianza al resolver problemas aplicando la
multiplicación de polinomios.
Potencias de exponentes enteros
Esto mismo es aplicable en algebra. Por ejemplo:
En Aritmética estudiaste lo que es una potencia y las
leyes de los exponentes.
5
m
= m.
m
.m .m .m
5 factores
Observa y completa:
= (2 × 2 × 2 × 2)(3 × 3)
= 16 × 9
En general:
Donde:
= 144
b) 3 4
=
×
×
×
an =
a. a. a. a. a..... a
a
c) (−5)3
=
×
×
=
n factores
base
d) 71
=
=
{
a) (24)(32)
n
exponente
Octavo Grado - Matemática
81
UNIDAD 1
Ejemplo 1
Ejemplo 3
Un cubo tiene una arista
de longitud x .
¿Cuál es el volumen?
Aplica la propiedad y efectúa:
x
x
a) (m5) (m3)
b) (b7) (b−4)
Solución:
Propiedades con exponentes
(m5) (m3) = m5+3 = m8
Los siguientes ejemplos te ilustrarán las propiedades con
exponentes.
(b7) (b−4) = b7+(-4) = b3
Teniendo en cuenta que:
an = a.a....a
n veces
(3)(3)(3)(3)(3) = (3)5 = 243
(3)3(3)2 = (3)3 + 2
(27)(9) = (3)5
Ejemplo 4
El profesor de matemática invita a sus estudiantes a
redactar problemas utilizando potencias.
María comparte el de ella y dice así:
En un canasto hay 28 naranjas y se tiene que repartir
entre 26 estudiantes. ¿Cuántas naranjas le corresponde a
cada uno?
Solución:
243 = 243
Observa
En general:
a m .a n = a m + n
Para multiplicar potencias que tienen la misma base,
se escribe la misma base y se suman sus exponentes.
La operación a realizar es: 28 ÷ 26
28 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
=
= 2
× 2 = 22
6
2
2×2×2×2×2×2
8 − 6 = 2 factores
8
2
Es decir que: 6 = 28−6 = 22 = 4
2
R: A cada uno le tocan 4 naranjas.
Ejemplo 2
Efectúa: ( a 4 )( a 2 )
Observa
Solución:
a .a )
(a )(a ) = (a.a.a.a)(
4
2
6
= (aaaaaa
) = a
4
2
4 + 2 = 6 factores
factores factores
Para darle solución al ejemplo 1, recordamos que el
volumen del cubo se encuentra multiplicando el valor de
la arista tres veces, es decir:
x
.x .x = x 3
3 factores
82
Matemática - Octavo Grado
am
m −n
Al efectuar n para a ≠ 0 , se tiene a
a
Para dividir potencias de la misma base, diferente
de cero, se escribe la misma base y se restan
sus exponentes.
Veamos ahora que sucede cuando el exponente del
divisor es mayor que el dividendo.
UNIDAD 1
Observa
El exponente negativo resulta cuando el exponente
del numerador es menor que el exponente del
denominador:
a m m −n
=a
an
1
Y podemos decir que: a − n = n
a
x2
x6
Encuentra: 23 × 33
Solución:
23 × 33 = (2×
2 × 2)(3×
3 × 3) = 8 × 27 = 216
3 factores 3 factores
23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 6 × 6 × 6 = 216
Solución:
x2
x .x
1
1
=
=
= 4
6
x x .x .x .x . x . x x .x .x .x x
Ejemplo 7
La base 2 y la base 3 están elevadas al mismo exponente
por lo que se puede escribir así:
Ejemplo 5
Efectúa:
Aplica esta conclusión y efectúa.
m7
=
y 4÷ y 4 =
7
m
am
Y si aplicas la propiedad: n = a m −n
a
x2
1
2− 6
−4
Tienes: 6 = x = x por lo tanto: 4 = x −4
x
x
Observa este caso:
Esto significa que 23 × 33 = (2 × 3)3 = 216
Observa
( ab )n = a n b n
En general:
Verifica las siguientes igualdades:
a 5b 5 = ( ab )5 ; ( xy ) = x 6 y 6 ; ( mnp ) = m 8 n 8 p 8 ;
Ejemplo 6
8
6
[(a + b )c ]−2 = (a + b )−2 c −2 ; (3xy )
Efectúa: 33 ÷ 33
2
= 32 x 2 y 2 = 9 x 2 y 2
Solución:
33 3 × 3 × 3 1
3 ÷3 = 3 =
= =1
3 3×3×3 1
3
3
33 27
= =1
33 27
Al aplicar la propiedad de dividir potencias de la misma
base tenemos:
3 3 3− 3 0
=3 =3
33
¿Qué concluyes? Toda cantidad elevada a la cero es igual
a uno.
También podemos decir que:
Observa
En general para : a ≠ 0 a 0 =1
Octavo Grado - Matemática
83
UNIDAD 1
Ejemplo 8
5
Encuentra:  
 7
3
Solución:
3
 5  5  5  5 5× 5× 5 5
= 3   =       =
7
7 7 7 7
×
7 × 7 7
3 factores
3 factores
3
3
5
53
Entonces:   = 3
 7 7
Ejemplo 9
m
Efectúa:  
n
5
Solución:
5
5
5
5
 m m
 m   m   m   m   m   m  m .m .m .m .m m
=
=
=
=
Entonces:
 
           
n
n5
n
n
n
n
n
n
n .n .n .n .n
n5
Ejemplo 10
3ab 
Efectúa: 
 2mn 
3
Observa
Solución:
3
n
3
3 3
3 3
27a b
 3ab  3 a b

 = 3 3 3 = 3 3
2mn
2 m n 8m n
n
a a
En general:   = n Para b ≠ 0
b b
Ejemplo 11
Rosa tiene limones en un canasto . Su hijo que estudia octavo grado dice que son
(24)2 limones. ¿Sabes tú cuántos limones tiene Rosa?
Solución:
Aplicando los conocimientos sobre potencias, tenemos:
(2 )
= 2 4 × 2 4 = (2
× 2
× 2 × 2)(2
× 2
× 2 × 2) = 16 × 16 = 256
4 factores
4 factores
¿Cuántas veces hemos multiplicado el 2 por sí mismo? Se verifica que son 8 veces.
4 2
Entonces: ( 2 4 ) = 2 4×2 = 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
2
R: Rosa tiene 256 limones.
Ejemplo 12
2

Efectúa:  m 4 n −2 
3

Solución:
4
16 16 −8
 2
4 4
−2 4
  ( m ) ( n ) = m n
3
81
84
Matemática - Octavo Grado
Observa
4
En general :
(a )
m n
= a mn
UNIDAD 1
1
Actividad
Aplica las propiedades de los exponentes según corresponda en cada caso y encuentra el resultado:
0
 x5 
−3
a)
 y 2  c) ( xy ) b)
b7
e) 5 b
3
m 4 .m −5 d) ( x + y )a  f) 3 a −5
Multiplicación de polinomios
Iniciemos recordando la multiplicación de monomios.
Observa el siguiente rectángulo:
x
 ( a 3 )2 
g) ( 3 x − 2 y ) i) 

6
 m 
5
3
 a3 
 5× 2
h)
j) 
 a −2   3 × 7 
2
0
Multiplicación de monomio
por polinomio
Ejemplo 13
Carlos tiene una pintura de forma rectangular con las
dimensiones que aparece en el dibujo y quiere calcular el
área que cubrirá en la pared.
2x
2x
¿Cuál es su área?
Sabes que A = bh (base por altura)
Al sustituir por los valores que tiene el rectángulo dado,
tenemos que:
A = (2x)(x)
Procedemos a multiplicar los coeficientes con su
respectivo signo:
(2 × 1) = 2
Luego la parte literal:
3x + 2
Solución:
El área del rectángulo se calcula así A = bh
Planteando la operación: A = (3x + 2) (2x)
Observarás que son expresiones algebraicas que
conocemos como monomios y polinomios.
Entonces resulta que: (2x)(x) = 2x2
Para realizar la operación, multiplica el monomio por
cada uno de los términos del polinomio, luego suma
algebraicamente los productos resultantes así:
R: Su área es 2x2 unidades cuadradas.
A =(3x + 2)(2x) = (3x) (2x) + (2) (2x) = 6x2 + 4x
x . x = x2
R: El área de la pintura es 6x2 + 4x unidades cuadradas.
Octavo Grado - Matemática
85
UNIDAD 1
Ejemplo 14
2
Efectúa: ( −5a 2 )( 6 a 3 − 7a 2 )
Solución:
( −5a )(6a
2
Efectúa las siguientes multiplicaciones:
3
− 7a 2 ) = ( −5a 2 )( 6 a 3 ) + ( −5a 2 )( −7a 2 )
m 5 − 6 m 2 n − 8mn 2 + 2n 3 − 5 por 4 mn 4
b) 3b 7 − 2b 6 + 5b 5 + 8b 4 − 6b 3 + 2 por −7b 4 c
a)
= −30a 5 + 35a 4
Ejemplo 15
−2a x b + 3a x +1b x − 5a x +2b x +1 por 3a 2 x b 3 x
5
4 2
3
2
2 3
d) x + 7 x y − 6 x y − 3 x por −5 x y
c)
Efectúa: (4x5 − 7x4 + 3x3) (2x3)
0.2b 3c 2 por 0.3b 6 c 2 + 0.75b 5c 3 − 0.53b 4 c 4
e)
Solución:
( 4 x − 7 x + 3x )( 2x ) =
= ( 4 x )( 2 x ) + ( −7 x )( 2 x ) + ( 3 x )( 2 x )
= 8 x + ( −14 x ) + 6 x
5
Actividad
4
5
3
3
8
3
4
7
3
3
Multiplicación de polinomio
por polinomio
3
6
= 8 x 8 − 14 x 7 + 6 x 6
Ejemplo 16
Multiplica: 3 x a +2 y b +1 − 5 x a +3 y b +2 − 6 x a y b por −2 x 2 y 3
Solución:
Ahora que ya sabes multiplicar monomio por
polinomio, podrás efectuar polinomio por polinomio
siguiendo el mismo proceso.
Ejemplo 17
Un pedazo de cartón tiene las dimensiones que
aparecen en el dibujo, encuentra su superficie.
3 x a +2 y b +1 − 5 x a +3 y b +2 − 6 x a y b
Por
−2 x 2 y 3
x −3
−6 x a + 4 y b + 4 + 10 x a +5 y b +5 + 12 x a +2 y b +3
Observa
Para multiplicar un polinomio con un monomio, se
multiplica cada uno de los términos del polinomio
por el monomio.
3x  4
Solución:
A = bh
En este caso es: A = ( x − 3 )( 3 x + 4 )
Para realizar la operación coloca los polinomios en
forma vertical y aplica la propiedad distributiva:
por
3x ( x − 3)→
4 ( x − 3)→
x −3
3x + 4
3x 2 − 9x
+ 4 x − 12
3 x 2 − 5 x − 12
86
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1
Observa
Proceso:
Se multiplica cada uno de los términos del segundo
polinomio por todos los términos del primero,
colocando los productos de modo que los términos
semejantes queden en columna para facilitar la suma.
Ejemplo 18
2
2
3
Multiplica: 5a − 4 + 6 a por 2a − 3a + 4 a
Solución:
Nota que los polinomios no están ordenados, entonces
primero se deben ordenar, en general se hace en forma
descendente, es decir de mayor a menor exponente:
Por
−3a ( 6 a + 5a − 4 )
3
6 a + 5a − 4
−3a 3 + 2a 2 + 4 a
−18a 5 −15a 4 +12a 3
2
2a 2 ( 6 a 2 + 5a − 4 )
4 a ( 6 a 2 + 5a − 4 )
Ejemplo 19
+12a 4 +10a 3 − 8a 2
+ 24 a 3 + 20a 2 −16 a
−18a 5 − 3a 4 + 46 a 3 +12a 2 −16 a
Efectúa: ( 4 x − 6 x )( 8 x − 4 x − 6 x + 5 x
2
5
4
3
2
)
Solución:
La multiplicación cumple con ser conmutativa, podemos
cambiar el orden de los factores:
8x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 + 5x 2
por
3
Actividad
2
Efectúa las siguientes multiplicaciones:
2
1
1
a)  x − y   x + y 
3

5  3
b)
( 5ab
c)
(m
d)
( 7 x − 4 )( −3 x 2 − 8 x + 6 )
e)
(3 y
2
2
+ b )( 4 a − 3ab )
− 3m + 2 )( 2m − 5 )
3
− 5 y 2 + 6 y − 8 )( 2 y 2 − 7 y + 5 )
f) ( 2m 2 x +1 − 8m 2 x + 2 + 7 m 2 x +3 )( −3m 3 x −1 + 5m 3 x − 2 + m 3 x −3 )
4x 2 −6x
4 x 2 (8 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 + 5 x 2 ) 32 x 7 −16 x 6 − 24 x 5 + 20 x 4
−6 x (8 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 + 5 x 2 )
− 48 x 6 + 24 x 5 + 36 x 4 − 30 x 3
32 x 7 − 64 x 6 + 0
+ 56 x 4 − 30 x 3
Por lo tanto el resultado es: 32x7 − 64x6 + 56x4 − 30x3
Punto de apoyo
0 -2 y 0 0 no esta definido. En general 0n con “n”
negativo o cero no está definido es indeterminado.
Resumen
Para a ,b ∈R , m , n ∈Z se cumplen las siguientes leyes de
los exponentes, para las potencias que estén definidas:
a m .a n = a m +n a m m −n
b) n = a
si a ≠ 0 a
a)
c)
(a )
m n
d)
a m b m = ( ab )m
e)
am
a
=
 
b
bm
m
= a mn
Octavo Grado - Matemática
87
UNIDAD 1
Autocomprobación
4
Berta tiene 3x + 5y – 4 mangos, si María tiene
4x veces los que tiene Berta. La expresión que
representa la cantidad de mangos que tiene es:
a)
3
4
Si efectúas ( 5m ) ÷ ( 5m ) el resultado es:
a)
( 5m )7 b)
5m 1
( 5m )−1
1
d)
5m
c)
Efectúa el producto 3 x 5 − 4 x 4 + 8 x 3 por 2 x − 8
El resultado es:
6 x 6 + 28 x 5 + 64 x 3
6
5
4
3
b) 5 x +15 x + 20 x − 16 x
6
5
4
3
c) 6 x − 32 x + 48 x − 64 x
a)
12 x + 20 xy − 16 x
2
12 x 2 + 5 y − 4
c) 12 x 2 + 20 xy + 16 x
d) 3 x + 5 y − 16 x
b)
d)
6 x 6 + 20 x 5 − 64 x 3
1. d.
2
3
2
Soluciones
1
 6 2
Si desarrollas aplicando propiedades   
 10  
obtienes:
9
36 a)
c)
25
100
1296
162
b)
d)
10 ,000
625
2 . a.
3. d.
4. c.
DESCARTES Y EL ÁLGEBRA
En 1982 G.H. Nesselman, para estudiar el desarrollo
histórico de la notación algebraica, dividió su
evolución en tres períodos: álgebra retórica, álgebra
sincopada y álgebra simbólica.
En el álgebra simbólica se encuentra nuestro
simbolismo actual. El matemático francés Fracois
Viete, propuso en su obra In artem analyticam
isagoge, publicada en 1591, los principios
fundamentales del álgebra, usar letras vocales
para representar variables y consonantes para
constantes, desarrollando con esta nomenclatura los
algoritmos algebraicos. La costumbre actual de usar
las últimas letras del alfabeto para variables y las
primeras para constantes fue introducida por otro
matemático francés René Descartes en 1637.
René Descartes
88
Matemática - Octavo Grado
Lección 5
Primera Unidad
Productos notables
Motivación
J
osé tiene una fotografía de forma cuadrada cuyos lados miden x + y,
quiere saber cuál es el área de la superficie.
Como recordarás para encontrar el área de un cuadrado multiplicas
lado por lado, en nuestro caso:
( x + y ) = ( x + y )( x + y )
2
Lo cual corresponde geométricamente al área de un cuadrado.
Indicadores de logro:
Deducirás, explicarás y aplicarás los productos notables.
El cuadrado de la suma de dos términos
x
y
y
Observa las siguientes figuras:
( x + y ) = ( x + y )( x + y ) y al efectuar la operación:
2
por
Observa
x+ y
x+ y
x 2 + xy
+ xy + y 2
x 2 + 2 xy + y 2
Esto significa que: ( x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2
2
El cuadrado de la suma de dos términos es
igual a:
El cuadrado del primer término más el doble
producto del primero por el segundo más el
cuadrado del segundo término.
A esto se le llama cuadrado de la suma de dos términos.
Octavo Grado - Matemática
89
UNIDAD 1
Ejemplo 1
Encuentra el producto de ( 3m + 2n )2 aplicando la regla del cuadrado de la suma de
dos términos:
Solución:
( 3 m + 2 n )2
( 3 m )2
=
Cuadrado de
la suma de dos
terminos
2( 3m )( 2n )
+
Doble producto
del 1º por el 2º
Cuadrado
del 1º
+
( 2 n )2
Cuadrado
del 2º
9m 2 + 12mn + 4 n 2
=
Ejemplo 2
1
2
Escribe el resultado de:  m 2 + n 3 
5
3 
Solución:
2
2
2
 1 2 2 3  1 2
 1 2  2 3  2 3
 m + n  =  m  + 2  m   n  +  n 
5
3
5
5
3
3
Cuadrado de
la suma de dos
términos
Doble producto
del 1º por el 2º
Cuadrado
del 1º
=
Ejemplo 3
2
Cuadrado
del 2º
1 4 4 2 3 4 6
m + mn + n
25
15
9
Escribe el desarrollo de: ( 2 x 4 y + 5 x 3 y 2 )
2
Solución:
( 2x
4
y + 5 x 3 y 2 ) = ( 2 x 4 y ) + 2( 2 x 4 y )( 5 x 3 y 2 ) + ( 5 x 3 y 2 )
2
2
2
= 4 x 8 y 2 + 20 x 7 y 3 + 25 x 6 y 4
1
Actividad
Efectúa el desarrollo de los siguientes cuadrados:
90
Matemática - Octavo Grado
a)
(x
b)
(3a
c)
( 5m 3 n 2 + 2m 2 n 3 ) 3
+ 5 ) 2
5
+ 4b
2
) 2
2
d)
( 2x
2
+ 3 y 3 ) 2
2
1 
3
e)  a 2 + b 2  5
3 
2
f)
 1 −2 2   x + y 
9
3
g)
2 3 3 2 
 m n + m n 
3
5
a +2
a +1
h) ( x + y )
2
i) Escribe el área de un
cuadrado cuyo lado
mide 4 x + 3
2
UNIDAD 1
El cuadrado de la diferencia de dos términos
Rosa tiene un lienzo de tela de forma cuadrada, cuyos
lados miden "x". Lo quiere para cubrir un espacio
también cuadrado, pero el lienzo de tela es más grande,
por lo que decide cortar una parte, si la parte que corta
es "y"; entonces el lienzo medirá x − y, ¿cuál es su área?
Solución:
Ejemplo 4
Efectúa:
(3x
(3x
2
2
x− y
x− y
Efectúa:
− xy + y
x − 2 xy + y 2
Esto significa que:
=
x2
(x − y)2
 3 5 1 4
 a − a 
4
6
2
Solución:
2
2
2
−
Cuadrado
del 1º
2xy
y2
+
Doble
producto del
1º por el 2º
Cuadrado
del 2º
2
2
 3 5 1 4
 3 5
 3 5 1 4  1 4
a
−
a

 =  a  − 2  a   a  +  a 
4
6 
4
4
6
6
=
R: El área del lienzo de tela es x2 − 2xy + y2
x-y
y
y (x − y)
y²
(x − y)²
x
y (x - y)
x-y
y
y
2
Verifica que el resultado es el mismo obtenido
anteriormente.
simplificar
2
Actividad
Encuentra el desarrollo de los siguientes cuadrados:
2
1 

a)  3a − b  
4 
b)
Al observar las áreas se tiene:
9 10 6 9 1 8 Hay una fracción
a − a + a que se puede
16
24
36
9
1
1
= a 10 − a 9 + a 8
16
4
36
Ahora, geométricamente tenemos:
(x − y) = x − 2y(x − y) − y
2
Ejemplo 5
x 2 − xy
2
2
= 9 x 4 − 36 x 2 y + 36 y 2
( x − y ) = ( x − y )( x − y )
2
2
− 6 y ) = ( 3 x 2 ) − 2( 3 x 2 )( 6 y ) + ( 6 y )
2
Cuadrado de
la diferencia de
dos terminos
−6 y)
Solución:
Rosa encuentra el área efectuando el producto:
por
2
(6 x
2
d)
( 2a
x +1
− 7b y −2 )
2
y − 5 x 3 y 2 ) e) ( 7 m 3 n 2 − 8m 4 n 3 )
2
2
2
2
1 
1
c)  a 5b − a 4b  f) ( 5 x a +b − 8 y 2 a +b )
3
5 
Octavo Grado - Matemática
91
UNIDAD 1
El cubo de la suma de dos términos
Asociando los dos primeros factores tienes:
De acuerdo con la ilustración, para encontrar
el volumen del cubo tienes:
( x + y ) = ( x + y ) ( x + y ) . Y como ya sabes que
( x + y ) = x + 2xy + y entonces faltaría que
multipliques por ( x + y ) . Así:
( x + y ) = ( x + 2xy + y )( x + y ) o sea:
3
2
2
2
3
2
2
x 2 + 2 xy + y 2
y
x
+
por
x+y
2
x 3 + 2 x 2 y + xy 2
( x + y ) = ( x + y )( x + y )( x + y )
3
+ x 2 y + 2 xy 2 + y 3
x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3
Observa
El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo del primer término, más tres veces
el producto del cuadrado del primer término por el segundo, más tres veces el primer
término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo 6
Desarrolla: ( 3m + 2n )
3
Solución:
( 3m + 2n )3 ( 3m )3 + 3( 3m )2 ( 2n ) + 3( 3m )( 2n )2 + ( 2n )3
=
Cubo de la suma
de dos términos
Cubo del 1.º
Tres por el cuadrado
del 1.º por el 2.º
Tres por el 1.º por
el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
27m3 + 54 m2n + 36mn2 + 8n3
=
Ejemplo 7
2
1
Efectúa utilizando la regla:  x 4 + y 5 
3
2 
3
3
3
2
2
3
 2 4 1 5  2 4
 2 4  1 5
 2 4  1 5 +  1 5
x
+
y
x
3
x
y
=
+
+
 3  x   y 


 

 
 y 
3
2  3 
3  2 
3
2
2
Cubo
del 1.º
Cubo de la suma
de dos términos
92
Tres por el cuadrado
del 1.º por el 2.º
=
8 12 12 8 5 6 4 10 1 15
x + x y + x y + y
27
18
12
8
=
8 12 2 8 5 1 4 10 1 15
x + x y + x y + y
27
3
2
8
Matemática - Octavo Grado
Tres por el 1º por
el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
UNIDAD 1
Ejemplo 8
Desarrolla: ( 4 a 2 + 5b 3 )
3
Solución:
( 4a
2
+ 5b 3 ) = ( 4 a 2 ) + 3( 4 a 2 ) ( 5b 3 ) + 3( 4 a 2 )( 5b 3 ) + ( 5b 3 )
3
3
2
3
2
= 64 a 6 + 240a 4b 3 + 300a 2b 6 + 125b 9
3
Actividad
Encuentra el resultado al desarrollar el cubo que se indica en cada expresión:
3
1 
1
5
4 3
a) ( 2a + b )3 c)  m 2 + n 3  e) ( 4 m + 2n )
3
2 
b)
(3x
+ y) 3
2
d)
( 5x
2
y + 2 xy 2 ) 3
f)
( 2m
x
+ 3n 2 x )
3
El cubo de la diferencia de dos términos
Roberto tiene una caja de forma cúbica que mide de arista x.
La quiere introducir en otra de la misma forma pero es más pequeña, entonces decide cortarle a cada
dimensión "y" unidades. ¿Cuál es el volumen de la caja más pequeña?
Algebraicamente esto corresponde a:
(x − y ) =(x − y ) (x − y )
( x − y ) = ( x − 2xy + y )( x − y )
3
2
3
2
Observa
2
El cubo de la diferencia de dos términos es igual a:
El cubo del primer término, menos tres veces el
producto del cuadrado del primero por el segundo,
más tres veces el primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo.
x 2 − 2 xy + y 2
x
−y
Por
x 3 − 2 x 2 y + xy 2
− x 2 y + 2 xy 2 − y 3
x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
Compara con el cubo de la suma, ves que la diferencia son sus signos, entonces tenemos que:
(x − y )
3
Cubo de la
diferencia de
dos términos
=
x3 −
Cubo del 1.º
3 x 2 y +
Tres por el
cuadrado del
1.º por el 2.º
y3
3 xy 2 −
Tres por el 1.º por
el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
R: El volúmen de la caja más pequeña es (x3 − 3x2y + 3xy2 − y3) unidades cúbicas.
Octavo Grado - Matemática
93
UNIDAD 1
Ejemplo 9
1
2
Desarrolla:  m 3 − n 2 
3
5 
3
Solución:
2
3
2
3
3
 1 3 2 2  =  1 m 3  − 3  1 m 3   2 n 2  + 3  1 m 3   2 n 2  −  2 n 2 






 

 m − n  
3  5  5 
3  5 
3 
3
5
Cubo de la
diferencia de
dos términos
Cubo del 1.º
Tres por el 1.º por el
cuadrado del 2.º
Tres por el cuadrado
del 1.º por el 2.º
Cubo del 2.º
3
 1 3 2 2  = 1 m 9 − 2 m 6 n 2 + 4 m 3n 4 − 8 n 6
 m − n 
27
15
25
125
3
5
Ejemplo 10
Desarrolla: ( 2a − 3b )
3
Solución:
( 2a − 3b )3 = ( 2a )3 − 3( 2a )2 ( 3b ) + 3( 2a )( 3b )2 − ( 3b )3
= 8a 3 − 36 a 2b + 54 ab 2 − 27b 3
4
Actividad
Encuentra el resultado al desarrollar el cubo que se indica en cada expresión:
a)
(3x 5 y 4 − 4 x 3 y 2 ) 3
c)
( 2a
d)
( 7m n
3
3 
1
b)  m − n  3
4 
m
− 5a n ) 3
3 2
− 5mn 4 ) 3
e)
 3 7 2 6
 b − c 
5
7
f)
(x
a +b
3
− y b +c )
3
El producto de la suma de dos términos por su diferencia
Son Productos de la forma: ( x + y )( x − y )
Encontremos este producto:
por
x+ y
x− y
x 2 + xy
− xy − y 2
x2 − y2
Observa
El producto de la suma de dos términos por su
diferencia, ( x + y )( x − y ) es igual a la diferencia de
los cuadrados de ambos términos. Es decir: x 2 − y 2
Ejemplo 11
Efectúa el producto: ( 3 x − 2 y )(3 x + 2 y )
Solución:
( 3 x − 2 y )( 3 x + 2 y ) = ( 3 x ) − ( 2 y )
2
= 9x 2 − 4 y 2
94
Matemática - Octavo Grado
2
UNIDAD 1
Ejemplo 12
1
2
1
2
Efectúa el producto:  a 3 − b 2   a 3 + b 2 
2
3  2
3 
Solución:
2
 1 3 2 2  1 3 2 2  1 3  2 2
 a − b   a + b  =  a  −  b 
2
3
2
3
2
3
1 6 4 4
= a − b
4
9
2
Ejemplo 13
Encuentra el producto de: ( 2 x m +1 + 3 y m −2 )( 2 x m +1 − 3 y m −2 )
Solución:
( 2x
m +1
+ 3 y m − 2 )( 2 x m +1 − 3 y m − 2 ) = ( 2 x m +1 ) − ( 3 y m − 2 )
2
5
Actividad
2
Encuentra el resultado de los siguientes productos
indicados:
a)
( 5a + 3b )( 5a − 3b )
b)
(3x
c)
1  1
1 
1
 m + n   m − n 
2
6
2
6
5
− 4 y 4 )( 3 x 5 + 4 y 4 )
d)
( 2a b − 7a b )( 2a b + 7a b )
e)
 3 2 2 3  3 2 2 3
 a + b   a − b 
4
5
4
5
f)
( 2m
= 4 x 2( m +1) − 9 y 2( m − 2) = 4 x 2 m + 2 − 9 y 2 m − 4
4
2x
5 2
4
5 2
− 3n x +1 )( 2m 2 x + 3n x +1 )
Resumen
Nombre
Expresión
El cuadrado de la suma
de dos términos.
(x + y )
2
= x 2 + 2 xy + y 2
El cuadrado de la
diferencia de dos
términos.
(x − y )
2
= x 2 − 2 xy + y 2
El cubo de la suma de
dos términos.
(x + y )
3
= x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3
El cubo de la diferencia
de dos términos.
(x − y )
= x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
El producto de la suma
de dos términos por su
diferencia.
( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
3
Regla
El cuadrado de la suma de dos términos es igual a: el
cuadrado del primer término más el doble producto
del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo término.
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual
a: el cuadrado del primer término menos el doble
producto del primero por el segundo más el cuadrado
del segundo término.
El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo
del primer término más tres veces el producto del
cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el
primero por el cuadrado del segundo más el cubo
del segundo.
El cubo de la diferencia de dos términos es igual a: el
cubo del primer término menos tres veces el producto
del cuadrado del primero por el segundo más tres veces
el primero por el cuadrado del segundo menos el cubo
del segundo.
El producto de la suma de dos términos por su
diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de
ambos términos.
Octavo Grado - Matemática
95
UNIDAD 1
Autocomprobación
2
3
a)
9x2 – 30xy – 25y2
b) 9x2 – 25y2
c) 9x2 – 8xy + 25y2
d) 9x2 – 30xy + 25y2
( 2a
2
+ 5b 4 ) es igual a:
3
8a 6 + 120a 4b 4 + 750a 2b 8 + 125b 12
6
4 4
2 8
12
b) 6 a + 30a b + 30a b + 125b
a)
8a 6 + 60a 4b 4 + 150a 2b 8 + 125b 12
d) 6 a 6 + 60a 4b 4 + 150a 2b 8 + 125b 12
c)
4
a)
1 2 1
1
1
1
1
x + xy + y 2 c) x 2 + xy + y 2
4
6
9
4
3
9
b)
1 2 1 2
x + y 4
9
d)
1 2 1
1
x + xy + y 2
4
3
6
Efectua ( 0.3m 2 − 0.7 n 2 )( 0.3m 2 + 0.7 n 2 )
0.09m 4 − 0.49n 4
b) 0.9m 4 − 0.49n 4
c) 0.9m 4 − 4.9n 4
2
2
d) 0.09m − 0.49n
a)
2. c.
2
2
1 
1
 x + y  es igual a:
2
3
1. d.
Al efectuar ( 3 x − 5 y ) se obtiene:
Soluciones
1
3. c.
4. a.
LAS FÓRMULAS Y EL ÁLGEBRA
Las fórmulas son expresiones algebraicas
que mediante la utilización de las propiedades
conmutativa y distributiva de los números reales,
nos permiten obtener las relaciones que generan
las operaciones de suma, resta, multiplicación,
división, potenciación, etc.
No se sabe con certeza quien las descubrió,
sin embargo algunas culturas antiguas ya las
utilizaban, por ejemplo los babilonios, en sus
tablillas, con escritura cuneiforme, aparecen
algunas como:
( a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
96
Matemática - Octavo Grado
Solucionario
Lección 1
Lección 3
Actividad 1
Actividad 1
1. a) Racional d) Irracional
b) Racional e) Racional
c) Irracional f) Irracional
g) Racional
h) Irracional
1. a) Grado absoluto : 5o
Grado relativo respecto a x: 5o
b) Grado absoluto: 7o
2. C = πd = 3.1416 (22 cm) = 69.12 cm
Relativo respecto a a: 5o y respecto a b : 4º
Actividad 3
c) Grado absoluto: 12o.
2. a) 5 > 5 b) 20 < 7 c)
Actividad 4
a) Racional
b) Racional c) Racional d) Racional
e) Racional.
f) Racional
g) Irracional
h) Racional
i) Irracional
j) Racional
7
>π
2
k) Racional
l) Racional
m) Irracional
n) Irracional
o) Racional
Relativo respecto a m, 8º y respecto a n : 5º
Actividad 2
a) –7
d) –94
1 1
> 2 5
e) 2 > 2 c)
−9 > −15
−8 < 2
f)
4 >π
d)
6
5
d) 5.84
m 4 n − 6 mn 4 + 6 n 5
9
3
2
4
e) x 2 y + xy 2 − y + y 3
8
2
3
9
0.33 x 3 + 0.2 x 2 − 0.44 x
b − 25a 2b 2 − 3ab 3
1
1
1
c) m 3 + m 2 + m
4
4
6
m +1
m +2
− 2 x + 2 x m +3
d) −4 x
b) 38 m
3
b) 43.5
c) 48.66666….
Actividad 5
e) 2.25
f) −30.75
a)
−5m 2 + 7 mn − 4 n 2 c)
8a − 17
b)
− x + 7 y d)
b +8
Actividad 4
a) 133 globos.
−3a 5 − 4 a 4 + 4 a 3 − 5a 2 + 5a
b) 17a
Actividad 3
a)
b)
d)
a)
b) $7.39
Actividad 2
a) 34 km
2 x 4 + 8 x 3 + 11x + 5
Actividad 4
Actividad 1
11
15
a)
c) 11b 3 + 2b − 14bc + 6 c 3
Lección 2
a)
c) –166
f) 4
Actividad 3
Actividad 5
2. a) 3.36 < 3.63 b)
b) 92
e) 6
b) 16
c) –14
Octavo Grado - Matemática
97
Solucionario
Lección 4
Actividad 2
1
3
9a 2 − ab + b 2
2
16
4 2
5 3
6 4
b) 36 x y − 60 x y + 25 x y
1
2
1
c) a 10b 2 − a 9b 2 + a 8b 2
9
15
25
2 x +2
− 28a x +1b y −2 + 49b 2 y − 4
d) 4 a
Actividad 1
a)
1. a) 1 b) m −1 c) x −3 y −3 d)
(x + y ) a
3
3
a 15
= a 25
−10
a
3
3
5 ×2
125 × 8 1000
j) 3
=
=
3
3 × 7 27 × 343 9261
e)
b 2 f) 3a 5 g) 1
i)
a 12
m 12
Actividad 2
h)
4 m n − 24 m n − 32m n + 8mn − 20 mn
11
10
9
8
7
4
b) −21b c + 14b c − 35b c − 56b c + 42b c − 14b c
3 x 3 x +1
+ 9a 3 x +1b 4 x − 15a 3 x +2b 4 x +1
c) −6 a b
d) −5 x 7 y 3 − 35 x 6 y 5 + 30 x 5 y 4 + 15 x 4 y 3
e) 0.06b 9c 4 + 0.15b 8c 5 − 0.106b 7 c 6
a)
6 4
3 5
2 6
7
4
Actividad 3
2 2 3
1
x + xy − y 2
9
5
5
2 2
2 3
b) 20a b − 15a b + 4 ab − 3ab 2
a)
c)
2m − 11m + 19m − 10
d)
−21x 3 − 44 x 2 + 74 x − 24
e)
6 y 5 − 31 y 4 + 62 y 3 − 83 y 2 + 86 y − 40
f)
−39m 5 x + 59m 5 x +1 + 2m 5 x −1 − 21m 5 x +2 + 2m 5 x −2
3
2
Lección 5
b)
9a 10 + 24 a 5b 2 + 16b 4
c)
25m 6 n 4 + 20 m 5 n 5 + 4 m 4 n 6
d)
4 x 4 + 12 x 2 y 3 + 9 y 6
1
4
4
9 4 2 2 2 1 4
e)
a + a b + b f) x −4 + x −2 y + y 2
81
27
9
25
5
9
4 6 2 4 5 2 9 4 2
g) m n + m n + m n
9
5
25
2a + 4
+ 2 x a +2 y a +1 + y 2a +2 i) 16 x 2 + 24 x + 9
h) x
98
49m 6 n 4 − 112m 7 n 5 + 64 m 8 n 6
f)
25 x 2a +2b − 80 x a +b y 2a +b + 64 y 4 a +2b
Actividad 3
a)
8a 3 + 12a 2b + 6 ab 2 + b 3
27 x 6 + 27 x 4 y + 9 x 2 y 2 + y 3
1 6 1 4 3 1 2 6 1 9
c)
m + m n + mn + n
27
6
4
8
d) 125 x 6 y 3 + 150 x 5 y 4 + 60 x 4 y 5 + 8 x 3 y 6
b)
e)
64 m 15 + 96 m 10 n 4 + 48m 5 n 8 + 8n 12
f)
8m 3 x + 36 m 2 x n 2 x + 54 m x n 4 x + 27 n 6 x
Actividad 4
27 x 15 y 12 − 108 x 13 y 10 + 144 x 11 y 8 − 64 x 9 y 6
1 3 1 2
9
27
b)
m − m n + mn 2 − n 3
27
4
16
64
3m
2 m +n
m +2 n
c) 8a − 60a
+ 150a
− 125a 3 n
a)
343m 9 n 6 − 735m 7 n 8 + 525m 5 n 10 − 125m 3 n 12
27 21 54 14 6 36 7 12 8 18
e)
b −
b c +
bc −
c
125
175
245
343
f) x 3 a +3b − 3 x 2 a + 2b y b +c + 3 x a +b y 2b + 2 c − y 3b +3 c
d)
Actividad 1
6
3
a) x + 10 x + 25 e)
Matemática - Octavo Grado
Actividad 5
a)
25a 2 − 9b 2 b)
9 x 10 − 16 y 8 c)
1 2 1 2
m − n 4
36
4 a 8b 2 − 49a 10b 4
9 4 4 6
e)
a − b
16
25
d)
f)
4 m 4 x − 9n 2 x + 2
Proyecto
Un dueño de finca era aficionado a la matemática. Al morir deja de herencia su finca a
sus cuatro hijos. Les dice que las dimensiones de la finca son (3x + 2y) en cada uno de
sus lados. Les pide a sus hijos que:
a) Expresen el área de la finca en función de x e y.
b) Calculen el área de la finca dado que x = 2.5 km, y = 3.0 km
c) Repartan el terreno de tal manera que al primero le corresponda 5x2 , al segundo
le corresponda 10xy, al tercero 4y2, y al cuarto (4x2 + 2xy).
d) ¿Estarías de acuerdo con la repartición anterior, sabiendo que x = 2.5 km
y = 3.0 km?
e) Si no estás de acuerdo con la repartición anterior, ¿cómo lo harías tú?
Octavo Grado - Matemática
99
Recursos
Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. Talleres Gráficos UCA, San
Salvador, El Salvador, 2007, 219p
Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial
Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.
Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones
Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial
McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p.
Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA
Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p
Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México
1991, 626p.
100 Matemática - Octavo Grado