Arbitraje y Valoración de Activos Financieros Resumen

Arbitraje y Valoración de Activos Financieros
Julio G. Villalón
Josefina Martínez Barbeito
Casa de la Galería, s/n
Campus de Elviña
15071 A Coruña
E-mail: g.villalon@tera.es
barbeito@six.udc.es
Resumen
Una oportunidad de arbitraje, es una estrategia de inversión que garantiza un
resultado positivo con respecto a cierta contingencia con ninguna posibilidad de obtener
un resultado negativo y sin realizar inversión alguna.
Todos los métodos de valoración de activos derivados utilizan la noción de
arbitraje. Los precios de los activos se obtienen en condiciones tales que evitan
oportunidades de arbitraje. En los “métodos de valoración equilibrio”, la ausencia de
oportunidades de arbitraje es parte de las condiciones de equilibrio general.
Las oportunidades de arbitraje pueden surgir de dos formas diferentes. En la
primera, se puede hacer una sucesión de inversiones sin ninguna obligación actual y
esperar obtener un beneficio positivo. En las oportunidades de arbitraje “segunda clase”,
una cartera puede asegurar una comisión neta negativa hoy, mientras que proporciona
beneficios no negativos en el futuro.
Por nuestra parte, después de hacer referencia a los siguientes aspectos: precios
de los activos y estados de la naturaleza; rendimientos y desembolsos; consideramos el
Teorema de Arbitraje y se propone una generalización.
Palabras clave:
Oportunidades de arbitraje, valoración de activos derivados, métodos de valoración
equilibrio, Teorema de arbitraje, MEDAF, CAPM, inversor alcista, inversor bajista,
cartera de arbitraje, martingala, Ecuaciones Diferenciales Estocásticas.
1. Introducción
La teoría arbitraje de valoración de activos la desarrolló Ross [7,8,9] como una
alternativa al Modelo de Equilibrio de Activos Financieros (MEDAF), de versión
anglosajona Capital Asset Pricing Model (CAPM), cuya conclusión principal es que la
cartera de mercado es eficiente media-varianza. Su consideración formal implica la
siguiente notación. Un determinado activo i tiene de rendimiento medio Ei y la cartera
de mercado tiene de rendimiento E m y varianza σ m2 . La covarianza entre el rendimiento
del activo i y el rendimiento de la cartera de mercado es σ im y el tanto de interés sin
riesgo r. El MEDAF afirma que
Ei = r + λ bi
(1.1)
donde λ = E m − r
(1.2)
y
bi = σ im σ m2
es el “coeficiente beta” del activo i.
La normalidad de los rendimientos de los activos de capital o bien las preferencias
cuadráticas de sus poseedores son las hipótesis que conducen a la (1.1) y (1.2). Teórica
y empíricamente es difícil justificar las hipótesis del MEDAF. Además, el MEDAF es
criticado debido a su dudoso contenido. La cartera de mercado es prácticamente no
observable y una declaración respecto a la cartera de mercado (tal como el MEDAF) es
difícil de contrastar empíricamente. Sin embargo, la relación lineal (1.1) es aplicable por
su simplicidad y por sus fáciles interpretaciones. El Modelo de Valoración fundado en
el Arbitraje (MVA, cuya versión anglo-sajona es “Arbitrage Pricing Theory”, APT), es
un modelo alternativo a las teorías media-varianza, alternativa que implica una relación
aproximadamente lineal como la (1.1).
La principal ventaja del Modelo de Valoración mediante arbitraje (MVA) de Ross es
que su contrastabilidad empírica no depende del conocimiento de la cartera de mercado.
Desgraciadamente, el análisis de Ross no es fácil de seguir. No suministra una
definición explícita de arbitraje y su demostración implica hipótesis respecto a las
preferencias de los agentes así como hipótesis de “no arbitraje”.
2. Precios de los Activos
El índice t representa el tiempo. Los títulos (valores) tales como opciones, futuros,
contratos a plazo y mercancías se representan mediante un “vector” de precios de los
títulos denotado por S t :
 S1 (t ) 

(2.1)
S t = 

 S N (t )
S1 (t ) , puede significar pedir prestado o prestar sin riesgo; S 2 (t ) , puede denotar
un título particular; S 3 (t ) , una opción call suscrita sobre este título, S 4 (t ) , la
correspondiente opción put y así sucesivamente. El subíndice t en S t indica que los
2
precios pertenecen al momento representado por el valor de t. En los precios de los
títulos tiempo “discreto” se puede expresar como S 0 , S1 , … , S t , S t +1 , … . Ahora bien, en
tiempo continuo el subíndice t puede tomar cualquier valor entre cero e infinito, es decir
t ∈ [0, ∞ ) .
(2.2)
En general, 0 denota el “momento inicial” y t el momento “presente”. Si
escribimos
t<s
(2.3)
indicamos que s es un momento “futuro”.
3. Estados de la Naturaleza
Denotamos por W el conjunto de todos los posibles “estados de la naturaleza”:
 w1 
(3.1)
W =  
 wk 
donde cada wi , representa un resultado que puede acontecer. Estos estados son
“mutuamente excluyentes” y, al menos, está garantizado que puede acaecer uno de
ellos.
En general, los activos financieros tendrán valores diferentes y proporcionarán
resultados diferentes en estados de la naturaleza diferentes wi . Suponemos que hay un
número finito k de tales posibles estados.
4. Rendimientos y Desembolsos
Los estados de la naturaleza wi , debido a que en diferentes estados de la naturaleza
los rendimientos de los títulos serían diferentes. Denotamos por d ij el número de
unidades monetarias pagadas por unidad del título i en el estado j. Estos “desembolsos”
tendrán dos componentes.
El primer componente es las ganancias o pérdidas de capital. Los valores de activos
apreciados o no apreciados. Para un inversor que es “alcista” respecto al título, una
apreciación conduce a una ganancia de capital y una depreciación a una pérdida de
capital. Para los que son “bajistas” respecto al activo, las ganancias y pérdidas de capital
serán inversas.
El segundo componente de la d ij son “desembolsos” tales como dividendos o pagos
de cupones. Algunos activos no tienen tales desembolsos, por ejemplo las opciones call
y put y las obligaciones actualizadas entre otros. Pero otros tienen desembolsos, aparte
de los títulos que pagan dividendos y cupones, por ejemplo, la inversión en futuros. La
práctica de “operar en el mercado” conduce a desembolsos diariamente para el poseedor
de un contrato. Sin embargo, en el caso de futuros estos desembolsos pueden ser
positivos o negativos.
3
La existencia de varios activos, junto con la hipótesis de muchos estados de la
naturaleza significa que para cada activo hay varios posibles d ij . Utilizamos el cálculo
matricial para representar tales ordenaciones.
Así, para los N activos en consideración, los desembolsos d ij se pueden representar
matricialmente mediante una matriz
d 11 … d1k 

(4.1)
D Nk = 

d N 1 … d Nk 
donde cada fila representa los desembolsos por unidad de un determinado título en los
diferentes estados de la naturaleza y cada columna representa los pagos a diferentes
activos en un determinado estado de la naturaleza.
Si los precios actuales de todos los activos son diferentes de cero, entonces se puede
dividir la i-ésima fila de D Nk por la correspondiente S i y obtener los “rendimientos”
brutos en los diferentes estados de la naturaleza. La D Nk , tendrá un subíndice t en el
caso de que los desembolsos dependan del tiempo.
Por otra parte, recordemos que una “cartera” es una combinación particular de
activos. Para formar una cartera se necesita conocer las posiciones adoptadas por cada
activo en consideración. El símbolo Π i , representa la obligación contractual con
respecto al i-ésimo activo, es decir, {Π i , i = 1,2,… , N } representa la cartera.
Un Π i positivo implica una posición al alza en aquel activo, mientras que un
negativo representa una posición a la baja. Si un activo no está incluido en la cartera, el
correspondiente Π i es cero.
Si una cartera proporciona el mismo resultado en todos los estados de la naturaleza,
entonces su valor se conoce exactamente y la cartera se denomina “sin riesgo”.
5. Ejemplo de Valoración de Activos
Vamos a ver un sencillo ejemplo para explicar los resultados más importantes
relativos a la valoración de activos derivados. Tratamos de ilustrar la “lógica” utilizada
en la valoración de activos derivados e introducir los “instrumentos matemáticos”
necesarios para llevar a cabo esta lógica en las aplicaciones prácticas.
Supongamos que el horizonte temporal consta de dos períodos separados por un
intervalo de longitud ∆ .
Consideramos un caso en el que el participante en el mercado está interesado
solamente en tres activos:
1. Un activo sin riesgo tal como Letras del Tesoro, cuyo rendimiento bruto hasta el
próximo período es (1 + r∆ ) . Este rendimiento es “constante” independiente del
estado de la naturaleza.
2. El segundo título es un “activo subyacente“, por ejemplo, un título S (t ) .
Supongamos que durante el pequeño intervalo ∆ , el S (t ) puede tomar solamente
4
uno de los “dos” posibles valores. S (t ) es arriesgado porque su resultado es
diferente en los dos estados posibles de la naturaleza.
3. El tercer título es un activo derivado, una opción call con prima C(t) y un precio
de ejercicio C 0 . La opción vence en el período “próximo”. Dado que el activo
subyacente tiene dos posibles valores, la opción call también tomará dos posibles
valores.
Esta estructura financiera es bastante simple. Hay 3 activos (N = 3) y dos estados de
la naturaleza (k = 2). Uno de los activos es el título subyacente; el otro es la opción. El
tercer activo es pedir prestado o prestar a un tanto fijo.
El ejemplo no es irrealista. Un comerciante que opera en tiempo real (continuo)
puede considerar tomar una posición (especulativa) en una opción particular. Si el
intervalo de tiempo considerado es “pequeño”, los precios de estos activos pueden no
cambiar más que en una subida o en un descenso. Por tanto, la hipótesis de dos estados
de la naturaleza puede ser una aproximación razonable.
Resumimos esta información mediante la notación matricial. Los precios de los
activos forman un vector S t de tres elementos
 B (t ) 
(5.1)
S t =  S (t ) 
C (t )
donde B(t) es pedir prestado o prestar sin riesgo;
S t es un título y
C(t) es el valor de la opción call suscrita sobre este título
La t indica el momento en que se aplican estos precios.
Los resultados se agrupan en una matriz Dt . Hay 3 activos, lo cual indica que la
matriz Dt tiene 3 filas. También hay dos estados de la naturaleza. Por tanto, la matriz
Dt tendrá dos columnas. La B(t) expresa pedir prestado o prestar sin riesgo. La S(t) es
arriesgado y su valor puede subir a S1 (t + ∆ ) o bajar a S 2 (t + ∆) . Finalmente, el valor
de mercado de la opción call C(t) cambiará de acuerdo con los cambios en el precio del
activo subyacente S(t). Por tanto en este caso particular la Dt vendrá dada por:
 B (t )(1 + r∆) B (t )(1 + r∆)
Dt =  S1 (t + ∆)
S 2 (t + ∆) 
C1 (t + ∆)
C 2 (t + ∆) 
donde r es el tanto de rendimiento sin riesgo.
(5.2)
6. Teorema de Arbitraje
Ahora ya podemos introducir un resultado fundamental en teoría financiera que se
puede utilizar para calcular los valores equitativos de mercado de títulos derivados. En
primer lugar, vamos a simplificar la notación. La cantidad pedida prestada y prestada al
tanto sin riesgo se selecciona por el inversor. Por tanto, siempre podemos establecer que
B(t) = 1
(6.1)
5
El tiempo que transcurre ∆ , en este caso
∆= 1
(6.2)
Entonces, el Teorema de Arbitraje se puede establecer en los términos siguientes:
Dados los S t y Dt definidos en (5.1) y (5.2) y que los dos estados tienen
probabilidades de acaecimiento positivas.
1. Si las constantes “positivas” α 1 y α 2 se pueden obtener tales que los precios de los
activos satisfagan
(1 + r ) 
 1   (1 + r )
 α 1 
 S (t )  =  S (t + 1)
(6.3)
(
1
)
S
t
+
1
2
 α 
 

2

C (t ) C1 (t + 1)
C 2 (t + 1)
entonces no hay posibilidades de arbitraje. Observemos que si 1+r > 1 , se precisa que
α 1 + α 2 < 1. Esto se obtiene de la primera fila de la ecuación matricial.
2. Si no hay oportunidades arbitraje, entonces se pueden encontrar constantes positivas
α 1 , α 2 que satisfagan la (6.3).
La relación (6.3) se denomina “representación”. No es una relación que se pueda
observar en realidad. En efecto, S1 (t + 1) y S 2 (t + 1) son “posibles” valores futuros del
activo subyacente. Solamente será observado uno de ellos – el que pertenece al estado
que se ha realizado.
¿Qué representan las constantes α 1 y α 2 ? De acuerdo con la representación
implicada por el Teorema de Arbitraje, si un título paga 1 en el estado 1 y 0 en el estado
2, entonces
S(t) = (1) α 1
(6.4)
Por tanto, los inversores están tratando de pagar α 1 unidades (ahora) por una “póliza
de seguros” que ofrece una unidad monetaria en el estado 1 y nada en el estado 2.
Análogamente, α 2 indica cuánto estarían dispuestos a pagar los inversores por una
“póliza de seguros” que pague 1 en el estado 2 y nada en el estado 1. Evidentemente,
gastando α 1 + α 2 se puede garantizar 1 unidad monetaria en el futuro
independientemente de qué estado se haya presentado. Esto es lo que expresa la primera
fila de la representación (6.3). De acuerdo con esta interpretación α 1 , α 2 se denominan
“precios de los estados”.
Respecto a la cuestión de ¿qué tipos de resultados prácticos (si existen) se obtienen
de la existencia de α 1 y α 2 ? Diremos que la representación dada por el teorema de
arbitraje es muy importante para la valoración práctica de activos.
El teorema de arbitraje proporciona un interesante método general para valorar
activos derivados.
Consideremos la representación:
(1 + r ) 
 1   (1 + r )
 α 1 
 S (t )  =  S (t + 1)
(6.5)
(
1
)
S
t
+
1
2
 α 
 

2

C (t ) C1 (t + 1)
C 2 (t + 1)
multiplicando la primera fila de la matriz dividendo Dt por el vector α 1 , α 2 obtenemos
6
1 = ( 1 + r) α 1 + (1 + r) α 2
(6.6)
Definimos:
~
~
P1 = (1 + r )α 1 y P2 = (1 + r )α 2
(6.7)
Debido a la positividad de los precios y a la (6.6)
~
~ ~
0 < Pi ≤ 1 y P1 + P2 = 1
~
Por tanto, las Pi son números positivos y suman uno. Entonces pueden ser interpretadas
como dos “probabilidades” asociadas a los dos estados considerados. Decimos
“interpretadas” porque las verdaderas probabilidades que rigen el acaecimiento de los
~
~
dos estados de la naturaleza, en general, serán diferentes de P1 y P2 . Están definidas
por la (6.7) y no suministran información directa respecto a las verdaderas
~ ~
probabilidades asociadas a los dos estados de la naturaleza. Por esta razón, P1 , P2 se
denominan probabilidades sintéticas “ajustadas al riesgo”.
{
}
Por otra parte, utilizando probabilidades ajustadas al riesgo, podemos deducir un
importante resultado para la valoración de activos.
En la representación libre de riesgo dada por la (6.5), dividimos ambos miembros de la
igualdad por el precio actual del activo y multiplicamos ambos miembros por (1 + r),
tanto de rendimiento sin riesgo bruto. Suponiendo distintos de cero los precios de los
activos, obtenemos
~ S (t + 1) ~ S 2 (t + 1)
P1 1
+ P2
= (1 + r )
S (t )
S (t )
(6.8)
~ C (t + 1) ~ C2 (t + 1)
P1 1
+ P2
= (1 + r )
C (t )
C (t )
(6.9)
En primer lugar, observamos que las relaciones tales como
S1 (t + 1)
S 2 (t + 1)
Y
(6.10)
S (t )
S (t )
son los tantos de rendimiento brutos de S(t) en los estados 1 y 2 respectivamente. Las
~
~
igualdades (6.8) y (6.9) implican que si se utilizan P1 y P2 para calcular los valores
esperados, todos los activos tendrían el mismo rendimiento esperado. De acuerdo con
~
~
este nuevo resultado “según las P1 y P2 ” todos los rendimientos esperados son iguales
al tanto de rendimiento libre de riesgo r. Resultado de amplio uso en la valoración de
activos financieros.
7. Algunas generalizaciones
Hasta ahora la estructura financiera ha sido muy sencilla. En general, tales ejemplos
sencillos no se pueden usar para valorar activos financieros reales. A continuación,
vamos a considerar algunas generalizaciones que se necesitan para lograrlo.
7
7.1 Índice temporal
Hasta ahora, hemos considerado tiempos discretos, t = 1,2,3,.... En los modelos de
valoración de activos tiempo continuo supondremos que t es continuo
t ∈ [0, ∞ )
(7.1)
En este caso, podemos considerar intervalos infinitesimales denotados por dt.
En tiempo continuo, los valores que puede tomar un activo no se limitan a dos. Hay
innumerables posibilidades y un continuo de estados de la naturaleza.
Para captar tales generalizaciones, necesitamos introducir las llamadas Ecuaciones
Diferenciales Estocásticas (EDE). Por ejemplo, los incrementos de los precios de títulos
St se pueden modelar utilizando la ecuación
dS t = µ t S t dt + σ t S t dWt
(7.2)
Donde el símbolo dSt representa un cambio infinitesimal en el precio del título;
µt St dt , es el movimiento previsto durante un intervalo infinitesimal dt y σ t St dW es
una perturbación aleatoria infinitesimal impredecible.
Por otra parte, cuando t es continuo, el factor de actualización vendrá dado por
e −δ ∆
(7.3)
donde δ es el tanto instantáneo de capitalización.
7.2 Generalización del Teorema de Arbitraje
De acuerdo con el teorema de arbitraje, si no hay posibilidades de arbitraje, entonces
hay precios estados “soporte” {α i } tales que cada precio de activo hoy es igual a una
combinación lineal de posibles valores futuros. También se verifica el recíproco. Si
existen tales precios estados (soporte), entonces no hay oportunidades de arbitraje.
Para establecer el teorema de arbitraje de forma general, empezamos por definir los
símbolos subyacentes
• Sea la matriz de resultados
d 11 … d1K 

(7.4)
Dt = 

d N 1 … d NK 
donde N es el numero total de títulos y K, el número total de estados de la naturaleza.
• Definimos una “cartera” α , como el vector columna de compromisos
financieros para cada activo
α 1 
(7.5)
α =  
α N 
En términos bursátiles, α da las “posiciones” tomadas en un cierto instante.
Multiplicando α por St , obtenemos el valor de la cartera α :
N
S t'α = ∑ S i (t )α i
(7.6)
i =1
Esta es la inversión total en la cartera α en el momento t.
•
El desembolso para la cartera α en el estado j es
∑
N
i =1
d ij α i
8
Matricialmente:
d11 … d N 1  α 1 
 
(7.7)
D ′α = 
 


d1K … d NK  α N 
Ahora podemos definir una “cartera de arbitraje” de la forma siguiente:
α , es una cartera de arbitraje, o simplemente un arbitraje, si se cumple una de las
siguientes condiciones:
1. S ′α ≤ 0 y D ′α > 0
2. S ′α < 0 y D ′α ≥ 0
De acuerdo con esto, la cartera α garantiza cierto rendimiento positivo en todos los
estados, sin embargo esta no cuesta nada comprarla. Es decir, garantiza un rendimiento
no negativo mientras que tiene un coste negativo hoy.
El teorema siguiente es la generalización de las condiciones de arbitraje discutidas
anteriormente.
1. Si no hay oportunidades de arbitraje, entonces existe un α > 0 tal que
S = Dα
(7.8)
2. Si se verifica la condición (2.1), entonces no hay oportunidades de arbitraje.
Esto significa que en una situación de libre arbitraje existen α i tales que
 S1  d11 … d1K   α 1 
 =
 
(7.9)
  
 
 S N  d N 1 … d NK   α N 
Observemos que de acuerdo con el teorema, se debe verificar
αi > 0
para todo i
si cada estado en consideración tiene una probabilidad de acaecimiento no nula.
Ahora supongamos que consideramos un tipo especial de matriz rendimiento donde
1 … 1 
d … d 
21
2K 
(7.10)
D=




d N 1 … d NK 
En la matriz D, los elementos de la primera fila son constantes e iguales a 1.
Esto implica que el rendimiento del primer activo es el mismo sin importar el estado de
la naturaleza en que se encuentre. Por tanto, el primer título es sin riesgo.
Utilizando el teorema de arbitraje y multiplicando la primera fila de D por el vector
precio estado α , obtenemos
S1 = α 1 + … + α K
(7.11)
O bien, definiendo
K
∑α
i =1
i
= α0
(7.12)
El α 0 es el “descuento en la petición de prestado sin riesgo”.
9
8. Conclusiones
El teorema de arbitraje proporciona una metodología poderosa para determinar en la
práctica valores de mercado de activos financieros. Los pasos más importantes de esta
metodología aplicada a los derivados financieros son los siguientes:
1. Obtener un modelo lo suficientemente aproximado para investigar la dinámica
del precio del activo subyacente.
2. Calcular cómo el precio del título derivado expresa el precio del activo
subyacente al vencimiento o en otros momentos.
3. Obtener las probabilidades ajustadas al riesgo.
4. Calcular los resultados esperados de los derivados al vencimiento utilizando las
probabilidades ajustadas al riesgo.
5. Actualizar esta expectativa utilizando el rendimiento libre de riesgo.
Con el fin de poder aplicar esta metodología de valoración, es necesario
familiarizarse con los siguientes tipos de instrumentos matemáticos:
En primer lugar, la noción de tiempo se necesita definir cuidadosamente. Se debe
desarrollar los instrumentos para manejar cambios en los precios de los activos durante
períodos de tiempo “infinitesimales”. Esto requiere un “análisis tiempo continuo”.
En segundo lugar, necesitamos manejar la noción de “aleatoriedad” durante tales
períodos infinitesimales. Se necesita definir cuidadosamente los conceptos tales como
probabilidad, esperanza, valor medio y volatilidad durante los períodos infinitesimales.
Esto requiere la consideración del llamado “cálculo estocástico”. Se trata de discutir la
intuición tras las hipótesis que conducen a mejores resultados en el cálculo estocástico.
En tercer lugar, necesitamos comprender cómo obtener las probabilidades ajustadas
al riesgo y cómo determinar el factor de actualización correcto. El Teorema Girsanov,
establece las condiciones según las cuales se pueden usar las probabilidades ajustadas al
riesgo. El teorema también da la forma de estas distribuciones de probabilidad.
La noción de “martingalas” es esencial para el teorema Girsanov y, por tanto, para la
comprensión de la naturaleza “neutral frente al riesgo”.
Finalmente, cuando se presenta la cuestión de cómo relacionar los movimientos de
varias cantidades entre sí a lo largo del tiempo, esto se logra utilizando ecuaciones
diferenciales en el cálculo estándar. Ahora bien, en un ambiente aleatorio se utilizan las
llamadas “Ecuaciones Diferenciales Estocásticas” (EDE).
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Bibliografía
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6. Roll, R. and Ross, S. (1980). An empirical investigation of the arbitrage pricing
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8. Ross, S.A. (1976b). The arbitrage theory of capital asset pricing. Journal of
Economic Theory. 13(3), December, pp 341-60.
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