Varios modos de convergencia Objetivos. Conocer varios modos de convergencia: convergencia uniforme, convergencia casi uniforme, convergencia casi en todas partes, convergencia respecto a la medida. Requisitos. Funciones medibles, medida. Definición de varios modos de convergencia 1. Definición (convergencia uniforme). Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones X → C y sea g : X → C una función. Se dice que fn converge uniformemente a g en el conjunto X si lim sup |fn (x) − g(x)| = 0. n→∞ x∈X X Notación: fn =⇒ g. X 2. Convergencia uniforme en términos ε–δ. Es fácil ver que la condición fn =⇒ g es equivalente a lo siguiente: ∀ε > 0 ∃k ∈ N ∀n ≥ k ∀x ∈ X |fn (x) − g(x)| < ε. 3. Definición (convergencia puntual). Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones X → R y sea g : X → R una función. Se dice que fn converge puntualmente a g (en X) si ∀x ∈ X lim fn (x) = g(x). n→∞ X Notación: fn −→ g. 4. Definición (convergencia casi en todas partes). Sea (X, F, µ) un espacio con medida, sea (fn )n∈N una sucesión en M(X, F, C) y sea g ∈ M(X, F, C). Se dice que la sucesión (fn )n∈N converge a g casi en todas partes respecto a la medida µ si µ x ∈ X : fn (x) 6→ g(x) = 0. µ-c.t.p. Notación: fn −−−−→ g. Varios modos de convergencia, página 1 de 2 5. Definición (convergencia en medida). Sea (X, M, µ) un espacio con medida, sea (fn )n∈N una sucesión de funciones M-medibles y sea g una función M-medible. Se dice µ que fn converge a g en la medida µ y se escribe fn − + g si ∀ε > 0 lim µ x ∈ X : |fn (x) − g| ≥ ε = 0. n→∞ 6. Observación (la convergencia uniforme implica la convergencia puntual). Si X X fn =⇒ g, entonces fn −→ g. 7. Observación (la convergencia puntual implica la convergencia casi en todas µ-c.t.p. X partes). Si fn −→ g y las funciones fn , g son F-medibles, entonces fn −−−−→ g. 8. Definición (convergencia casi uniforme). Sea (X, F, µ) un espacio con medida, sea (fn )n∈N una sucesión en M(X, F, C) y sea g ∈ M(X, F, C). Se dice que fn converge a µ-c.u. g casi uniforme respecto a la medida µ y se escribe fn ===⇒ g, si X\E ∀η > 0 ∃E ∈ F µ(E) ≤ η ∧ fn ===⇒ g . Luego vamos a demostrar algunas relaciones entre varios modos de convergencias: 9. Relaciones entre varios modos de convergencia. en el caso µ(X) < +∞ en general X fn =⇒ g X fn =⇒ g µ-c.t.p. fn ===⇒ g fn −→ g µ-c.u. fn ===⇒ g fn −−−−→ g X X fn −→ g µ-c.u. µ-c.t.p. fn −−−−→ g uc bs su ón esi ón esi uc bs su µ fn − +g µ fn − +g Varios modos de convergencia, página 2 de 2