2.3 Filtros pasivos.

TEMA II
Electrónica Analógica
Electrónica II 2009-2010
2 Electrónica Analógica
2.1 Amplificadores Operacionales.
22A
2.2
Aplicaciones
li
i
d
de llos A
Amplificadores
lifi d
O
Operacionales.
i
l
2.3 Filtros.
2.4 Transistores.
1
2.3 Filtros
-Transformada
f
de Laplace.
-Teoremas valor inicial y valor final.
-Resistencia, condensador, inductor.
-Función de transferencia
-Diagramas de Bode
-Filtros pasivos.
-Filtros activos.
Transformada de Laplace
2
Transformada de Laplace
Transformada inversa
3
Propiedades
Laf (t )  bg(t )  aL f (t )  bLg (t )
L f (t  T )  eTs L f (t )
L1aL( f (t ))  bL( g (t ))  a f (t )  bg(t )
L eat f (t )  F (s  a)
 df (t ) 
L
 s F (s)  F (0)
 dt 
 t 
L f ( )  aF(as)
 a
 d 2 f (t )  2
L
 s F (s)  sF
F(0)  F´((0)
2 
 dt 
 s 
L1 F ( )  aff (at)
 a
F s 

L   f t  d t  


s
 f t  d t
0
s


t
F s 
L   f t  d t  
 0

s
Teoremas
Valor Inicial
4
Teoremas
Valor Final
Resistencia
• Resistencia, R
• Dominio del tiempo
v(t) = R i(t)
• Laplace
V(s) = R I(s)
5
Condensador
Dominio del tiempo
i(t)  C
• Laplace
d v(t)
dt
I(s) = s C V(s) – C v(0)
• Interpretación: un condensador cargado(un
condensador
d
d con condiciones
di i
iiniciales
i i l no
nulas) es equivalente a un condensador no
cargado en el instante incial en paralelo con
una fuente impulsiva de corriente de valor
C·v(0)
Condensador
• Reexpresando la anterior ecuación
V(s) 
I(s) v(0)
(0)

sC
s
• Interpretación: un condensador cargado(un
condensador con condiciones iniciales no
nulas) es equivalente a un condensador no
cargado en el instante incial en serie con
una fuente de voltaje escalón v(0)
6
Condensador
iC(t)
+
Dominio
del
tiempo
vC((t))
C
–
IC(s)
+
VC(s)
()
–
IC(s)
+
1/sC
+
–
1/sC
Cv(0)
VC(s)
–
v(0)
s
Dominio de la frecuencia
Inductor
• Dominio del tiempo
v(t)  L
• Laplace
d i(t)
dt
V(s) = s L I(s) – L i(0)
• Interpretación: un inductor con condiciones
iniciales no nulas es equivalente a un inductor
con condiciones iniciales nulas en serie con una
fuente impulsiva de voltaje de valor L·i(0)
7
Inductor
• Reexpresando la anterior ecuación
I(s) 
V(s) i(0)

sL
s
• Interpretación: un inductor con condiciones
iniciales no nulas es equivalente a un inductor
con condiciones iniciales nulas en paralelo con
una fuente escalón de corriente de valor i(0)
Inductor
+
Dominio
del
tiempo
vL(t)
+
–
L
–
IL(s)
sL
VL(s)
iL(0)
–
+
Li(0)
IL(s)
+
VL(s)
()
–
sL
i(0)
s
Dominio de la frecuencia
8
RLC - serie
Condiciones iniciales
KVL
V(S) – I(S)R –I(S) LS + LiL(0) – I(S)/CS – vc(0)/S = 0
V(S) + LiL(0)–
(0) vc(0)/S
(0)/S = I(S)R + I(S)/CS + I(S) LS
V(S) + LiL(0)– vc(0)/S = I(S)[R + 1/CS + LS]=I(S)Z(S)
Z ( s )  R  Ls 
1
Cs
RLC - paralelo
I(S) – V(S)/R –V(S)/LS - iL(0)/S – V(S)CS +Cvc(0) = 0
I(S) + iL(0)/S+ Cvc(0) = V(S)/R + V(S)/LS + V(S)CS
_
I(S) + iL(0)/S+ Cvc(0) = V(S)[1/R + 1/LS + CS] = V(S)Y(S)
_
Y ( s )  Cs 
1 1

R Ls
9
Ejemplo  impedancia
Ejemplo  equivalente Thevenin
10
Ejemplo  equivalente Thevenin
Laplace  Metodología
• Si el circuito es lineal:
– Transformación de las fuentes de excitación
– Transformación de las impedancias
– Encontrar la expresión de la salida (hallar la función de
transferencia) en el dominio de S
– Para encontrar los valores iniciales/ finales aplicar
p
el teorema
del valor inicial/ final
– Mediante la transformada inversa de Laplace encontrar la
respuesta del circuito en el dominio del tiempo
11
Método Fracciones parciales
Factores lineales en el denominador
Mét d F
Método
Fracciones
i
parciales
i l
Factores lineales en el denominador
12
Ejemplos
Factores lineales repetidos en el denominador
13
Ejemplos
Factores cuadráticos
14
Ejemplo
Dominio del tiempo
Dominio de la frecuencia
Condiciones iniciales nulas  respuesta a la entrada escalón
Ejemplo
Divisor de tensión
-
15
Ejemplo
7t)
Función de Transferencia
• La función de transferencia (H(s)) se define como la razón (en el
dominio s) de la salida (respuesta del sistema) a la entrada (fuente).
• Condiciones iniciales igual a cero.
• Si el circuito tiene más de una fuente  superposición
• El módulo y la fase de una función de transferencia H(jw) varían con
la frecuencia de la entrada sinusoidal.
– Representación gráfica de dicha variación (DIAGRAMAS DE BODE)
– Comportamiento “selectivo en frecuencias” (FILTROS).
16
Laplace  circuito RC
Circuito RC
Ecuación diferencial
R
e( t )  RC
e(t)
()
C
v(t)
(t)
dv
 v( t )
dt
v ( 0)  0
E (s)  RCsV (s)  V (s)  V (s)[1  RCs]
Laplace
V (s) 
E (s)
1  RCs
33
Laplace  entrada impulso
Función impulso
e ( t )  e 0 ( t )
V (s) 
E (s)  e 0
V (s) 
Respuesta a impulso
1
e0
1 RC
(s 
)
RC
e
sV (s) 

t
CR
se 0
(RCs  1)
e0
1  RCs
e0
RC
t
e
v( t )  0 e CR
RC
t
s
RC
s0
34
17
Laplace  entrada escalón
Función escalón y condiciones iniciales nulas
e( t )  e 0 u ( t )
E (s) 
e0
e0

s (s  1 )
RC
V (s) 
t
e0
s
V(s) 
e0
s(1  RCs )
t
cr
v( t )  e 0 [1  e ]
e0
0,63e 0
t
v( t )  e 0  e 0 e CR  e 0 [1  e CR ]
RC
35
Laplace  entrada escalón
Función escalón con condiciones iniciales v(0)  0
E (s)  RC[sV (s)  v(0)]  V (s)  V (s)[1  RCs ]  RCv (0)
V(s) 
e0
RCv(0)

s(1  RCs) 1  RCs
V(s) 
e 0 v ( 0)  e 0

s (s  1 )
RC
v( t )  e 0  [ v(0)  e 0 ]e
v( t )  e 0  [ v(0)  e 0 ]e
t
cr
e0
v ( 0)
t
CR
sV (s)  e 0 
RCs[ v(0)  e 0 ]
RCs  1
36
18
Diagramas de Bode
El diagrama
di
de
d Bode
B d es una fforma muy útil d
de representar
t
la ganancia y la fase de la respuesta de un sistema en
función de la frecuencia de la señal de entrada.
Normalmente se le llama comportamiento del sistema en
el dominio de la frecuencia.
Contribuciones de constantes, polos y ceros de distinta
naturaleza.
Construcción de diagramas de Bode
Diagrama de Bode de H(jw)
|H(jw)| en decibelios
Escala logarítmica
H(jw) en grados
¿Cómo se construye el
diagrama de Bode de
cualquier función de red?
19
Construcción de diagramas de Bode
Contribución de una constante
Construcción de diagramas de Bode
Contribuciones de un cero
20
Construcción de diagramas de Bode
Contribuciones de un polo
Construcción de diagramas de Bode
Contribuciones de un cero real
21
Construcción de diagramas de Bode
Contribuciones de un polo real
Construcción de diagramas de Bode
Contribuciones de un ceros complejos conjugados
22
Construcción de diagramas de Bode
Contribuciones de polos complejos conjugados
Construcción de diagramas de Bode
Resumen de contribuciones
23
Ejemplo
Diagramas de Bode
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Frecuencia (rad/s)
10
10
10
10
10
10
10
Frecuencia (rad/s)
Ejemplo 1
Bode exacto
Constante
Polo real
24
Ejemplo 2
Bode exacto
Constante
Polo real
Polo real
Cero real
Ejemplo 3
-20 dB/década
-40 dB/década
Bode exacto
Constante
Polo Origen
Polo real
Cero real
-20 dB/década
25
Ejemplo 4
-20 dB/década
Bode exacto
Constante
Polo real  -10
10
Polo real  -1, doble
Cero origen
-40 dB/década
Ejemplo 5
40 dB/década
Bode exacto
Bode asintótico
Constante
Polo origen, doble
Polo real  -100
Cero complejo
Pico
resonancia
-40 dB/década
26
Filtros
•
Filtro pasa baja: Son aquellos que introducen muy poca atenuación a las
frecuencias que son menores que una determinada, llamada frecuencia de
corte. Las frecuencias que son mayores que la de corte son atenuadas
fuertemente.
•
Filtro pasa alta: Este tipo de filtro atenúa levemente las frecuencias que son
mayores que la frecuencia de corte e introducen mucha atenuación a las
que son menores que dicha frecuencia.
•
Filtro pasa banda: En este filtro existen dos frecuencias de corte, una
inferior y otra superior. Este filtro sólo atenúa grandemente las señales
cuya frecuencia sea menor que la frecuencia de corte inferior o aquellas de
frecuencia superior a la frecuencia de corte superior. por tanto, sólo
permiten el p
p
paso de un rango
g o banda de frecuencias sin atenuar.
•
Filtro elimina banda: Este filtro elimina en su salida todas las señales que
tengan una frecuencia comprendida entre una frecuencia de corte inferior y
otra de corte superior. Por tanto, estos filtros eliminan una banda completa
de frecuencias de las introducidas en su entrada.
Filtros
•
Un filtro es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de
frecuencias de una señal eléctrica que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto
su amplitud como su fase.
•
Octava: Dos frecuencias están separadas una octava si una de ellas es de valor
doble que la otra.
•
Década: Dos frecuencias están separadas una década si una de ellas es de valor
diez veces mayor que la otra.
•
Frecuencia de corte:
–
–
Es la frecuencia para la que la ganancia en tensión del filtro cae de 1 a 0.707(1/ raíz de
dos)
La ganancia del filtro se reduce en 3dB de la máxima
•
Banda de paso: Es el rango de frecuencias que el filtro deja pasar desde la entrada
hasta su salida con una atenuación máxima de 3dB. Toda frecuencia que sufra una
atenuación mayor quedaría fuera de la banda pasante o de paso.
•
Banda atenuada: Es el rango de frecuencias que el filtro atenúa más de 3dB.
27
Filtros pasa baja
Filtros pasa alta
28
Filtros pasa banda
Filtros
• Orden del filtro:
– Filtro de p
primer orden: atenúa 6dB/octava
(20dB/década) fuera de la banda de paso.
– Filtro de segundo orden: atenúa 12dB/octava
(40dB/década) fuera de la banda de paso.
– Filtro de tercer orden: atenúa 18dB/octava
((60dB/década)) fuera de la banda de p
paso.
..........................................................................
– Filtro de orden n: atenúa (6n)dB/octava
(20ndB/década) fuera de la banda de paso.
29
Filtros  circuito RC
R
e(t)
()
C
v(t)
(t)
• En el dominio de la frecuencia el circuito es equivalente a un divisor
de tensión con dos impedancias.
• El valor del voltaje de salida dependerá del valor de la reactancia
capacitiva y esta a su vez de la frecuencia de la señal de entrada
• A frecuencia altas, la reactancia será baja y la mayoría de la caída
de tensión se producirá en la resistencia
• A frecuencia bajas, la reactancia será alta y la mayoría de la caída
de tensión se producirá en el condensador
59
• El circuito discrimina la frecuencia de la señal de entrada
circuito RC
Ecuación diferencial
R
e( t )  RC
e(t)
()
C
Laplace:
V (s) 
E (s)
1  RCs
v(t)
(t)
dv
 v( t )
dt
v ( 0)  0
E (s)  RCsV (s)  V (s)  V (s)[1  RCs ]
H (s) 
1
1  RCs
s  j
Magnitud de la función de
transferencia
60
30
circuito RC
Magnitud de la función de
transferencia:
61
circuito RC
Frecuencia de corte
•
•
Las señales de frecuencia superior a la frecuencia de corte sufren una atenuación
superior a 3dB
Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias
inferiores a la frecuencia de corte
31
circuito RC
Si tomamos como salida la
caída de tensión entre los
terminales de la resistencia
La magnitud de la función de
transferencia
circuito RC
Frecuencia de corte
•
•
Las señales de frecuencia inferior a la frecuencia de corte sufren una atenuación
superior a 3dB
Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias
superiores a la frecuencia de corte
32
2.3 Filtros Activos
-Transformada
f
de Laplace.
-Teoremas valor inicial y valor final.
-Resistencia, condensador, inductor.
-Función de transferencia
-Diagramas de Bode
-Filtros pasivos.
-Filtros Activos,
Filtro elimina banda
Pasa baja
Fc1
Pasa alta
Fc2
Fc1 < Fc2
33
El Amplificador Operacional en el dominio de la frecuencia
•
•
En la red de realimentación se puede incluir, además de resistencias,
elementos con reactancia (capacitivas e inductivas)
De este modo la ganancia del amplificador es función de la frecuencia de la
señal de entrada y el análisis del circuito ha de hacerse en el dominio de la
frecuencia
integrador
Ganancia =
•
•
•
En el dominio de la frecuencia vemos que entre la señal de salida y la de entrada hay
un desfase de 90º para todas las frecuencias
Fijémonos que en corriente continua (frecuencia = cero) la ganancia se hace infinita
Esto se explica viendo que en corriente continua el condensador actúa como un
circuito abierto y por tanto desaparece el lazo de realimentación. Es decir estamos
en lazo abierto
34
Integrador
• El problema de la ruptura del lazo de realimentación en corriente
continua lo podemos solucionar añadiendo una resistencia en
paralelo con el condensador.
Integrador  filtro pasa baja
La ganancia desciende
20dB por década
35
Integrador  filtro pasa baja
Frecuencia de corte
El filtro activo tiene ganancia, es decir la banda pasante no solo es
atenuada (como en los filtros pasivos) sino que es amplificada
Integrador con botón de reset
• Para asegurarnos que el condensador
comienza completamente descargado
podemos añadirle un botón de reset
36
Diferenciador – filtro activo pasa alta
• La corriente que pasa por el condensador es igual a la
corriente que pasa por la resistencia de realimentación
• Como vemos el potencial de salida es proporcional a la
derivada del potencial de entrada
• El amplificador como derivador es muy sensible al ruido
Diferenciador – filtro activo pasa alta
o
o
Circuito abierto
Cortocircuito
La frecuencia de resonancia hace que la Impedancia sea mínima:
37
Filtro activo pasa banda
• Incluimos en la configuración pasa-alta la realimentación pasa-baja
Filtro activo elimina banda
Impedancia de un
inductor y un
condensador en serie
Circuito equivalente para
•
•
Para frecuencia cero la reactancia del condensador se hace infinita y por
tanto actúa como un circuito abierto
Para frecuencia infinita la reactancia del inductor se hace infinita y por tanto
actúa como un circuito abierto
38
Filtro activo elimina banda
• La otra frecuencia de interés se produce cuando la
impedancia es nula
• Esta frecuencia es la frecuencia de resonancia
Filtro activo elimina banda
• La salida se atenúa para las frecuencias próximas a la
frecuencia de resonancia y se anula completamente
para la frecuencia de resonancia
39
Filtro activo elimina banda
Expresión completa de la impedancia
Filtro activo elimina banda
Función de transferencia
40
Reproducción con sonido estereofónico
Filtro pasa baja
Filtro pasa banda
Filtro pasa alta
Filtro activo elimina banda
•
•
•
La línea de corriente eléctrica es una señal alterna de frecuencia 50 / 60 Hz
Por ello las líneas eléctricas producen señales parásitas (ruido) a esas frecuencias
Si tenemos un micrófono muy sensible y la presencia cercana de líneas eléctricas se
hace necesario utilizar una etapa de filtrado que elimine esa banda de frecuencia
41
Problema
• Hallar la función de transferencia y dibujar el
diagrama de Bode
Problema
42
Problema
Problema
20 dB/década
-20 dB/década
• Cero en el origen
• Polo doble  1/RC
43