REPARTIDO I

Prof.: Lucia Tafernaberry
MAT “B” Repartido Nº I
REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA
Conceptos primitivos
Partiremos de un conjunto que llamaremos espacio, E, a cuyos elementos llamamos puntos, (a los
cuales escribiremos con mayúscula A, B, P, etc.…). Existen en el espacio ciertos subconjuntos
denominados planos (α, β,ω, π, etc.…), que a su vez incluyen otros subconjuntos de puntos
llamados rectas, que anotaremos con minúsculas a, b, r, etc.…
Espacio, plano, recta y punto, son conceptos primitivos que no se definirán.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS EN EL ESPACIO
β
α
r
β
α
Paralelos coincidentes
Paralelos disjuntos
α=β
Secantes
α ∩ β = o/
α ∩β =r
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO
Paralelos r // α
Secantes
r ∩ α = {Q}
r
r ⊂α
α
r
Disjuntos
r ∩ α = o/
r
Q
α
α
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL ESPACIO
COPLANARIAS
Para todo par de rectas de un plano, se cumple una y sólo una de las siguientes alternativas: son la misma recta,
su intersección es el conjunto vacío, o su intersección es un punto.
r ∩ s = o/
r // s
r ∩s = P
Rectas paralelas coincidentes
Rectas paralelas disjuntas
Rectas secantes
s
r
NO COPLANARIAS
r ∩ s = o/
Rectas alabeadas
SEMIRRECTA
SEGMENTO
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ÁNGULO
Definición:
Dados tres puntos no alineados A, O y B, llamaremos ángulo
, al
conjunto intersección del semiplano de borde OA que contiene a B con el semiplano de
borde OB que contiene a A.
Las semirrectas
reciben el nombre de lados y el punto O vértice.
Observaciones:
Un punto es interior al ángulo si pertenece a él pero no a los lados.
Cualquier semirrecta con origen en el vértice y que contenga un punto interior
recibe el nombre de rayo interior, cumpliéndose que todo rayo interior corta a
cualquier segmento determinado por dos puntos que pertenezcan a distintos lados
del ángulo.
ÁNGULOS
DENOMINACION
Ángulo
llano
Ángulos
consecutivos
Ángulos adyacentes
DEFINICIÓN
PROPIEDAD
Es cualquier semiplano, sus lados
son semirrectas opuestas incluidas
en el borde del semiplano.
Notación:
Ángulo con un lado en común, y
tal que ninguno de ellos está
incluido en el otro.
Ángulos con un lado en común, y
cuyos otros dos lados son
semirrectas opuestas.
Su suma es igual
a un ángulo llano
Notaciones:
Ángulo recto
Ángulo igual a un adyacente.
Ángulo agudo
Ángulo menor que un ángulo recto.
Ángulo obtuso
Angulo mayor que un ángulo recto.
Ángulo
completo
Ángulo nulo
Ángulos
opuestos por el
vértice
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Notación:
Es un plano. Sus lados son
semirrectas coincidentes.
Es cualquier semirrecta; el origen
coincide con el vértice y la
semirrecta coincide con los lados.
Ángulos que cumplen que cada
lado de uno, es una semirrecta
opuesta a un lado del otro.
Notación:
Los ángulos opuestos por el vértice
son iguales
Dos ángulos, cuya suma es igual a
un ángulo recto.
Dos ángulos cuya suma es igual a
un ángulo llano.
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suplementarios
Su suma es igual a un ángulo llano.
Ángulos interiores
de un triángulo
Ángulo externo
de un triángulo
Ángulos alternos
internos
Ángulos
correspondientes
Ángulo adyacente a cualquier
ángulo interior.
Ángulos internos ubicados en
distintos semiplanos respecto de la
recta secante r, y de distinto
vértice.
Ángulos, uno interior y otro
exterior, ubicados en igual
semiplano respecto de la recta
secante r, y de distinto vértice.
Un ángulo externo es igual a la
suma de los interiores no
adyacentes a él.
Dos rectas paralelas a y b,
determinan
ángulos alternos
internos iguales
y recíprocamente.
Dos rectas paralelas a y b,
determinan ángulos
correspondientes
iguales, y
recíprocamente.
LUGAR GEOMÉTRICO
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen con cierta propiedad.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Definición:
Se denomina mediatriz de un segmento, a la recta perpendicular a éste,
por su punto medio.
Mediatriz como lugar geométrico:
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano, que equidistan de los extremos de un segmento.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Definición:
Se denomina bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior, con origen
en el vértice del ángulo y que determina con los lados; ángulos congruentes entre sí.
Notación:
.
Bisectriz como lugar geométrico:
La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano, que equidistan de los lados de un ángulo.
CIRCUNFERENCIA
Definición:
Sea O ∈ α (plano α) y a ∈ R + , llamamos circunferencia de centro O y radio a, al conjunto:
C (O, a) = {X ∈ α / d ( XO) = a}
CÍRCULO
Definición:
Sea O ∈ α (plano α) y a ∈ R + , llamamos círculo de centro O y radio a, al conjunto:
C (O, a) = {X ∈ α / d ( XO) ≤ a}
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POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
Recta secante: su intersección con la circunferencia son dos puntos.
Recta tangente: su intersección con la circunferencia es un punto.
Recta exterior: no tiene puntos en común con la circunferencia.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
Circunferencias secantes: su intersección son dos puntos. Se cumple la
siguiente relación con sus radios: r1 + r2 > d(O1, O2)
Circunferencias tangentes exteriores: su intersección es un punto alineado con los centros, y cumplen la
siguiente relación: r1 + r2 = d(O1, O2)
Circunferencias tangentes interiores: su intersección es un punto alineado con los centros, y cumplen la
siguiente relación: r1 − r2 = d(O1, O2)
Circunferencias exteriores: circunferencias sin puntos en común, y cumplen la siguiente relación: r1 + r2 <
d(O1, O2)
Circunferencias interiores: circunferencias sin puntos en común, y cumplen la siguiente relación: r1 − r2 >
d(O1, O2)
Circunferencias concéntricas: circunferencias del mismo centro.
PROPIEDADES
Dados tres puntos no alineados,
existe y es única la circunferencia
que los contiene
La mediatriz de toda cuerda,
contiene al centro de la
circunferencia
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Una de las rectas paralelas a una tangente, a una
distancia igual al
radio, contiene al
centro de la
circunferencia
La bisectriz del
ángulo formado por
dos rectas
tangentes, contiene
al centro de la
circunferencia
Toda recta tangente a una
circunferencia es perpendicular, a
la recta determinada por el centro y
el punto de tangencia
Si desde un punto
exterior P, se trazan
las tangentes a la
circunferencia, los
segmentos
determinados, por
este punto con los
puntos de tangencia, son iguales
Se denomina tangente
común interior a dos
circunferencias, a cada
recta tangente común,
que deja en semiplanos
opuestos, de borde ella
misma, a las
circunferencias
Se denomina tangente
común exterior a dos
circunferencias, a cada
recta tangente común que
deja en igual semiplano, de
borde ella misma, a ambas
circunferencias
ÁNGULOS RELACIONADOS CON CIRCUNFERENCIAS
Ángulo con vértice en el centro de la circunferencia
Ángulo al centro
Ángulo inscripto
Ángulo con vértice en un punto de la circunferencia;
y lados secantes con la misma
Ángulo seminscripto
Ángulo con vértice en un punto de la circunferencia,
y cuyos lados son uno tangente y otro secante a la
misma
Ángulo interior
Ángulo cuyo vértice es un punto interior a la misma
Ángulo exterior
Ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la misma
Propiedades:
El ángulo inscripto (seminscripto) es igual a la mitad del ángulo al
centro que abarca el mismo arco.
Ángulos inscriptos iguales, determinan arcos iguales, y recíprocamente.
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La bisectriz interior de todo ángulo inscripto, contiene al punto medio del arco
abarcado.
La recta que contiene a una bisectriz exterior, (bisectriz de un ángulo adyacente), de
todo ángulo inscripto, contiene al punto medio del arco no abarcado por el ángulo.
Todo ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos al centro, que corresponden
a los arcos abarcados, por dicho ángulo y por su opuesto por el vértice.
Todo ángulo exterior cuyos lados cortan o no son tangentes a una circunferencia,
es igual a la semidiferencia positiva de los ángulos al centro que corresponden a
los arcos abarcados por sus lados.
En todo cuadrilátero, cuyos vértices pertenecen a una circunferencia,
(inscriptible), los ángulos opuestos son suplementarios.
ARCO CAPAZ
El arco capaz de un segmento AB y ángulo de
medida α, es el lugar geométrico de los puntos del
plano que son vértices de ángulos de medida α,
cuyos lados contienen, respectivamente, los puntos
A y B.
Si se considera los dos semiplanos de borde AB,
podemos afirmar que el lugar geométrico de los
puntos del plano, que cumplen las condiciones ya
mencionadas, es la unión de dos arcos, situados uno
en cada semiplano.
Construcción:
1. Construye la semirrecta t de origen en A de
p
modo que el ángulo
BAT sea igual al
ángulo α.
2. Traza por A, la recta p,
perpendicular a la
recta t en el punto A.
3. Traza la mediatriz del
segmento AB y
determina el punto O,
intersección de esta
mediatriz con la recta
p.
T
t
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Ejemplos:
Construir el arco capaz de:
a)
Figura construcción
A
a) 60º para AB de 6cm
b) 150º para AB de 6cm.
Construcción:
Trazo AB / d(A, B) = 6cm
∧
Trazo t / BAt = 60º
Trazo p / p ⊥ t
A
Trazo mz AB
p ∩ mz AB = {O}
A (60º, AB )
A´ (60º, AB )
A´
b)
Construcción:
Trazo AB / d(A, B) = 6cm
∧
Trazo t / BAt = 150º
Trazo p / p ⊥ t
A
Trazo mz AB
p ∩ mz AB = {O}
A (150º, AB )
LUGAR DE THALES
Al arco capaz de segmento AB y ángulo α=90°, se llama Lugar de
Thales.
El lugar geométrico de los puntos del plano que son vértices de ángulos
rectos cuyos lados contienen, respectivamente, los extremos del segmento AB dado, es la circunferencia de
diámetro AB, excluyendo los extremos del segmento.
UNION DE PARALELAS
Es el lugar geométrico de los puntos del plano, que distan una medida k, de una
recta r, es la unión de dos rectas paralelas a la primera, a una distancia k de ella.
PARALELA MEDIA
El lugar geométrico de los puntos del plano, que equidistan de dos rectas paralelas a
y b, es una recta paralela a ellas, situada a igual distancia de ambas.
k
r
k
a
k
k
b
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LUGARES GEOMETRICOS FUNDAMENTALES
Mediatriz
Bisectriz
Circunferencia
Unión de paralelas - Paralela media
Arco capaz - Lugar geométrico de Thales
POLÍGONOS
Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.
TRIÁNGULOS
Polígono de tres lados.
Definición: Dados tres puntos no alineados A, B y C, se denomina triángulo
∆
ABC al conjunto intersección se los semiplanos (AB,C), (BC,A) y (AC,B).
Clasificación:
Según lados
Según ángulos
Escaleno
Triángulo con tres lados
desiguales
Acutángulo
Triángulo con tres ángulos agudos
Isósceles
Triangulo con dos lados iguales
Rectángulo
Triángulo con un ángulo recto
Equilátero
Triangulo con tres lados iguales
Obtusángulo
Triángulo con un ángulo recto
Elementos Notables
Circuncentro: Punto de corte de las tres mediatrices relativas a los
lados, y centro de la circunferencia circunscripta que
contiene a los tres vértices del triángulo
Incentro: Punto de corte de las tres bisectrices interiores, y centro de la
circunferencia inscripta, tangente a los tres lados del
triángulo, (el radio queda determinado por el segmento de
perpendicular trazado desde el incentro a cualquier lado)
Ortocentro: Punto de corte de las rectas que contienen las alturas del
triangulo.
Altura: segmento de perpendicular trazada desde cada
vértice, a
la recta que contiene al lado opuesto.
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Baricentro: Punto de corte de las tres medianas del triángulo
Mediana: Segmento determinado por cada vértice y el
punto medio del lado opuesto.
Propiedad: El segmento determinado por el baricentro y el
punto medio de uno cualquiera de los lados de un triángulo,
es igual a un tercio de la mediana a la cual pertenecen estos
puntos.
Ej.: d(M,G) = 1/3 d(M,B)
Exicentros: Puntos de corte de una bisectriz interior y dos bisectrices
exteriores (bisectrices de los ángulos externos), y centros de
las circunferencias exinscritas, tangentes a las tres rectas
que contienen los lados del triángulo. Existen tres
exincentros en cada triángulo.
Recta de Euler: El baricentro de cada triángulo está alineado con el
ortocentro y el circuncentro, y a doble distancia del
primero que del segundo (d(G,H) = 2d(G,O)). La recta
que contiene dichos puntos, es llamada recta de Euler.
Paralela media: La recta que contiene los puntos medios de los lados
de un triángulo, es paralela al tercer lado, y el segmento
determinado es igual a la mitad del lado paralelo
(d(M,N) = d(A,B)/2
CUADRILÁTEROS
Definiciones y Propiedades
Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.
PARALELOGRAMO
Definición: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Propiedades
Las diagonales se cortan en su punto medio, centro de simetría del
paralelogramo.
Los lados y ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos no opuestos son suplementarios.
Un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos e iguales, es un paralelogramo.
Un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos iguales, es un paralelogramo.
Un cuadrilátero con dos pares de ángulos opuestos iguales, es un paralelogramo.
RECTÁNGULO
Definición: Paralelogramo con ángulos rectos.
Propiedades
Por ser paralelogramo, cumple con todas sus propiedades.
Sus diagonales son iguales.
Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales, entonces es rectángulo.
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ROMBO
Definición: Cuadrilátero con todos sus lados iguales.
Propiedades
Todo rombo es paralelogramo, de donde cumple sus propiedades.
Las diagonales del rombo son perpendiculares.
La recta que contiene cada diagonal es mediatriz de la otra diagonal.
CUADRADO
Definición: Rectángulo con cuatro lados iguales.
Propiedades
El cuadrado es paralelogramo, rectángulo y rombo, por lo que cumple todas las
propiedades anteriores.
Las diagonales están incluidas en las bisectrices de los ángulos.
Todo cuadrilátero con dos diagonales iguales, perpendiculares y que se cortan en su
punto medio, es un cuadrado.
TRAPECIO
Definición: Cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos.
Propiedades
Si los lados no paralelos son iguales, recibe el nombre de trapecio isósceles.
Un cuadrilátero con dos pares de ángulos consecutivos (ángulos no
opuestos) iguales y no rectos, es un trapecio isósceles.
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Definición: Cuadrilátero cuyos vértices son puntos de una circunferencia.
Propiedades
La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible, es que dos
ángulos opuestos sean suplementarios <α+<β = 180°.
En particular si los ángulos opuestos son rectos, la diagonal que no contiene a los vértices de
esos ángulos es diámetro <α+<β = 90° ⇒ segmento AC diámetro.
Si los ángulos determinados por las diagonales con dos lados opuestos son iguales entonces el
cuadrilátero es inscriptible y recíprocamente.
En particular si estos ángulos son rectos, el lado opuesto es diámetro.
CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE
Definición: Cuadrilátero cuyos lados son tangentes a una circunferencia.
Propiedades
La condicion necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea circunscriptible es que
las sumas de sus lados opuestos sean iguales. d(A,B)+d(C,D) = d(B,C)+d(A,D)
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Construcción de polígonos.
∆
∧
Ejemplo: Construye un ABC conociendo: c, C , hc.
1) Figura de análisis.
2) Análisis.
∧
Datos: c, C , hc.
∧
∧
C ∈ A (c, C )
Considero h/ h//c, d (h, c) = hc.
h ∩ A = {C}
A
3) Construcción:
Considero c.
c
∧
Trazo A (c, C ).
Trazo h/ h//c.
h ∩ A= {C, C1}
h ∩ A´= {C2, C3}
4) Discusión:
M punto medio AB. C0 = mz AB ∩ A
Si hc > d (M, Co) no hay solución.
Si hc = d (M, Co) hay 2 soluciones,
una en cada semiplano.
A´
Si hc < d (M, Co) hay 4 soluciones,
dos en cada semiplano. (caso
construcción).
CONO
Definición: Cuerpo sólido engendrado por la rotación de un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto
forma la base circular del cono, mientras que la hipotenusa
(generatriz) forma la superficie cónica.
Cono Oblicuo: Cono, cuyo eje cae en forma oblicua a la base.
Cono Recto: Cono, cuyo eje cae perpendicularmente a la base.
Cono Truncado: Porción de cono comprendida entre la base y un
plano paralelo a la misma.
Se llama superficie cónica a la superficie engendrada por la recta
generatriz, que gira alrededor del eje, a la que corta en un punto denominado vértice.
Sección: Figura que resulta de la intersección de una superficie con un sólido.
Sección Cónica: Sección que se origina al cortar con un plano un cono circular recto.
Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica de revolución y un plano α.
Dependiendo de la posición del plano α con respecto a la superficie cónica, podemos obtener cinco cónicas
distintas:
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1. Si el plano es perpendicular al eje y no pasa por el vértice, la cónica es una circunferencia.
2. Si el plano es oblicuo al eje, corta a todas sus generatrices y no pasa por el vértice, la cónica es una curva
cerrada que recibe el nombre de elipse.
3. Si el plano es paralelo al eje, la cónica se denomina hipérbola, y es una curva que consta de dos partes, una
en cada una de las hojas de la superficie cónica.
4. Si el plano es oblicuo al eje y paralelo a la generatriz, la cónica es una curva abierta denominada parábola.
5. Si el plano pasa por el vértice, decimos que la cónica es degenerada y puede ser un punto, una recta o un par
de rectas concurrentes, dependiendo de si el plano secante tiene menos, igual o más inclinación que las
generatrices.
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En la siguiente figura se tiene una superficie cónica de revolución cortada por cuatro planos. En ella se indica el
tipo de cónica que forma la intersección de cada plano con la superficie cónica de revolución
En esta figura hay un ejemplo de cada una de los tipos de secciones cónicas no degeneradas.
Circunferencia
Elipse
Hipérbola
Parábola
NOTACIÓN
A, B, …P…
a, b, …, r, s, …
AB
Ox
AB
AB
d(A, B)
∧
AOB
∧
xOy
∆
ABC
mz AB
bz ∧
SIMBOLOS
Puntos
Rectas
Recta determinada por los puntos A y B
Semirrecta de origen O
Semirrecta de origen A que contiene a B.
Segmento de extremos A y B
Distancia entre A y B
Ángulo de vértice O y lados OA y OB
//
⊥
/
≈
∈
∉
⊂
∪
Paralelo
Perpendicular
Tal que
Semejante
Pertenece
No pertenece
Incluido
Unión
Ángulo de vértice O y lados Ox y Oy
∩
Intersección
Triángulo ABC
∀
Para todo
Mediatriz del segmento AB
∃
Existe
Bisectriz del ángulo A
⇒
Entonces
Distancia entre el punto P y la recta r
Circunferencia de centro O y radio r
Circunferencia de diámetro AB
⇔
∅
Si y solo si
Conjunto vacío
A
d(P, r)
C
C
O,r
AB
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