LENTES

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OBJETIVOS Después de completar el estudio de este tema podrá usted:
1. Calcular matemática o experimentalmente la longitud focal de una lente y determinar si es convergente o divergente.
2. Aplicar la ecuaci6n del fabricante de lentes para resolver parámetros
desconocidos relacionados con la construcci6n de lentes.
3. Usar técnicas de trazado de rayos para construir imágenes formadas por lentes
divergentes y convergentes con diversas ubicaciones del objeto.
4. Predecir matemáticamente o determinar en forma experimental la naturaleza,
tamaño y ubicaci6n de las imágenes formadas por lentes convergentes y
divergentes.
Una lente es un objeto transparente que altera la forma de un frente de ondas que pasa a
través de él. Las lentes generalmente se construyen de vidrio y se les da forma de tal modo
que la luz refractada forme imágenes similares a las que ya hemos estudiado en el caso de
los espejos. Quien haya examinado objetos a través de un vidrio de aumento, observado
objetos distantes por medio de un telescopio, o tenga experiencia en fotografía, tiene
conocimientos sobre los efectos que tienen las lentes sobre la luz. En este tema
estudiaremos las imágenes formadas por medio de lentes y estudiaremos sus aplicaciones.
LENTES SIMPLES
La forma más sencilla de entender cómo funcionan las lentes consiste en considerar la
refracción de la luz mediante prismas, como ilustra la figura 49. Cuando la ley de Snell se
aplica a cada superficie de un prisma, la luz se desvía hacia la normal cuando entra a un
prisma y se aleja de ella cuando sale del prisma. El efecto, en cualquier caso, es provocar
que el haz de luz se desvíe hacia la base del prisma. Los rayos de luz permanecen paralelos
debido a que tanto la superficie de entrada como la de salida son planas y forman ángulos
iguales con todos los rayos que pasan por el prisma. Por lo tanto, un prisma simplemente
altera la dirección de un frente de onda.
Figura 49. Los rayos paralelos de luz se flexionan hacia la base del prisma y
permanecen paralelos.
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Suponga que colocamos dos prismas base con base, como muestra la figura 50(a). La
luz incidente que viene de la izquierda va a converger, pero no se reunirá en un foco. Para
enfocar los rayos de luz en un punto, los rayos extremos deben ser desviados más que los
rayos centrales. Esto se consigue tallando las superficies de modo que tengan una sección
transversal uniformemente curvada, como indica la figura 50(b). Una lente que conduzca
un haz de luz paralelo aun foco puntual en la forma mencionada se llama lente convergente.
Una lente convergente es la que retracta y converge la luz paralela hacia un punto focal
situado más allá de la lente.
Figura 50. (a) Dos prismas colocados base contra base hacen convergir los rayos pero
no los conducen hacia un foco común. (b) Una lente convergente puede construirse
curvando uniformemente las superficies.
Las superficies curvas de las lentes pueden tener cualquier forma regular, por ejemplo
esférica, cilíndrica o parabólica. Puesto que las superficies esféricas son más fáciles de
fabricar, la mayoría de las lentes se construyen con dos superficies esféricas. La línea que
une el centro de las dos esferas se conoce como eje de las lentes. En la figura 51 se
muestran tres ejemplos de lentes convergentes: biconvexa, planoconvexa y de menisco
convergente. Observe que las lentes convergentes son más gruesas en el centro que en los
bordes.
Figura 51. Ejemplos de lentes convergentes: (a) biconvexa, (b) planoconvexa, y (c)
menisco convergente.
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Un segundo tipo de lente se puede construir fabricando los bordes más gruesos que la
parte media, como muestra la figura 52. Los rayos de luz paralelos que pasan a través de
ese tipo de lentes se desvían hacia la parte gruesa, provocando que el haz se vuelva
divergente. La proyección de los rayos de luz refractados muestra que la luz parece
provenir de un punto focal virtual ubicado frente a la lente.
Una lente divergente es la que retracta y diverge luz paralela a partir de un punto situado
frente a la lente.
Figura 52. Una lente divergente refracta la luz de tal manera, que ésta parece
provenir de un punto situado enfrente de ella.
Ejemplos de lentes divergentes son: bicóncava, planocóncava y de menisco divergente.
Vea la figura 53.
Figura 53. Ejemplos de lentes divergentes: (a) bicóncava, (b) planocóncava, y (c)
menisco divergente.
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LONGITUD FOCAL Y LA ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES
Una lente se considera "delgada" si su espesor es pequeño comparado con sus otras
dimensiones. Al igual que en el caso de los espejos, la formación de imágenes por lentes
delgadas es una función de la longitud focal; sin embargo, hay diferencias importantes. Una
diferencia obvia es que la luz puede pasar a través de una lente en dos direcciones. Esto da
por resultado dos puntos focales para cada lente, como se muestra en la figura 54 para una
lente convergente, y en la figura 55 para una lente divergente. La primera tiene un foco real
F, y la última tiene un foco virtual F'. La distancia entre el centro óptico de una lente y el
foco en cualquier lado de la lente es la longitud focal f.
La longitud focal f de una lente es la distancia del centro óptico de la lente a
cualquiera de sus focos.
Puesto que los rayos de luz son reversibles, una fuente de luz que se coloque en
cualquier foco de la lente convergente da por resultado un haz de luz paralelo. Esto puede
verse si se invierte la dirección de los rayos ilustrados en la figura 54.
Figura 54. Demostración de la longitud focal de una lente convergente. El punto focal
es real debido a que pasan por él los rayos de luz reales.
Figura 55. Demostración de los puntos focales virtuales de una lente divergente.
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La longitud focal f de una lente no es igual a la mitad del radio de curvatura, como en
los espejos esféricos, sino que depende del índice de refracción n del material con el que
esté fabricada. También está determinada por los radios de curvatura Rl y R2 de sus
superficies como se define en la figura 56(a). Para lentes delgadas, estas cantidades se
relacionan mediante la ecuación:
 1
1
1 

= (n − 1) +
f
R
R
2 
 1
Debido a que la ecuación anterior implica la construcción de parámetros para una lente, se
conoce como ecuación del fabricante de lentes. Se aplica por igual para lentes convergentes
y divergentes siempre que se siga la siguiente convención de signos:
1.
El radio de curvatura (ya sea R1 o R2) se considera positivo si la superficie es curva
hacia afuera (convexa) y negativa si la superficie es curva hacia adentro (cóncava).
2.
La longitud focal de una lente convergente se considera positiva, y la longitud focal
de una lente divergente se considera negativa.
Figura 56. (a) El punto focal de una lente está determinado por los radios de sus
superficies y por el índice de refracción. (b) Convención de signos para el radio de la
superficie de una lente.
EJEMPLO 17. Un fabricante de lentes planea construir una lente planocóncava de vidrio
con un índice de refracción de 1.5. ¿Cuál debería ser el radio de su superficie curva si la
longitud focal deseada es -30 cm?
Solución
El radio de curvatura R1 para una superficie plana es infinito. El radio R2 de la superficie
cóncava se determina a partir de la ecuación del fabricante de lentes.
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 1
1
1
1 
 = (n − 1)
= (n − 1) +
f
 R2
 ∞ R2 



R2 = f (n-1) = (1.5 – 1.0) (-30 cm) = -15 cm
Por convención el signo menos indica que la superficie curva es cóncava.
EJEMPLO 18. Una lente menisco tiene una superficie convexa cuyo radio de curvatura es
de 10 cm y cuya superficie cóncava tiene un radio de -15 cm. Si la lente se construye en
vidrio con un índice de refracción de 1.52, ¿cuál será su longitud focal?
Solución:
Sustituyendo en la ecuación del fabricante de lentes queda:
 1
1
1 

= (n − 1) +
f
R
R
2 
 1
1
1 
 3 − 2  0.52
 1
= (1.52 − 1.0)
+
=
 = 0.52
f
 30cm  30cm
 10cm 15cm 
f =
30cm
= 57.7cm
0.52
El hecho de que una longitud focal sea positiva indica que se trata de una lente menisco
convergente.
FORMACION DE IMÁGENES MEDIANTE LENTES DELGADAS
Para entender cómo se forman las imágenes por medio de lentes, hay que introducir
ahora métodos de trazado de rayos similares a los que se estudiaron para los espejos
esféricos. El método consiste en trazar dos o más rayos a partir de un punto seleccionado
sobre el objeto y utilizar el punto de intersección como la imagen de ese punto. Puede
considerarse que la desviación completa de un rayo que pasa a través de una lente delgada
se lleva a cabo en un plano a través del centro de la lente. Anteriormente se hizo notar que
una lente tiene dos puntos focales. Definimos el primer punto focal F1 como el que se
localiza del mismo lado de la lente donde incide la luz. El segundo punto focal F2 se
localiza en el lado opuesto o más distante de la lente. Con estas definiciones en mente, hay
tres rayos principales que se pueden trazar fácilmente a través de la lente. Estos rayos se
ilustran en la figura 57 para una lente convergente y en la figura 58 pata una lente
divergente:
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Rayo 1 Es un rayo paralelo al eje que pasa a través del segundo punto focal F 2 de una
lente convergente o que parece provenir del primer punto focal F1 de una lente divergente.
Rayo 2 Un rayo que pasa a través del primer punto focal F I de una lente convergente o
avanza hacia el segundo punto focal F z de una lente divergente se retracta paralelamente
al eje de la lente.
Rayo 3
Un rayo que pasa a través del centro geométrico de una lente no se desvía.
Figura 57. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente
convergente.
Figura 58. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente
divergente.
La intersección de cualquiera de estos rayos (o sus extensiones) que provienen de un
objeto puntual, representa la imagen de ese punto. Puesto que una imagen real producida
por una lente se forma mediante rayos de luz que en realidad pasan a través de la lente, una
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imagen real siempre se forma del lado de la lente opuesto al objeto. Una imagen virtual
aparecerá del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto.
Para ilustrar el método gráfico y, al mismo tiempo, entender la formación de diversas
imágenes mediante lentes, consideraremos algunos ejemplos. Las imágenes formadas por
una lente convergente se aprecian en la figura 60 para las siguientes posiciones del objeto:
(a)
Objeto localizado a una distancia de más del doble de la longitud focal. Se forma
una imagen real, invertida y menor entre F2 y 2F2 en el lado opuesto de la lente.
(b)
El objeto está a una distancia igual al doble de la longitud focal. Una imagen real,
invertida, del mismo tamaño se ubica en 2F2 en el lado opuesto de la lente.
(c)
El objeto se localiza a una distancia entre una y dos longitudes focales de la lente.
Se forma una imagen real, invertida y mayor, más allá de 2F2 del lado opuesto de
la lente.
(d)
El objeto está en el primer punto focal F1. No se forma imagen. Los rayos
refractados son paralelos.
(e)
El objeto se encuentra dentro del primer punto focal. Se forma una imagen virtual,
erecta (derecha) y mayor, del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto.
Observe que las imágenes formadas por una lente convexa son similares a las que se
forman mediante espejos cóncavos. Esto se debe a que ambos hacen converger la luz.
Puesto que las lentes cóncavas divergen la luz, es de esperarse que formen imágenes
similares a las que forman los espejos divergentes (espejo convexo). La figura 59
demuestra esta similitud.
Las imágenes de objetos reales formadas mediante lentes divergentes siempre
son virtuales, derechas y de menor tamaño.
Figura 59. Las imágenes que se forman mediante lentes divergentes siempre son
virtuales, erectas y de menor tamaño.
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Para evitar confusiones, es conveniente identificar las lentes y los espejos como
convergentes o divergentes. Las lentes divergentes con frecuencia se emplean para
neutralizar el efecto de las lentes convergentes.
Figura 60. Construcción de la imagen para las siguientes distancias del objeto: (a) más
allá de 2 F1, (b) en 2 F1, (c) entre 2 F1 y F1, (d) en F1 y (e) dentro de F1.
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LA ECUACIÓN DE LAS LENTES Y EL AUMENTO
Las características, el tamaño y la localización de las imágenes pueden también
determinarse analíticamente a partir de la ecuación de las lentes. Esta importante relación
se puede deducir aplicando la geometría plana a la figura 61. La deducción es similar a la
que se hizo para obtener la ecuación del espejo, y la forma final es exactamente igual. La
ecuación de las lentes puede escribirse:
1 1 1
+ =
p q f
donde p = distancia al objeto
q = distancia a la imagen
f = distancia focal de la lente
Las mismas convenciones de signos establecidas para los espejos se pueden usar en la
ecuación de las lentes si tanto las convergentes como las divergentes se comparan con los
espejos convergentes y divergentes. Esta convención se resume en la siguiente forma:
1. La distancia al objeto p y la distancia a la imagen q se consideran positivas para
objetos e imágenes reales y negativas para objetos e imágenes virtuales.
2. La longitud focal f se considera positiva para lentes convergentes y negativa para
lentes divergentes.
Las siguientes formas alternativas de la ecuación de las lentes resultan útiles para
resolver problemas de óptica
p=
fq
q− f
q=
fp
p− f
f =
qp
q+ p
Es conveniente que verifique cada una de estas expresiones resolviendo la ecuación de
las lentes explícitamente para cada parámetro que aparece en la ecuación.
El aumento de una lente también se deduce de la figura 61 y tiene la misma forma
estudiada para los espejos. Hay que recordar que el aumento (amplificación) M se define
como la razón del tamaño de la imagen y’ con respecto al tamaño del objeto y, por lo que:
M =
y'
q
=−
y
p
donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto.
Un aumento positivo indica que la imagen es derecha, mientras que un aumento negativo
ocurre sólo cuando la imagen es invertida.
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Figura 61. Deducción de la ecuación de las lentes y el aumento.
EJEMPLO 19. Un objeto de 4 cm de altura se localiza a 10 cm de una lente convergente
delgada que tiene una longitud focal de 20 cm. ¿Cuál es la naturaleza, tamaño y ubicación
de la imagen?
Solución:
La situación corresponde ala que se ilustra en la figura 59(e). La distancia a la imagen se
encuentra a partir de:
(
pf
10cm )(20cm ) 200cm 2
=
=
= −20cm
q=
p − f 10cm − 20cm
− 10cm
El signo menos indica que la imagen es virtual. La relación de aumento nos permite
calcular el tamaño de la imagen:
y' =
− qy − (− 20cm )(4cm )
=
= +8cm
10cm
p
El signo positivo indica que la imagen es derecha. Este ejemplo ilustra el principio de una
lente de aumento. Una lente convergente que se sostiene más cerca de un objeto que su
punto focal, produce una imagen virtual, derecha y ampliada.
EJEMPLO 20. Una lente menisco divergente tiene una longitud focal de -16 cm. Si la lente
se sostiene a 10 cm del objeto, ¿dónde se localiza la imagen? ¿Cuál es el aumento de la
lente?
Solución
Por sustitución directa:
q=
(10cm)(− 16cm) = − 160 = −6.15cm
pf
=
26
p − f 10cm − (− 16cm )
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El signo menos de nuevo indica que la imagen es virtual. El aumento es:
M =−
q − (6.15cm )
=
= +0.615
p
10cm
El aumento positivo significa que la imagen es derecha.
COMBINACIONES DE LENTES
Cuando la luz pasa por dos o más lentes, puede determinarse la acción combina- da si se
considera la imagen formada por la primera lente como el objeto de la segunda, y así
sucesivamente. Considere por ejemplo, el arreglo de lentes de la figura 62. La lente 1 forma
una imagen real e invertida I1 del objeto O. Considerando esta imagen intermedia como un
objeto real para la lente 2, la imagen final I2 se ve como real, derecha y ampliada. La
ecuación de las lentes se puede aplicar sucesivamente a estas dos lentes para determinar
analíticamente la posición de la imagen final. El aumento total producido por un sistema de
lentes es el producto del aumento causado por cada lente del sistema. La clave de esto
puede apreciarse en la figura 62. Los aumentos en este caso son:
M1 =
y '1
y1
M2 =
y '2
y2
Puesto que y’1= y2, el producto M1 M2 nos lleva a:
y '1 y ' 2 y ' 2
=
y1 y 2
y1
Entre las aplicaciones de los principios mencionados están el microscopio, el telescopio
y otros instrumentos ópticos.
Figura 62. El microscopio.
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