Problema 6 Transformadores

Máquinas Eléctricas 5º Curso Mecánicos Máquinas
Universidad de Oviedo – Dpto. de Ingeniería Eléctrica
EJERCICIO Nº 6
TEMA IV: Bancos trifásicos de transformadores monofásicos.
OBJETIVOS: Analizar el funcionamiento de un banco trifásico formado por transformadores
monofásicos, revisar circuito equivalente y formas de conexión.
ENUNCIADO: Un transformador monofásico de 3000 kVA 132/38 kV y 50 Hz dio los
siguientes resultados en ensayos:
•
•
Ensayo de vacío por el lado de baja: 38 kV, 4 A, 16,67 kW.
Ensayo de cortocircuito por el lado de alta: 5,5 kV, 11,5 A, 10 kW.
DETERMINAR:
1. El circuito equivalente referido al primario, indicando la resistencia y reactancia de
dispersión de cada devanado (tomar como dato que los valores de la resistencia y
reactancia del secundario son un 10% de los correspondientes al primario: R2=0,1R1 y
X2=0,1X1 ).
2. Considerando que con otros dos transformadores idénticos se forma un banco trifásico,
calcular los siguientes parámetros:
• Potencia nominal
• Tensiones nominales
• Corrientes nominales
• Tensiones de cortocircuito relativas
• Circuito equivalente
Tanto en el caso de que la conexión sea estrella – estrella como triángulo – estrella.
3. Con el banco alimentado a su tensión nominal, se conecta una carga trifásica en
estrella de valor 400+j200 en cada fase. Calcular la tensión en bornes del secundario
considerando el banco conectado estrella – estrella y triángulo – estrella.
SOLUCIÓN:
El problema plantea el estudio de un banco trifásico formado por transformadores monofásicos.
Aunque este tipo de máquina no es demasiado frecuente, hay que indicar que se utiliza en
ocasiones, especialmente cuando la potencia a transformar es muy elevada.
Si bien con el empleo del banco trifásico las pérdidas son más elevadas, en el caso de
que la potencia sea muy grande y se desee disponer de una máquina en reserva, resulta
más barato hacerlo con un transformador monofásico que con uno trifásico cuya
potencia sería mucho mayor.
1º) El circuito equivalente se calcula a partir de los ensayos: P0 = U 2n ⋅ I 0 ⋅ Cosϕ 0 , por tanto:
P0
16670
=
= 0,1097 . Las componentes de la corriente de vacío se pueden
U 2n ⋅ I 0
38000 ⋅ 4
determinar entonces como:
Cosϕ 0 =
I fe = I 0 ⋅ Cosϕ 0 = 4 ⋅ 0,1097 = 0,439 A e I µ = I 0 ⋅ Senϕ 0 = 3,975 A .
Xd1’
R1’
Xd2
R2
El esquema de la izquierda representa el
circuito equivalente del transformador
I0
durante el ensayo de vacío. Si se
IFe
Iµ
Circuito equivalente
desprecian las caídas de tensión que se
UkV
por fase referido al R
2n
producen en la resistencia y reactancia
Xµ
38
Fe
secundario
3
del secundario, se puede considerar que
U
la rama paralelo soporta la tensión
Tensión de fase
nominal del secundario (38 kV).
En ese caso, la resistencia y la reactancia de magnetización se pueden calcular directamente:
1
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R fe =
U 2n
U
38000
38000
=
= 8656 kΩ y X µ = 2n =
= 9 ,56 kΩ .
3 ,975
I fe
0 , 439
Iµ
Tanto la reactancia como la resistencia que se acaban de calcular están referidas al
secundario, ya que el ensayo de vacío se realizó por este devanado. Por lo tanto, será
2
necesario referirlas al primario multiplicando por rt :
2
 132 
1
2
R fe = R fe ⋅ rt = 86 ,56 ⋅ 
 = 10 ,44 kΩ .
 38 
2
 132 
1
2
X µ = X µ ⋅ rt = 9,56 ⋅ 
 = 115,3 kΩ .
 38 
Para calcular el resto de los parámetros se utilizará el ensayo de cortocircuito. En el ensayo
P
10000
2
realizado se cumple: Pcc = R cc ⋅ I cc → R cc = cc2 =
= 75,6 Ω
11,5 2
I cc
Pcc =U cc ⋅I cc ⋅ Cosϕ cc → Cosϕ cc =
Pcc
10000
= 0,158 → ϕ = 80,9º → Tgϕ = 6,245
=
U cc ⋅I cc
5500 ⋅ 11,5
Entonces la reactancia se podrá obtener como: X cc = R cc ⋅ Tgϕ cc = 472,1 Ω .
Con los datos suministrados en el enunciado es posible calcular las resistencias y reactancias
de primario y secundario: R cc = R 1 + R 2 ' y X cc = X 1 + X 2 ' .
2
2
Puesto que R 2 ' = R 2 ⋅ rt , X 2 ' = X 2 ⋅ rt , R 2 = 0,1 ⋅ R 1 y X 2 = 0,1 ⋅ X 1 debe cumplirse que:
 132 
75,6 = R 1 + [0,1 ⋅ R 1 ]⋅ 

 38 
2
→ R 1 = 34,2 Ω y R 2 = 3,42 Ω → R 2 ' = 41,26 Ω .
2
 132 
472 = X 1 + [0,1 ⋅ X 1 ]⋅ 
 → X 1 = 214 Ω y X 2 = 21,4 Ω → X 2 ' = 258 ,2 Ω .
 38 
Por tanto:
R cc = R 1 + R 2 ' = [34,2 + 41,26 ] = 75,6 Ω
X cc = X 1 + X 2 ' = [214 + 258 ,2] = 472,2 Ω
2º) En la conexión del banco trifásico en estrella cada transformador monofásico puede
soportar como máximo una tensión de 132 kV. Por tanto, la tensión nominal de línea en el
primario del banco trifásico conectado en estrella-estrella será de 3 ⋅ 132 kV .
La tensión secundaria será por el mismo motivo
3 ⋅ 38 kV .
La corriente nominal
del
banco
trifásico
deberá ser la misma
N1
N2
132 kV
38 kV
que para el transforU2n = 38 ⋅ 3 kV
mador monofásico, ya
U1n = 132 ⋅ 3 kV
N1
N2
que en la conexión en
estrella la corriente de
línea y la corriente que
N1
N2
S
S’
circula por transforT
T’
mador individual son la
misma. Para cada trafo monofásico, las corrientes se pueden estimar a partir de la potencia
S
Sn
3000 ⋅ 10 3
3000 ⋅ 10 3
aparente nominal: I 1n = n =
y
I
22
73
A
=
,
=
=
= 78,94 A .
2n
U1n
U 2n
132 ⋅ 10 3
38 ⋅ 10 3
R’
R
I1n=22,74 A
I2n=78,94 A
La potencia nominal del banco trifásico será:
S nbanco = 3 ⋅ U1n ⋅ I 1n = 3 ⋅ 3 ⋅ 132 ⋅ 22,73 = 9000 kVA que es la suma de la de los tres
bancos monofásicos, ya que cada uno era de 3000 kVA.
2
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La relación de transformación del banco trifásico será también la misma: rt =
3 ⋅ 132
= 2⋅ 3 .
3 ⋅ 38
Los parámetros del circuito equivalente coincidirán totalmente en este caso con los que
se obtuvieron para el transformador monofásico. El circuito equivalente de los
transformadores trifásicos es un circuito equivalente fase – neutro, considerando que en
este caso entre fase y neutro está conectado cada uno de los transformadores
monofásicos, es evidente que el circuito equivalente deberá ser el mismo.
Las tensiones relativas de cortocircuito se pueden calcular directamente a partir de los
parámetros del circuito equivalente:
ε Rcc =
U Rcc
R ⋅I
75,6 ⋅ 22,74
= cc 1n =
= 1,3%
U1n
U1n
132000
3
ε Xcc =
3
⋅ I 1n
U Xcc
X
= cc
U1n
U1n
3
ε cc =
3
U cc
Z ⋅I
= cc 1n =
U1n
U1n
3
472,2 ⋅ 22,74
= 8,2%
132000
=
2
2
R cc + X cc ⋅ I 1n
=
U1n
3
75,6 2 + 472,2 2 ⋅ 22,74
= 8,3%
132000
3
2º) En la conexión triángulo – estrella se producen una serie de cambios en el banco trifásico:
R
R’
I2n=78,94 A
I1n=22,74 A
I1n=22,74 3 A
38 kV
132 kV
N1
N1
N1
S
N2
U2n = 38 ⋅ 3 kV
N2
N2
T
S’
T’
En este caso, la
tensión nominal del
primario del banco
trifásico es de 132 kV,
ya que es la que
soporta cada uno de
los
transformadores
monofásicos. En el
secundario ocurre lo
mismo que con el
banco
conectado
estrella-estrella: la tensión nominal será 38 3 kV , ya que de ese modo cada uno de los
transformadores trifásicos conectados en el secundario soporta 38 kV, tal y como establecen
sus condiciones nominales.
Respecto de las corrientes nominales, el secundario se comporta exactamente igual que en el
apartado anterior, es decir, su corriente nominal debe ser idéntica a la corriente nominal
del secundario en el transformador monofásico, ya que al estar conectado en estrella, la
corriente de línea es la que atraviesa a cada devanado secundario. Por lo tanto: I2n=78,94 A.
En el primario la situación cambia, ya que la conexión está en triángulo. En este caso, la corriente
de fase nominal en el triángulo será la del transformador monofásico, es decir 22,74 A. Por tanto,
la corriente de línea del primario, que es la nominal del banco trifásico será
3 veces mayor, es
decir I1n = 22,74 ⋅ 3 A .
La potencia nominal del banco trifásico va a ser la misma que en el apartado anterior, ya que
siempre que no se sobrepasen las tensiones o corrientes nominales de cada
transformador monofásico, se obtendrá como potencia del banco trifásico el triple de la
correspondiente a cada uno de los transformadores monofásicos:
S n = 3 ⋅ U1n ⋅I 1n = 3 ⋅ 132 ⋅ 10 3 ⋅ 3 ⋅ 22,74 = 9000kVA .
La relación de transformación en este caso habrá cambiado: rt =
132
38 ⋅ 3
= 2,002 .
3
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Los parámetros del circuito equivalente también se habrán modificado. El circuito equivalente
del transformador trifásico es siempre un circuito equivalente fase-neutro. En este caso, cada
banco monofásico que forma el primario en triángulo presenta los siguientes parámetros
(referidos al primario) en su circuito equivalente:
R fe = 10,44 kΩ .
X µ = 115,3 kΩ .
R 1 = 34,2 Ω y R 2 = 3,42 Ω → R 2 ' = 41,26 Ω .
X 1 = 214 Ω y X 2 = 21,4 Ω → X 2 ' = 258,2 Ω .
Considerando que la equivalencia es fase-neutro será necesario convertir la conexión en
Z
triángulo en su equivalente en estrella: Z ⊥ = ∆ . Es decir, las impedancias
3
correspondientes al primario del transformador quedarán en este caso divididas por 3:
R1 =
34,2
214
= 11,4 Ω y X 1 =
= 71,34 Ω .
3
3
Los parámetros del secundario referidos al primario se obtuvieron en el apartado anterior
2
2
multiplicando por la relación de transformación, es decir: R 2 ' = R 2 ⋅ rt , X 2 ' = X 2 ⋅ rt , por lo
tanto, la forma más fácil de obtenerlos para la nueva conexión triángulo-estrella es hacer lo
mismo pero utilizando la nueva relación de transformación:
2
R 2 ' = R 2 ⋅ rt = 3,42 ⋅ 2,002 2 = 13,7 Ω
2
X 2 ' = X 2 ⋅ rt = 21,4 ⋅ 2,002 2 = 86,1 Ω
El resultado que se acaba de obtener es el mismo que se obtendría si directamente se
hubiesen dividido por 3 los valores de los parámetros obtenidos para el transformador
con conexión estrella – estrella:
R 2 ⊥⊥ ' 41,26
=
= 13,7 Ω
3
3
X
' 258 ,2
X 2 ∆⊥ ' = 2 ⊥⊥ =
= 86,1 Ω
3
3
R 2 ∆⊥ ' =
Por tanto: :
R cc ∆⊥ = R 1∆⊥ + R 2 ∆⊥ ' = [11,4 + 13,7] = 25,1 Ω → R cc∆⊥ =
X cc = X 1 + X 2 ' = [71,34 + 86,1] = 157 ,4 Ω → X cc∆⊥ =
R cc⊥∆
3
X cc⊥∆
3
En definitiva, se puede concluir que los parámetros del circuito equivalente una vez que se
ha conectado uno de los devanados en triángulo se pueden obtener dividiendo los
parámetros del transformador conectado estrella – estrella entre 3. Si los dos devanados
están en triángulo también se podrán obtener del mismo modo.
Las tensiones relativas de cortocircuito es obtendrán de igual manera que en el apartado anterior:
ε Rcc =
URcc R cc ⋅ I 1n 25,1 ⋅ 22,74 ⋅ 3
=
=
= 1,3%
U1n
U1n
132000
3
ε Xcc =
U Xcc
X ⋅I
157,4 ⋅ 22,74 ⋅ 3
= cc 1n =
= 8,2%
U1n
U1n
132000
3
ε cc =
3
3
U cc
Z ⋅I
= cc 1n =
U1n
U1n
3
3
3
3
2
2
R cc + X cc ⋅ I 1n
= 8,3%
U1n
3
4
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3º) La forma más simple de resolver este apartado consiste en utilizar los dos circuitos
equivalentes del banco calculando directamente sobre ellos la tensión del secundario. En este
cálculo, se podrá suprimir la rama en paralelo si la carga que está conectada al secundario
hace que el transformador trabaje con un índice de carga lo bastante elevado.
La impedancia cumple: Z = 400 2 + 300 2 = 500 Ω .
En el banco estrella-estrella al conectar la carga anterior en el secundario la corriente que
circula se puede aproximar por:
N2
38 kV
38 kV
38000
= 76 A . Por tanto, el índice de carga en este
500
I
76
caso es aproximadamente de: C = 2C =
= 0,96 .
I 2n 78,94
Puesto que el transformador trabaja prácticamente a plena
carga con la impedancia de 400+300j, se puede eliminar la
rama paralelo para hacer el cálculo de la tensión en el
secundario.
: I 2C =
I2c
N2
N2
Z=400+j300
Secundario
Para utilizar el circuito equivalente, que
está referido al primario, es necesario
referir también la carga a este devanado:
1
2
Z ⊥ = Z ⊥ ⋅ rt = 4800 + j3600
Una vez hecha esta transformación, y
teniendo en cuenta que el circuito
equivalente debe alimentarse con la
tensión de fase, ya se puede calcular
la corriente:
132 ⋅ 10 3
I2 ' =
[75,6 + 4800 ]2 + [472,2 + 3600 ]2
Xcc=472,2 Ω
Rcc=75,6 Ω
I1=I2’
U2’
132 kV
4800+j3600
= 20,8 A . La tensión en bornes de la carga será:
U 2 ' = Z ⋅ I 2 ' = 4800 2 + 3600 2 ⋅ 20,8 = 124,8 kV . Refiriendo está tensión al secundario:
U2 =
U 2 ' 124 ,8
= 36,02 kV . La tensión obtenida es una tensión de fase, para calcular la
=
rt
2⋅ 3
tensión de línea en bornes del transformador sólo hay que multiplicar por
3:
U 2 línea = U 2 ⋅ 3 = 36,02 ⋅ 3 = 62,4 kV .
Para el caso del banco conectado triángulo-estrella el proceso a seguir es el mismo:
N2
38 kV
38 kV
I2c
N2
N2
Secundario
Xcc=25,1 Ω
Z=400+j300
Puesto que en este nuevo banco trifásico el secundario del
transformador trabaja en condiciones idénticas:
38000
= 76 A . Por tanto, el índice de carga en este
500
I
76
caso es también de: C = 2C =
= 0,96 , siendo posible
I 2n 78,94
despreciar la rama en paralelo para calcular la tensión en
bornes del secundario.
I 2C =
Rcc=157,4 Ω
Teniendo en cuenta que en este caso la
relación de transformación es diferente que
en el anterior, la impedancia de carga
reducida al primario también será distinta:
I1=I2’
132/
3
kV
U2’
1600+j1200
1
2
Z ⊥ = Z ⊥ ⋅ rt = 1600 + j1200
5
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Una vez hecha esta transformación, y considerando que el circuito equivalente debe
alimentarse con la tensión de fase, ya se puede calcular la corriente:
I2 ' =
132 ⋅ 10 3 / 3
[25,1 + 1600 ]2 + [157,4 + 1200]2
= 36 A . La tensión en bornes de la carga será:
U 2 ' = Z ⋅ I 2 ' = 1600 2 + 1200 2 ⋅ 20,8 = 72 kV . Refiriendo está tensión al secundario:
U2 =
en
U 2 ' 72
= 36 kV . Esta tensión es una tensión de fase, para obtener la tensión de línea
=
2
rt
bornes
del
transformador
sólo
hay
que
multiplicar
por
3:
U 2 línea = U 2 ⋅ 3 = 36 ⋅ 3 = 62,4 kV .
La tensión en este caso, errores de redondeo aparte, debe ser exactamente la misma que
en el caso anterior, ya que se está alimentando el transformador en ambos casos con la
tensión nominal, los dos secundarios están en estrella y la carga conectada en ambos es
la misma.
RESUMEN
•
Conceptos utilizados para la resolución del problema
o
Componentes de la corriente de vacío.
o
o
Cálculo parámetros circuito equivalente.
Formas de realización ensayos vacío y cortocircuito: diferencias entre
realizarlos por el primario y por el secundario.
Formas de conexión transformadores trifásicos.
Equivalencia entre impedancias conectadas en estrella y en triángulo.
Utilización del circuito equivalente para el cálculo de tensiones y corrientes.
Relación de transformación: variaciones al conectar en estrella y triángulo.
Magnitudes de fase y de línea.
Índice de carga.
o
o
o
o
o
o
•
Expresiones matemáticas utilizadas en la resolución del problema
o
P0 = U 2n ⋅ I 0 ⋅ Cosϕ 0
o
I fe = I 0 ⋅ Cosϕ 0 I µ = I 0 ⋅ Senϕ 0 .
o
Pcc = 3 ⋅U cc ⋅I cc ⋅ Cosϕ cc → Cosϕ cc =
o
Pcc = 3 ⋅R cc ⋅I cc →R cc =
o
R cc = R 1 + R 2 '
o
o
S nbanco = 3 ⋅ U1n ⋅ I 1n
o
Z 2 ' = Z 2 ⋅ rt
o
C=
o
Z⊥ =
2
Pcc
3 ⋅U cc ⋅I cc
Pcc
3I cc
2
X cc = X 1 + X 2 ' .
X cc = R cc ⋅ Tgϕ cc
2
I 2C
I 2n
Z∆
3
6
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U cc
U1n
ε Rcc =
U Rcc
U1n
ε cc =
o
ε Xcc =
o
ε c (%) = C ⋅ [ε RCC ⋅ Cosϕ + ε XCC ⋅ Senϕ] ε Rcc =
U Xcc
I ⋅ X cc
= 1n
U1n
U1n
ε Xcc =
U Xcc
U1n
o
ε Xcc =
I 2n ⋅ X cc
U 2n
U Rcc
I ⋅ R cc
= 1n
U1n
U1n
7