Sobre las unidades de medida en las variables y el término “tasa” empleado en el manual de Sargent. El tema de las unidades de medida en las variables macroeconómicas casi nunca se hace explícito, y en el libro de Sargent todo esto se da por supuesto. Hay que tener claro qué variables son exógenas y endógenas, pero antes que esto, y para tener clara la notación o simbología, es necesario también distinguir con cuidado las variables flujo de las variables stock, porque de esa distinción se derivan diferencias de notación que de otra forma no se entienden bien. De una variable flujo no podemos tener una foto fija, un valor en un momento dado del tiempo. Sólo podemos conocer su variación para un período de tiempo determinado, que en tiempo continuo puede ser infinitesimalmente pequeño. En las variables flujo el valor de las mismas en el momento inicial es cero (siempre se pone el contador a cero) y en el momento final registramos el total acumulado por dicho flujo durante ese período de tiempo. Si empleamos tiempo discreto en nuestra formulación, tendremos un simple incremento, que dado un valor inicial de cero es igual al valor de la variable. En tiempo continuo será la integral de las variaciones infinitesimales entre el momento inicial y el final, partiendo siempre de un valor inicial de la variable igual a cero. Por tanto, una variable flujo es siempre, en sí misma, una variación. Sus unidades de medida suelen ser siempre unidades monetarias por período de tiempo. Por ejemplo, Y, la producción, que en verdad es el valor añadido, se mediría en unidades monetarias por unidad de tiempo. Las variables stock son otra historia, pues de ellas sí podemos registrar un valor positivo en un momento concreto del tiempo (un instante). La unidad de medida de una variable stock suele ser unidades monetarias, sin dimensión temporal. No podemos combinar en una función lineal variables flujo y stock por un problema evidente de magnitudes, de unidades de medida. Por eso en las ecuaciones en las que aparecen variables flujo y variables stock éstas siempre están en términos de incremento, con un punto sobre la variable. Estos incrementos de la variable stock son la sustracción de dos valores puntuales de la variable en dos momentos distintos del tiempo, y por tanto las unidades de medida ya son unidades monetarias por período de tiempo. Por ejemplo, K, el stock 1 de capital, tiene un valor concreto positivo en un momento del tiempo, y la diferencia de = I , es decir, la inversión, una dicho valor en dos momentos distintos es K − K ' = K =I variable flujo, un incremento. En términos de tiempo continuo tenemos dK / dt = K (véase la expresión 7 del libro de Sargent, versión española, página 12). En este sentido, la naturaleza de las variables flujo y las variaciones de las variables stock tienen una naturaleza similar y por consiguiente las mismas unidades de medida. El concepto de tasa de incremento es sencillo, pues se trata, simplemente, de la variación dividida por el valor inicial, como aparecen en la segunda expresión de la página 13 del manual de Sargent, es decir, M −M' M = es la tasa de variación de la M M' oferta monetaria, y como es lógico, se trata de una variable con dimensión temporal implícita, pues su magnitud dependerá del período considerado, pero no de la moneda empleada para medir M. De la misma forma tenemos que p p − p ' = = π es la inflación, p p' es decir, la tasa de variación del nivel de precios, medida en la práctica por medio de un índice. La expresión 1 de la página 7 del libro de Sargent incluye sólo variables flujo, y por tanto es una expresión consistente desde el punto de vista de las magnitudes. Todas las variables vienen expresadas en unidades monetarias por año, incluida la depreciación de capital. En el fondo todas son incrementos, con un valor inicial (a principios del año) para cada una de las variables igual a cero. No obstante, podemos calcular la variación = I . En este caso estamos de la renta entre dos períodos, de manera que Y − Y ' = Y sustrayendo dos incrementos. En tiempo continuo no es más que la sustracción de dos integrales. En este sentido, presentar las variables de la expresión 1 de la página 7 como “tasas” puede invitar a la confusión, pues una tasa no puede venir expresada en unidades monetarias al ser un incremento porcentual (o en tantos por uno) por período de tiempo. Las variables de dicha expresión son simplemente “incrementos”, que en el caso de las variables flujo es obvio, pues siempre son “incrementos” para un valor inicial de cero. En las primeras líneas de la página 16, en cambio, se utiliza bien el término “tasa”. 2 Para comprobar que este galimatías conceptual tiene una lógica interna basta con comprobar que, en efecto, cualquier expresión del libro es consistente en cuanto a las magnitudes, para lo que es suficiente con ver que las unidades de medida que resultan a uno y otro lado de la igualdad son las mismas. Veamos la expresión al final de la página − δ K − C , donde puede observarse cómo aparece una variable stock entre 20, G = Y − K variables flujo, pero en términos de incremento. Cuando introducimos tiempo continuo y calculamos los movimientos desde una posición de equilibrio determinada, empleando el cálculo diferencial, nos encontramos con diferenciales de las variables-flujo, pequeños valores de la variable (incrementos desde un valor cero) que se pueden integrar para computar el caudal entre dos momentos de tiempo. El diferencial de una variable stock nos mide, igualmente, la variación entre dos momentos de tiempo cualesquiera. Pero hay una diferencia evidente, y es que la magnitud de una variable stock puede calcularse también integrando, si bien es necesaria una información adicional: la magnitud de la variable stock en el momento o instante inicial. Obsérvese, a título de ejemplo, la expresión 30 de la página 39, que define el stock de capital en el momento t como la suma de incrementos de capital entre t y t0 más el capital existente en el momento t0, todo ello en tiempo continuo. Es una forma de expresar la forma de cálculo real de los stocks de capital, sumando sucesivas formaciones netas de capital a partir de un momento pasado (método del inventario permanente). El posible error que hayamos podido cometer en la estimación de K(t0) tiene una importancia relativa menor cuanto mayor sea el período de integración t-t0. En cambio, la renta a 31 de diciembre, momento t, puede expresarse integrando los pequeños incrementos instantáneos ocurridos durante el año, el período t-t0, sin t referencia a ninguna magnitud inicial, de forma que Y(t) = ∫ Y(s)ds , t > t0, mientras t0 = t Y(s)ds − Y(t ) donde obviamente Y(t ) = t0 Y(s)ds siendo t que, en efecto, Y(t) 0 0 ∫ ∫ t0 t −1 > t0 > t-1. Rubén Osuna 3