Desde la superficie de la Tierra se lanza

PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
1
PAU CyL J1994 Gauss globo cargado que se hincha, campo dentro y fuera
Supón que disponemos de un globo esférico, que se encuentra cargado uniformemente en su
superficie. Razona cómo variará el campo electrostático, al ir hinchando el globo, para
puntos: a) Del interior, b) De la superficie, c) Del exterior.
Según la ley de Gauss Según la ley de Gauss el flujo de un campo eléctrico a través de una
superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie:
E
 
E · dS
Qint erior
Si la carga eléctrica está uniformemente distribuida por la superficie del globo, el vector campo
eléctrico es perpendicular a dicha superficie y su módulo es constante en todos los puntos de dicha
superficie y paralelo al vector superficie.
Aplicando la ley de Gauss a una esfera de radio r, se tiene:
E
 
E
· dS E
S
S
Qint erior
dS E · 4 · ·r 2
Para puntos del interior del globo el campo eléctrico es igual a cero ya que la carga encerrada es
igual a cero.
Para puntos del exterior o de su superficie, el globo se comporta como si toda la carga estuviera en
su centro.
E · 4 · ·r12
Q
E
1 Q
4 · · r12
Siempre que un punto esté en el exterior del globo, independientemente del tamaño de éste, el
campo eléctrico tiene un valor que depende de su distancia al centro del globo. Al hincharse el
globo los puntos del exterior pasan de tener un cierto valor del campo eléctrico a tener valor igual a
cero, según penetran dentro de la superficie que delimita el globo.
PAU CyL J1994 Campo y potencial en un punto y trabajo trasladar carga positiva
Una carga puntual de 10 -9 C está situada en el origen de coordenadas de un sistema
cartesiano y en el vacío. Otra carga, puntual, de - 20 10 -9 C está situada en el eje Y a 3 m del
origen. Calcula:
a) El valor del potencial eléctrico en un punto A situado en el eje X a 4 m del origen.
b) El campo eléctrico en dicho punto. Haz un esquema.
c) El trabajo realizado para llevar una carga puntual de 1 C desde el punto A hasta otro
punto B de coordenadas (4, 3).
b) Una carga puntual genera un campo eléctrico en un
punto del espacio de módulo E K
| q|
r2
, de dirección la
recta que une la carga con el punto y de sentido
alejándose de la carga si es positiva y hacia ella si es
negativa.
La expresión vectorial del campo que crea la carga +q 1
en el punto A es:

E1
9 ·10 9
N · m2 10
C
2
9
(4 m)
C
i
y
-q2
P(0, 3)

E2
O
+q1

E2 x
9 N
i
16 C
2
El módulo del campo eléctrico que genera la carga – q2 en el punto A es:
E2
9 ·109
N·m2
C2
20 ·10
(4 m)
2
9
C
(3 m)
2
36
N
C
B(4, 3)

E2 y
A(4, 0)

E1
x
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
2
Del diagrama se deduce que sus componentes cartesianas son:

E2x

E2 · cos ( i )
36
4N
i
5 C
144  N 
i ; E2y
5 C
E2 · sen

3N
j 36 j
5 C
108  N
j ;
5 C
Aplicando el principio de superposición, el campo total tiene de componentes:

Ex


E1 E 2 x
9 N
·i
16 C
144  N
i
5 C
N

28,24 · i ; E y
C

E2y
N
21,6 · j
C
Por tanto, la expresión vectorial del campo eléctrico en el punto A es:

EA

Ex

Ey

 N
28,24 · i 21,6 · j
C
a) y c) La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, el trabajo que realizan las fuerzas del campo
para trasladar una carga es igual a la variación de la energía potencial eléctrica asociadas a las dos
distribuciones de las cargas cambiada de signo. Para determinar ese trabajo se calcula el potencial
eléctrico en los puntos A y B en ausencia de la carga que se traslada y posteriormente la variación
de la energía potencial.
WA→B = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VB – VA)
El potencial eléctrico en un punto es iguala a la suma de los potenciales eléctricos que crean cada
una de las cargas.
VA
V1A
V2 A
K · q1
r1A
K · q2
r2 A
9 ·10 9
VB
V1B
V2B
K · q1
r1B
K · q2
r2B
9 ·10 9
N · m2 10 9 C
4m
C2
20 ·10
5m
9
N · m2
20 ·10
4m
9
C
2
10 9 C
5m
C
35,75 V
C
42,2 V
El trabajo que se intercambia en el proceso es:
WA→B = - q · (VB – VA) = - 1 C · (- 42,2 V - (- 35,75 V) = 6,45 J
El proceso es espontáneo, las fuerzas del campo eléctrico realizan un trabajo para trasladar a la
carga de signo negativo desde el punto A hasta el B a costa de disminuir la energía potencial
eléctrica de la distribución final respecto de la inicial.
PAU CyL S1994 Campo y potencial en un punto y trabajo trasladar carga positiva
Sean tres cargas en el vacío situadas en los siguientes puntos: Qa = + 100 nC en A (0, 4); Qb = 0,3 μC en B (0, 0) y Qc = + 300 nC en C (3, 0). Calcular en el punto D (5, 0):
a) El vector intensidad de campo en el S.I.
b) El potencial eléctrico en voltios.
c) Calcula el trabajo que costaría mover Qa desde A a D.
a) Una carga puntual genera un campo eléctrico en un punto del espacio de módulo E K
dirección la recta que une la carga con el punto y de
sentido alejándose de la carga si es positiva y hacia ella si
es negativa.
+QA

EC
9 ·10 9
9 ·10
N · m2 0,3 ·10
C2
(5 m)2
2
9 N · m 300 ·10
C2
6
9
(2 m)2
C

( i)
C
i
N
108 · i
C
N
675 · i
C
r2
, de
A(0, 4)

EA
Las expresiones vectoriales de los campos que crean las
cargas – QB y +QC en el punto D son:

EB
| q|

EAy

+QC E B
-QB
B(0, 0) C(3, 0)

EAx

EC
D(5, 0)
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
3
El módulo del campo eléctrico que genera la carga +QA en el punto D es:
EA
N·m2
C2
9 ·109
9
100 ·10
(5 m)2
C
(4 m)2
900 N
41 C
Del diagrama se deduce que sus componentes cartesianas son:

E Ax

E A · cos ( i )
900 5  N
i
41 41 C
N 
17,14 · i ; E Ay
C

E A · sen · j
N
900 4  N
j
13,71· j
41 41 C
C
Aplicando el principio de superposición, el campo total tiene de componentes:

Ex

E Ax

EB

EC
N
N
17,14 · i
108· i
C
C
N
675 · i
C
N 
549,86 · i ; E y
C

E Ay
N
13,71· j
C
La expresión vectorial del campo eléctrico en el punto A es:

ED

Ex

Ey

 N
549,86 · i 13,71· j
C
b) El potencial eléctrico en un punto es iguala a la suma de los potenciales eléctricos que crean cada
una de las cargas.
VD
K ·QA
rAD
K · QB
rBD
K · QC
rCD
9 ·10 9
N · m 2 100 ·10
C2
9
C
0,3 ·10
5m
41 m
6
C
300 ·10 9 C
2m
950,6 V
c) La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, el trabajo que realizan las fuerzas del campo para
trasladar una carga es igual a la variación de la energía potencial eléctrica asociadas a las dos
distribuciones de las cargas cambiada de signo. Para determinar ese trabajo se calcula el potencial
eléctrico en los puntos A y D EN AUSENCIA (CUIDADO) de la carga que se traslada y
posteriormente la variación de la energía potencial.
WA→D = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VD – VA)
El potencial eléctrico en un punto es iguala a la suma de los potenciales eléctricos que crean cada
una de las cargas.
VA
VD
VBA
VBD
VCA
VCD
K · QB
rBA
K · QC
rCA
9 ·109
K · QB
rBD
K · QC
rCD
9 ·109
N · m2
C2
0,3 ·10
4m
6
N · m2
C2
0,3 ·10
5m
6
C
300 ·10
(4 m)
C
2
9
C
(3 m)2
300 ·10 9 C
2m
135 V
810 V
El trabajo que se intercambia en el proceso es:
WA→D = - QA · (VD – VA) = - 100 · 10-9 C · (810 V - (- 135 V) = - 9,45 · 10-5 J
El proceso no es espontáneo, un agente externo tiene que realizar un trabajo para trasladar la carga
positiva +QA desde el punto A hasta el punto D que se almacena en forma de energía potencial
eléctrica, siendo la energía potencial eléctrica de la distribución final mayor que la energía potencial
eléctrica de la distribución inicial.
PAU CyL S1995 Campo nulo, energía potencial y desplazar de equilibrio
Dos cargas de + 1 μC y + 4 μC están fijas en sendos puntos que distan 6 cm. Calcula:
a) Dónde podría dejarse libremente una carga de + 3 μC para que permaneciera en reposo.
b) La energía potencial de esa carga.
Si se desplaza la carga de + 3 μC perpendicularmente a la línea que une a las otras dos,
c) )Volverá a la posición de equilibrio? Dibuja las fuerzas que actúan.
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
4
a) La carga de + 3 μC permanece en reposo en aquellos puntos en los que el campo sea nulo. Como
las dos cargas fijas tienen el mismo signo, el campo eléctrico es nulo en algún punto situado en el
segmento que une las cargas.
Supongamos que este punto P está situado a una distancia x de
la carga q1 = + 1 μC. En este punto los módulos de los
campos eléctricos creados por cada una de las cargas fijas son
iguales.
q1
E1 = E 2; K
=K
2
r1
q2
2
;
1 C
r2
x
Operando: 6 - x = 2 x
2
=
E2
x
q1
E1
q2
d
4 C
(6 - x )2
x=2m
La carga permanece en reposo en el segmento que las une y a 2 m de la de 1 μC.
b) La energía potencial asociada a esa carga es, la suma de las energías potenciales asociadas a la
presencia de cada una de las otras dos cargas.
q q
q q
Ep = Ep1 + Ep2 = = K 1 3 + K 2 3 =
r1
r2
= 9 · 109
N m2
2
C
1· 10- 6 C 4 · 10- 6 C
+
= 40,5 · 10- 3 J
2m
4m
· 3 · 10- 6 C
c) Al desplazar la carga perpendicularmente a la posición de
equilibrio, actúa una fuerza sobre la carga que tiende a alejarla
de la posición de las otras dos.
F
F1
F2
Para conocer su módulo, dirección y sentido, habría que
calcular las componentes de cada una de las fuerzas y
sumarlas vectorialmente.
q1
q2
El dibujo es simplemente esquemático.
PAU CyL S1997 Campo y potencial en un punto y trabajo trasladar carga negativa
Una carga positiva, q1 = 8 10 - 9 C, está fija en el origen de coordenadas, mientras que otra
carga, q2 = - 10 - 9 C, se halla, también fija, en el punto (3, 0), estando todas las coordenadas
expresadas en m. Determine:
a) Campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto A (4, 0).
b) Trabajo que las fuerzas del campo realizan para desplazar una carga puntual q = - 2 10 - 9
C, desde A hasta el punto B (0, 4). Comente el resultado que obtenga.
Nota: Es imprescindible la confección de esquemas o diagramas.
a) Una carga puntual genera un campo eléctrico en un punto
del espacio de módulo E K
| q|
, de dirección la recta que une
r2
y
B(0, 4)
d
la carga con el punto y de sentido alejándose de la carga si es
positiva y hacia ella si es negativa.
La expresión vectorial de los campos que crean cada una de
las cargas eléctricas en el punto A son:

E1
9 ·10 9
N · m2 8 ·10
C
2
9
(4 m)
C
i
2
N 
4,5 i ; E2
C
9 ·10 9
N · m2 10
C
2
9
(1m)
C
2

( i)
O
+q1
N
9 i
C
P(3, 0)
-q2

E2

E1
A(4, 0)
x
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
5
Aplicando el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los dos campos.

E total


E1 E2


4,5 · i N / C 9 · i N / C

4,5 · i N / C
b) La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, el trabajo que realizan las fuerzas del campo para
trasladar una carga es igual a la variación de la energía potencial eléctrica asociadas a las dos
distribuciones de las cargas cambiada de signo. Para determinar ese trabajo se calcula el potencial
eléctrico en los puntos A y B en ausencia de la carga que se traslada y posteriormente la variación
de la energía potencial.
WA→B = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VB – VA)
El potencial eléctrico en un punto es iguala a la suma de los potenciales eléctricos que crean cada
una de las cargas.
VA
V1A
V2 A
K · q1
r1A
K · q2
r2 A
9 ·10 9
N · m 2 8 ·10 9 C
4m
C2
10 9 C
1m
VB
V1B
V2B
K · q1
r1B
K · q2
r2B
9 ·10 9
N · m 2 8 ·10 9 C
4m
C2
10
(3 m)
9V
9
2
C
7,2 V
( 4 m) 2
El trabajo que se intercambia en el proceso es:
WA→B = - q · (VB – VA) = - (- 2 · 10-9 C) · (7,2 V – 9 V) = -3,6 · 10-9 J
El proceso no es espontáneo, un agente externo realiza un trabajo para trasladar a la carga de signo
negativo desde el punto A hasta el B que se almacena en forma de energía potencial eléctrica.
PAU CyL J2001 Materia no neutra
Supongamos por un momento que la materia no fuera eléctricamente neutra, sino que tuviera
una carga neta diferente de cero debido a que la carga de los protones no fuera igual a la de
los electrones.
a) )Qué carga deberían tener la Tierra y la Luna para que la repulsión electrostática igualara
la atracción gravitatoria entre ambas? Considerar que estas cargas están en la misma relación
que sus masas. ( 1,5 puntos)
b) Si admitimos que la masa de los electrones es mucho menor que la de los protones y
neutrones )cuál debería ser la diferencia entre la carga del protón y la del electrón para
producir el valor de las cargas del apartado anterior ? ( 1,5 puntos)
Datos: masa de la Luna = 7,35 1022 kg,
masa del protón = masa de neutrón = 1,67 10-27 kg
a) Igualando los módulos de la fuerza gravitatoria y de la fuerza electrostática, se tiene:
G · mT · mL
r
2
=
K · qT · qL
r
G · mT · mL = K · qT · qL
2
Por otro lado, se indica que las cargas eléctricas están en la misma relación que las masas:
mT = qT
mL qL
qT =
mT
qL
mL
Sustituyendo en la primera ecuación, se tiene: G · mT · mL = K mT qL2
mL
2
Sustituyendo: qL =
6,67 · 10-11 N · m2 / kg
7,35 · 1022 kg
9 · 109 N · m2 / C2
Y la carga de la Tierra: qT = mT qL =
mL
qL =
= 6,32 1012 C
5,98 · 1024 kg
6,32 · 1012 C = 5,14 · 1014 C
7,35 · 1022 kg
G
mL
K
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
6
b) La masa de los electrones se dice que se desprecie y como la masa de un protón es igual a la de
un neutrón, se tiene que el número de protones y de neutrones de la Tierra y de la Luna son:
nT =
24
mT = 5,98 · 10 kg = 3,58 · 51 neutrones y protones
10
- 27
mp 1,67 · 10 kg
nL =
22
mL = 7,35 · 10 kg = 4,40 · 49 neutrones y protones
10
- 27
mp 1,67 · 10 kg
Ahora nos falta el dato de la relación entre la cantidad de protones y neutrones. Supongamos que el
número de protones es igual al número de neutrones. Algo que no es cierto, ya que hay más
neutrones que protones en un objeto, basta comparar los números másicos y atómicos de los
elementos químicos. En el supuesto de que la cantidad de protones es igual a la de neutrones, y
como en la materia el número de protones es iguala al de electrones, se tiene que la cantidad de
protones y de electrones en la Tierra y en la Luna son:
p+Tierra =
3,58 · 1051
4,40 · 1049
+
= 1,79 · 1051 protones ; p Luna =
= 2,20 · 1049 protones
2
2
Llamando Δq a la diferencia de carga entre un protón y un electrón se tiene que tanto para la Tierra
como para la Luna se cumple que:
nprotones Δq = qT ; 1,79 1051 Δq = 5,14 1014 C Δq = 2,87 10-37 C/partícula
nprotones Δq = qL ; 2,20 1049 Δq = 6,32 1012 C Δq = 2,87 10-37 C/partícula
Independientemente de cual sea mayor. El efecto es el mismo tanto si es mayor la carga del protón
que la del electrón, como al revés.
PAU CyL S2001 Campo nulo entre dos cargas y potencial
Una carga puntual de valor nq se coloca en el origen de coordenadas, mientras que otra carga
de valor -q se coloca sobre el eje X a una distancia d del origen.
a) Calcular las coordenadas del punto donde el campo eléctrico es nulo si n = 4. )Cuánto
valdrá el potencial electrostático en ese punto? (1, 5 puntos)
b) Calcular las coordenadas del punto donde el campo eléctrico es nulo si n = 1/4. )Cuánto
valdrá el potencial electrostático en ese punto? (1, 5 puntos)
En la zona del eje X situada entre las cargas el
campo eléctrico debido a cada una de ellas tiene la
misma dirección y sentido, luego aquí no se puede
anular el campo eléctrico.
E+
B
+nq
E-
O
x
Ed
E+
-q
E-
E+
A
x
En el resto de los puntos del eje X los dos campos eléctricos tienen la misma dirección y sentidos
opuestos. Si la carga situada en el origen es mayor que el valor absoluto de la otra carga entonces el
campo se anula en un punto de coordenada x > d. Si la carga situada en el origen es menor que el
valor absoluto de la carga negativa entonces el campo eléctrico se anula en el punto de coordenada
x < 0.
Sea x la coordenada del punto en el que se anula el campo eléctrico. Este punto está situado a una
distancia x del origen de coordenadas y a una distancia x - d de la carga negativa. En este punto los
módulos de los campos generados por cada una de las cargas son iguales.
E+ = E-;
K · nq
x
2
=
K·q
(x - d )2
n · (x - d )2 = x 2
a) Si n = 4, entonces: 2 (x - d) = x
parte positiva del eje X.
x = 2 d, el punto A está situado a una distancia 2 d hacia la
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
7
Aplicando la definición de potencial electrostático, se tiene que:
VA = VA + + VA - =
K · 4 · q K · (- q) K · q
+
=
2·d
d
d
b) Si n = 3, entonces: 2 (x - d) = x
parte negativa del eje X.
x = - d, el punto B está situado a una distancia d hacia la
Y el potencial electrostático en el punto B es: VB = VB + + VB - =
K · ¼ · q K · (- q)
K ·q
+
=d
2·d
4·d
PAU CyL J2003 Fuerzas y trabajo trasladar cargas en vértices de triángulo
Se tienen tres cargas situadas cada una de ellas en tres de los
q = + 1 µC
vértices de un cuadrado de 8 m de lado tal como indica la
A 1
figura.
Calcule:
a) La fuerza resultante (módulo, dirección y sentido) que se 8 m
ejerce sobre la carga situada en el vértice A.
b) El trabajo necesario para trasladar la carga situada en el
q2 = - 4 µC
vértice A hasta el punto B. Interprete el signo obtenido.
8m
Nota: resulta imprescindible incluir los diagramas y esquemas
oportunos.
En primer lugar se calcula el campo eléctrico que crean
en el punto A las cargas q2 y q3, para posteriormente
calcular la fuerza que actúa sobre cualquier carga
colocada en ese lugar.
Se elige un sistema de referencia con el eje X
conteniendo al segmento que une las cargas q2 y q3 y el
eje Y conteniendo al segmento que une la carga q2 con
el punto A.

E3
E2
9
2
2
9 ·10 N · m / C · 4 ·10
r22
6
B

E3x
A
8m

E2
q2 = - 4 µC
8m
C
(8 m)2
5,625 ·10 2 N / C

Vectorialmente: E2

5,625 ·10 2 · j N / C
Calculo del módulo del campo eléctrico que genera la carga q 3 en el punto A.
E3
K ·| q3 |
r22
9 ·109 N·m2 / C2 · 3 ·10
(8 m)2
(8 m)2
6
C
2,109 ·10 2 N / C
2
Las componentes de este campo eléctrico en el sistema de referencia elegido son:
8m
E3x = E3 · sen φ = 2,109 · 102 N/C ·
(8 m)2
(8 m)2
8m
E3y = E3 · cos φ = 2,109 · 102 N/C ·

(8 m)2
Cuyas expresiones vectoriales son: E3
(8 m)2
= 1,491 · 102 N/C
= 1,491 · 102 N/C

1,491·10 2 · i
q3 = + 3 µC

E3 y
Calculo del módulo del campo eléctrico que genera la
carga q2 en el punto A.
K ·| q2 |
B

1,491·10 2 · j N / C
q3 = + 3 µC
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
8
Aplicando el principio de superposición el campo total es la suma vectorial de todos los campos.

EA

E2

E3

5,625 ·10 2 · j N / C


1,491·10 2 · i 4,134 ·10 2 · j N / C

1,491·10 2 · i

1,491·10 2 · j N / C
La fuerza que actúa sobre la carga q1 colocada en A es:

FA

q ·EA
1·10
6
C·

1,491·10 2 · i

4,134 ·10 2 · j N / C
1,491·10
4

·i
4,134 ·10
4

·j N
El trabajo para trasladar la carga q1 desde el punto A hasta el B es igual a la variación de la energía
potencial eléctrica asociada a las dos distribuciones cambiada de signo. Para determinar ese trabajo
se calcula al potencial eléctrico en los puntos A y B en ausencia de la carga q 1 y posteriormente la
variación de la energía potencial.
El potencial eléctrico en el punto es igual a la suma de los potenciales eléctricos que crean en ese
punto cada una de las vargas. Los potenciales eléctricos en los puntos A y B debidos a las cargas
eléctricas q2 y q3 son:
VA =
VB =
K · q2
rA 2
K · q3
rA3
9 ·10 9 N · m2 / C 2
K · q2
rB2
K · q3
rB3
9 ·10 9 N · m2 / C 2
( 4 ·10 6 C)
8m
( 4 ·10
(8 m)
2
6
3 ·10
(8 m)
C)
(8 m)
2
2
6
C
(8 m)
3 ·10 6 C
8m
2
= - 2,113 · 103 V
= 1,930 · 102 V
Aplicando la ley de la energía potencial:
WA→B = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VB - VA) = - 1·10-6 C·(1,93·102 V - (- 2,113·103 V)) = - 2,306·10-3 J
El proceso no es espontáneo, un agente externo realiza un trabajo para trasladar la carga eléctrica q 1
desde el punto A hasta el B, que se emplea en aumentar la energía potencial de la distribución final
respecto de la inicial.
PAU CyL S2003 Esferas cargadas engarzadas en plano inclinado
Tres pequeñas esferas metálicas provistas de un orificio central se engarzan en un hilo de
fibra aislante. Las dos esferas de los extremos se fijan a la
fibra separadas una distancia d = 50 cm, mientras que la
intermedia puede desplazarse libremente entre ambas a lo
d
largo del hilo. La masa de dichas esferas es m = 30 g y se
q
cargan con la misma carga q = 1 μC.
Esfera
d/3
a) Calcule la posición de equilibrio de la esfera intermedia
q
deslizante
en el caso de que la fibra se coloque horizontalmente.
q
b) Si colocamos ahora el hilo de manera que forme un
cierto ángulo α > 0 con la horizontal se observa que la
esfera intermedia se coloca a una distancia d/3 de la inferior tal como indica la figura. Calcule
el valor del ángulo α.
Si la fibra está horizontal la esfera intermedia está
en equilibrio cuando se coloque a la misma
distancia de las otras dos, es decir, cuando está
situada en el punto medio del segmento que une a
las dos esferas de los extremos.
Como las bolitas tienen cargas del mismo signo, se
repelen unas delas otras. Sobre la bolita intermedia
actúa: su peso P , la fuerza normal con que actúa la


fibra N , la fuerza F1 con que le repele la carga

N

F2

Px

P

F1

Py
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
9

inferior y la fuerza F2 con que lo hace la bola superior. En estas condiciones la bolita está en
equilibrio.
Se elige un sistema de referencia con el eje X paralelo a la dirección del hilo y el eje Y la
perpendicular a dicho hilo. Descomponiendo el peso en componentes y aplicando las condiciones
de equilibrio, resulta que:

 

Fx 0;F1 F2 Px 0 ; F1 = F2 + Px;
Aplicando la ley de Coulomb:
Operando:
9 ·K ·| q |2
d2
Sustituyendo:
1
1
4
arc sen
K ·| q |2
K ·| q |2
(d / 3)2
(2d / 3)2
m · g ·sen
sen
m · g ·sen
27 ·K ·| q |2
4 · d2 · m · g
27 · 9 ·109 N· m2 / C2 ·(1·10 6 C)2
4 · (0,5 m)2 · 30 ·10 3 kg · 9,8 m / s 2
55,74º
PAU CyL MF2004 ¿Carga eléctrica si flujo cero?
Si el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero, )pueden existir
cargas eléctricas en el interior de dicha superficie? Razone la respuesta.
Según la ley de Gauss el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es
proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie:
E
 
E · dS
Qint erior
Por tanto, dentro de la superficie pueden existir cargas eléctricas, pero de suma de las positivas y de
las negativas tiene que ser igual a cero.
PAU CyL S2004 Dos bolitas cargadas que cuelgan del mismo punto
En los extremos de dos hilos de peso despreciable y longitud l = 1 m
están sujetas dos pequeñas esferas de masa m = 10 g y carga q. Los
hilos forman un ángulo de 30º con la vertical.
a) Dibuje el diagrama de las fuerzas que actúan sobre las esferas y
determine el valor de la carga q.
b) Si se duplica el valor de las cargas, pasando a valer 2q, ¿qué
valor deben tener las masas para que no se modifique el ángulo de
equilibrio de 30º?
O
30º
q, m
q, m
Sobre cada una de las bolas actúan su peso, la tensión del hilo y
la fuerza eléctrica. Aplicando la condición de equilibrio de
traslación se tiene que:

Tx
ΣF 0 ;
Ty
Feléctrica T · sen
;
P
T · cos
Dividiendo: tag
K ·q
2
m· g·r2
K ·| q | ·| q |
r2
m· g
Ty
Tx
q
m · g · tag
q r·
K
r
q
Fe
P
Si la longitud del hilo es l y como cada bola se separa de la vertical un ángulo φ, la distancia entre
ellas es: r = 2 · l · sen φ. Sustituyendo:
q = 2 · 1 m · sen 30º ·
10 · 10 -3 kg · 9,8 m/s 2 · tag 30º
9 · 10 9 N · m2 /C 2
= 2,5 · 10-6 C
Las dos cargas tienen el mismo signo, positivo o negativo.
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
10
Utilizando la ecuación de la tangente del ángulo en la situación inicial y en la modificada que se
denota como prima y como la distancia entre las cargas es la misma en los dos casos, resulta que:
K · q2
m· g·r2
tag
K · q' 2
tag
1
q2 · m'
m · q' 2
m' · q2
m · q' 2
m' · g · r 2
Por tanto: m’ · q2 = m · (2 · q)2 m’ = 4 · m
Las masas de las partículas se deben multiplicar por cuatro.
PAU CyL J2005 cuestión flujo Gauss carga dentro y fuerza de un cubo
Enuncie el teorema de Gauss para el campo eléctrico (0,5 puntos).
Aplicando dicho teorema obtenga razonadamente el flujo del campo eléctrico sobre la
superficie de un cubo de lado a en los siguientes casos:
a) Una carga q se coloca en el centro del cubo (0,5 puntos).
b) La misma carga q se coloca en un punto diferente del centro pero dentro del cubo (0,5
puntos).
c) La misma carga q se coloca en un punto fuera del cubo (0,5 puntos).
La ley de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es
proporcional a la carga encerrada en dicha superficie.
 
E · dS
E
Qint erior
Un cubo es una superficie cerrada y el flujo del campo eléctrico a través de sus caras no depende
del lugar en el que se sitúen las cargas en su interior. Por tanto, en los casos a y b el flujo del campo
eléctrico que atraviesa la superficie del cubo es el mismo.
q
E
En el caso c el flujo del campo eléctrico que atraviesa la superficie del cubo es igual a cero, ya que
la carga está situada en el exterior. Todas las mismas líneas de campo eléctrico que penetran en la
superficie del cubo salen de ella.
0
E
PAU CyL S2005 flujo Gauss campo no uniforme a través de cilindro y carga interior
Las componentes del campo eléctrico que existe en la zona del
espacio representada en la figura, son: Ex=0; Ey = by; EZ = 0;
donde y viene expresado en metros. Calcule:
a) El flujo del campo eléctrico que atraviesa el cilindro de
longitud a y radio de la base r (2 puntos).
b) La carga en el interior del cilindro 1 punto).
Datos: b = 1 NC-1m-1; a = 1 m; r = 0,5 m.
a) Se define flujo de un campo eléctrico a través de una
 
E · dS
E · dS · cos
superficie como: E
S

Sbase1
S
Como el campo eléctrico no es uniforme se divide la
superficie del cilindro en superficies elementales, de forma
que el campo eléctrico sea uniforme en cada elemento de
superficie.

Slateral
z

Sbase2

E2
 r
E1
y
x
a
a
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
11
El campo eléctrico es constante en dirección y sentido, los del eje Y, y su módulo aumenta con el
valor de y, de forma que es constante en todos los puntos de los planos perpendiculares al eje Y, es
decir, es decir, es constante en los puntos de los planos paralelos al plano XZ. El módulo del campo
eléctrico aumenta a lo largo del eje Y.
Todos los puntos de la base 1 tienen el mismo valor del campo eléctrico, lo mismo que todos los
puntos de la base 2. Las expresiones de los campos eléctricos en esas bases que están contenidas en
los planos distan a y 2 · a del origen son:

E1

b· y· j

b · a · j;

E2

b·y· j

b·2·a · j

2 ·b · a · j
Como el campo eléctrico es uniforme en cada una de las bases, la superficie del cilindro se divide
en la superficie de las bases y la superficie lateral:
Scilindro = Sbase1 + Sbase2 + Slateral
Las líneas del campo eléctrico penetran por la superficie de la base1, salen por la superficie de la

base2 y no hay ninguna que atraviese la superficie lateral. Los vectores superficie S tienen por
módulo el área de la superficie, de dirección perpendicular a la misma y su sentido es hacia el
exterior del cilindro.




· r 2 · ( j ); Sbase 2
·r 2 · j
Las expresiones vectoriales de las superficies de las bases son: Sbase 1
El flujo del campo eléctrico es igual a la suma de los flujos que atraviesan cada una de las
superficies y como el campo es uniforme en cada superficie:
 
 
 
ΦE = Φbase1 + Φbase2 + Φlateral = E1 ·Sbase1 E 2 ·Sbase2 E ·Slateral
= b · a · π · r2 · cos 180º + 2 · b · a · π · r2 · cos 180º + E · Slateral · cos 90º =
= - b · a · π · r2 + 2 · b · a · π · r2 = π · a · b · r2
Sustituyendo: ΦE = π · 1 m · 1 N · C-1 · m-1 · (0,5 m)2 = 0,25 · π
N · m2
C
b) La ley de Gauss indica que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es
proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie.
E
Qint erior
Qint erior
E·
Si el medio es el vacío, su permitividad eléctrica es:
Qint erior
0,25 ·
N · m2
1
·
9
C 4 · · 9 ·10 N · m2 / C 2
6,9 ·10
12
C
0
1
4 · ·K 0
1
, entonces:
4 · · 9 ·10 N·m2 / C2
9
6,9 pC
PAU CyL J2006 Campo posiciones de equilibrio
Tres pequeñas esferas conductoras A, B y C todas ellas de igual radio y con cargas QA = 1
µC, QB = 4 µC y Qc = 7 μC se disponen horizontalmente. Las bolitas A y B están fijas a una
distancia de 60 cm entre sí, mientras que la C puede desplazarse libremente a lo largo de la
línea que une A y B.
a) Calcule la posición de equilibrio de la bolita C (1,5 puntos).
b) Si con unas pinzas aislantes se coge la esfera C y se le pone en contacto con la A dejándola
posteriormente libre ¿cuál será ahora la posición de equilibrio de esta esfera C? (1,5 puntos).
Nota: es imprescindible incluir en la resolución los diagramas de fuerzas oportunos.
a) Las bolitas están cargadas con cargas eléctricas del mismo signo
por lo que tanto la A como la B repelen a la C. En el equilibrio las
fuerzas entre la A y la C tiene el mismo módulo que la fuerza entre
la B y la C. Aplicando la ley de Coulomb:
0,6 m
A
C
x
B
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
FAC
FBC ;
K ·| qA |·| qC |
Operando:
(rAC )
1
x
2
K ·| qB |·| qC | 1 C
;
(rBC )2
x2
2
; 0,6 – x = 2 · x
0 ,6 x
12
4 C
(0,6 x )2
x = 0,2 m desde la bolita A
b) Al poner en contacto las esferas A y C del mismo radio y material, la carga se redistribuye hasta
que sus potenciales eléctricos se igualan. Es decir como la carga total son 8 μC, cada una de ellas se
carga con una carga de 4 μC.
Ahora todas las esferas tienen la misma carga eléctrica de 4 μC, por lo que la posición de equilibrio
es en el punto medio del segmento AB.
PAU CyL S2006 Dado campo y potencial calcular valor cargas
a) Dos cargas positivas q1 y q2 se encuentran situadas en los puntos de coordenadas (0,0) y
(3,0) respectivamente. Sabiendo que el campo eléctrico es nulo en el punto (1,0) y que el
potencial electrostático en el punto intermedio entre ambas vale 9.10 4 V, determine el valor de
dichas cargas (1,5 puntos).
b) Una carga negativa de valor -27 μC se encuentra en el origen de coordenadas y una carga
positiva de valor 125 µC en el punto de coordenadas (4,0). Calcule el vector campo eléctrico
en el punto del eje Y de coordenadas (0,3) (1,5 puntos).
Nota: Las coordenadas están expresadas en metros.
a) Los módulos de los campos eléctricos son iguales en el punto en
el que se anula el campo.
E1
E2 ;
K ·| q1 |
K · | q2 |
2
r1
r2
2
;
q1
(1m)
q2
2
q1
O(0, 0)
(2 m)2

E2

E1
B(1, 0)
C(1,5; 0)
q2
A(3, 0)
El potencial eléctrico en un punto es igual a la suma de los potenciales eléctricos generados por
cada una de las cargas.
VC
V1C
K · q1
r1
V2C
K · q2
; 9 ·10 4 V
r2
9 ·10 9 N · m2 / C 2 ·q1
1,5 m
9 ·10 9 N · m2 / C 2 ·q2
1,5 m
Operando en las dos ecuaciones se tiene el sistema:
4 · q1
q1
q2
q2
1,5 ·10
5
q1 = 0,3 · 10-5 C y q2 = 1,2 · 10-5 C
b) Ver libro problema 187 de la página 187 del libro
PAU CyL J2007 campo de dos cargas y trabajo para trasladar otra
Dos cargas, q1 = 2 · l0-6 C y q2 = - 4 · 10-6 C están fijas en los puntos P1 (0, 2) y P2 (1, 0),
respectivamente.
a) Dibuje el campo electrostático producido por cada una de las cargas en el punto P (1, 2) y
calcule el campo total en ese punto (1,5 puntos).
b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una carga q = - 3·10-6 C desde el punto O (0, 0)
hasta el punto P y explique el significado del signo de dicho trabajo (1,5 puntos).
Nota: Las coordenadas están expresadas en metros.
Los campos eléctricos creados por las cargas tienen la dirección de la recta que une cada una de
ellas con el punto considerado y sentido alejándose de la carga si tiene el signo positivo y hacia la
carga si tiene el signo negativo.
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009

q
E K 2 ur
r
Aplicando la expresión del campo eléctrico en un puno:
, se
tiene:

E1
9 ·10 9

E2
9 ·10 9
N·m 2 2 ·10 6 C 
i
C2
(1m) 2
N·m 2
C
2
13
P1
+q1

E2
N
18 ·10 3 · i
C
4 ·10 6 C 
j
(2 m) 2
N
9 ·10 3 · j
C
Aplicando el principio de superposición el campo total en el punto
considerado es:

ET


E1 E 2
P

E1

E
-q2 P2
  N
[9 ·10 3 ·(2 · i j )]
C
b) El trabajo que realiza la fuerza eléctrica para trasladar la carga no depende de la trayectoria
seguida y es igual a la variación de la energía potencial electrostática cambiada de signo. Para
calcular la variación de la energía potencia electrostática se calcula el potencial electrostático en
cada punto.
VO
K
q1
r1
K
q2
r2
9 ·10 9
N · m 2 2 ·10 6 C
2m
C2
VP
K
q1
r1
K
q2
r2
9 ·10 9
N · m 2 2 ·10 6 C
1m
C2
4 ·10 6 C
1m
4 ·10 6 C
2m
27 000 V
0V
Aplicando la ley de la energía potencial:
WO→P = - ΔEp = - q · ΔV = - q (VP – VO) = - (-3 · 10-6 C) · (0 – (-27 000 V) = + 8,1 · 10-2 J
El proceso es espontáneo, el campo electrostático realiza un trabajo a costa de disminuir la energía
potencial electrostática asociada a la distribución de cargas.
PAU CyL J2007 Gauss en distribución discreta de cargas
Defina la magnitud flujo del vector campo eléctrico (0,5 puntos).
Enuncie el teorema de Gauss (0,5 puntos). Considere las dos
situaciones de la figura. ¿El flujo que atraviesa la esfera es el mismo
en ambas situaciones? (0,5 puntos). ¿El campo eléctrico en el mismo
punto P es igual en ambas situaciones? (0,5 puntos). Razone en todo
caso su respuesta.
a) Se define flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie al producto escalar:
E
 
E·S
E · S ·cos
Siendo φ el ángulo que forman el vector campo eléctrico y el vector superficie.
El flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie es una magnitud escalar que representa
gráficamente las líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie.
b) La ley de Gauss indica que el flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada
es proporcional a la carga eléctrica encerrada en dicha superficie.
E
 
E · dS
Qint erior
S
Siendo ε la permitividad o constante dieléctrica del medio.
c) En los casos la esfera es atravesada por el mismo flujo del campo eléctrico, ya que la carga
encerrada dentro de ella es la misma en las dos situaciones.
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
14
d) El vector campo eléctrico no es el mismo en los dos casos. En el caso A el campo eléctrico no se
puede calcular aplicando la ley de Gauss ya que no hay una situación de simetría. Hay que
calcularlo aplicando el principio de superposición a los campos eléctricos que crean cada una de las
cargas eléctricas.
PAU CyL S2007 Campo y potencial polos y centro de esfera
Sobre la circunferencia máxima de una esfera de radio R = 10 m están
colocadas equidistantes entre sí seis cargas positivas iguales y de valor q
= 2 μC. Calcule:
a) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en uno
cualquiera de los polos (puntos N y S) (1,5 puntos).
b) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en el centro O de
la esfera (1,5 puntos).
La distancia de cada carga a los polos es: r
(10 m)2
(10 m)2
10 · 2 m
a) Todas las cargas generan en los polos un campo del mismo módulo.
E
K ·| q |
r
2
9·10 9
N·m2 2·10
C
2
6
C
10 · 2 m
2
90
N
C

Ey
P
Se elige un sistema de referencia con el origen en el polo N, el eje Y la
dirección de los polos y el eje X una perpendicular. Las componentes en
el eje X se anulan por simetría y las componentes en Y se refuerzan.
El campo total tiene la dirección del eje que une los polos y su sentido es
hacia el exterior de la esfera.
Epolo
6·E·cos 45º 6·90
N 2
·
C 2
270 · 2

E

Ex
45º
q
R
N
C
El potencial eléctrico en el polo es igual a la suma de los potenciales eléctricos generados por cada
carga.
Vpolo
6· V
6·
K ·q
r
6 ·9 ·10 9
N·m 2 2·10
C
2
6
C
54 ·10 2 · 2 V
10 · 2 m
b) El campo eléctrico en el centro de la esfera es igual a cero, ya que por
simetría se anulan los de cada dos cargas eléctricas opuestas.

E centro
0

E
El potencial eléctrico en el centro es igual a la suma de los potenciales
generados por cada una de las cargas eléctricas.
Vcentro
6· V
6·
K ·q
r
6 ·9 ·10 9
N·m2 2·10 6 C
10 m
C2
10 800 V
PAU CyL J2008 Flujo y Gauss en un cubo
Un cubo de lado 0,3 m está colocado con un vértice en el origen de
coordenadas, como se muestra la figura. Se encuentra en el seno de un



campo eléctrico no uniforme, que viene dado por E ( 5x i 3z k) N / C .
a) Halle el flujo eléctrico a través de las seis caras del cubo (2 puntos).
b) Determine la carga eléctrica total en el interior del cubo (1 punto).
Nota: 0 = 8,85 · 10-12 C2/N·m2
O
R
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
15
a) Se define flujo de un campo eléctrico a través de una superficie
 
como: E
E · dS
E · dS · cos
S
z
S
Las caras del cubo tienen de módulo S = 0,09 m2 y sus
expresiones vectoriales son:

S ABDE

SEBCF

SDEFG

S ·k;

S · j;

S· i ;

S OCFG

SOGDA

S OABC

S ·( k)

S ·( j )

S ·( i )
B
D
E

SOADG

SBCFE
C
y
O
 N

( 5·0 · i ) ·0,09 ·( i ) m2
C
 N

( 5·0,3 · i ) ·0,09 · i m2
C
DEFG
A

SOABC

SOCFG
A través de las caras OABC y DEFG solamente atraviesa el flujo
 
del campo eléctrico debido a su componente x (k · i 0) .
OABC

SABDE
x G
2
N·m
;
C
N·m2
0,135
C

SOCFG
F
0
El flujo del campo eléctrico a través de las caras OADG y BCFE es igual a cero, y que el campo no


tienen componente a lo largo del eje Y ( i ·j k· j 0)
A través de las caras ABED y OCFG solamente atraviesa el flujo del campo eléctrico debido a su
 
componente z ( i ·k 0) .
OCFG
N

3 ·0 ·k ·0,09 ·( k) m2
C
0
N·m2
;
C
BEDA
N

3 ·0,3 ·k ·0,09 ·k m2
C
0,081
N·m2
C
El flujo total es igual a la suma de los flojos que pasan por todas las caras:
0,135
N·m2
C
0,081
N·m2
C
0,054
N·m2
C
b) La ley de Gauss indica que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es
proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie.
Qint erior
E
Qint erior
E·
0,054
N ·m 2
·8.85 ·10
C
12
C2
N ·m 2
4,8 ·10
13
C
PAU CyL S2008 Dado campo calcular una carga y potencial
Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en
cm, son: A (0, 2), B (- 3 , -1), C ( 3 , -1). Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son
iguales y de valor 2 μC y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es nulo. a) Dibuje el
diagrama correspondiente y determine el valor de la carga situada sobre el vértice A (2 puntos).
b) Calcule el potencial en el origen de coordenadas (]punto).
Como el triángulo es equilátero la carga eléctrica en el vértice A
tiene que ser igual a las anteriores q A = 2 μC, ya que el campo en el
origen, centro del triángulo es igual a cero.
Las distancias de las cargas al centro del triángulo son 0,02 m, por
tanto:
V0
3K
q
r
3 ·9 ·10 9 N·m2 / C 2
2·10 6 C
0,02 m
2,7 ·10 6 V
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
16
PAU CyL S2008 campo eléctrico
Dibuje el vector campo eléctrico en los puntos A y B de la figura y
determine el valor de su módulo en función de q y d, sabiendo que los
dos puntos y las cargas están contenidos en el mismo plano (2 puntos).
En el punto A el campo creado por las dos cargas tiene la misma dirección y
sentido, la del eje X. Aplicando el principio de superposición:

E
2·
K ·q 
·i
2
d
2
8·
K ·q 
·i
d2
El módulo del campo eléctrico generado por cada carga en el
punto B es:
E
K ·q
E
d
2
2
K ·q
d
2
2
2
2 ·K · q
2
d2
d
2
En el punto B y como las cargas son iguales y también las
distancias, las componentes verticales de anulan por simetría
y las componentes en X se refuerzan. Por tanto:

EB
2
2·K ·q
d
2

cos 45º i
2
2·K ·q 2 
i
2
d2
2· 2
K ·q 
i
d2
PAU CyL J2009 Gauss campo hilo
Aplique el teorema de Gauss para deducir la expresión del campo
eléctrico creado en el vacío por un hilo recto e indefinido con densidad
lineal de carga λ constante, a una distancia d del hilo. Razone todos los
pasos dados (2 puntos).
Sea un hilo conductor infinitamente largo y cargado uniformemente con una
densidad de carga eléctrica por unidad de longitud λ. Lejos de los extremos, el
campo eléctrico es en todos los puntos perpendicular al hilo y tiene simetría
radial.
Se elige como superficie cerrada un cilindro cuya generatriz, de longitud L, es
paralela al hilo y cuyas bases, de radio d, son perpendiculares al mismo y con
centro en un punto de él. El flujo del campo eléctrico a través de las superficies de las bases es igual a cero,
ya que no hay ninguna línea de campo eléctrico que las atraviese. El campo eléctrico es perpendicular a la
superficie lateral y su módulo es constante en todos los puntos de la misma.

E = SE·
E
=

dS =
Slateral
Qinterior
 
E · dS
E·
Slateral
dS
E · 2 · · d ·L
E · 2 · · d ·L
Qint erior
0
0
La carga en el interior de la superficie del cilindro es: Qinterior = λ L.
Sustituyendo: E =
·L
Qinterior
=
=
2 · · 0 · d·L 2 · · 0 · d·L 2 · ·
0 ·d
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
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PAU CyL S2009 campo y trabajo cargas puntuales
Una carga puntual positiva de 9 nC está situada en el origen de coordenadas. Otra carga
puntual de -50 nC está situada sobre el punto P de coordenadas (0, 4). Determine:
a) El valor del campo eléctrico en el punto A de coordenadas (3, 0). Represente gráficamente
el campo eléctrico debido a cada carga y el campo total en dicho punto (2 puntos).
b) El trabajo necesario para trasladar una carga puntual de 3 µC desde el punto A hasta el
punto B de coordenadas (0, -1). Interprete el signo del resultado (1 punto).
Nota: todas las distancias vienen dadas en metros.
La carga q1 = 9 n C, situada en el origen del sistema de
referencia genera un campo eléctrico en el punto A dirigido
según el eje de abscisas y sentido alejándose de la carga. La
carga q2 = - 50 n C crea en punto A un campo eléctrico de
dirección la recta que une los puntos P y A y de sentido
hacia la carga q2. La suma vectorial de estos campos es
igual al campo total.
Y
P
-q2

E

E2
B
O +q
1
A

E1
X

E1
X
El campo eléctrico que genera la carga q1 en el punto A es:

E1
K
| q1 | 
i
r12
9 ·10 9
N · m2 9 ·10
C
2
C
i
2
9
(3 m)
9
N
i
C
Y
P
-q2
El módulo del campo eléctrico creado en el punto A por la
carga q2 es:
E2
K
| q2 |
r22
9 ·109
N· m2
9
50 ·10
C2 ( (3 m)2
C
2 2
18
(4 m) )

E2
N
C
O +q
1
Las componentes cartesianas de este campo son:
E2x = E2 · sen φ = 18 N/C · 0,6 = 10,8 N/C ;

E2x

10,8 · ( i ) N / C
E2y = E2 · cos φ = 18 N/C · 0,8 = 14,4 N/C ;

E2y

E2 y

E2 x
A

14,4 · j N / C
Aplicando el principio de superposición, las componentes del campo en el punto A son:

Ex

Ey




E1 E2x 9 · i N / C 10,8 · ( i) N / C
1,8 · i N / C


E 2 y 14,4 · j N / C


E ( 1,8 · i 14,4 · j ) N / C
El campo total es:
Y su módulo es: E
( 1,8 N / C)2
(14,4 N / C)2
14,5 N / C
b) En primer lugar se calculan los potenciales eléctricos de los puntos A y B. El potencial eléctrico
en un punto es igual a la suma de los potenciales eléctricos debidos a cada una de las cargas.
VA
VB
V1A
V1B
V2 A
V2B
K · q1
r1A
K · q2
r2 A
9 ·10 9
K · q1
r1B
K · q2
r2B
9 ·10 9
N · m2 9 ·10 9 C
3m
C2
N · m2 9 ·10 9 C
1m
C2
50 ·10
(3 m)
2
(1m)
C
( 4 m) 2
50 ·10
2
9
9
C
( 4 m)2
63 V
28,1 V
Aplicando la ley de la energía potencial, el trabajo que realizan las fuerzas del campo al trasladar la
carga q3 desde el punto A hasta el punto B es:
WA B = - q · ΔV = - q3 · (VB - VA) = - 3 · 10-6 C · (- 28,1 V - (-63 V)) = - 1,05 · 10-4 J
PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009
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Trasladar la carga eléctrica q3 desde el punto A hasta el punto B no es un proceso espontáneo. Un
agente externo realiza un trabajo que se almacena en forma de energía potencial eléctrica asociada a
la nueva distribución.