Autores: Patricio Corvalán Vera Jaime Hernández Palma 3.4 Función generatriz y cuerpos geométricos Las propiedades geométricas de ciertos sólidos de revolución se utilizan para tratar de caracterizar la forma de los fustes de árboles individuales o de secciones de ellos. En general, la forma del fuste ha sido asumida a través de la siguiente función general, llamada en ocasiones función generatriz: y = k ⋅ xr Donde k y r son constantes que definen la forma del sólido de revolución. De la figura 1, se tiene que el área de la base gi con diámetro igual a b, se puede escribir como1: Figura 1: forma de la función generatriz para r = 1. g i = π ⋅ y 2 = π ⋅ (k ⋅ x r ) 2 Por otra parte, de la figura 2 se deduce que un volumen infinitesimal dv puede ser calculado como el producto entre el área de una sección cualquiera del fuste g y un ancho dx (diferencial de altura en el fuste). Así, el volumen total se obtiene integrando dv entre 0 y la altura total b: = dv g b V = π ∫ ( k ⋅ x r ) 2 dx dx 0 b k ⋅ x ( 2 r +1) V =π 2r + 1 0 Figura 2: Volumen infinitesimal dv. Volumen de un cono En el caso de que r =1 se obtiene el volumen para un fuste que tiene la forma de un cono: y = k ⋅ x → g b = π ⋅ ( k ⋅ x) 2 b k 2 ⋅ x3 Vb = π ∫ (k ⋅ x) dx = π 0 (2 + 1) 0 1 Vb = (π ⋅ k 2 ⋅ xb2 ) xb 3 1 Vb = ( g b ) ⋅ ( H ) 3 b 1 2 El área de la base g se asume igual al área de un círculo de radio r = y, es decir que g = π r2 = π y2. U. de Chile / Apuntes de Dendrometría / Función Generatriz y Cuerpos Geométricos 1 De la ecuación anterior se deduce que el volumen del fuste (cono) se obtiene reduciendo el volumen de un cilindro de base igual a gb y de altura igual a H en un tercio (1/3). En donde gb es el área de la sección circular del fuste de diámetro igual a b (gb = π /4 b2) y H es la altura total del fuste. El factor de reducción, en este caso igual a 0,333 es conocido como factor de forma. Volumen de un paraboloide En el caso de que r =0.5 se obtiene el volumen para un fuste que tiene la forma de un paraboloide: y = k ⋅ x1 / 2 → y 2 = k '⋅ x → g i = π ⋅ (k 2 ⋅ x) b 1 k 2 ⋅ x ( 2 r +1) r 2 Vb = π ∫ (k ⋅ x ) dx = π 0 (2r + 1) 0 1 Vb = (π ⋅ k 2 ⋅ xb ) xb 2 1 Vb = ( g i ) ⋅ ( H ) 2 b El factor de forma para reducir el volumen de un cilindro al de un paraboloide es 0,5. Volumen de un neiloide En el caso de que r =3/2 se obtiene el volumen para un fuste que tiene la forma de un neiloide: y = k ⋅ x 3 / 2 → y 2 = k 2 ⋅ x3 → gi = π ⋅ (k 2 ⋅ x 3 ) b Vb = π ∫ (k ⋅ x 0 b 1 ) dx = π (k 2 ⋅ x 4 ) 4 0 3/ 2 2 1 (π ⋅ k 2 ⋅ xb3 ) xb 4 1 Vb = ( gi ) ⋅ ( Ht ) 4 Vb = El factor de forma para reducir el volumen de un cilindro al de un paraboloide es 0,25. U. de Chile / Apuntes de Dendrometría / Función Generatriz y Cuerpos Geométricos 2 La siguiente figura muestra el perfil fustal para fustes que pueden ser representados por cuerpos geométricos definidos por la función generatriz: Fómulas de cubicación de trozas Fórmula Expresión Smalian V = (g i + g s ) ⋅ L / 2 Huber V = gm ⋅ L Newton g + 4gm + gs V = i ⋅L 6 Gossfeld V = (3g1/ 3 + g s ) ⋅ L / 4 Precisión de las fórmulas anteriores Fórmula Cilindro Si la verdadera forma es: Paraboloide Conoide Neiloide Smalian exacta exacta subestima subestima Huber exacta exacta subestima subestima Newton exacta exacta exacta exacta U. de Chile / Apuntes de Dendrometría / Función Generatriz y Cuerpos Geométricos 3 Derivación de las fórmulas de cubicación Si se considera que el área de una sección del fuste gj puede ser estimada usando una función del tipo: g j = A + B ⋅ x j + C ⋅ x j + D ⋅ x j + ... 2 3 En donde xj es la altura del fuste a la que se encuentra gj De lo anterior, se puede calcular el volumen total del fuste como sigue: x x 0 0 V = ∫ g j dx = ∫ A + B ⋅ x j + C ⋅ x j + D ⋅ x j + ... 2 3 Como la integral de xn = xn-1/(n-1), entonces: V = A⋅ x + B ⋅ x 2j 2 + C ⋅ x 3j 3 + D ⋅ x 4j 4 + ... Para obtener una ecuación de dos parámetros sólo es necesario considerar los dos primeros factores: V = A⋅ x + B ⋅ x 2j (g j = A + B ⋅ x j ) (*) 2 Para encontrar los valores de A y B: g 0 = A + B ⋅ x0 g L = A + B ⋅ xL Pero como x0 es igual a 0 (base del fuste) y xL es igual a L (altura total del fuste): g0 = A gL = A + B ⋅ L La solución respecto de B es: B= g L − A g L − g0 = L L Sustituyendo los valores de A y B en (*), y considerando que x = L: V = g0 ⋅ L + g L − g0 g0 + g L = ⋅L 2 L Lo cual equivale a la fórmula de Smalian para el cálculo del volumen de la troza (ecuación con 2 parámetros). Las derivaciones para el resto de fórmulas son equivalentes. U. de Chile / Apuntes de Dendrometría / Función Generatriz y Cuerpos Geométricos 4