La capacitancia El cálculo de la capacitancia

La capacitancia
Ejercicio 1. Un capacitor de almacenamiento en una
memoria de aceso aleatorio (RAM en inglés) tiene
una cpacitancia de 55 fF. Si la diferencia de potencial es de 5.3 V, ¿cuál es el exceso de electrones en la
placa negativa?
Si la placa negativa tiene un exceso de N electrones, entonces porta una carga neta q = Ne. Así que
Un capacitor consiste de dos conductores a y b llamados placas. Se supone que están completamente
aislados y que se encuentran en el vacío.
Se dice que un capacitor está cargado si sus placas
tienen cargas iguales y opuestas, +q y −q.
Cuando se mencione a la carga, q, de un capacitor
se considera a la magnitud de la carga de cualquiera
de las placas.
Un capacitor puede adquirir carga eléctrica si se
conecta a las terminales de una batería. Puesto que
las placas son conductoras, entonces son equipotenciales, y la diferencia de potencial a través de las placas será la misma que la de la batería.
Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia de
potencial entre las placas se le llama V .
La carga y la diferencia de potencial en un capacitor se relacionan por
q = CV
N=
q CV
(55 × 10−15 F)(5,3V)
=
=
e
e
1,60 × 10−19 C
N = 1,8 × 106 electrones.
El cálculo de la capacitancia
Conviene establecer un plan
1. se supone una carga q en las placas
2. se calcula el campo eléctrico E entre las placas
en términos de su carga, usando la ley de Gauss
3. una vez conocido E, se calcula la diferencia de
potencial V entre las placas y
(1)
4. se calcula C a partir de C = q/V .
donde C es una constante de proporcionalidad llamada capacitancia. La unidad de medida de la capacitancia en el SI es el farad (abreviado F).
El cálculo del campo eléctrico: de acuerdo con la
ley de Gauss (ver la figura 1)
1
4πε0
1 f arad = 1coulomb/volt
1
I
E · dA = q
(2)
donde los signos + y − indican que la trayectoria
inicia en la placa con carga positiva y termina en la
placa con carga negativa.
Un capacitor de placas paralelas
De acuerdo con la figura 1, se tiene que
Z −
Figura 1:
V=
Eds =
+
que, dadas las condiciones, da como resultado
ε0 EA = q,
Z f
E · ds,
(3)
0
qd
.
ε0 A
(6)
(7)
¡y sólo depende de la geometría del capacitor! De
aquí que otra forma de definir a ε0 da
ε0 = 8.85 × 10−12 F/m = 8.85pF/m.
Un capacitor cilíndrico
(4)
La figura 2 muestra, en seccion transversal, a un capacitor cilíndrico de longitud L formado por dos cilindros coaxiales a y b.
Se supone que L >> b. La superficie gaussiana
más conveneinte es un cilindro de longitu L y radio
r, con tapas en sus extremos. Así, la ecuacion (3) da
aquí la integral se ha evaluado a lo largo de la trayectoria que inicia en una placa y termina en la otra.
Dado que sólo nos interesa la magnitud de V , se puede establecer que V f −Vi = −V , por lo que
Z −
E ds,
ds =
A
C = ε0 .
d
i
V=
Z d
y de la definicion de capacitancia
donde A es el área de traslape entre las placas y la
superficie gaussiana.
El cálculo de la diferencia de potencial. La diferencia de potencial se calcula según
V f −Vi =
q
ε0 A
(5)
q = ε0 EA = ε0 E(2πrL)
+
2
y, nuevamente, la capacitancia sólo depende de los
factores geométricos.
Un capacitor esférico
La figura 2, también representa a la seccion transversal de un capacitor que consiste de dos cascarones
esféricos de radios a y b. Como superficie gaussiana
se elige una esfera de radio r.
Aplicando la ecuacion (3) a esta superficie
q = ε0 EA = ε0 E(4πr2 ),
Si se resuelve para E
Figura 2:
E=
donde 2πrL es el área de la pared de la superficie
gaussiana. Resolviendo para E
q
.
(8)
E=
2πε0 Lr
V=
E ds =
+
q
2πε0 L
V=
Z b
dr
a
b
q
=
ln
. (9)
r
2πε0 L
a
L
ln(b/a)
q b−a
.
4πε0 ab
(12)
Y sustituyendo en la ecuacion (12) en (1) y resolviendo para C se obtiene
por lo que
C = 2πε0
(11)
y sustituyendo en la ecuacion (5) se encuentra
Z −
Z b
q 1 1
q
dr
V=
=
−
E ds =
4πε0 a r2
4πε0 a b
+
y, sustituyendo en la ecuacion (5)
I −
1 q
,
4πε0 r2
(10)
C = 4πε0
3
ab
.
b−a
(13)
De la ecuacion (14) se tiene
Una esfera aislada
C = 4πε0 R = 710µF.
Si b → ∞ en la ecuacion (13) y se sustituye R por a,
se encuentra que
C = 4πε0 R.
Capacitores en serie y en paralelo
Al analizar los circuitos eléctricos, con frecuencia se
desea conocer la capacitancia equivalente de dos o
más capacitores que están conectados de cierta manera.
Por capacitancia equivalente se entiende la capacitancia de un solo capacitor que se puede sustituir
por la combinación sin cambio en la operacion del
resto del circuito.
(14)
Ejercicio 2. Las placas de un capacitor de placas
paralelas están separadas una distancia d=1.00 mm.
¿Cuál debe ser el área de las placas para que la capacitancia sea de 1.0 F?
Si la ecuacion (7) se resuleve para A y se obtiene
A=
Cd
= 1· 1 × 108 m2 .
ε0
Capacitores conectados en paralelo
La figura 3a muestra dos capacitores conectados en
paralelo.
Ejercicio 3. El espacio entre los conductores de un
cable coaxial largo, usado para transmitir señales de
TV, tiene un radio interno a=0.15 mm y un radio externo b=2.1 mm. ¿Cuál es la capacitancia por unidad
de longitud de este cable?
De la ecuacion (10) se tiene
C
2πε0
=
= 21pF/m.
L ln(b/a)
Figura 3:
¿Cuál es la capacitancia de la Tierra, vista como
una esfera conductora aislada de radio 6370 km?
Características:
4
1. para pasar de a a b se puede tomar una de dos
trayectorias, pasando a traves de C1 o a través de
C2 , que son paralelas
o
Ceq = C1 +C2 .
Si se tienen más de dos capacitores conectados en
paralelo, entonces
2. Cuando se conecta una batería con diferencia de
potencial V a través de la combinacion se establece la misma diferencia de potencial a través
de cada capacitor
Ceq = ∑ Cn
Capacitores conectados en serie
La figura 4 muestra dos capacitores conectados en
serie. Características:
Así, para cada capacitor se tiene
y
q2 = C2V.
(19)
n
3. La carga total transportada por la batería a la
combinacion se reparte entre los capacitores.
q1 = C1V
(18)
(15)
Y dada la característica (3), se tiene
q = q1 + q2 .
(16)
Figura 4:
Si se reemplaza la combinación por un capacitor
equivalente, Ceq y se conecta a la misma batería, se
debe tener la misma carga en las placas del capacitor
equivalente, así que
q = CeqV.
1. para pasar a a b se debe recorrer todo el circuito,
pasando a través de todos los elementos sucesivamente
(17)
2. cuando se conecta una batería a través de la
combinación, la diferencia de potencial V de la
batería es igual a la suma de las diferencias de
potencial a través de cada uno de los capacitores
Sustituyendo la ecuacion (16) en la (17) y usando las
ecuaciones (15) en el resultado, se tiene que
CeqV = C1V +C2V,
5
3. la carga q en cada capacitor de la combinación
en serie tiene el mismo valor
Si se tienen más de dos capacitores conectados en
serie, entonces
1
1
=∑
(24)
Ceq
n Cn
Ejercicio 5. (a) Encuentre la capacitancia equivalente
en la combinación que se muestra en la figura 5a.
Suponga que
Para cada capacitor individual se tiene, usando la
ecuacion (1):
V1 =
q
C1
y
V2 =
q
.
C2
(20)
con la misma carga a través de cada capacitor pero
diferente mangnitud en la diferencia de potencial. De
acuerdo con la segunda propiedad se tiene
V = V1 +V2 .
C1 = 12.0µF, C2 = 5.3µF y C3 = 4.5µF.
(b) Se aplica una diferencia de potencial V = 12,5
V a las terminales de la figura 7a. ¿Cuál es la carga
sobre C1 ?
(21)
Entonces, la capacitancia equivalente Ceq que puede
reemplazar a la combinación debe almacenar la misma carga al conectarla a la misma diferencia de potencial
q
V=
.
(22)
Ceq
Sustituyendo la ecuacion (21) en la (22) y usando las
ecuaciones (29) se tiene
Figura 5:
q
q
q
=
+ ,
Ceq C1 C2
o
1
1
1
=
+ .
Ceq C1 C2
Los capacitores C1 y C2 están conectados en paralelo, por lo que la capacitancia equivalente es
(23)
C12 = C1 +C2 = 17.3µF
6
La energía almacenada en un campo
eléctrico
Como se muestra en la figura 7b, C12 y C3 están conectados en serie. De la ecuacion (23), la capacitancia equivalente final es (ver la figura 7c):
Como ya se vió anteriormente, la energía potencial
eléctrica U es igual al trabajo W realizado por un
agente externo para ensamblar una configuracion de
cargas.
En un capacitor, el agente externo que transporta
cargas de una placa a la otra es la batería.
Suponga que en un tiempo t se ha transferido una
carga q0 de una placa a la otra. La diferencia de potencial V 0 entre las placas en ese momento es V 0 = q0 /C.
Si luego se transfiere un incremento de carga dq0 , el
pequeño cambio en dU en la energía potencial eléctrica es, de acuerdo con ∆V = ∆U/q0 ,
1
1
1
=
+
= 0.280µF−1
C123 C12 C3
o
C123 = 3.57µF.
(b) A los capacitores C12 y C123 se les considera
como a capacitores comúnes y corrientes. La carga
sobre C123 en la figura 7c es, entonces,
q123 = C123V = (3.57µF)(12.5V ) = 44.6µC
Esta misma carga es la que se encuentra en cada capacitor de la combinación en serie de la figura 7b. La
diferencia de potencial a través de C12 en esa figura
es
q12
44.4µC
V12 =
=
= 2.58V
C12
17.3µF
dU = V 0 dq0 =
q0 0
dq
C
Si el proceso continua hasta que se haya transferido
una carga total q, la energía potencial total es
La misma diferenca de potencial aparece a través de
C1 en la figura 7a, por lo que
Z
U=
dU =
Z q 0
q
0
q1 = C1V1 = (12µF)(2,68V) = 31µC.
C
dq0
(25)
o
U=
7
q2
.
2C
(26)
De la relación q = CV también se puede escribir
1
U = CV 2 .
2
(27)
De aquí, si se tiene un capacitor de placas paralelas,
el campo eléctrico el campo eléctrico en el espacio
entre las placas es uniforme (omitiendo los efectos
de borde). Así, la densidad de energía u, que es la
energía almacenada por unidad de volumen, debe ser
la misma en todo el volumen entre las placas; u está
dada por
1
CV 2
U
u=
= 2
.
Ad
Ad
Sustituyendo la ecuacion (7) se tiene
u=
ε0 V 2
.
2 d
pero E = V /d, por lo que
u = 12 ε0 E 2 .
(28)
Aunque se trató solamente para un capacitor de placas paralelas, el resultado es válido para cualquier
geometría. Aunque en general E cambia con la localización, así que u será función de las coordenadas.
8